FISIKA STATISTIK
FISIKA STATISTIK
SOAL DAN PEMBAHASAN
SOAL DAN PEMBAHASAN
1.
1. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolumeRadiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume
pada temperature pada temperature keseimbangankeseimbangan
dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi.bervariasi. a.
a. Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan!Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan! b.
b. Tentukan banyaknya keadaan kuantum dalam selang Tentukan banyaknya keadaan kuantum dalam selang energienergi
dan dan
c.c. Jika persamaan untuk kerapatan energi (Jika persamaan untuk kerapatan energi (
dituliskan sebagai berikut : dituliskan sebagai berikut :
∫∫
maka tentukanlah f( maka tentukanlah f(
)!)! d.d. Tentukan kebergantungan energi sistem (Tentukan kebergantungan energi sistem (
) terhadap temperature () terhadap temperature (
)!)! e.e. Kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhiKapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi
maka tentukanlah maka tentukanlah
!!(Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) (Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab
Jawab a.
a. Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan!Berapakah nilai potensial kimia gas ini? Jelaskan!
Potensial dari gas foton akan bernilai nol, hal ini diakibatkan akibat jumlah foton Potensial dari gas foton akan bernilai nol, hal ini diakibatkan akibat jumlah foton setelah mengalami interaksi tidaklah sama seperti jumlah sebelum mengalami setelah mengalami interaksi tidaklah sama seperti jumlah sebelum mengalami interaksi (pada kasus radiasi benda hitam).
interaksi (pada kasus radiasi benda hitam). Sumber : Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Photon_gas http://en.wikipedia.org/wiki/Photon_gas http://en.wikipedia.org/wiki/Chemical_potential http://en.wikipedia.org/wiki/Chemical_potential b.
b. Banyaknya keadaan kuantum dalam selang energiBanyaknya keadaan kuantum dalam selang energi
dan dan
dapat dapat ditentukan dengan menggunakanditentukan dengan menggunakan
dengan dengan
|
|
|
|
maka maka
mengingat foton dapat mengalami polarisasi pada dua arah, maka mengingat foton dapat mengalami polarisasi pada dua arah, maka
maka dengan menggunakan maka dengan menggunakan
|
|
||
maka maka
dengan dengan
|
|
|
|
maka maka
mengingat foton dapat mengalami polarisasi pada dua arah, maka mengingat foton dapat mengalami polarisasi pada dua arah, maka
maka dengan menggunakan maka dengan menggunakan
|
|
||
maka maka
c.
c. Jika persamaan untuk kerapatan energi (Jika persamaan untuk kerapatan energi (
dituliskan sebagai berikut : dituliskan sebagai berikut :
∫∫
maka tentukanlah f( maka tentukanlah f(
)!)! dari soal 1b didapatkan dari soal 1b didapatkan
maka bentuk dari kerapatan energi pada selang
maka bentuk dari kerapatan energi pada selang
dan dan
mempunyai mempunyai bentuk bentuk
dengan dengan
yang merupakan fungsi probabilistik Bose-Einstein untuk gas foton yang merupakan fungsi probabilistik Bose-Einstein untuk gas foton maka didapatkan maka didapatkan
maka maka
d. Tentukan kebergantungan energi sistem (
) terhadap temperature (
)!
∫
∫
∫
e. Kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi
maka tentukanlah
! Didapatkan
maka
sehingga
2. Kurva energi spectral dari cahaya matahari mempunyai maksimum pada panjang gelombang
Dengan menganggap matahari sebagai benda hitam maka tentukana. Temperature permukaan matahari.
b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari. c. Intensitas radiasi cahaya matahari.
(Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab
Pada daerah panjang gelombang dengan nilai kecil, maka dapat digunakan Hukum radiasi Wien yang diturunkan dari Hukum Radiasi Planck, yaitu
dengan mengganti
maka didapatkan
dan dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap
untuk mendapatkan
maka didapatkan
yang dikenal sebagai Hukum Pergeseran Wien maka
a. Temperature permukaan matahari.
dengan
didapatkan
b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari
karena matahari dianggap sebagai benda hitam, maka
c. Intensitas radiasi cahaya matahari.
