BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Regresi

Regresi pertama kali digunakan sebagai konsep statistika oleh Sir Francis Galton (1822 – 1911). Beliau memperkenalkan model peramalan, penaksiran, atau pendugaan, yang selanjutnya dinamakan regresi, sehubungan dengan penelitiannya terhadap tinggi badan manusia.

Galton melakukan suatu penelitian di mana penelitian tersebut membandingkan antara tinggi anak laki-laki dan tinggi badan ayahnya. Galton

menunjukkan bahwa tinggi badan anak laki-laki dari ayah yang tinggi setelah beberapa generasi cenderung mundur (regressed) mendekati nilai tengah populasi. Dengan kata lain, anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat tinggi cenderung lebih pendek dari pada ayahnya, sedangkan anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat pendek cenderung lebih tinggi dari ayahnya, jadi seolah-seolah semua anak laki-laki yang tinggi dan anak laki-laki yang pendek bergerak menuju kerata-rata tinggi dari seluruh anak laki-laki yang menurut istilah Galton disebut dengan “regression to mediocrity”. Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa pada umumnya tinggi anak mengikuti tinggi orangtuanya.

Istilah “ regresi” pada mulanya bertujuan untuk membuat perkiraan nilai satu variabel (tinggi badan anak) terhadap variabel yang lain (tinggi badan orang tua). Pada perkembangan selanjutnya analisis regresi dapat digunakan sebagai alat untuk membuat perkiraan nilai suatu variabel dengan menggunakan beberapa variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut.

Jadi prinsip dasar yang harus dipenuhi dalam membangun suatu persamaan regresi adalah bahwa antara suatu variabel tidak bebas (dependent

variable) dengan variabel-variabel bebas (independent variable) lainnya memiliki

sifat hubungan sebab akibat (hubungan kausalitas), baik didasarkan pada teori, hasil penelitian sebelumnya, maupun yang didasarkan pada penjelasan logis tertentu.

Analisi regresi merupakan teknik yang digunakan dalam persamaan matematik yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel. Analisis regresi linier atau regresi garis lurus digunakan untuk :

1. Menentukan hubungan fungsional antar variabel dependen dengan independen. Hubungan fungsional ini dapat disebut sebagai persamaan garis regresi yang berbentuk linier.

2. Meramalkan atau menduga nilai dari satu variabel dalam hubungannya dengan variabel yang lain yang diketahui melalui persamaan garis regresinya.

Analisis regresi tediri dari dua bentuk yaitu : 1. Analisis Regresi Linier Sederhana 2. Analisis Regresi Linier Berganda

Analisis regresi sederhana adalah bentuk regresi dengan model yang bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua variabel, yakni variabel dependen (terikat) dan variabel independen (bebas). Sedangkan analisis regresi berganda adalah bentuk regresi dengan model yang memiliki hubungan antara satu variabel dependen dengan dua atau lebih variabel independen.

Variabel independen adalah variabel yang nilainya tergantung dengan variabel lainnya, sedangkan variabel dependen adalah variabel yang nilainya tergantung dari variabel yang lainnya.

Analisis regresi dipergunakan untuk menelaah hubungan antara dua variabel atau lebih, terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan baik, atau untuk mengetahui bagaimana variasi dari beberapa variabel independen mempengaruhi variabel dependen dalam suatu fenomena yang komplek. Jika, X₁, X₂, . . . , X_kadalah variabel-variabel independen dan Y adalah variabel dependen, maka terdapat hubungan fungsional antara X dan Y, dimana variasi dari X akan diiringi pula oleh variasi dari Y. Jika dibuat secara matematis hubungan itu dapat dijabarkan sebagai berikut:

Keterangan : Y = f (X₁, X₂, . . . , X_k)

Y adalah variabel dependen (tak bebas) X adalah variabel independen (bebas)

2.2.1 Analisis Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana digunakan untuk memperkirakan hubungan antara dua variabel di mana hanya terdapat satu variabel/peubah bebas X dan satu peubah tak bebas Y.

