Uraian Materi Kegiatan Belajar 1 1.1 Pengertian Matriks

4. M atriks

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari Konsep Matriks ini diharapkan siswa dapat :

a. membuat susunan bilangan dalam bentuk matriks

b. menyebutkan ordo suatu matriks

c. menuliskan bentuk umum suatu matriks dalam ordo tertentu

d. mengidentifikasi jenis-jenis matriks

e. menyelesaikan kesamaan matriks

f. menjumlahkan atau mengurangkan dua matriks atau lebih

g. mengalikan skalar dengan matriks

h. mengalikan dua matriks

i. mencari invers dan determinan suatu matriks ordo dua

j. menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks

Kegiatan Belajar 1. M enjelaskan pengertian matriks Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan :

1. memiliki pemahaman mengenai pengertian matriks. 2. dapat membedakan antara baris dan kolom matriks.

3. mengetahui elemen-elemen suatu matriks.

4. dapat menuliskan notasi-notasi matriks. 5. dapat menyebutkan ordo suatu matriks.

Uraian M ateri Kegiatan Belajar 1 1.1 Pengertian M atriks

Dalam kehidupan sehari-sehari tanpa kita sadari terkadang sebuah kegiatan yang kita laksanakan dapat kita tampilkan dalam materi matematika, kita sajikan dalam bentuk tabel.

Contoh :

Dalam menyiapkan Ujian Akhir Nasional, Parmin mencatat dan mengevaluasi semua hasil ulangan untuk program diklat Matematika, Bahasa Indonesia dan Bahasa Inggris seperti

pada tabel di bawah ini :

Ulangan ke : I II II IV

Matematika 6 7 5 7

Bahasa Indonesia 6 7 7 8

Bahasa Inggris 5 6 7 7

Catatan nilai Parmin dapat disajikan dalam bentuk :

     

   

7 7 6 5

8 7 7 6

7 5 7 6

atau dalam bentuk

    

    

7 7 6 5

8 7 7 6

7 5 7 6

Contoh 2 :

Kondisi presensi tiap hari untuk setiap tingkat dapat ditampilkan dalam bentuk tabel sebagai berikut :

w w

.docu-track.com ww

Sakit Ijin Alpha

Kelas MO 1 1 2 1

Kelas MO 2 2 1 1

Kelas MO 3 0 0 1

Kelas MO 4 1 2 0

Tampilan tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk :

   

 

   

 

0 2 1

1 0 0

1 1 2

1 2 1

atau dalam bentuk

   

 

   

 

0 2 1

1 0 0

1 1 2

1 2 1

Dari tabel Contoh 1 dan Contoh 2 tersebut di atas dan kepala kolom dan baris dihilangkan,

kemudian susuanan lambang bilangan atau angka dituangkan ke dalam tanda kurung atau kurung siku, maka susunan seperti itu dinamakan : Matriks.

Matriks Contoh 1 :

     

   

7 7 6 5

8 7 7 6

7 5 7 6

Matriks Contoh 2 :

   

 

   

 

0 2 1

1 0 0

1 1 2

1 2 1

Jadi, Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan yang

disusun padabaris dankolom dan diletakkan di dalam dua tanda kurung atau kurung siku.

1.2 Elemen dan Notasi Suatu M atriks

Setiap bilangan pada matriks disebutelemen matriks dan diberi nama sesuai dengan nama

baris dan nama kolom. Perhatikan Matriks A di bawah ini :

A =

     

   

7 7 6 5

8 7 7 6

7 5 7 6

Angka 8 dalam lingkaran menunjukkan elemen matriks A yang dituliskan dengan notasi

24

a , yang berarti angka 8 adalah elemen baris ke- 2 dan kolom ke- 4. Apabila ada tampilan

eleman aij, berarti menyatakan elemen matriks A baris ke- i dan kolom ke- j.

A pabila disuruh menyebutkan elemen-eleman dari baris ke- 3 adalah : 5, 6, 7, dan 7.

Bar is ke -1

Bar is ke -2

Bar is ke -3

kolom 1 2 3 4

Bar is ke -1

Bar is ke -2

Bar is ke -3

Bar is ke -4

1 2 3

kolom

Untuk menamai suatu matriks., seringkali kita gunakan satu huruf kapital

seperti A, B, C. Sedangkan elemen-elemen matriks seringkali dinotasikan

dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriksnya, seperti a_ij untuk

elemen-elemen matriks A.

w w

.docu-track.com ww

Apabila disuruh menyebutkan elemen-elemen dari kolom ke 2 adalah : 7, 7, dan 6.

Ide penampilan matriks dalam metematika dikenalkan pada tahun 1857 olehA rthur Cayley

(1821 – 1895) yang berkebangsaan Inggris.

1.3 Ordo Suatu M atriks

Suatu matriks A berukuran i x j adalah susunan berbentuk persegi panjang dari ij elemen

(dalam bentuk bilangan) yang disusun dalami baris danj kolom.

