Soal Dari I Ketut Agus Purnaman

(1)

MATEMATIKA SEKOLAH

SOAL OLIMPIADE TINGKAT SEKOLAH

SOAL OLIMPIADE TINGKAT SEKOLAH MENENGAH

MENENGAH

ATAS (SMA)

OLEH OLEH KELOMPOK III KELOMPOK III KELAS VB KELAS VB I

I KETUT KETUT AGUS AGUS PURNAMAN PURNAMAN NIM. NIM. 14130110601413011060

QURROTUL’AINI

QURROTUL’AINI NIM. NIM. 14130110801413011080 DEWA

DEWA AYU AYU ARI ARI PRABAWATI PRABAWATI NIM. NIM. 15130110831513011083 NI

NI LUH LUH MADE MADE SARI SARI DEWI DEWI ANTARI ANTARI NIM. NIM. 15130110931513011093 I

I KOMANG KOMANG INDRA INDRA PUTRA PUTRA JAYANTARA JAYANTARA NIM. NIM. 15130110951513011095 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIK

(2)

(3)

Adapun materi kelas XI semester 1 meliputi: Adapun materi kelas XI semester 1 meliputi:

1.

1. Logika MatematikaLogika Matematika



 Pernyataan BerkuantorPernyataan Berkuantor 

 Pernyataan Penyangkal (Ingkaran)Pernyataan Penyangkal (Ingkaran) 

 Penarikan KesimpulanPenarikan Kesimpulan

2.

2. Induksi MatematikaInduksi Matematika



 Metode Pembuktian Langsung dan Tidak LangsungMetode Pembuktian Langsung dan Tidak Langsung 

 KontradiksiKontradiksi 

 Induksi MatematikaInduksi Matematika

3.

3. Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPertidaksamaan Linear Dua Variabel



 Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 

 Penerapan Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPenerapan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

4.

4. Program Linear Dua VariabelProgram Linear Dua Variabel



 Pengertian Program Linear Dua VariabelPengertian Program Linear Dua Variabel 

 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 

 Nilai Optimun Fungsi Objektif Nilai Optimun Fungsi Objektif 

 Penerapan Program Linear Dua VariabelPenerapan Program Linear Dua Variabel

5.

5. MatriksMatriks



 Pengertian MatriksPengertian Matriks 

 Operasi MatriksOperasi Matriks 

 Determinandan Invers 2Determinandan Invers 2

××

2 dan 32 dan 3

××

33 

 Pemakaian Matriks pada Transformasi GeometriPemakaian Matriks pada Transformasi Geometri

6.

6. Baarisan dan DeretBaarisan dan Deret



 Pola BilanganPola Bilangan 

 Barisan dan Deret AritmatikaBarisan dan Deret Aritmatika 

 Barisan dan Deret GeometriBarisan dan Deret Geometri

7.

7. Limit Fungsi AljabarLimit Fungsi Aljabar 8.

8. Turunan Fungsi AljabarTurunan Fungsi Aljabar



 Pengertian TurunanPengertian Turunan 

 Sifat-sifat Turunan Fungsi AljabarSifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar 

 Penerapan Turunan Fungsi AljabarPenerapan Turunan Fungsi Aljabar 

 Nilai-Nilai Stasioner Nilai-Nilai Stasioner 

 Fungsi Naik dan Fungsi TurunFungsi Naik dan Fungsi Turun 

(4)

(5)

Adapun materi kelas XI semester 1 meliputi: Adapun materi kelas XI semester 1 meliputi:

1.

1. Logika MatematikaLogika Matematika



 Pernyataan BerkuantorPernyataan Berkuantor 

 Pernyataan Penyangkal (Ingkaran)Pernyataan Penyangkal (Ingkaran) 

 Penarikan KesimpulanPenarikan Kesimpulan

2.

2. Induksi MatematikaInduksi Matematika



 Metode Pembuktian Langsung dan Tidak LangsungMetode Pembuktian Langsung dan Tidak Langsung 

 KontradiksiKontradiksi 

 Induksi MatematikaInduksi Matematika

3.

3. Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPertidaksamaan Linear Dua Variabel



 Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 

 Penerapan Pertidaksamaan Linear Dua VariabelPenerapan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

4.

4. Program Linear Dua VariabelProgram Linear Dua Variabel



 Pengertian Program Linear Dua VariabelPengertian Program Linear Dua Variabel 

 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 

 Nilai Optimun Fungsi Objektif Nilai Optimun Fungsi Objektif 

 Penerapan Program Linear Dua VariabelPenerapan Program Linear Dua Variabel

5.

5. MatriksMatriks



 Pengertian MatriksPengertian Matriks 

 Operasi MatriksOperasi Matriks 

 Determinandan Invers 2Determinandan Invers 2

××

2 dan 32 dan 3

××

33 

 Pemakaian Matriks pada Transformasi GeometriPemakaian Matriks pada Transformasi Geometri

6.

6. Baarisan dan DeretBaarisan dan Deret



 Pola BilanganPola Bilangan 

 Barisan dan Deret AritmatikaBarisan dan Deret Aritmatika 

 Barisan dan Deret GeometriBarisan dan Deret Geometri

7.

