Tabel Distribusi Frekuensi

Tabel Distribusi Frekuensi

Tabel distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar.

Dari distribusi frekuensi, dapat diperoleh keterangan atau gambaran sederhana dan sistematis dari data yang diperoleh.

1. Kelas-kelas (class)

2. Batas kelas (class limits)

3. Tepi kelas (class boundary/ real limits/ true class limits) 4. Titik tengah kelas atau tanda kelas (class mid point, class

marks)

5. Interval kelas (class interval)

6. Panjang interval kelas atau luas kelas (interval size) 7. Frekuensi kelas (class frecuency)

Komponen Tabel Distribusi Frekuensi

Interval Kelas Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6

Penyusunan Distribusi Frekuensi

1. Mengurutkan data dari yang terkecil ke yang

terbesar.

2. Menentukan jangkauan (range) dari data.

3. Menentukan banyak kelas (k).

4. Menentukan panjang interval kelas.

5. Menentukan batas bawah kelas pertama

6. Menuliskan frekuensi kelas sesuai banyaknya data.

CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Urutkan data

2. Tentukan Range atau jangkauan data (r)

r = Nilai max – Nilai min

3. Tentukan banyak kelas (k)

Rumus Sturgess (Metode Sturges): k = 1 + 3,3 log n

4. Tentukan panjang interval kelas (c)

c = r/k

5. Tentukan limit bawah kelas pertama dan kemudian batas

bawah kelasnya

6. Tambah batas bawah kelas pertama dengan lebar kelas

untuk memperoleh batas atas kelas pertama dan tentukan

limit atasnya

7. Tentukan limit bawah dan limit atas kelas-kelas selanjutnya

8. Tentukan nilai tengah masing-masing kelas

CONTOH

Data hasil ujian akhir Mata Kuliah Statistika

dari 60 orang mahasiswa

23 60 79 32 57 74 52 70 82 36 80 77 81 95 41 65 92 85 55 76 52 10 64 75 78 25 80 98 81 67 41 71 83 54 64 72 88 62 74 43 60 78 89 76 84 48 84 90 15 79 34 67 17 82 69 74 63 80 85 61

Solusi

10 43 62 72 ₇₉ 84 15 48 63 ₇₄ 79 84 17 ₅₂ 64 74 _{80 85} 23 52 64 74 80 85 25 54 ₆₅ 75 80 88 32 55 67 76 81 89 34 ₅₇ 67 76 81 90 36 60 69 77 82 92 41 60 70 78 82 95 41 61 71 78 83 98 1. Urutkan data 2. Hitung jangkauan

Data terkecil = 10 dan data terbesar = 98 r = 98 – 10 = 88

Jadi jangkauannya adalah sebesar 88 3. Hitung banyaknya kelas

Banyak kelas (k) = 1 + 3,3 log 60 = 6,8

4. Hitung panjang interval

Panjang interval (c) = 88 / 7 = 12,5 mendekati 13

5. Limit bawah kelas pertama adalah 10, dibuat beberapa alternatif limit bawah kelas yaitu 10, 9, dan 8. Maka batas bawah kelas-nya adalah 9,5 ; 8,5 ; dan 7,5

6. Batas atas kelas pertama adalah batas bawah kelas ditambah lebar kelas, yaitu sebesar

- 9,5 + 13 = 22,5 - 8,5 + 13 = 21,5 - 7,5 + 13 = 20,5

sehingga limit atas kelas pertama adalah sebesar: - 22,5 - 0,5 = 22

- 21,5 - 0,5 = 21 - 20,5 – 0,5 = 20

7. Limit atas dan bawah kelas selanjutnya

8. Nilai tengah kelas adalah =

9. Frekuensi kelas pertama adalah 3

Alternatif 1 Alternatif 2 Alternatif 3 8-20 21-33 34-46 47-59 60-72 73-85 86-98 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 10-22 23-35 36-48 49-61 62-74 75-87 88-100

Misal dipilih Alternatif 2

2 kelas atas batas kelas bawah batas 

15

2

21,5

8,5



_

Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Mata Kuliah Statistika Interval Kelas Batas Kelas Nilai Tengah Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 8,5-21,5 21,5-34,5 34,5-47,5 47,5-60,5 60,5-73,5 73,5-86,5 86,5-99,5 15 28 41 54 67 80 93 3 4 4 8 12 23 6 Jumlah 60

STATISTIKA

1. Statistika deskriptif

Merupakan cabang ilmu statistik yang berkaitan

dengan penerapan metode‐metode statistik untuk

mengumpulkan, mengolah, menyajikan, dan

menganalisis data secara deskriptif sehingga

memberikan informasi yang berguna.

