Tabel Distribusi Frekuensi
Tabel distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar.
Dari distribusi frekuensi, dapat diperoleh keterangan atau gambaran sederhana dan sistematis dari data yang diperoleh.
1. Kelas-kelas (class)
2. Batas kelas (class limits)
3. Tepi kelas (class boundary/ real limits/ true class limits) 4. Titik tengah kelas atau tanda kelas (class mid point, class
marks)
5. Interval kelas (class interval)
6. Panjang interval kelas atau luas kelas (interval size) 7. Frekuensi kelas (class frecuency)
Komponen Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6
Penyusunan Distribusi Frekuensi
1. Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang
terbesar.
2. Menentukan jangkauan (range) dari data.
3. Menentukan banyak kelas (k).
4. Menentukan panjang interval kelas.
5. Menentukan batas bawah kelas pertama
6. Menuliskan frekuensi kelas sesuai banyaknya data.
CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI
1. Urutkan data
2. Tentukan Range atau jangkauan data (r)
r = Nilai max – Nilai min
3. Tentukan banyak kelas (k)
Rumus Sturgess (Metode Sturges): k = 1 + 3,3 log n
4. Tentukan panjang interval kelas (c)
c = r/k
5. Tentukan limit bawah kelas pertama dan kemudian batas
bawah kelasnya
6. Tambah batas bawah kelas pertama dengan lebar kelas
untuk memperoleh batas atas kelas pertama dan tentukan
limit atasnya
7. Tentukan limit bawah dan limit atas kelas-kelas selanjutnya
8. Tentukan nilai tengah masing-masing kelas
CONTOH
Data hasil ujian akhir Mata Kuliah Statistika
dari 60 orang mahasiswa
23 60 79 32 57 74 52 70 82 36 80 77 81 95 41 65 92 85 55 76 52 10 64 75 78 25 80 98 81 67 41 71 83 54 64 72 88 62 74 43 60 78 89 76 84 48 84 90 15 79 34 67 17 82 69 74 63 80 85 61
Solusi
10 43 62 72 79 84 15 48 63 74 79 84 17 52 64 74 80 85 23 52 64 74 80 85 25 54 65 75 80 88 32 55 67 76 81 89 34 57 67 76 81 90 36 60 69 77 82 92 41 60 70 78 82 95 41 61 71 78 83 98 1. Urutkan data 2. Hitung jangkauanData terkecil = 10 dan data terbesar = 98 r = 98 – 10 = 88
Jadi jangkauannya adalah sebesar 88 3. Hitung banyaknya kelas
Banyak kelas (k) = 1 + 3,3 log 60 = 6,8
4. Hitung panjang interval
Panjang interval (c) = 88 / 7 = 12,5 mendekati 13
5. Limit bawah kelas pertama adalah 10, dibuat beberapa alternatif limit bawah kelas yaitu 10, 9, dan 8. Maka batas bawah kelas-nya adalah 9,5 ; 8,5 ; dan 7,5
6. Batas atas kelas pertama adalah batas bawah kelas ditambah lebar kelas, yaitu sebesar
- 9,5 + 13 = 22,5 - 8,5 + 13 = 21,5 - 7,5 + 13 = 20,5
sehingga limit atas kelas pertama adalah sebesar: - 22,5 - 0,5 = 22
- 21,5 - 0,5 = 21 - 20,5 – 0,5 = 20
7. Limit atas dan bawah kelas selanjutnya
8. Nilai tengah kelas adalah =
9. Frekuensi kelas pertama adalah 3
Alternatif 1 Alternatif 2 Alternatif 3 8-20 21-33 34-46 47-59 60-72 73-85 86-98 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 10-22 23-35 36-48 49-61 62-74 75-87 88-100
Misal dipilih Alternatif 2
2 kelas atas batas kelas bawah batas
15
2
21,5
8,5
Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika Interval Kelas Batas Kelas Nilai Tengah Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 8,5-21,5 21,5-34,5 34,5-47,5 47,5-60,5 60,5-73,5 73,5-86,5 86,5-99,5 15 28 41 54 67 80 93 3 4 4 8 12 23 6 Jumlah 60
STATISTIKA
1. Statistika deskriptif
Merupakan cabang ilmu statistik yang berkaitan
dengan penerapan metode‐metode statistik untuk
mengumpulkan, mengolah, menyajikan, dan
menganalisis data secara deskriptif sehingga
memberikan informasi yang berguna.
2. Statistika inferensi
Merupakan cabang ilmu statistik yang berkaitan
dengan penerapan metode‐metode statistik untuk
menaksir dan/atau menguji karakteristik populasi
yang dihipotesiskan berdasarkan data sampel.
Sebuah ilustrasi…
Berikut adalah nilai ujian Mata Kuliah Statistika 30
mahasiswa di suatu kelas:
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 Berapa rata-rata nilai ujian? Berapa orang yang perlu mengikuti perbaikan? Bagaimana penyebaran kemampuan mahasiswa? Apakah nilai kelas ini lebih
baik jika dibandingkan tahun lalu? Apakah terdapat kenaikan rata-rata nilai dibandingkan ujian sebelumnya? STATISTIK DESKRIPTIF STATISTIK INFERENSI
A. UKURAN PEMUSATAN
Nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan
pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat
data.