Dalam bentuk persamaan, model regresi sederhana adalah :

Y = a + bX ...(2.1)

Keterangan : Y adalah variabel terikat/tak bebas (dependent) X adalah variabel bebas (independent)

a adalah penduga bagi intercept (α)

b adalah penduga bagi koefisien regresi (β)

2.2.2 Analisis Regresi Linier Berganda

Untuk memperkirakan nilai variabel tak bebas Y, akan lebih baik apabila kita ikut memperhitungkan variabel-variabel bebas lain yang ikut mempengaruhi nilai Y. dengan demikian dimiliki hubungan antara satu variabel tidak bebas Y dengan beberapa variabel lain yang bebas X₁, X₂, dan X₃, . . . , X_k.

Untuk itulah digunakan regresi linear berganda. Dalam pembahasan mengenai regresi sederhana, simbol yang digunakan untuk variabel bebasnya adalah X. Dalam regresi berganda, persamaan regresinya memiliki lebih dari satu variabel bebas maka

perlu menambah tanda bilangan pada setiap variabel tersebut, dalam hal ini X₁, X₂, . . . , X_k.

Dalam penelitian ini, digunakan empat variabel yang terdiri dari satu variabel bebas Y dan tiga variabel X yaitu X₁, X₂, dan X₃. Maka persamaan regresi bergandanya adalah :

Y_i = b₀+ b₁X_1i+b₂X_2i+ b₃X

3i …(2.2)

2 3 3 3 2 2 3 1 1 3 0 3 3 2 3 2 2 2 21 1 1 2 0 2 3 1 3 2 1 2 2 1 1 0 1 3 3 2 2 1 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i o i X b X X b X X b X b X Y X X b X b X X b X b X Y X X b X X b X b X b X Y X b X b X b n b Y …(2.3)

Sistem persamaan tersebut dapat disederhanakan sedikit, apabila: x₁=X₁– X ₁

x₂=X₁–X₂ x₃=X₃–X₃

y = Y–Y _.

Maka persamaan sekarang menjadi : y = b₁x₁+b

2x2+b3x3 …(2.4)

Koefisien-koefisien b₁, b

2, dan b3 untuk persamaan tersebut dapat dihitung dari :

2 3 3 3 2 2 3 1 1 3 3 2 3 2 2 2 2 1 1 2 3 1 3 2 1 2 2 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x b x x b x x b x y x x b x b x x b x y x x b x x b x b x y …(2.5)

Dengan pengguanaan x₁,x₂,x₃ dan y yang baru ini, maka diperolehlah harga b₀ , b₁, b ₂, dan b₃. Harga setiap koefisien penduga yang diperoleh kemudian disubtitusikan ke persamaan awal sehingga diperoleh model regresi linier berganda Y atas X₁, X₂, dan X₃.

Sebelum persamaan regresi yang diperoleh digunakan untuk membuat kesimpulan terlebih dahulu diperiksa setidak-tidaknya mengenai keliniearan dan keberartiannya. Pemeriksaan ini ditempuh melalui pengujian hipotesis. Uji keberartian dilakukan untuk meyakinkan diri apakah regresi yang didapat berdasarkan penelitian ada artinya bila dipakai untuk membuat kesimpulan mengenai hubungan sejumlah peubah yang sedang dipelajari.

Untuk itu diperlukan dua macam jumlah kuadrat (JK) yaitu Jumlah Kuadrat untuk regresi yang ditulis JK_reg dan Jumlah Kuadrat untuk sisa (residu) yang

ditulis dengan JK_res.

Jika x_1i= X_1i– X ₁, x_2i= X_2i– X₂, . . . , x_k= X_ki– X_k dan y_i= Y_i– Y _.

maka secara umum jumlah kuadrat-kuadrat tersebut dapat dihitung dari :

JK_reg= b₁ x1iyi+b2 x2iyi ... bk xkiyi …(2.6) dengan derajat kebebasan dk = k

JK_res= (Y_i – 2

^

) i

Y …(2.7)

dengan derajat kebebasan dk = (n – k – 1) untuk sampel berukuran n.

Dengan demikian uji keberartian regresi berganda dapat dihitung dengan :

F_hitung= ) 1 /( / k n JK k JK res reg … (2.8)

Untuk statistik F yang menyebar mengikuti distribusi F dengan derajat kebebasan pembilang V₁= k dan penyebut V₂= n – k – 1.

