RELATIF EFISIENSI PENAKSIR MOMEN TERHADAP PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK PARAMATER BERDISTRIBUSI SEGITIGA. Haposan Sirait 1, Usman Malik 2 ABSTRAK

Relatif Efisiensi Penaksir Momen Terhadap Penaksir Maksimum Likelihood RELATIF EFISIENSI PENAKSIR MOMEN TERHADAP

PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK PARAMATER BERDISTRIBUSI SEGITIGA

Haposan Sirait1, Usman Malik2 ABSTRAK

Makalah ini membahas dua metode yaitu metode momen dan metode maksimum likelihood untuk memperoleh penaksir titik parameter dari suatu distribusi segitiga kanan dengan parameter p, selanjutnya, variansi estimator yang diperoleh dari kedua metode tersebut akan dibandingkan untuk mendapatkan penaksir yang relatif lebih efisien.

Kata kunci: metode momen, maksimum likelihood,distribusi segitiga, efisiensi relatif. ABSTRACT

This paper discusses two methods, namely the method of moments and the method of maximum likelihood to obtain a point estimator of a Triangular distribution with parameter p. Furthermore, the variance estimator obtained from both method will be compared to obtain a relatively more efficient estimator.

Keywords: moments, maximum likelihood, Triangular distribution, relative efficiency.

PENDAHULUAN Latar Belakang

Sebagian besar orang pasti sudah lumayan familiar bila mendengar kata statistika. Sebelum berbicara lebih lanjut tentang statistika, perlu mencari tahu apa sebenarnya statistika itu. Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Atau statistika adalah ilmu yang berusaha untuk mencoba mengolah data untuk mendapatkan manfaat berupa keputusan dalam kehidupan.

Kebanyakan model probabilitas, terutama yang cukup luas nilai penggunaanya, tergantung pada beberapa konstan yang dikenal dengan nama parameter. Biasanya

digunakan lambang μ dan σ untuk parameter mean dan deviasi standar distribusi normal, sedangkan untuk distribusi binomial, digunakan lambang n dan p masing-masing untuk parameter banyak kali usaha (trial) dan peluang sukses dalam tiap usaha. Dalam banyak masalah, keluarga model probabilitas yang menggambarkan suatu fenomena biasanya dianggap diketahui. Tetapi anggota tertentu dari keluarga itu yang dipandang paling tepat menggambarkan fenomena tersebut mungkin sekali tidak diketahui. Dalam hal ini perlu ditaksir berdasarkan data yang diambil dari fenomena itu.

Namun, untuk membicarakan masalah penaksir parameter pada umumnya di gunakan huruf Yunani θ (theta) sebagai lambang parameter. Jadi, f(x;1,2,...,n) akan menunjukkan fungsi probabilitas dengan k parameter (diketahui ataupun tidak)

dihadapi biasanya hanya memuat satu parameter, sehingga fungsi probabilitasnya dapat ditulis f(x;) saja.

Jika dalam masalah, parameter θ tidak diketahui, harus ditaksir dengan menggunakan data sampel. Ini dilakukan melalui suatu fungsi yang dinamakan statistik.

Ada berbagai macam jenis penaksir untuk suatu parameter θ yaitu penaksir titik dan penaksir interval. Penaksir titik dapat diperoleh dengan metode Momen ataupun metode Maksimum likelihood serta metode Bayes.

Distribusi segitiga merupakan salah satu distribusi peluang kontinu dengan tiga buah parameter yaitu nilai minimum _{a dengan}







 ,

a , nilai maksimum b dengan b >_a dan nilai yang paling mungkin m dengan

b m

a  . Lambang dari distribusi ini adalah Tr



m ,,a b



.

Misalkan X adalah suatu peubah acak yang berdistribusi Triangular dengan parameter a , b, dan m, maka X dapat ditulis dengan lambang X~Tr



m ,,ab



.

Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan penaksir titik terbaik dari parameter suatu populasi yang memiliki distribusi segitiga kanan.

Tinjauan Pustaka

Seringkali seseorang dituntut untuk membuat dugaan yang rasional dalam kondisi yang penuh ketidakpastian tanpa informasi yang lengkap. Agar dugaan yang dilakukan dapat menghasilkan suatu dugaan yang baik, maka kita harus menguasai konsep pendugaan secara statistik estimasi titik dari sebuah parameter populasi adalah sebuah nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan sebagai penaksir dari parameter yang nilainya tidak diketahui.

sampel random (acak) yang berasal dari popoulasi X dengan fungsi densitas probabilitas yang tergantung pada . yaitu

) ; (x

f . Dikarenakan bahwa X1,X2,,X_n

merupakan sampel random maka fungsi )

; (x

f juga merupakan variabel acak. Suatu fungsi yang diamati misalnya



n



n X X X

t ₁, ₂,, disebut sebagai statistik, dan disebut juga suatu penaksir dari yang dinotasikan dengan [3] . Akan tetapi menghadapi persoalan mencari penaksir titik ada tiga metode yang populer, yaitu metode momen, metode maksimum likelihood dan metode Bayes [2].