Yang termasuk ukuran pemusatan :
1. Mean
2. Median
3. Modus
4. Rata-rata ukur
1. MEAN (rata-rata hitung)
Rumus umum :
1. Untuk data tidak berkelompok
2. Untuk data berkelompok (Tabel Distribusi)
Jumlah semua nilai data
Rata -rata hitung =
Banyaknya nilai data
1 2
...
1 n i n iX
X
X
X
X
n
n
1 1 1 2 2 n n 1 2 n 1
f X
f X
... f X
X
f
f
... f
n i i i n i if X
f
1. MEAN (rata-rata hitung)
1. Data tidak berkelompok
Contoh : Data nilai ujian statistika 30
mahasiswa
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 1 2...
1 n i n iX
X
X
X
X
n
n
80 55 ... 45
...
30
...
?
X
2040
68
30
X
1. MEAN (rata-rata hitung)
2. Data dalam Tabel Distribusi
Frekuensi
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σfi = 60 1 1 3955 X 65,92 60 n i i i n i i f X f
Nilai
Tengah (X)
15 28 41 54 67 80 93f
iX
i 45 112 164 432 804 1840 558 ΣfiXi = 39551. MEAN (rata-rata hitung)
3. Dengan Metode Kode (U)
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σfi = 60 1 0 1 f U X X c f?
n i i i n i i
Nilai
Tengah (X)
15 28 41 54 67 80 93f
iU
i -9 -8 -4 0 12 46 18 ΣfiUi = 55U
i -3 -2 -1 0 1 2 3 55 X 54 13 65,92 60 c = panjang interval2. MEDIAN (nilai tengah)
1. Untuk data tidak berkelompok
–
Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar
–
Cari nilai tengah data :
Contoh:
1
Median data ke-
2
n
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 35 40 40 45 45 45 50 50 50 55 55 60 65 65 70 75 75 75 75 80 80 80 85 85 85 90 90 95 100 100 1 30 1 Data ke- 15.5 2 2 n 70 75 72.5 2 Med 2. MEDIAN (nilai tengah)
2. Untuk data dalam Tabel Distribusi
0
n
- F
2
Med
L
c
f
Keterangan notasi:Lo = Batas bawah kelas median
F = Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung median f = Frekuensi kelas median
c = Panjang interval n = Jumlah data
2. MEDIAN (nilai tengah)
Contoh :
Letak median ada pada
data ke 30, yaitu pada
interval 61-73, sehingga :
L
0= 60,5
c = 13
F = 19
f = 12
n = 60
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60 72,42 12 19 -2 60 13 60,5 M ed 0 n - F 2 Med L c f 3. MODUS (nilai terbanyak)
1. Untuk data tidak berkelompok
–
Cari nilai dengan frekuensi terbanyak
Contoh:
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 Nilai 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Frek 1 2 3 3 2 1 2 1 4 3 3 2 1 2 Modus = 753. MODUS (nilai terbanyak)
2. Untuk data dalam Tabel Distribusi
1 0 1 2 0 1 2b
Mod
L
c
b
b
L
batas bawah kelas modus
c = panjang interval
b
selisih antara frekuensi kelas modus dengan
frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus
b
selisih a
ntara frekuensi kelas modus dengan
frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus
3. MODUS (nilai terbanyak)
Contoh :
Data yang paling sering
muncul adalah pada interval
74-86, sehingga :
L
0= 73,5
b
1= 23-12 = 11
b
2= 23-6 =17
c = 13
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60 11 17 78,61 11 13 73,5 Mod 1 0 1 2 b Mod L c b b HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA
NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :
1)
Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri.
2)
Jika modus < median < mean, maka kurva miring ke kanan.
3)
Jika mean < median < modus, maka kurva miring ke kiri.
Curve B : Skewed Left Curve A :
4. UKURAN LETAK (FRAKTIL)
a. Kuartil
b. Desil
a. KUARTIL
Kuartil
Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau
mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.
Ada 3 jenis yaitu:
– kuartil pertama (Q
1) atau kuartil bawah (25%
data)
– kuartil kedua (Q
2) atau kuartil tengah (50% data)
– kuartil ketiga (Q
3) atau kuartil atas (75% data)
a. KUARTIL
• Untuk data tidak berkelompok
Contoh:
1,2,3
i
,
4
1
n
i
-ke
nilai
Q
i
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 35 40 40 45 45 45 50 50 50 55 55 60 65 65 70 75 75 75 75 80 80 80 85 85 85 90 90 95 100 100 1 2 3 1 31 Q nilai ke- (30 1) 7.75 8 4 4 2 62 Q nilai ke- (30 1) 15.5 4 4 3 93 Q nilai ke- (30 1) 23.25 23 4 4 1 2 3 Q 50 70 75 Q 72.5 2 Q 85 a. KUARTIL
• Untuk data dalam Tabel Distribusi
L
0= batas bawah kelas kuartil
F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Q
if = frekuensi kelas kuartil
Q
ii 0
i n
- F
4
Q
L
c
, i
1,2,3
f
a. KUARTIL
Q
1terletak pada data ke-15.5 (interval
48-60)
Q
2terletak pada data ke-30.5 (interval
61-73)
Q
3terletak pada data ke-45.5 (74-86)
Interval
Kelas
Nilai
Tengah
(X)
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60 54 8 11 -4 1.60 13 47,5 Q1 72,42 12 19 -4 2.60 13 60,5 Q2 81,41 23 31 -4 3.60 13 73,5 Q3 i 0 i n - F 4 Q L c , i 1,2,3 f b. DESIL
Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau
mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.
