Numerical Differentiation and Integration

(1)

Numerical Differentiation and Integration

INTEGRASI NUMERIS

(2)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Integrasi Numeris

2

q 

Acuan

q 

Chapra, S.C., Canale R.P., 1990,

Numerical Methods for Engineers

, 2nd

Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.

(3)

Diferensial, Derivatif

3

x_i x_i +Δx y_i

y_i +Δy

Δx Δy

x_i x_i +Δx y_i

y_i +Δy

x_i y_i

(a) (b) (c)

(

)

( )

x

x f x x

f x

y _i _i

Δ − Δ

+ =

Δ

(

)

( )

x

x f x x

f x

y _i _i

x Δ

− Δ

+ =

→ Δ 0

lim d

d

difference approximation

f

(

x

_i

+

Δ

x

)

(4)

Diferensial, Derivatif

4

(

)

( )

x

x f x x

f x

y _i _i

Δ − Δ

+ =

Δ

(

)

( )

x

x f x x

f x

y _i _i

x Δ

− Δ

+ =

→ Δ 0

lim d

d

pendekatan beda (hingga)

difference approximation derivatif

( )

x f y x y

ʹ′ = ʹ′ =

d d

derivatif = laju perubahan y

(5)

Diferensial

0 40 80 120 160

0 2 4 6 8 10

y

x

slope = dy/dx

0 6 12 18 24

0 2 4 6 8 10

d

y/

d

x

5

5 . 1

5_x

y=

5 . 0

5 . 7 d d

x x

y

(6)

Integral

0 40 80 120 160

0 2 4 6 8 10

∫

y

d

x

6

5 . 0

5 . 7 _x y=

5 . 1 5 d_x _x

y =

∫

= xy x

0

d luas

§  “kebalikan” dari proses men-diferensial-kan adalah meng-integral-kan

§  integrasi ›‹ diferensiasi 0

6 12 18 24

0 2 4 6 8 10

y

(7)

Fungsi

7

q 

Fungsi-fungsi yang di-diferensial-kan atau di-integral-kan

dapat berupa:

q 

fungsi kontinu sederhana: polinomial, eksponensial, trigonometri

q 

fungsi kontinu kompleks yang tidak memungkinkan didiferensialkan atau

dintegralkan secara langsung

(8)

Cara mencari nilai integral

8

(

)

∫

+ ₊ +

2

0

5 . 0 2 3

d sin

5 . 0 1

1 cos 2

x e

x

x _x

x f(x)

0.25 2.599 0.75 2.414 1.25 1.945

1.75 1.993 0

1 2 3 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

A₁ A₂ A₃ A₄

(9)

Derivatif

9

sec tan

d d

sin cos

d d

cos sin

d log

d d

cot csc

csc d

d

tan sec

sec d

d

csc cot

(10)

Integral

10

cos 1 d

sin ln

tan 1

sin 1 d

(11)

Metode Trapesium

Metode Simpson

Metode Kuadratur Gauss

Metode Integrasi Newton-Cotes

11

(12)

Persamaan Newton-Cotes

12

q 

Strategi

q 

mengganti fungsi kompleks dan rumit atau tabulasi data dengan

yang mudah untuk diintegralkan

( )

_∫

( )

∫

=

b

a n b

a

f

x

f

x

I

d

( )

n

n n

n

x

a

x

a

x

a

x

a

x

f

=

+

₋1 −1

+

2 2 1

0

...

(13)

Persamaan Newton-Cotes

13

( )

x

f

x

a b

( )

x

f

x

a b

Garis lurus (polinomial tingkat 1) sbg fungsi pendekatan.

(14)

Persamaan Newton-Cotes

14

( )

x

f

x

a b

Garis lurus (polinomial tingkat 1) sbg fungsi pendekatan.

1

2

3

Fungsi yang diintegralkan didekati dengan 3 buah garis lurus (polinomial tingkat 1).

(15)

Metode Trapesium

15

q 

Fungsi pendekatan untuk menghitung integral adalah

polinomial tingkat 1

q 

Sebuah garis lurus dapat dinyatakan dengan persamaan

( )

_∫

( )

∫

=

b

a b

a

f

x

f

x

I

d

₁

d

( )

(

x

a

)

a

b

a

f

b

f

a

f

x

f

−

+

=

(16)

Metode Trapesium

16

( )

(

)

(

)

( )

2 d

b

f

a

f

a

b

x

a

x

a

b

a

f

b

f

a

f

I

b

a

+

−

≅

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

+

≅

_∫

Metode Trapesium

( )

x

f

x

a b

(17)

Metode Trapesium

17

(

)

640533 .

1 6

400 180

4 675

3 200 5 400

900 675

200 25

400 900

675 200

25

Penyelesaian eksak

Metode Trapesium

(

)

0.1728

2

(18)

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f

(

x

)

Metode Trapesium

q 

Error atau kesalahan

q 

bentuk trapesium untuk

menghitung nilai integral

mengabaikan sejumlah besar

porsi daerah di bawah kurva

q 

Kuantifikasi error pada

Metode Trapesium

18

error

( )(

)

3

12 1

a b f

E_t =− ʹ′ʹ′ ξ −

(19)

Metode Trapesium

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f

(

x

)

19

error

( 0.60)(0.8 0) 2.56 12

1 3

=

− −

−

= a

E

( ) 3 2 3

8000 10800

4050

400 _x _x _x

x

fʹ′ʹ′ =− + − +

nilai rata-rata derivatif kedua:

( )

(

)

60

0 8 . 0

d 8000 10800

4050 400

8 . 0 0

3 2

3

− = −

+ −

=

ʹ′ʹ′ x

∫

x x x x

f

error:

order of magnitude nilai error ini sama dengan

(20)

Trapesium multi pias

20

q 

Peningkatan akurasi

q 

selang

ab

dibagi menjadi sejumlah

n

pias dengan lebar seragam

h

(21)

0 1 2 3 4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x

f

(

x

)

h = 0.1

Trapesium multi pias

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f

(

x

)

h = 0.2

21

(22)

Trapesium multi pias

22

Jika

0

rata -‐ rata tinggi

1

1 0

lebar 2

(23)

Trapesium multi pias

23

(

)

( )

∑

=

ξ ʹ′ʹ′ −

−

=

n

i

t f

n a b E

1 3

3

12

Error

= jumlah

error

pada setiap pias

( )

f

f n

n

i

i = ʹ′ʹ′

ξ ʹ′ʹ′

∑

=1

1

(

)

f n

a b E

E_t ≈ _a =− − ₂ ʹ′ʹ′ 3

12

(24)

Trapesium multi pias

24

( )

2 3 4 5

400 900

675 200

25 2 .

0 _x _x _x _x _x

x

f = + − + − +

n h I E_t %E_t E_a

1 0.8 0.1728 1.4677 89% 2.56

2 0.4 1.0688 0.5717 35% 0.64

4 0.2 1.4848 0.1557 9% 0.16

8 0.1 1.6008 0.0397 2% 0.04

( )

d 1.640533

8 . 0

0 =

=

_∫

f x x I

( )

∫

≈ 0.8

0 1

d_x

x f

I

₍

_{the trapezoidal rule}

₎

(

exact solution

)

0 20 40 60 80 100

(25)

Metode Simpson

q 

Fungsi pendekatan:

polinomial tingkat 1

q 

Peningkatan ketelitian dpt

dilakukan dengan

meningkatkan jumlah pias

q 

Fungsi pendekatan:

polinomial:

q 

tingkat 2: Simpson 1/3

q 

tingkat 3: Simpson 3/8

25

(26)

Metode Simpson

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f

(

x

)

f

₂

(

x

)

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f

(

x

)

f

₃

(

x

)

26

(27)

Metode Simpson

27

q 

Polinomial tingkat 2 atau 3

q 

dicari dengan Metode Newton atau Lagrange (lihat materi tentang

(28)

Jika

(29)

(30)

Jika

0

rata rata tinggi

3 2

1 0

lebar 8

(31)

Simpson

⅜

31

(

)

( )

ξ −

−

= 4

5

6480 f

a b E_t

Error

( )

ξ −

= 5 4

80 3

f h

(32)

Simpson

⅓

dan

⅜

32

( )

2 3 4 5

400 900

675 200

25 2 .

0 _x _x _x _x _x

x

f = + − + − +

( )

d 1.640533

8 . 0

0 =

=

_∫

f x x

I

(

exact solution

)

Metode I E_t

(33)

Pias tak seragam: Metode Trapesium

33

400 900

675

200 25

1.594801

I dihitung dengan Metode Trapesium di setiap pias:

(34)

Pias tak seragam: Metode Simpson

34

( )

5 4

3

2

400 900

675

200 25

2 . 0

x x

x

x x

x f

+

−

+

−

+ = i x_i f(x_i) I

0 0 0.2

1 0.12 1.309729 2 0.22 1.305241 3 0.32 1.743393 4 0.36 2.074903

5 0.4 2.456

6 0.44 2.842985 7 0.54 3.507297 8 0.64 3.181929

9 0.7 2.363

10 0.8 0.232

I dihitung dengan Metode Simpson ⅓ dan Simpson ⅜:

(35)

Metode Integrasi Numeris

35

Metode Jumlah pias Lebar pias

Trapesium 1

Trapesium multi pias n > 1 seragam atau tak-seragam

Simpson ⅓ 2 seragam

Simpson ⅓ mul( pias genap (2m, m = 2,3,…) seragam

Simpson ⅜ 3 seragam

(36)

Kuadratur Gauss

36

( )

x

f

x

( )

x

f

x

(37)

Kuadratur Gauss

37

Kuadratur Gauss 2 Titik: Gauss-Legendre

(38)

0 0.5 1 1.5 2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 _-1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Kuadratur Gauss

38

( )

x

f

x

( )

x

=

₁

f

( )

x

f

=

2 d

1

=

∫

−

x

d

0

1

=

∫

−

x

( )

x

f

(39)

0 1 2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Kuadratur Gauss

39

( )

x

f

x

( )

_x

2

f

=

f

( )

x

=

x

3

2 d

1

1 2

=

∫

−

x

d

0

1

1 3

=

∫

−

x

( )

x

f

x

-3 -2 -1 0 1 2 3

(40)

Kuadratur Gauss

(41)

Kuadratur Gauss

41

Untuk batas integrasi dari

a

ke

b

:

§  diambil asumsi suatu variabel x_d yang dapat dihubungkan dengan variabel asli

x dalam suatu relasi linear

d

(42)

Kuadratur Gauss

42

( )

2 3 4 5

400 900

675 200

25

I

(exact solution)

Penyelesaian dengan Metode Kuadratur Gauss:

(43)

Kuadratur Gauss

43 400 4 900

4 675 4 200 4 400

900 675

200 25 516741 .

822578 .

1

305837 .

(44)