Total energi yang berada pada benda tersebut adalah
∫ ∫
∫
∫
Untuk menyelesaikan integral diatas, gunakan
maka
∫
sehingga
dengan
maka
3. Tinjau sistem gas elektron dalam volume
pada temperature
a. Turunkan ungkapan
, yaitu banyaknya keadaan elektron yang berkelajuan antara
dan
!b. Turunkan ungkapan
, yaitu banyaknya elektron yang berkelajuan antara
dan
!c. Buat sketsa kurva
terhadap
pada temperature nol mutlak! (Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013)Jawab
a. Turunkan ungkapan
, yaitu banyaknya keadaan elektron yang berkelajuan antara
dan
!Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga
maka dapat dibentuk suatu bola yang mempunyai jari-jari,
dengan volume
dan element volume yang dimiliki oleh bola tersebut, adalah
maka
mengingat bahwa nilai
,
, dan
merupakan bilangan bulat positif, maka hanya diambil
bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai dua keadaan spin, maka
atau
yang merupakan rapat keadaan elektron pada selang energi
dan
per satuan volume, untuk mendapatkan ungkapan rapat keadaan elektron dengan kelajuan antara
dan
dapat digunakan hubungan
sehingga
b. Turunkan ungkapan
, yaitu banyaknya elektron yang berkelajuan antara
dan
!Dari point (a) didapatkan bahwa rapat keadaan elektron sebagai fungsi dari kecepatan adalah
Untuk elektron, statistik yang berkaitan adalah statistik Fermi-Dirac, yang mempunyai fungsi probabilitas statistik sebagai berikut
dengan
merupakan energi elektron bebas dan
merupakan energi Fermi apabila mengganti ungkapan
dengan
maka didapatkan
maka
c. Buat sketsa kurva
terhadap
pada temperature nol mutlak!
Mempunyai nilai khusus untuk beberapa keadaan, salah satunya ketika T = 0 K, fungsi probabilitas FD akan bernilai
{
dengan mengambil energi elektron yang dibawah energi Fermi maka
dengan
maka
yang akan memberikan kurva sebagai berikut
4. Menurut mekanika kuantum, energi osilator harmonic satu dimensi bernilai diskrit, yaitu
, dengan
adalah bilangan bulat dan
adalah frekuensi osilator. Energi terendah suatu osilator kuantum adalah sebesar
yang dinamakan zero-point energy. Dengan statistic Maxwell-Boltzmann, fungsi partisi Z sistem ini adalah ∑
a. Buktikan bahwa energi rata-rata sebuah osilator kuantum adalah
b. Pada temperature tinggi
sehingga
, tunjukkan bahwa nilai energi rata-rata sebuah osilator harmonicN ( v )
kuantum pada temperature tinggi mendekati hasil yang diperoleh untuk osilator harmonic klasik!
(Pekerjaan Rumah 4 FI3202 Fisika Statistik 2013) Jawab
a. Energi rata-rata mempunyai bentuk persamaan
dengan
( )
( )
[
]
[
]
[
]
sehingga
(terbukti)
b. nilai energi rata-rata sebuah osilator harmonic kuantum pada temperature tinggi
(terbukti)
5. Gas elektron dalam sodium memiliki energi Fermi sebesar
pada temperature nol mutlak. Hitunglah :a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak! b. Temperature Fermi sistem gas elektron ini!
c. Kecepatan Fermi sistem gas elektron ini
√
(Pekerjaan Rumah FI3202 Fisika Statistik 2012) Jawab
a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak dapat ditentukan dengan
Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga
Maka dapat dibentuk suatu bola dengan element volume pada ruang
dengan
Maka
mengingat bahwa nilai
,
, dan
merupakan bilangan bulat positif, maka hanya diambil
bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai dua keadaan spin, maka
atau
dan pada nol mutlak dan nilai energi elektron yang dibawah energi Fermi, nilai
yang merupakan fungsi probabilitas Fermi-Dirac akan bernilai 1, sehingga
maka
∫
yang merupakan kerapatan gas elektron pada sodium pada temperature 0 K. b. Temperature Fermi sistem gas elektron ini!
