Garis - garis istimewa dalam segitiga

(1)

Geometri Transformasi Page 1 GEOMETRI TRANSFORMASI

DISUSUN OLEH :

Kelompok : 1

Nama : 1. Sartika (2010.121.354)

2. Hajiya (2010.121.176)

3. Tari (2010.121.156)

4. Endah Widiastuti (2010.121.147)

Kelas : 5D

Mata kuliah : Geometri Transformasi

Dosen Pembimbing : Malalina,S.Si,M.Pd Program Studi : Pendidikan Matematika

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI

PALEMBANG

(2)

Geometri Transformasi Page 2 A. Garis - garis istimewa dalam segitiga

Dalam segitiga, terdapat beberapa garis-garis istimewa, di antaranya sebagai

berikut:

• Garis berat, yaitu garis yang ditarik dari titik sudut ke pertengahan sisi di

hadapannya. Ketiga garis berat melalui satu titik yang disebut titik berat.

Titik berat membagi masing-masing garis berat dengan perbandingan 2 : 1

Pada gambar di atas, garis berat ditandai dengan garis warna biru, yaitu

AD, CF, dan BE. Garis berat tersebut berpotongan di titik P, yang merupakan titik

berat. Titik berat merupakan titik pusat masa, bermanfaat dalam hal

keseimbangan. Perbandingan garis berat adalah

AP : PD = BP : PE = CP : PF = 2 : 1

Untuk mengitung panjang Garis Berat menggunakan Dalil Stewart .

. = . + . − . .

(3)

Geometri Transformasi Page 3

= + −

Contoh :

Pada segitiga ABC, CF merupakan garis berat. AB = 14 cm, BC = 10 cm dan

AC = 6 cm. Hitung panjang CF !

Jawab :

= + −

= ( ) + ( ) − ( )

=

(4)

• Garis bagi, yaitu garis yang ditarik dari sebuah titik sudut dan membagi

sudut tersebut menjadi dua bagian sama besar. Ketiga garis bagi melalui

satu titik yang disebut titik bagi. Titik bagi merupakan pusat lingkaran

dalam segitiga.

Pada gambar di atas, AD, EC dan BG adalah garis bagi, sedangkan titik F

merupakan titik bagi, atau titik pusat lingkaran. Jika dari titik F ditarik garis

tegak lurus ke sisi segitiga, maka akan terbentuk jari-jari lingkaran dalam segitiga,

misal garis FN. Jika dari titik F dibuat lingkaran dengan jari-jari FN terlukislah

lingkaran dalam segitiga.

• Garis tinggi, yaitu garis yang ditarik dari titik sudut dan tegak lurus sisi di

hadapannya. Ketiga garis tinggi melalui satu titik yang disebut titik tinggi.

(5)

• Garis sumbu, merupakan garis yang tegak lurus pada pertengahan

garis/sisi itu. Perhatikan gambar berikut, garis sumbu ditandai dengan

garis yang berwarna biru. Ketiga garis sumbu berpotongan di satu titik,

yaitu titik O dan merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga.

A. Kesebagunan Dua Segitiga

Kesebangunan segitiga dapat dilihat melalui kesebangunan bidang datar,

tetapi dengan keistimewaan sifat-sifat segitiga maka kesebangunan pada dua buah

bangun segitiga dapat dinyatakan sebangun jika:

a. Semua sudut pada kedua segitiga dapat dipasangkan dengan

besaran yang sama, atau

b. Perbandingan semua sisi yang bersesuaian dari kedua bangun

besarnya sama.

Atau dalam syarat sebangun diatas mengandung arti untuk melihat

(6)

Geometri Transformasi Page 6 syarat tersebut, tetapi jika salah satu persyaratan terpenuhi maka dapat dipastikan

kedua syarat benar.

Contoh :

Apakah segitiga ABC sebangun dengan segitiga DBE ?