2. Statistika inferensi

Merupakan cabang ilmu statistik yang berkaitan

dengan penerapan metode‐metode statistik untuk

menaksir dan/atau menguji karakteristik populasi

yang dihipotesiskan berdasarkan data sampel.

Sebuah ilustrasi…

Berikut adalah nilai ujian Mata Kuliah Statistika 30

mahasiswa di suatu kelas:

80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 Berapa rata-rata nilai ujian? Berapa orang yang perlu mengikuti perbaikan? Bagaimana penyebaran kemampuan mahasiswa? Apakah nilai kelas ini lebih

baik jika dibandingkan tahun lalu? Apakah terdapat kenaikan rata-rata nilai dibandingkan ujian sebelumnya? STATISTIK DESKRIPTIF STATISTIK INFERENSI

A. UKURAN PEMUSATAN

Nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan

pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat

data.

Yang termasuk ukuran pemusatan :

1. Mean

2. Median

3. Modus

4. Rata-rata ukur

1. MEAN (rata-rata hitung)

Rumus umum :

1. Untuk data tidak berkelompok

2. Untuk data berkelompok (Tabel Distribusi)

Jumlah semua nilai data

Rata -rata hitung =

Banyaknya nilai data

1 2

...

1 n i n i

X

X

X

X

X

n

n





 







1 1 1 2 2 n n 1 2 n 1

f X

f X

... f X

X

f

f

... f

n i i i n i i

f X

f

 



 





  





1. MEAN (rata-rata hitung)

1. Data tidak berkelompok

Contoh : Data nilai ujian statistika 30

mahasiswa

_{80 55 75 90 45 65 90 45 50 85} 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 1 2

...

1 n i n i

X

X

X

X

X

n

n





 







80 55 ... 45

...

30

...

?

X





 





2040

68

30

X





1. MEAN (rata-rata hitung)

2. Data dalam Tabel Distribusi

Frekuensi

Interval

Kelas

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σf_i = 60 1 1 3955 X 65,92 60 n i i i n i i f X f   



 



Nilai

Tengah (X)

15 28 41 54 67 80 93

f

_i

X

_i 45 112 164 432 804 1840 558 Σf_iX_i = 3955

1. MEAN (rata-rata hitung)

3. Dengan Metode Kode (U)

Interval

Kelas

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σf_i = 60 1 0 1 f U X X c f

?

n i i i n i i                 





Nilai

Tengah (X)

15 28 41 54 67 80 93

f

_i

U

_i -9 -8 -4 0 12 46 18 Σf_iU_i = 55

U

_i -3 -2 -1 0 1 2 3 55 X 54 13 65,92 60     _{ }    c = panjang interval

2. MEDIAN (nilai tengah)

1. Untuk data tidak berkelompok

–

Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar

–

Cari nilai tengah data :

Contoh:

1

Median data ke-

2

n



80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 35 40 40 45 45 45 50 50 50 55 55 60 65 65 70 75 75 75 75 80 80 80 85 85 85 90 90 95 100 100 1 30 1 Data ke- 15.5 2 2 n _  _ 70 75 72.5 2 Med   

2. MEDIAN (nilai tengah)

2. Untuk data dalam Tabel Distribusi

0

n

- F

2

Med

L

c

f













_

_













Keterangan notasi:

L_o = Batas bawah kelas median

F = Jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas yang mengandung median f = Frekuensi kelas median

c = Panjang interval n = Jumlah data

2. MEDIAN (nilai tengah)

Contoh :

Letak median ada pada

data ke 30, yaitu pada

interval 61-73, sehingga :

L

₀

= 60,5

c = 13

F = 19

f = 12

n = 60

Interval

Kelas

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60 72,42 12 19 -2 60 13 60,5 M ed              0 n - F 2 Med L c f       _{ }      

3. MODUS (nilai terbanyak)

1. Untuk data tidak berkelompok

–

Cari nilai dengan frekuensi terbanyak

Contoh:

80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 Nilai 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Frek 1 2 3 3 2 1 2 1 4 3 3 2 1 2 Modus = 75