Temperature Fermi didapatkan dari persamaan
dengan
maka
√
dengan
maka
√
⁄
6. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume
pada temperature keseimbangan
dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton (
) dapat dinyatakan dalam variable frequensi (
atau panjang gelombang (
)a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi
dan
, adalah
Dengan
adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum.b. Jika
menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya! c. Buktikan bahwa kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi
maka tentukanlah
!d. Tentukan tekanan sistem gas foton (
dinyatakan dalam kerapatan energinya (
)!Jawab
a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi
dan
, adalah
dengan
dengan hubungan antara momentum dengan panjang gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan
maka
|
|
sehingga didapatkan,
melalui hubungan
|
|
maka, didapatkan
mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka
,sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara
dan
per satuan volume adalah
(terbukti)
b. Jika
menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya
Dengan
merupakan fungsi probabilitas Bose-Einstein yang mempunyai bentuk untuk gas Foton
dan ∫
dengan
maka
∫
∫
c. tentukanlah
!
maka
d. Tentukan tekanan sistem gas foton (
dinyatakan dalam kerapatan energinya (
)!dari hasil teori kinetic untuk P gas ideal monoatomic
∫
7. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume
pada temperature keseimbangan
dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton (
) dapat dinyatakan dalam variable frequensi (
atau panjang gelombang (
)a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi
dan
Dengan
adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum.b. Jika
menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya! c. Buktikan bahwa kapasitas kalor gas foton pada volume tetap memenuhi
maka tentukanlah
!d. Tentukan tekanan sistem gas foton (
dinyatakan dalam kerapatan energinya (
)!(Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012) Jawab
a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi
dan
, adalah
dengan
dengan hubungan antara momentum dengan panjang gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan
maka
|
|
sehingga didapatkan,
melalui hubungan
|
|
maka, didapatkan
mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka
,sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara
dan
per satuan volume adalah
(terbukti)
b. Jika
menyatakan energi sistem gas foton maka tentukan ungkapannya
Dengan
merupakan fungsi probabilitas Bose-Einstein yang mempunyai bentuk untuk gas Foton
dan ∫
dengan
maka ∫
∫
c. tentukanlah
!
maka
d. Tentukan tekanan sistem gas foton (
dinyatakan dalam kerapatan energinya (
)!dari hasil teori kinetic untuk P gas ideal monoatomic
∫
8. Tijau sistem gas elektron bebas dalam logam tembaga. Diketahui energi Fermi
untuk elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak adalah
. a. Tentukan kerapatan elektron bebas dalam logam tersebut!b. Hitunglah energi rata-rata energi bebas dalam tembaga pada temperature nol mutlak!
c. Hitunglah besarnya kecepatan Fermi
dan temperature Fermi
sistem ini! d. Tentukan laju maksimum elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak! (Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012)Jawab
a. Kerapatan gas elektron dalam sodium pada temperature nol mutlak dapat ditentukan dengan
Menurut persamaan Schrodinger untuk sumur potensial tak hingga
Maka dapat dibentuk suatu bola dengan element volume pada ruang
dengan
Maka
mengingat bahwa nilai
,
, dan
merupakan bilangan bulat positif, maka hanya diambil
bagian dari bola tersebut saja dan karena elektron mempunyai dua keadaan spin, maka
atau
kerapatan elektron dapat ditentukan melalui
dan pada nol mutlak dan nilai energi elektron yang dibawah energi Fermi, nilai
yang merupakan fungsi probabilitas Fermi-Dirac akan bernilai 1, sehingga
∫
yang merupakan kerapatan gas elektron pada tembaga pada temperature 0 K. b. energi rata-rata energi bebas dalam tembaga pada temperature nol mutlak
karena pada suhu 0 K dan energi bebas elektron kurang dari energi Fermi
,
F(
akan bernilai 1. maka
∫
∫
∫
∫
c. Hitunglah besarnya kecepatan Fermi
dan temperature Fermi
sistem ini! Untuk temperature Fermi
dengan
Untuk kecepatan Fermi
√
√
d. laju maksimum elektron dalam tembaga pada temperature nol mutlak! Ga dapet …mohon bantuannya
9. Kurva energi spectral dari cahaya matahari mempunyai maksimum pada panjang gelombang
. Dengan menganggap matahari sebagai benda hitam maka tentukana. Temperature permukaan matahari! b. Kerapatan energi radiasi matahari!