7. Limit Fungsi AljabarLimit Fungsi Aljabar 8.

8. Turunan Fungsi AljabarTurunan Fungsi Aljabar



 Pengertian TurunanPengertian Turunan 

 Sifat-sifat Turunan Fungsi AljabarSifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar 

 Penerapan Turunan Fungsi AljabarPenerapan Turunan Fungsi Aljabar 

 Nilai-Nilai Stasioner Nilai-Nilai Stasioner 

 Fungsi Naik dan Fungsi TurunFungsi Naik dan Fungsi Turun 

(6)

(7)

SOAL GEOMETRI OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN SOAL GEOMETRI OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN

Ina membuat suatu persegi panjang PQRS dimana PU+UR+PQ+RS=25. Di Ina membuat suatu persegi panjang PQRS dimana PU+UR+PQ+RS=25. Di tengah-tengah sisi PS dia meletakkan suatu titik T, sedangkan di tengah-tengah-tengah-tengah sisi

tengah sisi PS dia meletakkan suatu titik T, sedangkan di tengah-tengah sisi PR diaPR dia meletakkan suatu titik U. Tentukanlah panjang TU agar luas persegi panjang yang meletakkan suatu titik U. Tentukanlah panjang TU agar luas persegi panjang yang dibuat Ina memiliki luas yang maksimum dan gambarkan persegi panjang tersebut! dibuat Ina memiliki luas yang maksimum dan gambarkan persegi panjang tersebut! Pembahasan Pembahasan PU+UR+PQ+RS=25 PU+UR+PQ+RS=25 PR+2PQ=25 PR+2PQ=25 PR=25-2PQ PR=25-2PQ 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 100 100 625 625 3 3 100 100 625 625 PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PR PR PQ PQ SP SP PQ PQ L L PQ PQ PR PR SP SP                        

Agar luas maksimun maka L’=0 Agar luas maksimun maka L’=0

0 0 1250 1250 300 300 12 12 0 0 625 625 100 100 3 3 2 2 1250 1250 300 300 12 12 2 2 3 3 2 2 3 3 4 4 2 2 3 3                      PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ PQ L L

Bagi kedua ruas dengan PQ maka Bagi kedua ruas dengan PQ maka

L

(8)

(9)

3 6 25 2 25 24 3 100 300 24 60000 90000 300        PQ Ada 2 kemungkinan Jika 3 6 25 2 25   PQ ) ( 3 3 25 3 3 25 25 25 2 25 TM PQ PR        Jika 3 6 25 2 25   PQ 3 3 25 3 3 25 25 25 3 6 25 2 25 2 25





















_





PR Sehingga 3 12 25 4 25 2 1 3 6 25 2 25      TU PQ TU PQ

SOAL KOMBINATORIKA OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN

Tujuh buah model HP yaitu Samsung, Xiaomi, OPPO, Vivo, Nokia, iPhone dan Asus akan dipajang berurutan di suatu Toko. Agus akan memajang 5 model HP dengan syarat HP Samsung pada urutan ke-2 dan HP Samsung dipajang sebelum atau sesudah iPhone. Berapa cara yang dapat dilakukan Agus untuk memajang HP tersebut?

(10)

(11)

Pembahasan:

 Kondisi pertama yaitu HP iPhone dipajang sebelum HP iPhone, sehingga: iPhone Samsung

Masih tersisa 3 tempat, perlu memilih 3 HP dari banyaknya bingkai yang tersisa. Sehingga 60 ! 2 ! 5 5 3   P

 Kondisi kedua yaitu bingkai yang paling besar dipajang sesudah bingkai yang paling kecil, sehingga:

Samsung iPhone

Masih tersisa 3 tempat, perlu memilih 3 HP dari banyaknya HP yang tersisa. Sehingga 60 ! 2 ! 5 5 3   P

 Jadi banyaknya cara yang dapat dilakukan Mawar untuk memajang 4 bingkai tersebut yaitu 60 + 60 = 120 cara

SOAL ALJABAR OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN Diketahui 125 80 10

y

x _dan 4_log3_lo 2_log ₀



z

g . Nilai x y3 z adalah…

Penyelesaian : 125 log 125 log 1 1 125 log 10 log 1 10 log 1 10 125 125       x x x x x

(12)

(13)





4 125 log 10 log 125 log 0 10 log 125 log 1 log 10 125 1 log 80 log 1 1 80 log 10 log 1 10 log 1 10 80 4 4 4 80                    y y y y y y y y 8 2 3 log 1 log lo 0 log lo log 3 2 2 3 2 3 4       z z z z g z g Jadi x y3z 28

SOAL BILANGAN OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN

Bilangan yang pasti selalu membagi habis 6n – 1 kecuali 1adalah... (n anggota bilangan asli dan n tidak sama dengan tak hingga)

Pembahasan:

n angggota bilangan asli sehingga 61 = 6 62= 36 63 = 216 64= 1296 . . . Dan seterusnya

Dari data di atas dapat disimpulkan bahwa, 6 jika dipangkatkan berapapun akan menghasilkan angka dengan satuan 6 sehingga 6n – 1 akan habis dibagi 5 terkecuali jika n tak hingga

(14)

(15)

SOAL STATISTIKA OLEH I KETUT AGUS PURNAMAN

Rata-rata nilai ujian matematika kelas A adalah 20 lebihnya dari rata-rata kelas B. Jumlah siswa kelas A adalah 10 kurangnya dari kelas B. Jika kedua kelas digabung maka jumlah siswanya adalah 100 dan diperoleh rata-rata nilai sebesar 75. Berapakah rata-rata nilai pada kelas A?