3. MODUS (nilai terbanyak)

2. Untuk data dalam Tabel Distribusi

1 0 1 2 0 1 2

b

Mod

L

c

b

b

L

batas bawah kelas modus

c = panjang interval

b

selisih antara frekuensi kelas modus dengan

frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modus

b

selisih a









_

_













ntara frekuensi kelas modus dengan

frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modus

3. MODUS (nilai terbanyak)

Contoh :

Data yang paling sering

muncul adalah pada interval

74-86, sehingga :

L

₀

= 73,5

b

₁

= 23-12 = 11

b

₂

= 23-6 =17

c = 13

Interval

Kelas

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60 11 17 78,61 11 13 73,5 Mod          1 0 1 2 b Mod L c b b     _{ }   

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA

NILAI RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS

Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data :

1)

Jika nilai ketiganya hampir sama maka kurva mendekati simetri.

2)

Jika modus < median < mean, maka kurva miring ke kanan.

3)

Jika mean < median < modus, maka kurva miring ke kiri.

Curve B : Skewed Left Curve A :

4. UKURAN LETAK (FRAKTIL)

a. Kuartil

b. Desil

a. KUARTIL

Kuartil

Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau

mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.

Ada 3 jenis yaitu:

– kuartil pertama (Q

₁

) atau kuartil bawah (25%

data)

– kuartil kedua (Q

₂

) atau kuartil tengah (50% data)

– kuartil ketiga (Q

₃

) atau kuartil atas (75% data)

a. KUARTIL

• Untuk data tidak berkelompok

Contoh:





1,2,3

i

,

4

1

n

i

-ke

nilai

Q

_i







80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45 35 40 40 45 45 45 50 50 50 55 55 60 65 65 70 75 75 75 75 80 80 80 85 85 85 90 90 95 100 100 1 2 3 1 31 Q nilai ke- (30 1) 7.75 8 4 4 2 62 Q nilai ke- (30 1) 15.5 4 4 3 93 Q nilai ke- (30 1) 23.25 23 4 4            1 2 3 Q 50 70 75 Q 72.5 2 Q 85     

a. KUARTIL

• Untuk data dalam Tabel Distribusi

L

₀

= batas bawah kelas kuartil

F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Q

_i

f = frekuensi kelas kuartil

Q

_i

i 0

i n

- F

4

Q

L

c

, i

1,2,3

f















_

_















a. KUARTIL

Q

₁

terletak pada data ke-15.5 (interval

48-60)

Q

₂

terletak pada data ke-30.5 (interval

61-73)

Q

₃

terletak pada data ke-45.5 (74-86)

Interval

Kelas

Nilai

Tengah

(X)

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60 54 8 11 -4 1.60 13 47,5 Q₁              72,42 12 19 -4 2.60 13 60,5 Q₂              81,41 23 31 -4 3.60 13 73,5 Q₃              i 0 i n - F 4 Q L c , i 1,2,3 f        _{ }       

b. DESIL

Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau

mengecil) dibagi sepuluh bagian yang sama besar.

• Untuk data tidak berkelompok

• Untuk data berkelompok

L₀ = batas bawah kelas desil D_i

F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil D_i

f = frekuensi kelas desil D_i





9

1,2,3,...,

i

,

10

1

n

i

-ke

nilai

D

_i







i 0 i n - F 10 D L c , i 1,2,3,...,9 f        _{ }       

b. DESIL

Contoh :

D

₃

membagi data 30%

D

₇

membagi data 70%

Sehingga :

D

₃

berada pada 48-60

D

₇

berada pada 74-86

Interval

Kelas

Nilai

Tengah

(X)

Frekuensi

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60 58,875 8 11 -10 3.60 13 47,5 D₃             

79,72

23

31

-10

7.60

13

73,5

D

₇



























c. PERSENTIL

Kelompok data yang sudah diurutkan (membesar atau

mengecil) dibagi seratus bagian yang sama besar.

• Untuk data tidak berkelompok

• Untuk data berkelompok

L₀ = batas bawah kelas persentil P_i

F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil P_i

f = frekuensi kelas persentil P_i





99

1,2,3,...,

i

,

100

1

n

i

-ke

nilai

P

_i







i 0 i n - F 100 P L c , i 1,2,3,...,99 f        _{ }       

Perhatikan daftar angka berikut ini:

I. 50,50,50,50,50

II. 30,40,50,60,70

III.20,30,50,70,80

50

X



Ketiga kelompok data mempunyai rata-rata

hitung yang sama, yaitu :

Bagaimana pendapatmu?

Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat

data.

Jenisnya :

1. Jangkauan (Range)

2. Variansi (Variance)

3. Standar Deviasi (Standart Deviation)

1. JANGKAUAN

• Menyatakan selisih antara nilai

maksimum dan nilai minimum dalam

data

Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.





2 2 1

X - X

S

n-1

n i i









2 2 1 1

f X - X

S

1

n i i i n i i

f

 







_













Data tidak berkelompok :

Data berkelompok :

2. VARIANSI

• Akar pangkat dua dari Variansi. • Disebut juga Simpangan Baku.





2 1

X - X

n-1

n i i

S











2 1 1

f X - X

S=

1

n i i i n i i

f

 





_













Data tidak berkelompok :

Data berkelompok :

Menghitung variansi dan st.deviasi

80 55 75 90 45 65 90 45 50 85 100 80 55 85 40 50 75 75 65 100 60 40 75 80 85 50 35 70 95 45





2 2 1 2 2 2 2

X - X

S

n-1

(80 68)

(55 68)

... (45 68)

S

30 1

n i i









 









2

10880

S

375,175

29





2

S

375,175

S

S





19.37

S



68

X



Menghitung variansi dan st.deviasi

Interval Kelas f 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 74-86 87-99 3 4 4 8 12 23 6 Σf = 60

21,04

442,79

S

442,79

1

-60

76

,

26124

S

2









65.92

X







2 2 1 1

f X - X

S

1

n i i i n i i

f

 







_













2592,85 1437,93 621 142,09 1,17 198,25 733,33 X 15 28 41 54 67 80 93 7778,55 5751,72 2484 1136,72 14,04 4559,75 4399,98 26124,76 2 (X  X) f X( X)2

Derajat atau ukuran dari ketidaksimetrian suatu distribusi

data.

Ada 3 rumus yang dapat digunakan untuk mengukur

kemiringan distribusi data yaitu formula:

1. Pearson

2. Momen

3. Bowley

DISTRIBUSI SIMETRIS

Distribusi simetris, yang berarti luas kurva disebelah kiri nilai rata-rata

Curve B : Skewed Left Curve A :

Skewed Right

KEMENCENGAN/SKEWNESS

 Distribusi menceng ke kanan (Curve A):

Nilai-nilai observasi berfrekuensi rendah kebanyakan berada disebelah kanan dari nilai rata-rata (ekornya menjulur ke kanan).

 Distribusi menceng ke kiri (Curve B):

Nilai-nilai observasi berfrekuensi rendah kebih banyak berada disebelah kiri dari nilai rata-rata (ekornya menjulur ke kiri)

1. RUMUS PEARSON

  3 X - Median X - Modus atau S S

derajat kemiringan Pearson

Bila :

1. 0, maka distribusi datanya simetri 2. 0, maka distribusi datanya miring ke kiri 3. 0, maka distribusi datanya miring

            ke kanan

2. RUMUS MOMEN





3 1 3 3 X - X nS n i i



_









3 1 3 3 1 f X - X S n i i i n i f



        





Data data tidak berkelompok

Data berkelompok

3

3

3

Jika 0, maka distribusi datanya simetri

Jika 0, maka distribusi datanya miring kiri

Jika 0, maka distribusi datanya miring kanan







  

3. RUMUS BOWLEY

1 3 2 1 3

Q

-Q

Q

-Q

Q







3 3 3

Jika 0, maka distribusi datanya simetri

Jika 0, maka distribusi datanya miring kiri

Jika 0, maka distribusi datanya miring kanan







  

Derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu

distribusi data terhadap distribusi normalnya data.

Ada 3 jenis :

1. Leptokurtis, puncak relatif tinggi

2. Mesokurtis, puncaknya normal

3. Platikurtis, puncak rendah





4 1 4 4

X - X

nS

n i i



_



 4 4 4

3, Mesokurtis

3, Leptokurtis

3, Platikurtis













Data data tidak berkelompok

Data berkelompok





4 1 4 ₄

f X - X

nS

n i i i



_





D. KELANCIPAN/KURTOSIS