Glosarium Buku Mekanika Kuantum II. Bab 8 : Elektron Dalam Zat Padat

Glosarium Buku Mekanika Kuantum II Bab 8

: Elektron Dalam Zat Padat

Ada dua macam elektron dalam zat padat : (1) elektron yang terikat dengan inti atom yang mengorbit inti dan mempunyai energi negative dan (2) elektron yang bebas bergerak menggembara dalam zat padat yang menyebabkan zat padat bersifat konduktor

Energi ikat electron valensi yang cenderung berada pada tepi atom pada atom Li cukup kecil yaitu 5,39 eV

Secara teoritis, energi ikat elektron pada kulit K adalah 4x energi ikat pada kulit L, tetapi realitasnya untuk melepaskan sebuah elektron pada kulit K atom Li diperlukan energi sebesar 75,6 eV.

Pada Kristal Li, elektron valensi bebas menggembara di antara ion-ion atau disekitar atom.

Perilaku elektron dalam zat padat dimodelkan sebagai model elektron bebas dan model elektron dalam potensial periodik.

Model Elektron Bebas

Pada model elektron bebas: sepotong logam diperlakukan sebagai kotak yang berisi banyak elektron tetapi interaksi antara elektron diabaikan. Elektron bebas bergerak dalam kotak dimana energi potensial dalam kotak adalah nol maka energi potensial elektron juga nol

Banyaknya elektron bebas dalam kotak sama dengan hasil kali antara banyaknya atom dengan jumlah elektron valensi masing-masing atom, dan banyaknya elektron bebas sekitar 10²⁴ buah.

Banyaknya elektron bebas tergantung pada energi dari elektron valensi

Elektron valensi berada pada tingkat energi yang paling rendah bila sistem bersuhu 0 K.

Banyaknya elektron yang mempunyai energi tertinggi yang disebut energi Fermi EF, berbanding lurus dengan banyaknya elektron valensi per satuan volume pangkat dua per tiga

Pada suhu yang lebih tinggi (T>0K), elektron-elektron yang tereksitasi secara thermal mengosongkan beberapa orbit elektron yang energinya kurang dari energi Fermi (E<EF) dan

mengisi beberapa orbit dengan energi lebih besar dari energi Fermi (E>EF), dan pada suhu

K

T » 10

⁴ semua zat melebur.

Model elektron bebas di gunakan untuk menghitung suseptibilitas paramagnet elektronik suatu logam tertentu dan untuk mengestimasi secara kasar kompresibilitas suatu zat.

2. Model elektron dalam potensial periodik

Model elektron dalam potensial periodik adalah gerak elektron dalam logam yang dipengaruhi oleh medan yang ditimbulkan oleh ion positif (Kristal) dalam logam. Untuk zat padat yang mempunyai bentuk Kristal yang teratur yaitu Kristal yang tersusun secara periodik, setiap titik Kristal menyebabkan timbulnya potensial maka elektron yang bergerak dlam logam secara periodik dipengaruhi oleh (energi) potensial tersebut. Potensial periodik berulang pada jarak 10^-8 cm atau setiap 1cm terdapat ion sebanyak 10⁸ buah.

Model potensial periodik menyebabkan terbentuknya pita-pita energi yaitu energi elektron yang diperbolehkan hanya pada interval posisi tertentu saja.

Bab IX :Supersymmetri Mekanika Kuantum

Supersimetri (SUSY) adalah simetri yang tetap invarian dibawah transformasi yang mengubah boson menjadi fermion dan sebaliknya.

Sistem supersimetri mempunyai dua pasang operator penaik dan penurun dan , dimana a adalah operator bosonik dan adalah fermionik. Sepasang operator bosonik tunduk pada hubungan komutasi dan sepasang operator fermionik tunduk pada hubungan anti komutasi.

Dalam sistem supersimetri mekanika kuantum, menurut Witten, terdapat operator super muatan, Qi, yang komut dengan SUSY Hamiltonian, HSS dan dua operator super muatan tunduk pada hubungan anti komutasi.

Hamiltonian SUSY sama dengan kuadrat dari masing-masing supermuatan atau hasil kali antara operator penaik dan penurun yang masing-masing identik dengan operator supermuatan.

Operator super muatan dalam mekanika kuantum tersusun dari operator momentum linear dan operator posisi yang dijabarkan dari operator energi potensial sistem kuantum

Operator penaik (raising operator) dan operator penurun (lowering operator) tersusun dari operator momentum linear dan operator superpotensial yang merupakan fungsi posisi saja Operator superpotensial dapat dijabarkan dari hubungan antara Hamiltonian standar (biasa) dengan Hamiltonian superposisi atau hubungan antara energi potensial efektif sistem kuantum dengan dengan superpartner potensial yang bersifat shape invariant

Hamiltonian supersimetri terdiri dari dua Hamiltonian superpartner yaitu Hamiltonian fermionik H- dan Hamiltonian bosonik H+ yang mana Hamiltonian bosonik dapat diperoleh dari Hamiltonian fermionik yang yang ditansformasikan dengan operator penaik yang identik dengan operator supermuatan.