Matriks A sering dinotasikan dalam bentuk : A = (aij) =

    

 

    

 

ij 2

i 1 i

j 2 22

21

j 1 12

11

a ... a a

a ... a a

a ... a a

M M M M

Ukuran matriks yaitu i x j, seringkali disebut ordo matriks, sehingga matriks A dapat ditulis dengan : A_ixj atau A_(ixj).

Contoh 3 : C =

  



− −

1 4 1

2 3 2

D =

     

   

− − −

2 3 2

5 1 1

4 2 3

Matriks C mempunyai 2 baris dan 3 kolom, dikatakan ordo matriks C adalah 2x 3 (dibaca 2

kali 3) dan dituliskan C_2x3 atau C_(2x3). Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan

banyaknya kolom (contoh matriks D) maka matriks itu disebut matriks bujursangkar.

Karena istilah bujursangkar disesuaikan menjadi pengertian persegi, maka disebut matriks persegi. Matriks D adalah matriks persegi dengan ordo 3.

Lembar Kerja Siswa Kegiatan Belajar 1

Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan sejelas-jelasnya !

1. Diketahui matriks =

     

   

0 9 1 5

6 2 7 3

8 4 2 1

Sebutkan banyaknya baris dan kolom ! Sebutkan elemen-elemen baris kedua !

Sebutkan elemen-elemen kolom ketiga !

Tuliskalah elemen matriks yang seletak pada baris ketiga dan kolom keempat ! Nyatakanlah baris dan kolom yang menentukan letak elemen : 4, 7 dan 2 !

2. Hasil pertandingan sepak bola ditampilkan pada tabel di bawah ini :

Kesebelasan M ain M enang Seri Kalah M emasukan Kemasukan Nilai

Persija Jakarta 5 2 1 2 15 15 5

Persib Bandung 5 2 1 2 12 11 5

PSMS Medan 5 2 2 1 13 12 6

Persebaya Srby. 5 2 0 3 13 16 4

PSM Makasar 5 3 0 2 16 11 6

PSS Sleman 5 2 0 3 12 16 4

Dari tabel di atas, tuangkanlah ke dalam bentuk matriks ! Dari matriks yang diperoleh :

a. Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom ?

w w

.docu-track.com ww

b. Pada baris atau kolom mana :

– _{Semua elemennya sama}

– _{Semua elemennya lebih dari 11}

– _{Semua elemennya genap}

3. Dari surat kabar atau majalah, carilah beberapa contoh keterangan yang disajikan dalam bentuk matriks !

Kegiatan Belajar 2. M endiskripsikan macam-macam matriks Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan :

1. dapat menyebutkan macam-macam matriks.

2. dapat mengidentifikasi dua matriks yang sama.

3. memiliki kemampuan untuk menunjukkan transpose suatu matriks.

Uraian M ateri Kegiatan Belajar 2 2.1 M acam-macam M atriks

– _{Matriks Baris}

Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

Contoh : A =

(

−1 2 7

)

, B =

(

2 3 −4 −2 1

)

.

– _{Matriks Kolom}

Suatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Contoh : A =

          −

5 2 4

, B =     9 5

– _{Matrisk Persegi}

Suatu matriks dengan banyak baris dan banyak kolom sama. Suatu matriks persegi dengan banyak j baris dan j kolom disebut pula matriks ordo j.

Contoh : A =

   

7 1

5 2

, B =

     

   

7 4 3

8 5 2

9 6 1

– _{Matriks Identitas}

Suatu matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya 0 (nol). Pada umumnya matriks Identitas dilambangkan dengan I,

yang terkadang disertai dengan ordonya.

Contoh : A = I_2x2=

   

1 0

0 1

, B = I_3x3=

     

   

1 0 0

0 1 0

0 0 1

– _{Matriks Nol}

Suatu matriks dengan semua elemennya 0 (nol). Matriks nol sering kali dilambangkan dengan O.

Contoh : A =    

0 0

0 0

– _{Matriks Segitiga}

w w

.docu-track.com ww

Matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal dengan elemen-elemen 0 pada separoh

bagiannya.

Contoh : A =    

0 3

5 1

, B =

     

   

− −

2 2 1

5 4 0

1 0 0

2.2 Kesamaan M atriks

Definisi dari kesamaan matriks adalah :

Contoh : matriks A =

  



4 3 8

1 9 2

sama dengan matriks B = _

  

  

2 2

2 9 2 2

1 3 4

Oleh karena itu dasar kesamaan matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks.

Contoh 1 :

Tentukan nilai x dan y jika

    =   



9 4

3 8 y 3 4

3 x 2

Dengan dasar kesamaan matriks maka didapatkan : 2x = 8 atau x = 4 dan 3y =9 atau y = 3.

