BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sistem persamaan linier dapat ditemukan hampir di semua cabang ilmu penge-tahuan. Di bidang ilmu ukur, bidang ekonomi, teknik listrik dan lain sebagainya. Suatu sistem linier Ax = b, yang mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian untuk setiap sisi kanan b dan fokus pada sistem yang mempunyai jumlah per-samaan tepat sama dengan jumlah variabelnya, yakni untuk matriks yang koe-fisiennya A dan dapat diinverskan.
Pada faktanya seringkali terdapat masalah dapat tidaknya suatu matriks diinverskan, didasarkan pada konsep determinan. Teorema penting yang
ber-sangkutan menyatakan bahwa matriks A mempunyai invers, jika hanya jika det (A)6= 0 (sebagaimana Dalil Cramer) yang menyatakan penyelesaian dari Ax=b dalam determinan. Namun demikian, determinan tidak penting untuk praktek penyelesaian sistem linier karena perhitungan determinan biasanya mempunyai kesulitan yang sama dengan penyelesaian sistem linier. Karena alasan tersebut determinan tidak digunakan dalam penyelesaian sistem linier dan juga tidak perlu mendefinisikan determinan itu sendiri (Warsito, 2009).
Matriks yang berkaitan dengan sistem linier digolongkan dalam matriks pa-dat (dense) dan matriks jarang (sparse). Matriksdensemempunyai sedikit sekali entri nol dan orde matriks itu cenderung relatif kecil, mungkin berorde 100 atau lebih kecil. Sedangkan matrikssparse mempunyai sedikit sekali entri tak nol dan orde matriksnya cenderung besar. Dalam algoritmasparse, entri nol diabaikan se-hingga dalam komputasinya lebih cepat dibandingkan jika mengoperasikan semua entrinya. Karena orde matriks sparse yang besar, matriks sparse dapat menim-bulkan sejumlah masalah kombinatorial.
Metode komputasi numerik untuk penyelesaian sistem persamaan linier da-pat dibagi dalam dua jenis, langsung (direct) dan iteratif (iterative). Metode langsung adalah metode yang tidak memiliki kesalahan dalam pembulatan atau
1
2
lain-lainnya. Metode langsung akan memberikan penyelesaian yang tepat dalam jumlah operasi aritmetika elementer yang jumlahnya terbatas. Metode dasar yang digunakan adalah eliminasi Gauss dan ada beberapa pilihan metode yang bervari-asi dalam efisiensi dan kecermatan perhitungan. Teknik kombinatorial telah mem-berikan kontribusi terhadap kinerja dalam semua tahapan proses penyelesaian sistem linier sparse dengan metode langsung. Seperti penggunaan metode per-mutasi yang diterapkan untuk pertukaran baris dan kolom, metode pemotongan bertingkat (nested dissection) berbasis orderingdan beberapa teknik kombinato-rial lainnya.
Metode iteratif adalah metode yang dimulai dengan nilai pendekatan meng-gunakan algoritma yang sesuai, untuk mendapatkan hasil pendekatan yang lebih baik. Metode iteratif bervariasi dalam algoritma dan kecepatan konvergensi. Menggunakan metode iteratif merupakan salah satu cara menyelesaikan
perma-salahan kombinatorial dalam menyelesaikan sistem linier yang rumit. Metode ite-ratif menggunakan teknikpreconditioning yang meliputi faktorisasi tidak lengkap preconditioners, graf pendukung preconditioners dan aljabar multigrid.
Penggunaan teknik matrikspreconditioning akan sangat mempercepat kon-vergensi. Selanjutnya dilakukan identifikasi matriks sparse dengan graf yang menghasilkan analogi yang tepat terhadap algoritma pada graf dan memeriksa analogi tersebut terhadap solusi yang diperoleh. Kelebihan metode iteratif ada-lah kesederhanaan dan keseragamannya dari operasi yang dilakukan.
Penelitian tentang komputasi kombinatorial ilmiah yang telah dilakukan Hendrickson dan Pothen (2007) fokus pada peran yang memungkinkan algorit-ma kombinatorial dalam komputasi ilmiah yang mengaalgorit-mati berbagai aplikasi: komputasi paralel, generasi mesh, solusi sistem linier sparse, diferensiasi otoma-tis untuk optimasi, fisika staotoma-tistik, kimia komputasi, bioinformatika, pengolahan informasi. Bollhofer dan Schenk (2004) memberikan gambaran aspek kombina-torial dari faktorisasi LU. Penelitian sebelumnya, yang dilakukan oleh Heath et al. (1991) meneliti tentang algoritma paralel untuk faktorisasi Cholesky-sparse dengan membahas isu yang berkaitan dengan paralelisasi dari langkah-langkah utama dari pemecah langsung.
3
Duff dan Ucar (2009) meneliti interaksi antara solusi sistem linier sparse dan kombinatorika. Sebagian besar hubungan yang kuat berasal dari identifikasi matrikssparsedengan graf sehingga sebagian algoritma berhubungan dengan ma-trikssparsememiliki pendekatan analogi atau analogi yang tepat untuk algoritma pada graf. Pada akhirnya memeriksa analogi tersebut baik dalam hal solusi lang-sung persamaan liniersparsedan solusi dengan metode iteratif, terutama berfokus pada preconditioning.
Brualdi dan Cvetkovic (2009) dalam bukunya mencakup perhitungan ma-triks standart di mana kombinatorial diangkat ke permukaan dan menggunakan graf untuk menjelaskan perhitungan matriks standart. Isi buku tersebut terma-suk kekuatan matriks dan deskripsi sistem linier dan kombinatorial menggunakan graf berarah, graf-teoritis mendefinisikan determinan matriks, dan interpretasi in-vers matriks dan solusi sistem linier. Brualdi dan Ryser (1991) dan Saad (2003)
tentang sistem linier, matriks sparse dan metode-metode iteratif untuksparse.
1.2 Perumusan Masalah
Sistem linier dan kombinatorial optimisasi merupakan topik yang sangat luas. Na-mun untuk permasalahan yang rumit, yang berukuran besar dan bersifat sparse diperlukan perhitungan khusus untuk mendapatkan solusinya. Salah satu cara yaitu dengan pendekatan graf menggunakan metode langsung. Dengan gunakan metode tersebut akan meminimumkan waktu perhitungan yang meng-hasilkan solusi terbaik.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menyelesaikan sistem linier yang berukuran be-sar atau rumit dan bersifat sparse dengan pendekatan graf menggunakan metode langsung.
4
1.4 Manfaat Penelitian
Hasil yang diperoleh pada penelitian ini dapat menjadi bahan rujukkan dalam permasalahan kombinatorial dalam menyelesaikan sistem linier.
1.5 Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan. Untuk mengetahui me-tode yang memiliki solusi terbaik dalam menyelesaikan sistem linier dengan meng-gunakan pendekatan graf, berikut adalah langkah-langkah yang akan dilakukan yaitu pada metode langsung, akan didiskusikan tentang matriks ordering (peng-alamatan matriks), pencocokan bipartisi dan matriks skala untuk pivoting yang lebih baik, penugasan dan penjadwalan untuk menyelesaikanmultifrontal paralel.