Penyelesaian : 75 100 10 20        AB B A B A B A x n n n n x x 45 55 110 2 100 10 100         A B B B B B A n n n n n n n 7500 55 900 45 7500 55 . 45 ). 20 ( 7500 55 . 45 . 75 100 55 . 45 . . .              B B B B B A B A AB B A B B A A x x x x x x x x x n n n x n x 86 66 20 20 66 6600 100        A A B A B B x x x x x x

(16)

(17)

Soal oleh : Qurrotul ‘Aini (1413011080)

BILANGAN

Soal Asli (Soal Tes SNM-PTN 2012) : Jika AB =

[2 0

0 2]

dan det A = 2, maka det (B



−

) adalah Soal Modifikasi:

1. Jika terdapat matriks A=

[2 1

 2]

dan B=

[3 2

 1]

, sedangkan





&





adalah akar-akar dari det (AB)= det (A). Berapakah bilangan dari









? Pembahasan:

 Det AB= det

[2 1

 2]×det[3 2

 1]

=

432

=

12832



=

2



1112

 Det A =

4

 Det AB = det A

↔ 2



1112=4

2



11124=0

2



108=0

224=0





=1 ⌒ 



=4

 Sudah diketahui nilai





dan





, sekarang tingga menghitung nilai

dari









=











2







=14



2∙1∙4

=258=17

(18)

(19)

GEOMETRI

Soal Asli (Soal Tes Kemampuan IPA SNM-PTN 2011):

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 2a. Jika titik P berada pada perpanjangan garis HG sehingga HG=GP, maka jarak titik G ke garis AP

adalah...

Soal Modifikasi:

2. Perhatikan gambar dibawah ini. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 2a. Jika titik P berada pada perpanjangan garis HG

sehingga HG=GP, dan GQ adalah garis tinggi dari s egitiga APG berapakah luas dari segitiga AQG ?

Pembahasan:

 Cari panjang garis AT menggunakan teorema pytagoras

AT =

 4



2



=√ 16



4



=√20



=2√ 5

 Cari panjang garis AP menggunakan teorema pytagoras

(20)

(21)

 Cari panjang garis AG menggunakan teorema pytagoras

AC =

 2



2



=√ 4



4



=√8



=2√ 2

AG =

 2√ 2



2



=√ 8



4



=√12



=2√ 3

 Selanjutnya mencari panjang QP dan GQ

Perhatikan segitiga APG, berlaku rumus trigonometri:





= 







2∙∙∙cos

2√ 3



=2√ 6



2



2∙2√ 6∙2∙cos

12



=24



4



8



√ 6∙cos

8



√ 6 cos=28



12



cos= 16

_8

_

_{√ 6= 2√ 6=}



Dari nilai

cos

kita bisa mencari panjang QP dengan perbandingan

= ↔ 2√ 6=2 ↔ =4√ 6

↔

=4

_√

_6×

√

_√

6 _6=4

√

66=23



₆

= 







= 2



(23√ 6)



= 4



6∙49



= 36



₉

24



_= 129



_=23√ 3

 Karena QP sudah diketahui, maka panjang AQ = AP



QP

=2√ 623√ 6=43√ 6

(22)

(23)

Luas =12××=12×43√ 6×23√ 3

=4



_{9 =12}

√ 18

_{9 =4}



√ 2

_{3 √ 2}



STATISTIKA

Soal asli (Soal Olimpiade Sains Kabupaten SMA 2017)

Banyaknya bilangan asli k yang memenuhi

∣





untuk semua bilangan asli n adalah....

Soal modifikasi:

3. Berapakah rata-rata bilangan-bilangan asli k yang mungkin sehingga

∣







, untuk semua bilangan asli n>1? Pembahasan:

∣





, berarti k faktor dari







, yang mana n dan k bilangan asli. Pertama kita mencari bilangan asli yang memenuhi

∣





.

 Faktorkan bentuk











=



1

=11



1→

memuat perkalian 3 bilangan asli berurutan.









memuat perkalian 3 bilangan asli berurutan sehingga,







habis dibagi 6 untuk semua n bilangan asli karena pasti ada satu bilangan genap yang habis membaginya yaitu 2 dan

11

habis dibagi bilangan ganjil yaitu 1 dan 3.

 Kita buktikan dengan induksi matematika untuk







juga kelipatan 5.

a. Karena n>1, ambil n=2 maka f(n)=

2



2=30

. Hal tersebut membuktikan kalau







juga kelipatan 5.

b. Asumsikan f(k)=







kelipatan 5 adalah benar.

c. Buktikan bahwa f(k+1) =

1



1

adalah kelipatan 5. Bisa menggunakan segitiga pascal yaitu sebagai berikut:

(24)

(25)

5∙∙1



1



1

=



5



10



10



511

=



5



2



2





Terlihat dari hasil diatas bahwa







benar kelipatan 5 sesuai asumsi, dan

5



2



2





pastinya juga kelipatan 5 karena ada pengali 5 didepan





2



2





. Sehingga,







merupakan kelipatan 5.