Contoh 2 :

Carilah nilai x dan y yang memenuhi

  

 −

=   



− − +

6 2

4 5 5 y 2

4 2 x

Dengan dasar kesamaan matriks maka didapatkan : x + 2 = 5 atau x = 5 – 2 atau x = 3

y – 5 = 6 atau y = 6 + 5 atau y = 11

2.3 Transpose M atriks

Transpose artinya perputaran, yang dilambangkan dengan A’ atau AT _{atau A}t_{, yaitu}

menukar elemen pada baris menjadi elemen pada kolom atau dengan kata lain

elemen-elemen baris dari matriks A akan menjadi elemen-elemen-elemen-elemen kolom matriks At.

Secara lebih terperinci apabila aijelemen matriks A dan apabila ditranspose menjadi matriks

t

A maka elemen tersebut menjadi a'_ji.

Contoh 1 :

Matriks A =

  

 −

3 1 2

6 2 4

maka matriks transposenya adalah At=

          −

6 6

1 2

2 4

Contoh 2 :

Matriks A = (a_ij) berordao m x n dan matriks B = (b_ij)berordo p x q dikatakan sama

jika dan hanya jika sebagai berikut :

– _{M = p dan n = q, yang berarti matrik A dan matriks B berordo sama.}

– _aij =_{bij untuk semua i dan j, yang berarti semua elemen yang seletak sama.}

Catatan :

Elemen yang seletak adalah elemen yang mempunyai nomor baris dan kolom sama.

w w

.docu-track.com ww

Matriks C =

     

   

1 9 6 3

2 8 5 2

3 7 4 1

maka matriks transposenya adalah Ct=

   

 

   

 

1 2 3

9 8 7

6 5 4

3 2 1

Lembar Kerja Siswa KB 2

1. Sebutkan ordo matriks berikut ini !

a.

(

0 1 2

)

b. 

    

6 5

4 2 3

1 _c.

       

z

yx d. _

     

2

1 5

2 1

4

e. _

  

  

v t i

t b p

i p a

f. _

  

  

−22 40 35 42 0 1 3 1

2. Berapakah banyaknya eleman setiap matriks pada soal no. 1 ? Tahukah Anda cara

menghitung yang cepat ?

3. Tulislah sebuah contoh matriks yang mempunyai ordo :

a. matriks 2x4 b. matriks 3x3 c. matriks 3x1 d. matriks 1x1

4. Matriks contoh berikut ini manakah yang sama ?

a.

(

1 2 3

)

b.

(

3 2 1

)

c.

(

_{1 4} 6₂

)

_d.

(

2

)

4 8 ₁

9 e. ₃2 ₂1 f. 

  

 

9 18 2 6

4 4

2

5. Tahukah nilai x dan y untuk kesamaan matriks di bawah ini ?

a. =

    

3 0

y 2 x

     

3

0 8

1 _{b. }

    

−−y

2x 3 =_15_ c.

(

3x −y

)

=

(

12 −2

)

6. Tulislah transpose dari setiap matriks pada soal no. 1 dan sebutkan ordo setiap matriks transpose tersebut !

7. Diketahui P 

    

y

3 5

x _{dan Q }

    

−2

5 3

4 _{. Jika Pt = Q tentukanlah nilai x dan y!}

Kegiatan Belajar 3. M enyelesaikan operasi matriks Tujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan :

1. Menjelaskan pengertian dan syarat penjumlahan dan pengurangan matriks

2. Menentukan lawan suatu matriks

3. Melakukan operasi penjumlahan pada matriks matriks

4. Melakukan opersai pengurangan pada matriks 5. Menjelaskan pengertian dan syarat perkalian matriks

6. Melakukan operasi perkalian pada matriks

Uraian M ateri Kegiatan Belajar 3

3.1 Penjumlahan dan Pengurangan M atriks M atriks

Agar pengertian dan syarat penjumlahan dua buah matriks dapat dipahami dengan baik,

coba simaklah persoalan di bawah ini :

Dewi dan Budi adalah calon siswa teladan dari sebuah SMK. Penentuan siapa yang berhak

mengikuti seleksi siswa teladan tingkat kabupaten didasarkan pada jumlah nilai mata diklat matematika dan bahasa inggris pada semester I dan semester II. Nilai kedua mata diklat

yang dicapai oleh Dewi dan Budi ditampilkan pada tabel di bawah ini :

Mata Diklat Semester I Semester II Jumlah

w w

.docu-track.com ww

Dewi Budi Dewi Budi Dewi Budi

Matematika 82 86 80 80 162 166

Bahasa Inggris 72 78 73 74 145 152

Dari tabel di atas terlihat bahwa jumlah nilai semester I dan II untuk mata diklat Matematika dan

Bahasa Inggris yang dicapai Budi lebih tinggi dibandingkan yang dicapai oleh Dewi.

Dengan demikian Budi lebih berhak mengikuti seleksi siswa teladan.

Sekarang kita akan melihat bagaimana proses penjumlahan nilai-nilai tersebut dilakukan dengan

menggunakan matriks.