Dengan konsep hubungan sudut dan garis dapat diperoleh bentuk :

• Pada segitiga ABC <A = <D segitiga DBE karena sehadap

• Pada segitiga ABC <B = <B segitiga DBE karena sudut yang sama

• Pada segitiga ABC <C = <E segitiga DBE karena sehadap

Sehingga kedua segitiga sebangun, maka sisi sisi yang bersesuaian

adalah:

• AC dihadapan <B dengan DE juga dihadapan <B dan <B = <B

• AB dihadapan <C dengan BD dihadapan <E dan <C = <E

• BC dihadapan <A dengan BE dihadapan <D dan <A = <D

(7)

Geometri Transformasi

ifat Penting Garis Bagi

hwa . Buktinya adalah sebagai

(8)

(9)

Geometri Transformasi Page 9 Contoh :

Diketahui ∆ ()* siku-siku di B. Garis CD merupakan garis bagi yang ditarik dari titik sudut C. Jika panjang AB = BC = 6 cm, Tentukan AD ?

Jawab :

A

D

B C

(* = ()+_{+ )*}+ (* = 6+_{+ 6}+ (* = 6 2 cm.

Dengan menggunakan teorema garis bagi misal AD = x , BD = 6 – x

=

!_!

./

=

. + .

60 = 6 2 (6 − 0)

(10)

60 + 6 2_{0 = 36 2}

026 + 6 23 = 36 2

0 =

_{.5. +}4. +

0 =

_{.5. +}4. +

.

./. +_{./. +}

0 =

.24. +3/2. +3(4. +)_{. /(. +)}

0 =

+6. +/74+_4./8+

0 =

+6. +/74+_/4.

0 = 12 − 6 2

(11)

Geometri Transformasi Page 11 C. Bangun Segi Empat

1. Jajaran Genjang

Jajaran genjang dapat dibentuk dari gabungan suatu segitiga dan

bayangannya setelah diputar setengah putaran dengan pusat titik tengah salah satu

sisinya. Pada gambar, ABC diputar setengah putaran pada titik tengah BC,

maka ABC dan bayangannya membentuk bangun jajargenjang ABCD

Sifat-sifat jajarangenjang

a. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar

• Panjang AB = CD

* Panjang BC = AD

* Sisi AB // CD

* Sisi BC berpotongan AD

b. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar

• < A = < C

(12)

Geometri Transformasi Page 12 c. Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180o

Karena AB // CD, dan pasangan A dengan D, maupun B dengan C

merupakan sudut dalam sepihak, maka

• < A + < D = 180o

< B + < C = 180o

Karena AD // BC, dan pasangan A dengan B, maupun C dengan D merupakan

sudut dalam sepihak, maka

• < A + < B = 180o

< C + < D = 180o

d. Kedua diagonal jajarangenjang saling membagi dua sama panjang

Pada gambar jajarangenjang ABCD, AC dan BD merupakan diagonal.

kedua diagonal berpotongan di titik T

• Panjang AT = TC

Panjang DT = TB

Berdasarkan sifat-sifatnya, maka jajarangenjang adalah sigi empat dengan

sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang serta sudut-sudut yang

(13)

Geometri Transformasi Page 13 2. Belah Ketupat

Belah ketupat terbentuk dari sebuah segitiga sama kaki dan bayangannya

yang dicerminkan terhadap sisi alas sebagai sumbu simetri. ABC segitiga sama

kaki dicerminkan terhadap sisi alas AC, sehingga muncul bayangannya yaitu

ACD yang kongruen dengan ABC. Segi empat ABCD yang terjadi adalah belah

ketupat

Sifat-sifat belah ketupat

a. Keempat sisi sama panjang dan sisi yang berhadapan sejajar

• Panjang AB = BC = CD = AD

AB // DC dan AD // BC

b. Kedua diagonal belah ketupat merupakan sumbu simetri

AC dan BD adalah diagonal-diagonal belah ketupat ABCD yang juga

(14)