 Jadi, karena 6 dan 5 faktor dari







, maka bilangan yang memenuhi

adalah faktor dari

6×5=30

yaitu 1, 2, 3, 5, 6, 15, dan 30. Sehingga, rata-rata dari bilangan-bilangan tersebut ialah

++++++



=8.857.

ALJABAR Soal Sendiri:

4. Bu Amanda ingin merayakan ulang tahun anaknya, sehingga dia memerlukan beras hitam dan beras merah untuk membuat bahan makanan. Ia mengingikan beras hitam lebih banyak dari pada beras merah, sedangkan harga per kilo beras hitam adalah Rp 37.000 dan harga per kilo beras merah adalah Rp 15.000. Jika bu Amanda membawa uang sebesar Rp 1.000.000, berapa kilo beras yang di beli Bu Amanda?

Pembahasan:

 Misalkan buah Apel = x

Misalkan buah Naga = y

 Syarat : x>y ,

≥0 dan ≥0

.  Persamaan:

37000 x+15000y

=1000000 ↔ 3715=1000

...(1) Cari faktor persekutuan dari (37,15) yaitu (37,15) = 1. Sehingga,

(26)

(27)

Dari persamaan (2) cari nilai





dan





agar

25



18



=1

. Sehingga didapat

37.215.5=1

...(3) kalikan dengan 1000, maka

37.200015.5000=1000

. Sehingga, di dapat nilai





=2000

dan





=5000

.

Karena sudah didapat nilai





dan





kita bisa membuat persamaan



dan



sebagai berikut:

=









=









=200015

...(4)

=500037

...(5)

 C

ari pendekatan nilai 

dengan syarat awal

≥0 ↔ 200015≥0

≥0 ↔ 500037≥0

↔ 15≥2000

↔ 37≥5000

↔ ≥



_

_≈133.3

_{↔ ≤}

−

_−

_≈135.135

={134,135,136,…}

={…,133,134,135}

> ↔ 200015 > 500037

↔ 1537> 50002000

↔ 52> 7000

↔ > 700052≈134.615

={135,136,…}

 Dengan garis bilangan maka himpunan penyelesaiannya ialah

=135

.

 Nilai



substitusi kepersamaan (4) dan (5) didapat

= 25

dan

= 5

.  Subtitusi kepersamaan (1) untuk membuktikan:

37000∙2515000∙5=1.000.000

.

Jadi, beras yang dibeli bu Amanda adalah 25 kg beras hitam dan 5 kg beras merah.

(28)

(29)

KOMBINATORIKA Soal sendiri:

5. Pak Fahrin akan membeli beberapa peralatan dapur direstoran yaitu 2 penggorengan, 22 piring dan 13 lap dapur. Setelah dilihat, pada toko peralatan ternyata terdapat 10 penggorengan, 24 piring, dan 15 lap dapur.

Berapakah cara pak Fahrin membeli barang-barang tersebut? Pembahasan:

 Pak Fahrin dapat memilih 2 penggorengan dari 10 penggorengan





= 10!

_{2!102!=10∙9∙8!}

_{2∙1∙8! =45 cara}

 Pak Fahrin dapat memilih 22 piring dari 24 piring





= 24!

_{22!2422!=24∙23∙22!}

_{2∙1∙22! =276 cara}

 Pak Fahrin dapat memilih 10 lap dapur dari 15 lap dapur





= 11!

10!1110!=11∙10!

1∙10! =11 cara

 Sehingga, cara yang bisa dilakukan pak Fahrin untuk membeli alat

dapur ialah

(30)

(31)

SOAL BILANGAN OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI

1. Dua buah himpunan yaitu A dan B masing-masing beranggotakan bilangan asli yang berurutan. Jumlah rata-rata aritmatika unsur-unsur A dan rata-rata aritmatika unsur-unsur B adalah 6102. Jika A B



2017



,maka median

terbesar dari B adalah .... Pembahasan

Karena A dan B masing-masing beranggotakan biangan asli berurutan sedangkan A B



2017



,maka 2017 adalah anggota unsur terbesar dari A dan

anggota terkecil dari B



, 1, 2,...,2017



 x x x

A _dan _B



₂₀₁₇_,₂₀₁₈_,...,_y₁_,_y





 



8170 12204 4034 6102 2 2017 2 2017 2 2 2 1 2 1 6102 6102 2016 ... 2018 2017 2018 2017 .... 2 1



























y x y x y x U a U a n U a n n U a n n S n S y y x x x x n n n n n n

Karena yang dicari adalah median terbesar dari B, maka haruslah x merupakan bilangan asli terkecil dan y bilangan asli terbesar. Diperoleh x bilangan asli terkecil yang mungkin adalah 1 dan y bilangan asli terbesar yang mungkin adalah 8169. Karena banyak anggota B = 8169 – 2016 =6153 (ganjil), maka letak median dari B adalah pada data ke 3077

2 1 6153 2 1     n . Jika data pertama adalah 2017, maka data ke 3077 adalah 3077 + 2016 = 5093

(32)

(33)

SOAL ALJABAR OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI 2. Diketahui A =

_











d c b a

adalah sebuah matriks berukuran 2x2. Jika A2-7 A+6 I =0 dan b+c=5 dengan b < c, maka invers dari A adalah….