Bila data atau informasi pada tabel di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka dapat dituliskan

sebagai berikut :

     

78

72 86

82 _{+ }

    

74

73 80

80 _{= }

  

 

152

145 166

162

Selanjutnya perhatikan contoh penjumlahan dua matriks di bawah ini.

Diketahui dua buah matriks : A 

    

4

23 1 dan B_−−23 −−41_

1. Tentukan : A + B dan B + A

2. A pakah : A + B = B + A

Jawab :

1. A + B = 

    

4

2 1

3 _{+ }

  

 

−

− −

−

4

2 1

3 _{= }

  

 

− + −

+ − + −

+

) 4 ( 4 ) 2 ( 2

) 1 ( 1 ) 3 ( 3

= 

    

0

0 0

0

B + A = 

  

 

−

− −

−

4

2 1

3 _{+ }

    

4

2 1

3 _{= }

  

 

+ − +

−−23+23 −41+14 = _00 00_ 2. Dari jawaban 1 terlihat bahwa A + B = B + A = 0

Apabila kita perhatikan, elemen-elemen yang seletak dari matriks B dan matriks A saling berlawanan. Matriks B yang bersifat seperti itu disebut lawan atau negatife dari matriks A,

dan ditulis sebagai -A.

Dalam operasi bilangan riil, kita ketahui bahwa operasi pengurangan dapat ditentukan dengan menjumlahkan sebuah bilangan dengan lawan atau negatif dari suatu bilangan.

Dengan menggunakan pemikiran yang serupa dengan operasi pengurangan pada bilangan

riil, maka opersi pengurangan dalam matriks dapat ditentukan dengan menjumlahkan sebuah matriks dengan lawan atau negative dari matriks lainnya. Apabila A dan B masing-masing

matriks berordo sama maka pengurangan matriks A oleh B dapat dinyatakan sebagai berikut :

A - B = A + (-B)

Selanjutnya perhatikan contoh di bawah ini :

Contoh 1 :

Jika matriks A 

    

4

3 _{dan matriks B }

    −

5

6 _{, maka : A - B = }

    

4

3 _{- }

    −

5

6 _{= }

  

 

−− −

5 4

) 6 ( 3

= 

    

−91

A +(-B) = 

    

4

3 _{+{- }

    −

5

6 _{} = }

    

− +

5

4 6

3 _{= }

    

−91

Contoh 2 :

w w

.docu-track.com ww

Jika matriks P 

     −

2

5 6

3 _{dan matriks B }

    −

4

4 3

1 _{, dengan melihat contoh 1 bahwa A – B akan}

sama dengan A + (-B) maka hasilnya adalah : 

     −

2

5 6

3 _{+{- }

    −

4

4 3

1 _{} = }

  

 

−

− − −

+

4 2 4

53 3 6 3 = _61 −−29_

3.2 Perkalian skalar (bilangan real) dengan matriks

Ide penjumlahan yang berlaku pada bilangan real dapat kita terapkan pada penjumlahan matriks, yaitu :

a + a = 2 a, penjumlahan dua buah bilangan yang sama

a + a + a + … + a = n . a penjumlahan n buah bilangan yang sama

Pada matriks, pandanglah matriks A 

    

4

2 3

1

Berdasarkan aturan penjumlahan matriks, diperoleh :

A + A = 

    

4

2 3

1 _{+ }

    

4

21 3 = _22xx12 22xx34_ = _24 86_

matriks 

  

 

4 x 2 2 x

22x1 2x3 bisa dituliskan sebagai 2._21 34_ atau 2 A

Jadi, A + A = 2 A

Dengan demikian A + A + A = 3 A , dan seterusnya.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa, jika A adalah sebuah matriks, dan k adalah skalar (bilangan real), maka k A adalah sebuah matriks baru yang didapat dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen matriks A.

3.3 Perkalian matriks dengan matriks

Untuk memahami perkalian suatu matriks dengan matriks lain, perhatikan persoalan di bawah ini:

Ketika jam istirahat Anto dan Tomi membeli makanan di kantin sekolah. Anto menghabiskan 4 buah kue dan 2 gelas es jeruk. Tomi menghabiskan 3 buah kue dan 1 gelas es jeruk. Harga kue per buah dan es jeruk per gelas masing-masing Rp. 100,00 dan Rp. 250,00. Persoalan ini jika disajikan dengan memakai tabel dapat ditunjukkan seperti di bawah ini

Kue

Es Jeruk

Harga (Rp)

Anto

4

2

Kue

100

Tomi

3

1

Es Jeruk

250

Persoalannya adalah, berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto, dan oleh Tomi.

Jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto adalah 4 x 100 + 2 x 250 = 900

Untuk menyatakan perhitungan ini dalam bentuk matriks, diperlukan dua buah informasi, yaitu :

a. Jenis dan jumlah makanan yang dibeli oleh Anto. Informasi ini dapat ditulis dengan

matriks baris sebagai berikut :

( )

4 2

b. Harga setiap jenis makanan. Informasi ini dapat ditulis dengan matriks kolom sebagai

berikut : 

    

250 100

Dengan demikian, jumlah uang yang harus dibayar oleh Anto dapat dinyatakan sebagai :

w w

.docu-track.com ww

( )

4 2 x 

    

250

100 ₌

(

_{4x100 + 2x250}

)

₌

(

_400+500

)

₌

( )

₉₀₀

Langkah-langkah perhitungan seperti di atas pada hakekatnya diperoleh dengan cara

mengalikan tiap elemen matriks baris ( 1 x 2 ), dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks kolom ( 2 x 1 ). Matriks hasil perkaliannya adalah matriks ( 1 x 1 ).

Akhirnya jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto dan Tomi dapat dinyatakan sebagai :

4 2 100 4 x 100 + 2 x 250 900 3 1 250 3 x 100 + 1 x 250 550

Proses atau cara penggabungan dua buar matriks menjadi sebuah matriks seperti penjelasan di atas disebut perkalian matriks.

Sehingga dapat dikatakan, aturan perkalian matriks adalah :

Mengalikan tiap elemen pada baris matriks sebelah kiri dengan tiap elemen pada

kolom matriks sebelah kanan, kemudianhasilnya dijumlahkan. Atau secara umum :

Jika diketahui matriks-matriks : A _ba _dc B _

    

s q

r p

maka perkalian matriks A dan B dapat ditentukan dengan persamaan :

A x B = _ba _dc _

    

s q

r p

= _

  

 

+

+ +

+

dxs bxr dxq bxp

cxs axr cxq axp

Syarat dua buah matriks A dan B dapat dikalikan, apabilabanyak kolom matriks A sama

denganbanyak baris matriks B.

Lembar Kerja Siswa Kegiatan Belajar 3

1. Jika diketahui matriks O = 

    

0

0 0

0 _{dan matriks A }

    

−2

8 10

3

Tunjukkan bahwa : (i) O + A = A (ii). A + O = A

2. Lengkapilah pernyataan berikut ini !

Dari hasil penyelesaian soal 1 di atas terlihat bahwa : … + … = A + O = …

Matriks O disebut matriks nol berordo : … x … yaitu sebuah matriks yang setiap

elemennya adalah … … dan untuk setiap matriks A berlaku : O + A = A + O = … …

3. Diketahui matriks-matriks : A ₆2 ₉1 dan B 

    

7

3 8

4

a. Tentukanlah (A + B) dan (B + A ) b. A pakah (A + B) = (B + A )

3. Diketahui matriks-matriks P 

    

9

4 5

3 _{Q }

    

7

6 8

1 _R

   

2

3 1

2

Tentukan : a. P + Q b. Q + R

c. (P + Q) + R

w w

.docu-track.com ww

d. P + (Q + R)

e. A pakah (P + Q) + R = P + (Q + R)

4. Tentukan hasil kali dua matriks berikut :  −₃2 ₂1 ₃2 = … …

5. Dengan menambah satu kolom pada matriks kedua soal diatas, sehingga menjadi :

   

− −

1

3 1

2 _{, tentukanlah perkalian :}

   

− −

1

3 1

2

   

− −

1

3 1

2 _{= … …}

6. Lakukan seperti soal 5, berapakah hasil kali dari :

    −

2

3 1

2

  

 − −

1 1

3 1 2

2 _{= … …}

7. Berapakah ordo matriks hasil perkalian soal nomor 6. Bila perlu, kembangkan dengan bentuk matriks lain seperti matriks berordo 1 x 3 dengan matriks berordo 3 x 2. Bagaimana ordo hasil perkalian matriks-matriks tersebut?

8. Buatlah suatu kesimpulan mengenai langkah soal nomor 1 s.d 4.

Kegiatan Belajar 4. M enentukan determinan dan invers matriks

Tujuan Kegiatan Belajar 4

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini maka, anda diharapkan dapat :

1. menghitung determinan dan invers matriks berordo 2

×

2.

2. menyelesaikan persamaan matriks.

3. menyelesaikan persamaan linier 2 variabel dengan menggunakan matriks.

Uraian M ateri Kegiatan Belajar 4

4.1. Determinan matriks berordo 2

×

2.

Misalkan A adalah matrik persegi berordo 2

×

2 yang dituliskan dlam bentuk A =

   

d

c b

a

Maka determinan matriks A =













d

c

b

a

ditulis sebagai det. A = a = a_{c d}b = ad – bc.

Contoh :

1. Jika A =

   

4

5 2

3 _{maka det A =}

4

5 2

3 _{= 3.4 – 2.5 = 12 – 10 = 2}

2. JIka B =

   

3

5 4

7 _{maka det B =}

3

5 4

7 _{= 7.3 – 4.5 = 21 – 20 = 1}

4.2. Invers matriks berordo 2

×

2.

