FISIKA DASAR I 2013 2014

FISIKA DASAR I

(2013/2014)

FISIKA DASAR I

(vektor)

Sub Pokok Bahasan

•

Definisi Vektor

•

Penjumlahan vektor

•

Vektor Satuan

•

Penjumlahan vektor secara analitis

•

Perkalian Skalar

Sasaran Pembelajaran

•

Mahasiswa mampu mencari besar

vektor, menentukan vektor satuan

Definisi Vektor

•

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel,

yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor

adalah

perpindahan

.

•

Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak

tebal (misal

A

) atau diberi tanda panah di atas huruf (misal

Ā

)

Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh

huruf yang dicetak tebal.

a

b

R

Penjumlahan Vektor

• Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S

yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.

• Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.

b

c a

R

S

T

Besar Vektor Resultan

Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :

T

=

R

2

+

S

2

-

2 R S cos

q

Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S

R

S

T

T = R + S

Pengurangan Vektor

Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan.

A

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km

kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km

Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km.

Jawab :

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.

Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

Vektor Satuan

• Vektor satuan didefenisikan sebagai :

• Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu

satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r

menyatakan arah dari vektor R.

• Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.

– Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif

– Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif

– Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

R

Penulisan Vektor Secara Analitis

Vektor dalam 2 Dimensi

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis

b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor

Jawab :

Vektor perpindahan :

R = (x_ujung – x_pangkal)i + (y_ujung – y_pangkal)j R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

a.

o

Sudut yang dibentuk :

Penjumlahan Vektor Cara Analitis

Jika diketahui sebuah vektor

A

= x

_A

i

+ y

_A

j

dan vektor

B

= x

_B

i

+

y

_B

j

, maka penjumlahan vektor

A

+

B

= (x

_A

+ x

_B

)

i

+ (y

_A

+ y

_B

)

j

.

Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku

:

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o _{dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!}

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut

b. Jarak perpindahan

c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya

3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA =

10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C

b. |A + B + C|

R = R_xi + R_yj

Diketahui :

R_x = R cos θ = 4 cos 60o _{= 2 satuan}

R_y = R sin θ = 4 sin 60o _{= 2 satuan}

Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan Vektor satuan :

r = cos 60o _{+ sin 60}o _{= ½ i + ½ j}

60o

X Y

R

θ

3

3

1.

3

4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j

b. |A + B + C| = |2i + 4j - 7i + 8j| = |-5i + 12j|

|-5i + 12j| = = 13 satuan 3. Besar vektor A = = 5 satuan

Dengan demikian nilai c = 2 satuan

2 2

4 3 

2 2

12

5



Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah

vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos θ

Jika diketahui A = a_x i + a_y j + a_z k dan B = b_x i + b_y j + b_z k, maka :

A . B = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks

magnet, dan lain-lain.

A

B

θ

Perlu diperhatikan dan diingat dalam

perkalian titik adalah :

i

.

i

=

j

.

j

=

k

.

k

= 1

i

.

j

=

j

.

k

=

k

.

i

= 0

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i - 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B !

Jawab :

A . B = (3i + 4j) . (4i - 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4

Besar vektor = 2 + 2 =

Besar vektor = 2 + − 2=

Dengan demikian θ = 79,7o

A

B

θ

A_B

Contoh

Untuk menentukan sudut antara vektor

A dan B dapat menggunakan persamaan

cos � = ∙

cos

� =

∙

=

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :

A X B = C Besar vektor C adalah :

C = AB sin θ

Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat

diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A X B tidak sama dengan B X A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

Perlu diperhatikan dan diingat dalam

perkalian titik adalah :

i

X

i

=

j

X

j

=

k

X

k

= 0

i

X

j

=

k

;

j

X

k

=

i

;

k

X

i

=

j

j

X

i

= -

k

;

k

X

j

= -

i

;

i

X

k

= -

j

Perkalian Vektor

× =

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 4j B = 4i - 2j + k

Tentukan : a. A X B

b. Buktikan A X B = -B X A

Jawab :

A X B = (3i + 4j) X (4i X 2j + k) = 3.4(iXi) + 3.(-2)(iXj) + 3.1(iXk) + 4.4(jXi) + 4.(-2)(jXj) + 4.1(jXk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j –

22k

a.

B X A = (4i X 2j + k) X (3i + 4j) = 4.3(iXi) + 4.4(iXj) +(-2).3(jXi) + (-2).4(jXj) + 1.3(kXi) + 1.3(kXj) = 12.0 + 16k – 6(-k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A X B

terbukti b.

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3

i – 4 k !

2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B = i + 3 j – 4 k !

3. Diberikan tiga buah vektor :

A = 1 i + 2 j – k B = 4 i + 2 j + 3 k C = 2 j – 3 k

Tentukan : a. A . (B X C) b. A . (B + C) c. A X (B + C)

4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus !

6

B X C = (4i + 2j + 3k) X (2j – 3k) = 8(i X j) – 12(i X k) – 6(j X k) + 6(k X j) = 8k + 12j X 12i

A . (B X C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4 3. a.

B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 b.

A X (B + C) = (i + 2j – k) X (4i + 4j) = i – 4j – 4k

c.

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o_{. Menurut}

persamaan dan diperoleh :

R . S = RS cos 90o _{= RS . 0 = 0}

R . S = R_xS_x + R_yS_y + R_zS_z

Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :

R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0 4.

KINEMATIKA