Pembahasan A2-7 A+6 I =0 0 1 0 0 1 6 7

_





















































d c b a d c b a d c b a











































1 0 0 1 6 7 2 2 d c b a d cb dc ac bd ab bc a

















































1 0 0 1 6 7 ) ( ) ( 2 2 d c b a d ad ad cb d a c d a b bc ad ad a

























































1 0 0 1 6 7 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( d c b a bc ad bc ad d a d d a c d a b d a a

Sehingga diperoleh ad -bc=6 atau determinan matriks A adalah 1 dan 7

) (ad 

Diketahui b+c=5 dan b < c maka kita dapat menentukan nilai a, b, c, d sedemikian sehingga (ad ) 7, b+c=5 dan ad -bc=6 diperoleh















5 4 1 2 A

















 2 4 1 5 6 1 1 A

















 6 2 6 4 6 1 6 5 1 A

(34)

(35)

SOAL KOMBINATORIKA OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI

3. Krisna ingin membuat akun pada sebuah media sosial. Dalam proses pendaftaran, Krisna diberikan kode konfirmasi yang terdiri dari 3 digit angka dan 2 huruf setelah ketiga digit angka, dimana angka pertama selalu 8 dan huruf pertama selalu K yang boleh berulang. Berapakah peluang Krisna memperoleh

tidak lebih dari 2 angka berbeda? Pembahasan

Jika terdapat 3 angka berbeda, maka konstruksinya adalah Ky

x x1 2

8

Banyaknya kemungkinan adalah ₉_C₂.2!.26_1872

Maka banyak kemungkinan tidak lebih dari dua angka berbeda adalah 102.26 – 1872 = 2600 – 1872 = 728

Jadi, peluang Krisna memperoleh tidak lebih dari 2 angka berbeda adalah : 325

91 2600

728



SOAL GEOMETRI OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI

4. Yoga merangkai bangun seperti pada gambar di bawah dengan menggunakan sebuah segitiga siku-siku dan lima buah lingkaran yang panjang jari-jarinya sama. Jika segitiga tersebut memiliki alas 80 cm dan tinggi 60 cm, maka jumlah luas kelima lingkaran yang digunakan Yoga untuk merangkai bangun tersebut adalah ... cm2

(36)

(37)

Panjang AE = 4  diameter lingkaran = 4  2r = 8r Panjang AB = 80 cm Panjang EB = 80 - 8r Misalkan : DE = x

Perhatikan segitiga BED dan ABC, kedua segitiga ini sebangun maka,

r x r x BA BE CA DE 8 80 60 80 80 8 80 60     

Panjang DB = DE 2  EB2

= x2 _(80_8r )2

Perhatikan segitiga BED dengan 1 lingkaran di dalamnya r =



1 2 3



2 1 s s s BED L s BED L      =



2 2



) 8 80 ( 8 80 2 1 ) 8 80 ( 2 1 r x x r r x      









































2 2 60 80 60 80 2 1 60 80 2 1 x x x x x x

(38)

(39)

2 2 2 60 ) 80 ( ) 60 ( 60 80 60 80 x x x x x x

















   

2 2 2 2 80 60 60 1 60 60 60 80 60 80 ) 80 ( ) 60 ( 60 1 60 80 60 80 x x x x x x x x x x x x

































x x x x x 240 80 100 140 80 2 2    3 x r  x = 3r Karena, 80 - 8r = 60 80 x Maka, 80 – 8r = 60 3 80_ _r 80 – 8r = 4r 80 = 12r r = 3 20 12 80  Luas 5 lingkaran = 5   r 2 = 5   ( 3 20 )2 = (2000 ) 9 1 

SOAL STATISTIKA OLEH DEWA AYU ARI PRABAWATI

5. Diberikan 8 buah data yang berupa bilangan bulat. Setelah diurutkan dari data terkecil hingga terbesar akan terbentuk urutan a, b, c, d , e, f , g , h. Jika diketahui dari data tersebut memiliki median 6,5; kuartil bawah 6; modus 6 dan 10; serta

(40)

(41)

a, e, h membentuk barisan aritmatika, maka rata-rata dari data tersebut adalah …. Pembahasan  Letak Median

   

8 1 4,5 2 1 1 2 1    

n yaitu antara d dan e

Karena nilai mediannya adalah 6,5 maka

5 , 6 2  e d dimana d _e 13  e d

 Letak kuartil bawah

25 , 2 ) 1 8 ( 4 1 ) 1 ( 4 1    

n yaitu antara b dan c.

Karena kuartil bawahnya adalah 6 dan salah satu modusnya adalah 6 sehingga nilai b, c, dan d adalah 6. (a tidak mungkin 6 karena a, e, h membentuk barisan aritmatika)

 Karena d = 6 maka e = 7, dan karena modusnya adalah 6 dan 10 maka

f , g , h semuanya 10, sehingga didapat a, 6, 6, 6, 7, 10, 10, 10.

 Karena a, e, h membentuk barisan aritmatika, maka barisannya adalah

a, 7, 10, sehingga a yang memenuhi adalah 4 dengan beda 3, jadi diperoleh datanya adalah 4, 6, 6, 6, 7, 10, 10, 10.