METODOLOGI PENELITIAN

Penelitian ini akan dilakukan melalui kajian literatur untuk menentukan penaksir titik dari parameter suatu populasi yang memiliki distribusi segitiga kanan.

Definisi 1.

Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi segitiga kanan dengan parameter

) 1 , 0 ( 

p dengan fungsi densitas probabilitas

      lainnya untuk , 0 0 , ) : ( 2 2 _{x p} p x f p x (1) Dua metode penaksir yang akan digunakan adalah metode Momen dan metode maksimum likelihood.

Selanjutnya dari kedua penaksir yang diperoleh akan dibandingkan Relatif Efisiensinya berdasarakan variansinya untuk mendapatkan penaksir terbaik.

HASIL DAN PEMBAHASAN Penaksir Momen

Suatu metode yang paling tua dan paling sedehana untuk menemukan penaksir dari suatu parameter adalah metode momen. Metode momen didasarkan dengan

Relatif Efisiensi Penaksir Momen Terhadap Penaksir Maksimum Likelihood menselaraskan momen sampel dengan momen

populasi. Misalkan X adalah peubah acak kontinu (diskrit) dengan fungsi kepadatan probabilitas (fkp) berbentuk f(x;), dengan θ parameter yang tidak diketahui. Misalkan k buah momen sekitar pusat populasi pertama

 

.

' t

t E X

 (2)

Selanjutnya misalkan X₁,X₂,,X_n

merupakan sampel acak berukuran dan didefinisikan k buah momen sekitar pusat sampel pertama k t x m n i t i n t 1 ₁ , 1,2, , ' 



 _  (3)

Kemudian dengan memyelesaikan persamaan ' '

t t m

 akan diperoleh suatu penaksir yang disebut sebagai penaksir momen.

Untuk menentukan penaksir momen parameter p persamaan (1), terlebih dahulu ditentukan momen pertama disekitar pusat yaitu



  0 2 2 ) ( dx p x x X E (4) atau . ) (_{X 3}2_p E  (5)

Kemudian, momen kedua disekitar pusat



p dx p x x X E 0 2 2 2 2 ) ( (6) atau . ) ( 2 ₂1 2 p X E  (7)

Dengan demikian dari persamaan (5) dan (7) diperoleh

. )

(_{X 18}1 _p2

Var  (8)

Berdasarkan metode menentukan penaksir momen dari parameter p yang dinotasikan dengan pˆ _mn dapat diperoleh dengan memanfaatkan persamaan (2) dan (3) yaitu

. ˆ

2 3_x

pmn  (9)

Selanjutnya karena pˆ_mn merupakan penaksir tak bias maka ketelitiannya diberikan oleh

. )

ˆ

(_{p 8}1 _p2

Var _mn  _n (10)

Penaksir Maksimum Likelihood

Metode maksimum likelihood adalah metode penaksir parameter suatu distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Metode maksimum likelihood merupakan salah satu metode paling baik untuk memperoleh taksiran tunggal. Metode ini tidak dapat digunakan apabila distribusi tidak diketahui. Berikut ini diberikan definisi fungsi likelihood seperti yang dikemukakan oleh Bain [1].

Definisi 2

Fungsi densitas bersama dari n variabel random X₁,X₂,...,X_nyang dievaluasi pada titik

n x x

x1, 2,..., dengan notasi f(x1,x2,...,xn;) disebut sebagai fungsi likelihood. Untuk

n x x

x₁, ₂,..., tetap, maka fungsi likelihood adalah sebuah fungsi dari



_{yang dinotasikan} dengan L(;x1,x2,...,xn).

Jika X₁,X₂,...,X_n adalah sampel random dari fungsi densitas f

 

x; , dengan , maka fungsi likelihood dari parameter  adalah





_

  n i i n f x x x x L 1 2 1, , , ( ; ) ;    (11)

Setelah fungsi likelihood pada persamaan di atas diperoleh, selanjutnya ditentukan penaksir metode maksimum likelihood seperti yang diberikan oleh definisi berikut.

Definisi 3

Penaksir ˆu(x₁,x₂,...,x_n) disebut penaksir maksimum likelihood jika,



x x xn



L



x x xn



Lˆ; 1, 2,, max ; 1, 2,, (12) Dalam menentukan penaksir maksimum likelihood biasanya digunakan logaritma natural fungsi likelihood. ˆf



X1,X2,...,X_n



disebut penaksir maksimum likelihood.