(Ujian 3 FI 3202 Fisika Statistik 2011/2012)
Pada daerah panjang gelombang dengan nilai kecil, maka dapat digunakan Hukum radiasi Wien yang diturunkan dari Hukum Radiasi Planck, yaitu
dengan mengganti
maka didapatkan
dan dengan menurunkan persamaan tersebut terhadap
untuk mendapatkan
maka didapatkan
yang dikenal sebagai Hukum Pergeseran Wien maka
a. Temperature permukaan matahari.
dengan
didapatkan
b. Kerapatan energi radiasi cahaya matahari
karena matahari dianggap sebagai benda hitam, maka
10. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume
pada temperature keseimbangan
dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton (
) dapat dinyatakan dalam variable frequensi (
atau panjang gelombang (
. Diberikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang frequensi
dan
, adalah
Dengan
adalah laju gelombang electromagnetic dalam vakum.a. Tuliskan
yang menyatakan banyaknya foton yang berfrequensi antara
dan
!b. Tuliskan
yang menyatakan kerapatan energi sistem gas foton dalam variable frequensi!c. Jika ada lubang kecil pada dinding sistem gas foton maka tentukan ungkapan
yaitu banyaknya energi foton yang terpancar keluar melalui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu dalam variable frequensi!d. Jika
menyatakan radiasi energi per satuan luas per satuan waktu dari benda bertemperature
maka buktikan bahwa :
dan tentukanlah
!(Pekerjaan Rumah 3 FI3202 Fisika Statistik) Jawab
Radiasi EM dalam rongga hampa bervolume
pada temperature keseimbangan
sebagai sistem gas foton yang menggunakan statistk Bose-Einstein,dengan fungsi probabilitas statistik BE dalam fungsi energi, yaitu
untuk gas foton maka nilai
,
,
dan
, maka didapatkanbentuk lain dari fungsi probabilitas statistik BE dalam fungsi frequensi
Rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara
dan
dapat ditentukan melalui
dengan hubungan antara momentum dengan panjang gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan
maka
|
|
sehingga didapatkan,
melalui hubungan
|
|
maka, didapatkan
mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka
,sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara
dan
per satuan volume adalah
Sehingga
a. Tuliskan
yang menyatakan banyaknya foton yang berfrequensi antara
dan
!
b. Tuliskan
yang menyatakan kerapatan energi sistem gas foton dalam variable frequensi!
c. Jika ada lubang kecil pada dinding sistem gas foton maka tentukan ungkapan
yaitu banyaknya energi foton yang terpancar keluar melalui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu dalam variable frequensi!Persamaan untuk jumlah foton yang terpancar keluar melaui lubang per satuan luas lubang per satuan waktu, adalah
Maka untuk energi yang terpancarnya adalah
d. Jika
menyatakan radiasi energi per satuan luas per satuan waktu dari benda bertemperature
maka buktikan bahwa :
dan tentukanlah
!Total energi yang berada pada benda tersebut adalah
∫ ∫
∫
∫
Untuk menyelesaikan integral diatas, gunakan
maka
∫
sehingga
dengan
11. Radiasi elektromagnetik dalam rongga hampa bervolume
pada temperature keseimbangan
dapat dipandang sebagai sistem gas foton dengan energi yang bervariasi. Energi sebuah foton (
) dapat dinyatakan dalam variable frequensi (
atau panjang gelombang (
)a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang panjang gelombang
dan
adalah
b. Tuliskan ungkapan yang menyatakan jumlah foton dalam selang panjang gelombang
dan
. Kemudian gunakan ungkapan tersebut untuk menurunkan〈
〉
c. Tentukan ungkapan
yang menyatakan energi sistem gas foton. Jika pada saat itu sedang terdapat
buah foton maka tentukan energi rata-rata sebuah foton pada saat tersebut dalam variable
(Quiz 2 FI3202 Fisika Statistik) Jawab
a. Buktikan bahwa banyaknya keadaan kuantum dalam selang panjang gelombang
dan
adalah
Fungsi probabilitas statistik BE adalah
untuk gas foton,
Rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara
dan
dapat ditentukan melalui
dengan hubungan antara momentum dengan panjang gelombang dapat diketahui melalui dualisme gelombang yang menyatakan
maka
|
|
sehingga didapatkan,
maka
mengingat bahwa foton memiliki kemungkinan polarisasi pada dua arah, maka
,sehingga didapatkan rapat keadaan energi yang tersedia dalam rentang antara
dan
per satuan volume adalah
b. Tuliskan ungkapan yang menyatakan jumlah foton dalam selang panjang gelombang
dan
. Kemudian gunakan ungkapan tersebut untuk menurunkan〈
〉
Jumlah foton dalam selang panjang gelombang
dan
per satuan volume adalah
Maka untuk mendapatkan