Rata-rata data tersebut adalah 7,375 8 10 10 10 7 6 6 6 4         = 7, 38

(42)

(43)

 SOAL BILANGAN OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI (Soal dari buku Top Sukses Olimpiade Matematika SMA)

Buktikan bahwa n(n2 2)habis dibagi 3, untuk setiap bilangan bulat positif n. Soal Modifikasi:

1. Buktikan n n

144

225 _ _{habis dibagi} 34_{untuk setiap bilangan asli n.}

Penyelesaian:

 Langkah 1. Basis Induksi Untuk n=1 4 1 . 2 1 . 2 2 2 3 81 12 15 12 15 144 225        n n n n

Jadi, benar bahwa n n

144

225

_

_{habis dibagi}34_.

 Langkah 2. Induksi

Asumsikan p(k ) benar untuk suatu bilangan asli n yaitu 225k

_

144k

habis dibagi 34_{dan akan ditunjukkan bahwa p(k+1 ) benar, yaitu}

) 3 ( 12 ) 12 15 ( 15 ) 12 15 ( 12 ) 12 15 ( 15 12 . 12 12 . 15 12 . 15 15 . 15 12 . 12 15 . 15 12 15 144 225 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k                     Menurut asumsi, n n 144

225

_

_{habis dibagi oleh}34_{. Jadi,}

) 12 15

(

152 2k  2k habis terbagi oleh 34 dan 122k (34) jelas habis terbagi

oleh 34_.

Dari langkah 1 dan 2, dapat disimpulkan bahwa untuk setiap bilangan asli n, 225n _144n_{selalu habis dibagi oleh n.}

 SOAL GEOMETRI OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI

2. Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang yang panjangnya tiga kali lebarnya. Jika luas permukaan akuarium tersebut

32.000 cm2. Tentukanlah berapa volume maksimum akuarium tersebut? Penyelesaian:

Diketahui: p= 3l

(44)

(45)





l l t l l t lt l lt lt l lt t l l l 4 3 4000 4 3 000 . 16 4 3 000 . 16 3 3 000 . 16 . 3 . 3 2 000 . 32 2 2 2             Volume balok =

××

3 2 4 9 000 . 12 4 3 400 3 4 3 400 3 l l l l l l l l l









































Turunkan V terhadap l 2 1 3 1 1 4 27 000 . 12 ) 4 9 ( 3 000 . 12 ) ( ) ( ' l l l l d V d V       

Volume akan maksimum jika V’=0

10 3 20 9 000 . 16 000 . 12 4 27 0 4 27 000 . 12 2 2 2      l l l l Volume 3 3 36 , 900 . 231 85 , 081 . 21 21 , 982 . 252 4 3 10 20 9 3 10 20 000 . 12 cm



































3. Dewi mempunyai sebuah trapesium sama kaki ABCD dimana tinggi trapesium adalah 8. Titik P dan Q berada pada AB sedemikian sehingga DP

(46)

(47)

lubang berbentuk lingkaran yang terletak pada

∆

APD dan

∆

CQB. Jika AP

: PQ=3:4, dan panjang AQ= 14. Tentukanlah luas trapesium Dewi setelah dilubangi adalah…

Penyelesaian:

 Diketahui AQ= 14 dimana AP : PQ= 3:4 , maka AP PQ PQ AP 3 4 4 3  

Akan dicari panjang AP dimana AP = QB,

AQ = AP + PQ 14 = AP + AP 3 4 42 = 7 AP AP _{= 6}

Karena AP ₌_QB _{= 6, maka} _PQ₌ _AP 3 4 = .6 8 3 4 

 Pada

∆

APD diketahui AP = 6 dan PD8 maka akan dicari panjang

AD 10 100 64 36 8 62 2 2 2 2















AD PD AP AD

(48)

(49)

 Terdapat lubang berbentuk lingkaran didalam segitiga, untuk mencari luas lingkaran tersebut, terlebih dahulu cari jari-jari lingkaran menggunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga.

2 24 48 ) 10 8 6 ( 2 1 8 . 6 . 2 1 ) ( 2 1 . . 2 1 .           AD PD AP PD AP s APD L r

 Luas trapesium setelah dilubangi

 

   8 112 2 2 8 ). 8 20 ( 2 1 2 ). .( 2 1 . 2 . 2 2           r PD CD AB Lingkaran L Trapesium L Luas

Jadi, luas trapesium yang dimiliki Dewi setelah dilubangi adalah 112

_

8 .  SOAL STATISTIKA OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI

4. 15 siswa kelas IV telah mengikuti ulangan matematika dan memperoleh nilai yaitu 80,85,79,83 , 2 x ,88,87,78,89,81 , 3 2 x 86,78,84,79. Rata-rata nilai siswa kelas IV yaitu 78,6. Setelah ditambah siswa a dan siswa b nilai rata-rata menjadi 75,6 dan nilai siswa a dua kali dari nilai siswa b. Tentukanlah simpangan bakunya !