Misal A =

   

d

c b

a _{,maka invers matriks A ditulis A}−1

ditentukan oleh :

A−1 =

A

.

det

1

  



−dc −ab , dengan det. A = ad – bc

≠

0

Keterangan :

1. Jika A sebuah matriks dengan det A

≠

0, maka A disebut matrikstak singular atau non singular. Setiap matriks tak singularmempuny ai invers.

2. Jika A sebuah matriks dengan det A = 0, maka A disebut matrikssingular. Setiap matriks singulartidak mempuny ai invers.

Contoh 1 : w

w

.docu-track.com ww

Tentukan invers matriks A =

   

− −

2

4 3

5

Jawab :

Det. A=

   

− −

2

4 3

5 _{= 5(-2) – (-3). 4 = -10-(-12) = 2}

A−1= 2 1

    − −

5

4 3

2 ₌

      − −

25 23

2 1

Matriks A adalah matriks non-singular.

Contoh 2:

Tentukan nilai x apabila matriks P =

  

 −2

104 x merupakan matriks singular!

Jawab :

Syarat matriks singular adalah det. P = 0, maka :

2

104 x = 0

4.2 – 10x = 0 8 – 10x = 0

8 = 10x x =

5 4 10

8

=

4.3 Penyelesaian Persamaan M atriks

Setelah memahami pengertian invers matriks, sekarang kita mempelajari cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan invers matriks. Sebagai contoh adalah menyelesaikan persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2x2. Agar X ada ( dapat ditentukan ) disyaratkan bahwa

matriks A haruslah matriks non singular, sehingga matriks A mempunyai invers A−1.

a. Persamaan bentuk A . X = B

Untuk persamaan AX = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A−1 dari

arah kiri.

A−1.( A .X ) = A−1.B (A−1.A ) X = A−1.B

I. X = A−1.B, sebab A−1.A= I X = A−1.B, sebab I . X = X . I = X

Jadi jika A.X = B, maka X = A−1. B

b. Persamaan berbentuk X.A = B

Untuk persamaan A X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A−1 dari

arah kanan.

(X.A ). A−1= B. A−1 X.(A. A−1)= B. A−1

X. I = B. A−1, sebab A. A−1= 1 X = B. A−1, sebab I . X = X . I = X

Jadi jika X . A = B, maka X = B . A−1

Contoh :

Diketahui matriks-matriks A =

   

5

7 2

3 _{B =}

   

3 25 1

Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan : a. A . X = B b. X . A = B

Jawab :

Det.A = ₇3 2₅ = 15 – 14 = 1, sehingga A−1=

  



−57 −32 .

w w

.docu-track.com ww

a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah

X = A−1.B =

  



−57 −32 25 13 = −2129 −21

b. Untuk persamaan matriks X.A = B penyelesaiannya adalah

X = B. A−1=

   

3

25 1 _−57 −32_ = _−1811 −57_

4.4 Pemakaian matriks untuk menyelesaikan system persamaan linier 2 variabel

Untuk persamaan linier berbentuk :

r qy px

c by ax {

=

+ =

+

∀ = _pa _qb = aq – bp

x

∀ = _rc _qb = cq – br

y

∀ = _pa _rc = ar – cp

Sehingga :

x =

∇ ∇x

, y =

∇ ∇y

Contoh :

Selesaikan persamaan

  

=

+ =

+

11 y 3 x 2

17 y 5 x 4

dengan menggunakan determinant matriks !

Jawab :

∇

= ₂4 ₃5 = 12 – 10 = 2,

∇

x = 17_{11 3}5 = 51 – 55 = -4

∇

y = ₂4 17₁₁ = 44 – 34 = 10

x =

∇ ∇x

= 2

4

−

= -2 , y =

∇ ∇y

= 2 10

= 5

Lembar Kerja Siswa KB 4

1. Diberikan matriks A =

   

x

3x 3

2 _{dan B =}

   

10

3 1

x _{. Tentukanlah nilai x jika det. A = det.B !}

2. Jika P =

  



y 2 2

18 y 3

merupakan matriks singular, tentukanlah nilai y !

3. Matriks P =













5

2

5

4

dan Q =













−

−

+

+

a

d

b

c

a

3

4

8

2

2

. Tentukan nilai a, b, c dan d jika 2P-1 _{= Q}t _!

4. Tentukan penyelesaian system persamaan linier berikut dengan matriks:

a.

  

=

+ =

+

11 y 3 x 2

17 y 5 x 4

b.

  

− = −−6y=−18 x

5

7 y x 2

5. Jika mungkin, tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linier berikut:

a.

  

=

+ =

+

8 y 6 x 4

4 y 3 x 2

c.