2.4 Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis merupakan salah satu tujuan yang akan dibuktikan dalam penelitian. Jika terdapat deviasi antara sampel yang ditentukan dengan jumlah populasi maka tidak menutup kemungkinan untuk terjadinya kesalahan dalam mengambil keputusan antara menolak atau menerima suatu hipotesis.

Pengujian hipotesis dapat didasarkan dengan menggunakan dua hal, yaitu: tingkat signifikansi atau probabilitas (α) dan tingkat kepercayaan atau confidence

interval. Didasarkan tingkat signifikansi pada umumnya orang menggunakan

0,05. Kisaran tingkat signifikansi mulai dari 0,01 sampai dengan 0,1. Yang dimaksud dengan tingkat signifikansi adalah probabilitas melakukan kesalahan tipe I, yaitu kesalahan menolak hipotesis ketika hipotesis tersebut benar. Tingkat kepercayaan pada umumnya ialah sebesar 95%, yang dimaksud dengan tingkat kepercayaan ialah tingkat dimana sebesar 95% nilai sampel akan mewakili nilai populasi dimana sampel berasal.

Dalam melakukan uji hipotesis terdapat dua hipotesis, yaitu: Ho (hipotesis nol) dan H1 (hipotesis alternatif). Ho bertujuan untuk memberikan usulan dugaan

kemungkinan tidak adanya perbedaan antara perkiraan penelitian dengan keadaan yang sesungguhnya dari yang diteliti. H1 bertujuan memberikan usulan dugaan

Pembentukan suatu hipotesis memerlukan teori-teori maupun hasil penelitian terlebih dahulu sebaagai pendukung pernyataan hipotesis yang diusulkan.

Dalam uji keberartian regresi, langkah-langkah yang dibutuhkan untuk pengujian hipotesis ini antara lain :

1) Ho : β₀= β₁= . . . = β_k= 0

Tidak terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara variabel bebas dengan variabel tak bebas.

H1 : Minimal satu parameter koefisien regresi βk yang ≠ 0

Terdapat hubungan fungsional yang signifikan antara variabel bebas dengan variabel tak bebas

2) Pilih taraf α yang diinginkan

3) Hitung statistik F_hitung dengan menggunakan persamaan

4) Nilai F_tabel menggunakan daftar tabel F dengan taraf signifikansi α yaitu F_tabel

= F(1 )(k),(n k 1)

5) Kriteria pengujian : jika F_hitung ≥ F_tabel, maka Ho ditolak dan H1 diterima.

Sebaliknya Jika F_hitung < F_tabel, maka Ho diterima dan H1 ditolak.

2.5 Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi yang disimbolkan dengan R2 bertujuan untuk mengetahui seberapa besar kemampuan variabel independen menjelaskan variabel dependen.

Nilai R2_{dikatakan baik jika berada di atas 0,5 karena nilai R}2 _{berkisar antara 0}

dan 1. Pada umumnya model regresi linier berganda dapat dikatakan layak dipakai untuk penelitian, karena sebagian besar variabel dependen dijelaskan oleh variabel independen yang digunakan dalam model.

Koefisien determinasi dapat dihitung dari :

R2= 2 2 2 1 1 ) . ( ... i i i ki k i i i i Y Y y x b y x b y x b _…(2.9)

Sehingga rumus umum koefisien determinasi yaitu :

R2= _n 1 i 2 i reg y JK …(2.10)

Harga R2 diperoleh sesuai dengan variansi yang dijelaskan oleh masing-masing variabel yang tinggal dalam regresi. Hal ini mengakibatkan variasi yang dijelaskan penduga hanya disebabkan oleh variabel yang berpengaruh saja.

2.6 Uji Korelasi

Uji korelasi bertujuan untuk menguji hubungan antara dua variabel yang tidak menunjukkan hubungan fungsional (berhubungan bukan berarti disebabkan). Uji korelasi tidak membedakan jenis variabel (tidak ada variabel dependen maupun independen). Keeratan hubungan ini dinyatakan dalam bentuk koefisien korelasi. Uji korelasi terdiri dari Pearson, Spearman dan Kendall. Jika sampel data lebih dari 30 (sampel besar) dan kondisi data normal, sebaiknya menggunakan korelasi

Pearson (karena memenuhi asumsi parametrik). Jika jumlah sampel kurang dari 30 (sampel kecil) dan kondisi data tidak normal maka sebaiknnya menggunakan korelasi Spearman atau Kendall (karena memenuhi asumsi non-parametrik).