Dalam supersimetri mekanika kuantum, fungsi gelombang sistem kuantum dapat ditentukan dengan metode operator, sedangakan tingkat energi sistem dapat ditentukan dengan metode operator dan pendekatan semiklasik supersimetri WKB (SWKB).

Pendekatan SWKB dapat dijabarkan secara analitis dari formula kuantisasi WKB dengan menggunakan metode deret

Keunggulan SWKB bila dibandingkan dengan WKB adalah tidak diperlukan koreksi Langer pada energi potensial.

Supersimetri mekanika kuantum dapat memberikan penyelesaian fungsi gelombang dan tingkat energi secara eksak untuk sekelompok potensial yang mempunyai “shape invariant” yaitu grafik energi potensial mempunyai bentuk yang berubah bila parameter potensial berubah.

Kelas “shape invariant” potensial biasanya diselesaikan dengan deret Hypergeometry atau Confluent Hypergeometry

Sistem potensial yang dapat diselesaikan dengan SUSY Mekanika Kuantum adalah sistem Shape invariant potensial dimana super partner potensial V+(x) dan V-(x) mempunyai bentuk yang sama, antara lain : Osilator Harmonik 3 dimensi bagian radial, atom hydrogen bagian radial, Poschl-Teller osilator, Poschl-Teller termodifikasi, Morse, Symmetrical Top, Gendenshtein, Manning-Rosen, dll.

Bab X: Pendekatan Semiklasik (WKB)

Pendekatan semiclasik juga disebut sebagai pendekatan WKB (dinamakan seperti nama penemunya, Wentzel, Kramer, dan Brillouin) yaitu pendekatan yang digunakan untuk penentuan tingkat-tingkat energi sistem kuantum dengan menggunakan formula kuantisasi energi yang dikembangkan secara klasik dengan menggunakan metode deret dimana tetapan Planck mendekati nol.

Formula kuantisasi energi pada pendekatan WKB merupakan persamaan integral, dapat diselesaikan secara analitik dan secara numerik untuk sistem non ”shape invariant potensial”

Formula kuantisasi energi pada pendekatan WKB memberikan nilai tingkat-tingkat energi secara eksak untuk kelas ”shape invariant potensials” bila operator energi potensial telah dikoreksi dengan koreksi Langer , contohnya )²

2 ( 1 ) 1 (l+ ® l+ l

Sistem osilator harmonik satu dimensi adalah satu-satunya sistem yang dapat diselesaikan secara eksak dengan pendekatan WKB tan pa koreksi Langer

BabXI : Penjumlahan Momentum Sudut

Momentum sudut bukan merupakan vektor yang tetap; vektor momentum sudut terletak pada bidang kerucut .

Dalam sistem kuantum terdapat momentum sudut azymutal dengan bilangan kuantum ml, momentum sudut orbital dengan bilangan kuantum l dan momentum sudut spin dengan bilangan kuantum ms

Jumlah momentum sudut dari dua sistem kuantum dapat ditentukan dengan menghitung koefisien penjumlahan yang disebut dengan Clebch-Gordan coefficient

Bab XII: Metode Pendekatan Untuk Penyelesaian Persamaan Schrodinger

Metode pendekatan yang akan digunakan untuk sistem potensial yang tidak dapat diselesaiakan secara eksak adalah teori gangguan yang tak gayut waktu dan metode variasi.

Metode pendekatan dengan teori gangguan mengasumsikan bahwa Hamiltonian sistem terdiri dari Hamiltonian sistem yang tang terganggu dapat diselesaikan secara eksak dan hamiltonian pengganggu.

Fungsi gelombang sistem terdiri dari fungsi gelombang yang diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodinger untuk Hamiltonian tak terganggu dan fungsi gelombang koreksi yang merupakan penyelesaian sistem Hamiltonian terganggu.

Tingkat –tingkat energi sistem terdiri dari tingkat energi sistem yang tak terganggu dan tingkat energi dari sistem yang terganggu.

Koreksi fungsi gelombang diasumsikan sebagai superposisi dari fungsi gelombang sistem yang tak terganggu

Ada dua macam teori gangguan yang tak gayut waktu yaitu teori gangguan untuk sistem nondegenerasi dan sistem degenerasi

Teori gangguan tak gayut waktu adalah teori gangguan yang digunakan untuk memperoleh penyelesaian pendekatan dari sistem dengan persamaan Schrodinger yang tak gayut waktu atau persamaan Schrodinger stasioner

Sistem nondegenerasi adalah sistem yang setiap tingkat energi terkait hanya dengan satu fungsi gelombang ( eigen fungsi atau eigen state), contoh : potensial kotak satu dimensi, potensial kotak tiga dimensi dengan sisi-sisi kotak yang berukuran berbeda, keadaan tingkat dasar atom H, dll Sistem degenerasi adalah sistem dimana satu tingkat energi terkait dengan beberapa fungsi gelombang, contohnya untuk partikel yang dipengaruhi oleh potensial kubus dengan

2 2 2 2

z y

x n n

n

n = + + , n_x,n_y,n_z =1,2,3,...Untuk n²³6, sistem terdegenerasi.