  

= −−6y =10 x

8

2 y 3 x 4

6. Dalam sebuah praktek kerja bengkel yang terdiri dari beberapa kelompok, Daffa mewakili kelompoknya untuk membeli 5 buah lampu kabut dan 4 buah lampu zen, ia harus membayar RP 35.000,- . Pada kesempatan yang sama Odhi juga mewakili

w w

.docu-track.com ww

kelompoknya membeli 10 buah lampu kabut dan 6 buah lampu zen dengan membayar Rp 63.500,-. Harga perbuah untuk lampu kabut x rupiah dan untuk harga lampu zen y rupiah.

a. Tentukan sistem persamaan linier dua peubah x dan y yang dapat disusun dari permasalahan di atas !

b. Tentukan himpunan penyelesaian system persamaan linier yang tersebut !

c. Dari penyelesaian soal b). Berapa harga sebuah lampu kabut dan berapa harga

sebuah lampu zen ?

Kegiatan Belajar 5. M enentukan determinan dan invers matriks ordo 3

Tujuan Kegiatan Belajar 5

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini maka, anda diharapkan dapat :

1. Menghitung determinan matriks berordo 3

×

3

2. Menentukan invers matriks ordo 3 x 3

Uraian Materi Kegiatan Belajar 5

5.1 Determinan matriks ordo 3 x 3.

Jika matriks A ordo 3 x 3 dengan bentuk A =





















i

h

g

f

e

d

c

b

a

maka determinan A dapat dicari

dengan

A

=











i

h

g

f

e

d

c

b

a

g

d

a











h

e

b

= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi

Contoh :

Jika B =





















5

3

1

1

2

4

2

3

2

maka det B =

5

3

1

1

2

4

2

3

2

1

4

2

3

2

3

= 2.2.5 + 3.1.1 + 2.4.3 – 2.2.1 – 2.1.3 – 3.4.5

= 20 + 3 + 24 - 4 – 6 – 60 = - 23

5.2 Invers matriks ordo 3 x 3

Untuk menentukan invers matriks ordo 3 x 3 dapat digunakan beberapa cara, antara lain :

a. menggunakan pengertian dasar invers yakni jika A adalah invers B maka akan berlaku A B = BA = I ( matriks identitas ordo 3 x 3 ).

Misal A =





















i

h

g

f

e

d

c

b

a

dan B =





















x

w

v

u

t

s

r

q

p

saling invers maka akan berlaku :





















i

h

g

f

e

d

c

b

a





















x

w

v

u

t

s

r

q

p

=





















x

w

v

u

t

s

r

q

p





















i

h

g

f

e

d

c

b

a

=





















1

0

0

0

1

0

0

0

1

Contoh :

+ + +

-w w

.docu-track.com ww

Tentukan invers dari matriks A =





















−

−

−

3

1

1

2

4

2

1

3

2

Penyelesaian:

Misal B =





















x

w

v

u

t

s

r

q

p

adalah invers matriks A =





















−

−

−

3

1

1

2

4

2

1

3

2

maka akan berlaku





















−

−

−

3

1

1

2

4

2

1

3

2





















x

w

v

u

t

s

r

q

p

=





















1

0

0

0

1

0

0

0

1





















+

−

−

+

−

−

+

−

−

+

+

+

+

+

+

−

+

−

+

−

+

x

u

r

w

t

q

v

s

p

x

u

r

w

t

q

v

s

p

x

u

r

w

t

q

v

s

p

3

3

3

2

4

2

2

4

2

2

4

2

3

2

3

2

3

2

=





















1

0

0

0

1

0

0

0

1

dengan kesamaan matriks akan diperoleh persamaan linier sebagai berikut :

i.









=

+

−

−

=

+

+

=

−

+

0

3

0

2

4

2

1

3

2

v

s

p

v

s

p

v

s

p

(1)…. 2p + 3s – v = 1 (2)…. 2p + 4s + 2v = 0

(3)…. –p –s + 3v = 0

dari (2) – (1) diperoleh s + 3v = -1 …. (4)

dari (2) + 2(3) diperoleh

2s + 8v = 0 …. (5)

dari (5) – 2(4) diperoleh v = 1 Substitusi ke (4) diperoleh s = -4.

jika v = 1 dan s = -4 disubstitusi ke (3) diperoleh p = 7

ii.









=

+

−

−

=

+

+

=

−

+

0

3

1

2

4

2

0

3

2

w

t

q

w

t

q

w

t

q

(1) …. 2q + 3t – w = 0

(2) …. 2q + 4t + 2w = 1 (3) …. –q – t + 3w = 0

dari (2) – (1) diperoleh t + 3w = 1 …. (4)

dari (2) + 2(3) diperoleh

2t + 8w = 1 …. (5)

dari (5) – 2(4) diperoleh w = - 1_{2, w =}

-2

1 _{substitusi ke (5) diperoleh t =}

2 5

jika w = - 1_{2 dan t =}

2

5 _{substitusi (3) akan diperoleh q = -4}

w w

.docu-track.com ww

iii.