Penyelesaian:

 Mencari nilai x5 dan x₁₁

f x x x x x x x x x x x x x x x X  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 12  13  14  15

(50)

(51)

4 , 87 612 7 6 7 102 6 7 1077 1179 15 79 84 78 86 3 2 81 89 78 87 88 2 83 79 85 80 6 , 78                     x x x x x x Nilai dari x5= 2 x = 43,7 2 4 , 87  Nilai dari x₁₁= 3 2 x = 58,3 3 4 , 87 2  

 karena ditambah 2 siswa a dan b kemudian rata-rata nilai berubah menjadi 75,6. Akan dicari nilai dari siswa a dan b

15  n n'17 6 , 78  X X '75,6 a b x x ₂ Maka, x x

 

n

 

X

 

n

 

X b a   ' ' 

     

17 75,6 15 78,6 2    a a x x 1179 2 , 1285 3 x_a   2 . 106 3 x_a  4 , 35  a x Karena x_b  2x_a Maka, xb 2xa



35,4



2  b x 8 , 70  b x

 Mencari Simpangan Baku

i x



x X



i





2 X x_i

_

80 4.4 19.36

(52)

(53)

79 3.4 11.56 83 7.4 54.76 43.7 -31.9 1017.61 88 12.4 153.76 87 11.4 129.96 78 2.4 5.76 89 13.4 179.56 81 5.4 29.16 58.3 -17.3 299.29 86 10.4 108.16 78 2.4 5.76 84 8.4 70.56 79 154.6 23901.16 35.4 -40.2 1616.04 70.8 -4.8 23.04



x=1285.2 27713.86 6 , 41 12 , 1732 1 17 86 , 27713 2 2     s s s

Jadi, nilai dari simpangan baku adalah 41,6

5. Rata-rata nilai ujian siswa kelas XII adalah 88 dengan jangkauan nilai siswa adalah 40. Jika setiap nilai ujian siswa dikalikan 2 p kemudian dikurangi 2q sehingga diperoleh rata-rata nilai ujian siswa yang baru adalah 90 dan jangkauan nilai siswa adalah 60. Tentukanlah hasil dari 50 p-q.

Penyelesaian: Diketahui : 60 90 40 88 2 2 1 1     J x J x ) 1 ( 2 176 90 2 ) 88 ( 2 90 1 2 q p q p x x     

(54)

(55)

) 2 ( 4 3 80 60 ) 2 ( 40 60 1 2     p p p J J Substitusi persamaan (2) ke (1) 176 p - 2q = 90 176( 4 3 ) – 2q = 90 2q = 42 q = 21 Hasil dari 50 p – q = 50. 4 3 - 21 = 16,5. Jadi, hasil dari 50 p – q adalah 16,5.

 SOAL ALJABAR OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI 6. Jika

 

5 1 lim

_















_a f x _g_x x dan

 

3 1 lim

_

















_a f x _g_x x . Tentukanlah nilai dari



 



 



























 2 2 1 lim x g x f a x Penyelesaian:  Persamaan 1

 

5 1 lim

_















a f x _g_x

x (kuadratkan kedua ruas)

 

25 ) ( 1 ) ( 2 lim ) ( 1 lim ) ( lim 5 1 lim 2 2 2 2

































    x g x f x g x f x g x f a x a x a x a x  Persamaan 2

 

3 1 lim

_

















a f x _g_x

(56)

(57)

 

9 ) ( 1 ) ( 2 lim ) ( 1 lim ) ( lim ) 3 ( 1 lim 2 2 2 2





































    x g x f x g x f x g x f a x a x a x a x

 Jumlahkan persamaan 1 dan 2

17 ) ( 1 ) ( lim 17 ) ( 1 lim ) ( lim 34 ) ( 1 lim ) ( lim 2 9 ) ( 1 ) ( 2 lim ) ( 1 lim ) ( lim 25 ) ( 1 ) ( 2 lim ) ( 1 lim ) ( lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2







































































            x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x

7. Seorang petani memiliki lahan seluas 5 hektar yang akan ditanami wortel dan kubis oleh beberapa orang tenaga kerja. Dalam sekali panen, jumlah pupuk yang tersedia tidak lebih dari 200kg dan tenaga kerja yang tersedia adalah 600 jam/orang. Untuk menghasilkan 1 kuintal wortel diperlukan tenaga kerja 15jam/orang dan 8kg pupuk sedangkan untuk 1 kuintal kubis diperlukan 10jam/orang dan 5kg pupuk. Setiap hektar tanah menghasilkan 20 kuintal wortel atau 10 kuintal kubis. Keuntungan yang diperoleh dari 1 kuintal wortel Rp 3.000.000,00 dan 1 kuintal kubis adalah Rp 1.500.000,00. Berapakah keuntungan maksimum yang bisa diperoleh oleh petani tersebut? Penyelesaian:

Akan dicari berapa bagian yang diperlukan untuk menanam setiap 1 kuintal wortel dan kubis

 1 hektar memungkinkan 20 kuintal wortel

Jadi, 1 kuintalnya diperlukan 0,05 hektar untuk ditanami wortel

 1 hektar memungkinkan 10 kuintal kubis

(58)

(59)

Wortel (perkuintal) Kubis ( perkuintal ) Keterangan Satuan Tanah 0,05 0,1 5 Hektar Tenaga kerja 15 10 600 jam/orang Pupuk 8 5 200 Kg Pendapatan 3.000.000 1.500.000 Misalkan: x = banyak kuintal wortel

y= banyak kuintal kubis

Fungsi Tujuan: memaksimumkan f ( x,y) = 3.000.000 x + 1.500.000 y Fungsi Kendala:

0.05 x + 0,1 y

≤

5

15 x +10 y

≤

600

↔

0,15 x + 0,1 y

≤

6 8 x + 5 y

≤

200

↔

0,08 x +0,05 y

≤

2 x

≥

0, y

≥

0

Akan dicari titik perpotongan

0.05 x + 0,1 y

=

5 0,15 x + 0,1 y

=

6 0,08 x +0,05 y

=

2 Sketsa X Y 0 50 100 0 x y 0 60 40 0 X y 0 40 25 0

(60)

(61)

10 1 1 , 0 6 1 , 0 15 , 0 5 1 , 0 05 , 0          x x y x y x 45 5 , 4 1 , 0 5 1 , 0 ) 10 ( 05 , 0 5 1 , 0 05 , 0       y y y y x

Titik Pojok f( x,y) = 3.000.000 x + 1.500.000 y A(0,60) Rp 90.000.000,00

B(10,45) RP 97.500.00,00 C(200,0) Rp 600.000.000.000

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp 600.000.000,00

 SOAL KOMBINATORIK OLEH NI LUH MADE SARI DEWI ANTARI 8. Tentukanlah berapa kali munculnya angka no pada bilangan asli pertama

2017?

Penyelesaian:

 Untuk 1 sampai dengan 1000

(62)

(63)

 101 sampai 200 ada 20 kali  201 sampai 300 ada 20 kali

dst

 901 sampai 1000 ada 21 kali

Banyaknya angka nol yang muncul dari 1 sampai 1000 adalah 11 + (20

×8

) + 21 = 192 kali

 Untuk 1001 sampai 2000

 1001 sampai 1100 ada 119 kali  1101 sampai 1200 ada 20 kali  1201 sampai 1300 ada 20 kali

dst

 1901 sampai 2000 ada 21 kali

Banyaknya angka nol yang muncul dari 1001 sampai dengan 2000 adalah 119 + (20

×

8) + 21 = 300

 Untuk 2001 sampai dengan 2017 ada 27 kali angka nol yang muncul. Jadi, banyak angka nol yang muncul pada bilangan asli pertama 2017 sebanyak 192+300+27= 519 kali.

(64)

(65)

SOAL STATISTIK OLEH I KOMANG INDRA PUTRA JAYANTARA Statistik

1. Banyak siswa kelas A adalah 30 dan kelas B adala h 20 siswa, nilai rata-rata ujian matematika kelas B lebih besar 10 dari kelas A. jika rata-rata-rata-rata ujian matematika gabungan adalah 66, maka rata-rata nilai ujian kelas B adalah? Jawab : Diketahui : 66 10 50 20 30       gab gab x B x A x n nB nA

Gunakan rumus rata-rata gabungan

72 50 3600 50 3600 20 300 30 3300 . 20 ) 10 ( 30 66 . 50 . . .            B x B x B x B x B x B x B x B x nB A x nA x n_gab gab Kombinatorika

2. Banyak bilangan ratusan dengan angka pertama dan terakhir mempunyai selisih 3 adalah?

Jawab :

 Jika angka pertama 1 maka 110110

(66)

(67)

Jadi banyaknya bilangan ratusan dengan angka pertaman dan terakhir mempunyai selisih 2 adalah 10_10_20_20_20_20_10_10_10_130_bilangan.

Bilangan

3. Misalkan U n menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui

64

6 

U _dan _log _log _log ₉_log₂

4 3

2  U  U 

U _{, maka nilai} U ₃_adalah?

Jawab : Ingat!!!  Dalam Logaritma n a a a a a a b b n d c b d c b log log . ) . . log( log log log    

 Suku ke-n barisan geometri

1    n n a r U

Diketahui barisan geometri

64 6  U 8 2 ) 2 ( ) ( 2 2 2 2 log ) log( 2 log 9 log log log 3 3 2 3 3 3 2 9 6 3 9 3 2 9 4 3 2 9 4 3 2 4 3 2                     U r a r a r a ar ar r a U U U U U U U U U

(68)

(69)

Aljabar

4. Komang mempunyai sebuah toko sepatu, ia ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki dan sepatu perempuan. Toko tersebut hanya mampu menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000 dan keuntungan tiap pasang sepatu perempuan adalah Rp. 5000. Ari ingin mengisi tokonya dengan paling sedikit 100 pasang sepatu laki-laki dan paling banyak 150, dan untuk sepatu wanita ia ingin mengisi dengan paling sedikit 150 pasang sepatu wanita. Tentukan luas daerah dari himpunan penyelesaian program linier tersebut!

Pemabahasan

Missal : x adalah banyak pasang sepatu laki-laki y adalah banyak pasang sepatu wanita Fungsi objektif y x y x F ( , ) 10000 5000 Fungsi kendala 400   y x 150 100_x_

Karena laki-laki paling banyak 150 maka perempuan paling banyak 250

250 150_ _y _ 0 , 0   y x

(70)

(71)

Pada gambar Panjang a=1 dan panjang 0.5 jadi luas persegi Panjang tersebut adalah 0.5

(72)