Teori gangguan untuk sistem non degenerasi adalah aplikasi teori gangguan untuk penentuan tingkat-tingkat energi dan fungsi gelombang suatu sistem dimana sistem yang tak terganggu merupakan sistem nondegenerasi, misal sistem yang tak terganggu mempunyai bentuk seperti sistem kotak satu dimensi atau keadaan tingkat dasar atom H

Koreksi fungsi gelombang merupakan superposisi dari fungsi gelombang untuk sistem yang tak terganggu yang bersifat non degenerasi, misalnya koreksi fungsi gelombang terhadap fungsi gelombang tingkat dasar suatu atom

Teori gangguan untuk sistem degenerasi adalah aplikasi teori gangguan untuk penentuan tingkat-tingkat energi dan fungsi gelombang suatu sistem dimana sistem yang tak terganggu merupakan sistem degenerasi

Koreksi fungsi gelombang untuk sistem degenerasi merupakan superposisi dari fungsi gelombang yang terdegenerasi, misalnya koreksi fungsi gelombang terhadap fungsi gelombang elektron pada kulit L, atau M dsb

Bab XIII: Hamburan

Pada peristiwa hamburan secara kuantum mencakup melemen-elemen berkas partikel datang atau yang ditembakkan, partikel penghambur, partikel datang yang terhambur oleh pusat hamburan.

Comment [f1]:

Banyaknya partikel yang dihamburkan bila fluks partikel datang sejajar N buah menumbuk n partikel target, sebagai pusat hamburan, yang teramati keluar dari pusat hamburan melalui sudut ruang dὨ berbanding lurus dengan jumlah partikel datang N, partikel penghambur n dan konstanta yang disebut sebagai differensial scattering cross section.

Amplitude hamburan (scattering amplitude) dalam mekanika kuantum adalah amplitude gelombang yang merambat keluar dari pusat hamburan dalam ruang berbentuk bola relative terhadap glombang datang yang merambat dalam bidang pada peristiwa hamburan sistem kuantum yang stasioner.

Pada peristiwa hamburan, penyelesaian fungsi gelombang terdiri dari fungsi gelombang datang (bidang) dan fungsi gelombang terhambur ( bola).

Scattering amplitude juga dapat didefinisikan sebagai probabilitas partikel datang yang dihamburkan melalui sudut ruang dὨ pada arah (θ,φ)

Scattering cross section digunakan untuk mendiskripsikan distribusi angular partikel datang yang dihamburkan oleh partikel target.

Differensial scattering cross section adalah luas tampang lintang dari fluks partikel datang yang sejajar per satuan waktu yang dihamburkan oleh sebuah partikel target atau penghambur dalam rentang sudut ruang

Kuadrat dari Scattering amplitude berbanding lurus dengan differensial scattering cross section

Scattering amplitude ditentukan dengan dua cara yaitu partial waves analysis dan Born approximation

Partial waves analysis adalah pendekatan yang digunakan untuk menentukan scattering

amplitude dengan asumsi bahwa fungsi gelombang dapat dipisahkan kedalam fungsi sudut dan fungsi radial saja karena partikel target hanya dipengaruhi oleh potensial yang hanya merupakan fungsi radial saja. Fungsi gelombang diselesaikan dengan Fungsi Bessel

Pendekatan Born adalah pendekatan yang digunakan untuk menentukan scattering amplitude

untuk sistem potensial yang kompleks dengan menggunakan transformasi Fourier. Fungsi gelombang diselesaikan dengan fungsi Green. Fungsi Green dijabarkan dengan mengubah persamaan Schronger suatu sistem kuantum diubah menjadi persamaan Helmholtz . Kemudian fungsi gelombang pada persamaan Helmholtz diubah menjadi fungsi Green bila ruas kanan persamaan Helmholtz disubstitusi fungsi delta sehingga diperoleh penyelesaian berupa fungsi Green.

Pada pendekatan Born, penyelesaian fungsi gelombang terhambur diekspansikan dalam bentuk integral dari fungsi Green.

Pendekatan Born orde satu didiskripsikan bahwa fluks partikel datang hanya menunmbuk partikel target satu kali saja dan kemudian dihamburkan, dan kemudian dari fungsi gelombang yang terhambur dapat ditentukan scattering amplitude nya

Pendekatan Born orde dua didiskripsikan bahwa fluks partikel datang menumbuk partikel target dan dihamburkan, kemudian partikel yang dihamburkan menumbuk partikel target yang lain dan dihamburkan, dst