=

+

−

−

=

+

+

=

−

+

1

3

0

2

4

2

0

3

2

x

u

r

x

u

r

x

u

r

(1) …. 2r + 3u – x = 0

(2) …. 2r + 4u + 2x = 0

(3) …. –r – u + 3x = 1 dari (2) – (1) diperoleh

u + 3x = 0 …. (4)

dari (2) + 2(3) diperoleh

2u + 8x = 2 …. (5)

dari (5) – 2(4) diperoleh x = 1, jika x = 1 substitusi ke (4) diperoleh u = -3 Jika x = 1 dan u = -3 disubstitusi ke (3) akan diperoleh r = 5

Jadi invers dari matriks A =





















−

−

−

3

1

1

2

4

2

1

3

2

adalah B =





















−

−

−

−

1

1

3

4

5

4

7

2 1 2 5

b. Menggunakan adjoin matriks.

Jika A adalah matriks non singular berordo m x n , maka invers matriks A dapat dicari

dengan adjoin matriks sebagai berikut :

)

(

det

1

1

Adj

A

A

A

−

=

di mana Adj (A) adjoin matriks A dapat dicari dengan terlebih dulu mengetahui minor dan kofaktor matriks itu.

Jika

x

_ijadalah elemen matriks baris ke-i kolom ke-j maka :

i. Minor matriks

M

_ijadalah determinan matriks dengan menghapus

(menghilangkan) baris ke- i kolom ke-j

Misal A =





















i

h

g

f

e

d

c

b

a

11

M

=

i

h

f

e

= ei – fh (menghapus baris ke-1 kolom ke-1 )

12

M

=

i

g

f

d

= di – fg ( menghapus baris ke-1 kolom ke-2 )

13

M

=

h

g

e

d

= dh – eg ( menghapuskan baris ke-1 kolom ke-3 )

dan seterusnya.

ii. Kofaktor Kij adalah perkalian

(

−

1

)

i+jdengan Mij

11

K

=

(

−

1

)

1+1

M

₁₁ = 1(ei – fh)

w w

.docu-track.com ww

)

(

1

)

1

(

1 2 ₁₂

12

M

di

fg

K

=

−

+

=

−

−

)

(

1

)

1

(

1 3 ₁₃

13

M

dh

eg

K

=

−

+

=

−

dan seterusnya

A djoin matriks A dirumuskan A dj (A ) =





















33 23 13 32 22 12 31 21 11

K

K

K

K

K

K

K

K

K

Contoh :

Tentukan invers dari matriks A =





















−

−

−

3

1

1

2

4

2

1

3

2

dengan adjoin matriks

Penyelesaian :

i. det A =

3

1

1

2

4

2

1

3

2

−

−

−

= 24 – 6 + 2 – 4 + 4 – 18 = 2

iii. minor-minor matriks A

14

)

2

(

12

3

1

2

4

11

=

−

=

−

−

=

M

8

)

2

(

6

3

1

2

2

12

=

−

=

−

−

=

M

2

)

4

(

2

1

1

4

2

13

=

−

−

=

−

−

−

=

M

8

1

9

3

1

1

3

21

−

=

−

=

−

=

M

5

1

6

3

1

1

2

22

−

=

−

=

−

=

M

1

)

3

(

2

1

1

3

2

23

=

−

−

=

−

−

−

=

M

10

)

4

(

6

2

4

1

3

31

=

−

−

=

−

=

M

6

)

2

(

4

2

2

1

2

32

=

−

−

=

−

=

M

2

6

8

4

2

3

2

33

=

=

−

=

M

iv. Kofaktor-kofaktor matriks A

14

)

1

(

2 ₁₁

11

=

−

M

=

K

8

)

1

(

3 ₁₂

12

=

−

M

=

−

K

2

)

1

(

4 ₁₃

13

=

−

M

=

K

8

)

1

(

3 ₂₁

21

=

−

M

=

−

K

5

)

1

(

4 ₂₂

22

=

−

M

=

K

1

)

1

(

5 ₂₃

23

=

−

M

=

−

K

10

)

1

(

31 4

31

=

−

M

=

K

6

)

1

(

5 ₃₂

32

=

−

M

=

−

K

2

)

1

(

6 ₃₃

33

=

−

M

=

K

v. invers matriks A dapat ditemukan





















=

− 33 23 13 32 22 12 31 21 11 1

det

1

K

K

K

K

K

K

K

K

K

A

A





















−

−

−

−

=

−

2

1

2

6

5

8

10

8

14

2

1

1

A

w w

.docu-track.com ww





















−

−

−

−

=

−

1

1

3

4

5

4

7

2 1 2 5 1

A

Bandingkan dengan cara sebelumnya.

Lembar Kerja KB 5

1. Tentukan determinan dan invers dari matriks A =





















1

2

0

5

4

1

3

0

2

2. Tentukan determinan dan invers dari matriks B =





















−

−

1

1

4

6

4

3

2

1

4

3. Tentukan determinan dan invers dari matriks C =





















−

−

−

1

1

1

3

2

4

5

4

7

w w

.docu-track.com ww