• Untuk data tidak berkelompok
• Untuk data berkelompok
L0 = batas bawah kelas desil Di
F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil Di
f = frekuensi kelas desil Di
9
1,2,3,...,
i
,
10
1
n
i
-ke
nilai
D
i
i 0 i n - F 10 D L c , i 1,2,3,...,9 f b. DESIL
Contoh :
D
3membagi data 30%
D
7membagi data 70%
Sehingga :
D
3berada pada 48-60
D
7berada pada 74-86
Interval
Kelas
Nilai
Tengah
(X)
Frekuensi
9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60 58,875 8 11 -10 3.60 13 47,5 D3 79,72
23
31
-10
7.60
13
73,5
D
7
c. PERSENTIL
Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau
mengecil) dibagi seratus bagian yang sama besar.
• Untuk data tidak berkelompok
• Untuk data berkelompok
L0 = batas bawah kelas persentil Pi
F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil Pi
f = frekuensi kelas persentil Pi
99
1,2,3,...,
i
,
100
1
n
i
-ke
nilai
P
i
i 0 i n - F 100 P L c , i 1,2,3,...,99 f Perhatikan daftar angka berikut ini:
I. 50,50,50,50,50
II. 30,40,50,60,70
III.20,30,50,70,80
50
X
Ketiga kelompok data mempunyai rata-rata
hitung yang sama, yaitu :
Bagaimana pendapatmu?
Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat
data.
Jenisnya :
1. Jangkauan (Range)
2. Variansi (Variance)
3. Standar Deviasi (Standart Deviation)
1. JANGKAUAN
• Menyatakan selisih antara nilai
maksimum dan nilai minimum dalam
data
Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.
2 2 1X - X
S
n-1
n i i
2 2 1 1f X - X
S
1
n i i i n i if
Data tidak berkelompok :
Data berkelompok :
2. VARIANSI
• Akar pangkat dua dari Variansi. • Disebut juga Simpangan Baku.
2 1X - X
n-1
n i iS
2 1 1f X - X
S=
1
n i i i n i if
Data tidak berkelompok :
Data berkelompok :
Menghitung variansi dan st.deviasi
80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45
2 2 1 2 2 2 2X - X
S
n-1
(80 68)
(55 68)
... (45 68)
S
30 1
n i i
210880
S
375,175
29
2S
375,175
S
S
19.37
S
68
X
Menghitung variansi dan st.deviasi
Interval Kelas f 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 6021,04
442,79
S
442,79
1
-60
76
,
26124
S
2
65.92
X
2 2 1 1f X - X
S
1
n i i i n i if
2592,85 1437,93 621 142,09 1,17 198,25 733,33 X 15 28 41 54 67 80 93 7778,55 5751,72 2484 1136,72 14,04 4559,75 4399,98 26124,76 2 (X X) f X( X)2Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi
data.
Ada 3 rumus yang dapat digunakan untuk mengukur
kemiringan distribusi data yaitu formula:
1. Pearson
2. Momen
3. Bowley
DISTRIBUSI SIMETRIS
Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai rata-rata
Curve B : Skewed Left Curve A :
Skewed Right
KEMENCENGAN/SKEWNESS
Distribusi menceng ke kanan (Curve A):
Nilai-nilai observasi berfrekuensi rendah kebanyakan berada disebelah kanan dari nilai rata-rata (ekornya menjulur ke kanan).
Distribusi menceng ke kiri (Curve B):
Nilai-nilai observasi berfrekuensi rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari nilai rata-rata (ekornya menjulur ke kiri)
1. RUMUS PEARSON
3 X - Median X - Modus atau S Sderajat kemiringan Pearson
Bila :
1. 0, maka distribusi datanya simetri 2. 0, maka distribusi datanya miring ke kiri 3. 0, maka distribusi datanya miring
ke kanan
2. RUMUS MOMEN
3 1 3 3 X - X nS n i i
3 1 3 3 1 f X - X S n i i i n i f
Data data tidak berkelompok
Data berkelompok
3
3
3
Jika 0, maka distribusi datanya simetri
Jika 0, maka distribusi datanya miring kiri
Jika 0, maka distribusi datanya miring kanan
3. RUMUS BOWLEY
1 3 2 1 3Q
-Q
Q
-Q
Q
3 3 3Jika 0, maka distribusi datanya simetri
Jika 0, maka distribusi datanya miring kiri
Jika 0, maka distribusi datanya miring kanan