2.6.1 Koefisien Korelasi

Nilai koefisien korelasi merupakan nilai yang digunakan untuk mengukur kekuatan (keeratan) suatu hubungan antarvariabel. Koefisien korelasi biasanya disimbolkan dengan r. Koefisien korelasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

r

y.1, 2, …, k =

…(2.11)

Sedangkan untuk mengalami korelasi antar variabel bebas dengan tiga buah variabel bebas adalah :

1) Koefisien korelasi antara X1 dan X2

r 12 = ….(2.12)

2) Koefisien korelasi X1 dan X3

r 13 = ….(2.13)

3) Koefisien korelasi X2 dan X3

Koefisien korelasi memiliki nilai antara -1 hingga +1. Sifat nilai koefisien korelasi adalah plus (+) atau minus (-) yang menunjukan arah korelasi. Makna sifat korelasi:

Korelasi Nihil berarti apabila terjadi perubahan pada variabel yang satu diikuti perubahan pada variabel yang lain dengan arah yang tidak teratur (acak). Artinya, apabila variabel yang satu meningkat, kadang diikuti dengan peningkatan pada variabel yang lain dan kadang diikuti dengan penurunan pada variabel yang lain.

Korelasi positif

Terjadinya korelasi positif apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan variabel yang lain dengan arah yang sama (berbanding lurus). Artinya, apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti dengan peningkatan variabel lain.

Korelasi Negatif

Korelasi negatif terjadi apabila perubahan pada variabel yang satu diikuti dengan perubahan yang lain dengan arah yang berlawanan (berbanding terbalik). Artinya, apabila variabel yang satu meningkat, maka akan diikuti dengan penurunan pada variabel yang lain dan sebaliknya.

Sifat korelasi akan menentukan arah dari korelasi. Keeratan korelasi dapat dikelompokkan sebagai berikut :

1. 0,00 sampai dengan 0,20 berarti korelasi memiliki keeratan sangat lemah. 2. 0,21 sampai dengan 0,40 berarti korelasi memiliki keeratan lemah.

3. 0,41 sampai dengan 0,70 berarti korelasi memiliki keeratan kuat. 4. 0,71 sampai dengan 0,90 berarti korelasi memiliki keeratan sangat kuat. 5. 0,91 sampai dengan 0,99 berarti korelasi memiliki keeratan sangat kuat sekali. 6. 1 berarti korelasi sempurna.

2.7 Uji Koefisien Regresi Linier Berganda

Untuk mengetahui bagaimana keberartian setiap variabel bebas dalam regresi, perlu diadakan pengujian tersendiri mengenai koefisien-koefisien regresi. Misalkan populasi memiliki model regresi linier berganda :

µ n x x x y.₁. ₂... = β0+ β1X1+ β2X2+ . . . + βkXk _…(2.15)

yang berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n ditaksir oleh regresi berbentuk:

^

Y = b0+ b1 X1+ b2X2+ . . . + bkXk _…(2.16)

Akan dilakukan pengujian hipotesis dalam bentuk : Ho : β_i= 0, i = 1, 2, . . ., k H1 : β_i≠ 0, i = 1, 2, . . ., k

Untuk menguji hipotesis ini digunakan kekeliruan baku taksiran s_y.12...k, jumlah

kaudrat-kuadrat ∑x2

ijdengan xij= Xj- X dan koefisien korelasi ganda antara j masing-masing variabel bebas X dengan variabel tak bebas Y dalam regresi yaitu R_i. Dengan besaran-besaran ini dibentuk kekeliruan baku koefisien b_iyakni :

s i b= ) 1 )( x ( 2_ij 2 2 ... 12 . i k y R s …(2.17) Keterangan : s2 .. 12 . k y = 1 ) (Y ^ i k n Y ∑x2 ij = ∑ (Xj- X ) j R2 _{= n} 1 i 2 i reg y JK Selanjutnya hitung : t_i= i b i s b … (2.18)

Dengan kriteria pengujian : jika t_i> t_tabel, maka tolak Ho dan jika ti< ttabel, maka terima Ho yang akan berdistribusi t dengan derajat kebebasan dk = (n-k-1) dan ttabel