Geometri Transformasi Page 14 c. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh

diagonal-diagonalnya

• < BAD = < BCD

< ABC = < ADC

< BAT = < DAT = < BCT = < DCT

< ADT = < CDT = < ABT = < CBT

d. Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling

berpotongan tegak lurus

• Diagonal AC BD

Panjang AT = TC

Panjang DT = TB

Berdasarkan sifat-sifat yang telah diuraikan, dapat didefinisikan bahwa

Belah ketupat adalah segi empat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar,

(15)

Geometri Transformasi Page 15 3. Trapesium

Pada gambar terdapat empat buah bidang segi empat yang masing-masing

memiliki tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar. Keempat segi empat

tersebut adalah trapesium.Jadi trapesium adalah segi empat dengan tepat sepasang

sisi yang berhadapan sejajar.

Sifat dan jenis trapesium

a. Trapesium sembarang

Trapesium sembarang adalah trapesium yang keempat sisinya tidak sama

panjang.

Pada gambar, ABCD adalah trapesium sembarang, dengan sifat-sifatnya:

• Memiliki sepasang sisi sejajar AB // DC

Jumlah besar sudut yang berdekatan diantara dua sisi sejajar adalah 180o ,

< A + < D = 180o

(16)

Geometri Transformasi Page 16 b. Trapesium sama kaki

Trapesium sama kaki adalah trapesium yang memiliki sepasang sisi sama

panjang.Pada gambar, PQRS adalah trapesium sama kaki dengan sifat-sifat

• Memiliki sepasang sisi sama panjang PS = QR

* Memiliki dua pasang sudut berdekatan sama besar : P = Q dan S = R

c. Trapesium sama siku-siku

Trapesium siku-siku adalah trapesium yang memiliki sudut siku-siku. Pada

gambar, KLMN adalah trapesium siku-siku, dengan

• K = 90o

(17)

Geometri Transformasi Page 17 KESIMPULAN

Dari garis-garis istimewa segitiga,kita dapat mengetahui garis berat,garis

bagi dan garis tinggi. Adapun dalam kesebangunan dua segitiga berlaku

DF : AC= DE ; AB = FE. Jadi dapat dikatakan bahwa apabila dua segitiga

sebangun maka sisi-sisi yang seletak ssebanding , dan sifat penting garis bagi

berdasarkan teoremanya kita dapat mengetahui _! _!$ CDℎF=??<

! =!

dari GH //

$ GH .

Dalam segiempat, jajar genjang, belah ketupat dan trapesium kita dapat

mengetahui sifat-sifat dan pembuktian dari segiempat, jajar genjang, belah ketupat

(18)

Geometri Transformasi Page 18 DAFTAR PUSTAKA

Abdullah, Solichan.(2011).Pengertian Dan Sifat Segiempat.Diunduh (6 oktober

2012).

Http://www.scribd.com/doc/83857240/Pengertian-Dan-Sifat-Segiempat .

A. Wagiyo, dkk. (2008). Buku Pegangan Matematika 1.Jakarta: Pusat Perbukuan

Departemen Pendidikan Nasional.

Atik Wintarti, dkk.(2008).Contextual Teaching and Learning Matematika.Jakarta:

Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Hendry .(2008).Garis-garis istimewa.Diunduh(6 oktober 2012).

http://hendrydext.blogspot.com/2008/10/garis-garis-istimewa-segitigai.html.

Rahma,Siti.(2012).Dua Segitiga Sebangun dan kongruen. Diunduh(6 oktober

2012).Http://siti-rahmawati08.blogspot.com/2012/04/dua-segitiga-sebangun-dan-kongruen.html.

Rawuh.(1992).Geometri Transformasi.Jakarta:Departemen Pendidikan dan

Kebudayaan.

Sholihin.(2012).Jenis Segitiga dan Garis Istimewa pada Segitiga.Diunduh(6

oktober