Berdasarkan Definisi 2, maka fungsi likelihood distribusi segitiga kanan sebagai berikut

2 2 2 p p p atau . 2 ) ( 1 2     



 n i i n n x p p L (13)

Sehubungan fungsi di atas merupakan fungsi monoton turun, maka harga p yang membuat fungsi maksimum tak dapat ditentukan dengan cara differensial. Sehingga perlu dianalisa yaitu fungsi maksimum akan dicapai dengan memilih p sekecil mungkin.

Diketahui bahwa

 

i n i X p    1

max , maka p yang membuat fungsi maksimum yang dinotasikan dengan pˆMl adalah

 

i n i Ml X p    1 max ˆ (14)

Selanjutnya akan ditentukan apakah pˆ_Ml

memiliki sifat tak bias, untuk keperluan ini terlebih dahulu dimisalkan

 

_i

n i X Y    1 max . Untuk mengetahui fungsi densitas dari variabel random Y , terlebih dahulu ditentukan fungsi distribusi dari Y sebagai berikut

 









n i n i y X P y X P y Y P y F         max ) ( ) ( 1 Sedangkan . 2 ) ( ₂ 2 0 2 2 p y dx p x x y X P y   



Dengan demikian maka diperoleh n p y y F      2₂ ) (

Jadi fungsi densitas dari Y adalah :

y p y n y dF y f n 2 . ) ( ) ( 1 2 2        atau . 2 ) ( ₂ 1 2 n n p y n y f   (15)

Dengan demikian maka

 





  p n n n Ml dy y p n dy p n y p E 0 2 2 0 2 . 2 . 2 . ˆ atau

 

. 1 2 2 ˆ p n n p E Ml  _ (16)

Hal ini berarti penaksir maksimum likelihood merupakan penaksir tak bias. Meskipun demikian penaksir maksimum likelihood merupakan penaksir konsisten.

Untuk melihat ketelitiannya ditentukan Mean Square Error (MSE) dari pˆMl yaitu dengan menentukan

 





    p n n p n n Ml dy y p n dy p y n y p E 0 1 2 2 0 2 1 2 2 2 . 2 . 2 . ˆ atau

 

2 2 2 2 2 ˆ p n n p E Ml  _ (17)

Jadi MSE dari adalah

 

2 2 1 2 2 2 2 2 ˆ           p n n p n n p MSE Ml atau

 

2 2 1 2 2 2 2 2 ˆ p n n n n p MSE Ml                   (18)

Relatif Efisiensi Penaksir

Definisi 3. [3]. Misalkan ˆ1 dan ˆ2 adalah dua

penaksir dari , dan misalkan MSE(1) dan MSE(₂) adalah MSE dari ˆ1 dan ˆ2, maka

relative efisiensi dari ˆ2 ke ˆ1 dinotasikan

dengan RE(1,2) didefinisikan sebagai ) ( ) ( ) , ( 2 1 2 1     MSE MSE RE  (19)

Jika RE(1,2)1, maka dapat disimpulkan bahwa ˆ1 lebih efisien dari pada ˆ2, dengan

Relatif Efisiensi Penaksir Momen Terhadap Penaksir Maksimum Likelihood kata lain yaitu MSE(₁) lebih kecil dari

MSE(2).

Dengan demikian Relatif efisiensi pˆ_mn

terhadap pˆ _Ml dinotasikan dengan RE(pˆmn,pˆMl) didefinisikan sebagai

 



2



2 1 2 2 2 2 2 2 8 1 mn ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ , ˆ ( p p p MSE p Var p p RE n n n n n Ml Ml mn      atau







2 2 16 1 2 2 2 ) ˆ , ˆ ( n n n p p RE _{mn Ml}    (20)

Karena persamaan (20) lebih besar dari satu untuk setiap harga n , maka pˆ_mn lebih efisien dari pˆMl.

KESIMPULAN

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan penaksir titik dari distribusi segitiga kanan dapat digunakan penaksir metode Momen dan metode maksimum likelihood. Akan tetapi ternyata penaksir momen lebih efisien dari pada penaksir maksimum likelihood.

DAFTAR PUSTAKA

Bain. L. J, Engelhard. M. 1991. Introduction to Probability Mathematical Statistics. Second Edition. Duxbury Press, California.

Hasan Iqbal. M. 2002. Pokok-pokok Materi Statistik 1. Edisi kedua. Bumi Aksara. Jakarta.

Montgomery , D.C & G.C. Runger. 1999. Applied Statistics And Probability For Engineers, Second Edition. John Wiley & Sons Inc, New York.