RUMUS BARIS BILANGAN DAN DERET
http://matasisi.blogspot.com/2012/01/rumus-baris-bilangan-dan-deret.html https://hjaya.wordpress.com/2010/09/14/barisan-bilangan-1/
https://www.academia.edu/5672249/BAB_19_Barisan_dan_Deret_fixs? login=hamka261@gmail.com&email_was_taken=true
1. Barisan Bilangan Genap Barisan: 2, 4, 6, 8, ...
Deret: 2 + 4 + 6 + 8 + … Rumus Suku ke-n: Un = 2n
Jumlah n suku pertama: Sn = n² + n
2. Barisan Bilngan Ganjil Barisan: 1, 3, 5, 7, 9, … Deret: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … Rumus Suku ke-n: Un = 2n – 1 Jumlah n suku pertama: Sn = n²
3. Barisan Bilangan Persegi ( Kuadrat ) Barisan: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Deret: 1 + 4 + 9 + 25 + 36 + … Rumus Suku ke-n: Un = n²
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n( n + 1 )( 2n + 1 )
Deret: 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + … Rumus Suku ke-n: Un = n³
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n² ( n + 1 )²
5. Barisan Bilangan Segitiga Barisan: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
Deret: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + … Rumus Suku ke-n: Un = 1/2 n ( n + 1 )
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
6. Barisan Bilangan Persegi Panjang Barisan: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …
Deret: 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + … Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 )
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )
7. Barisan Bilangan Balok Barisan: 6, 24, 60, 120, … Deret: 6 + 24 + 60 + 120 + …
Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 ) ( n + 2 )
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )
8. Barisan Bilangan Fibonacci
Barisan Bilangan Fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku di depannya.
Barisan:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
9. Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah barisan bilangan dimana suku selanjutnya diperoleh dari menjumlahkan bilangan tetap terhadap suku sebelumnya.
Beda (b) = U2 - U1 = U3 - U2 dst Rumus Suku ke-n: Un = a + (n – 1 )b
Jumlah n suku pertama: Sn = n/2 ( a + Un ) a = suku pertama
b = beda ( selisih )
n = banyaknya suku
Un = seku ke-n yaitu suku terakhir
10. Barisan Geometri
Barisan Geometri adalah barisan yang perbandingan di antara dua suku yang berurutan tetap.dapat di tulis :
U2 : U1 = U3 : U2
Barisan: 1, 2, 4, 8, 16, 32, …
Deret: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … Rumus Suku ke-n: Un =a . rn-1
Jumlah n suku pertama:
Sn = a( rn - 1 ) / r - 1, untuk r ≥ 1
Gampang UN Matematika hal 30-31
A. Tinjauan Pustaka 1. Barisan Bilangan
Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam
barisan. Contoh :
1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dan seterusnya 2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dan seterusnya
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un maka U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret. Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + Un 2 + 4 + 6 + 8 +… + Un
Barisan bilangan dibentuk oleh bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Barisan bilangan ini dapat kita teruskan suku-sukunya apabila aturan untuk memperoleh suku berikutnya sudah ditentukan.
Perhatikan barisan bilangan berikut ini : 1, 2, 4, 7, 11, ... Artinya :Suku pertama ditulis U1 = 1
Suku berikutnya dari barisan tersebut dapat diteruskan dengan aturan ”menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”
”Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”. Dengan cara di atas maka untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan meneruskan pola yang ada. Namun demikian, untuk n yang besar misalnya n = 50, kita akan mengalami kesulitan, untuk itu akan kita pelajari bagaimana menentukan suku ke-n dengan menggunakan rumus Un. Contoh barisan bilangan khusus antara lain : · Barisan Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = n Suku ke-10 adalah U10 = 10
· Barisan Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, ... Rumus suku n adalah Un = 2n – 1. Suku ke-15 adalah Uke-15 = 2 x ke-15 – 1 = 29
· Barisan Bilangan Kuadrat / persegi : 1, 4, 9, 16, ... Rumus suku ke-n adalah Un = n2 . Suku ke-12 adalah U12 = 122 = 144
Barisan bilangan juga dapat diperoleh dari pengembangan pola yang teratur, contoh : · Barisan Bilangan Persegi Panjang : 2, 6, 12, 20, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = n(n+1) Suku ke-8 adalah U8 = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72 · Barisan Bilangan Segitiga : 1, 3, 6, 10, ... Rumus suku ke-n adalah Un = ½ n(n+1) Suku ke-10 adalah U10 = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55
· Barisan Bilangan Pada Segitiga Pascal
Baris ke-n diperoleh dengan menjumlahkan dua suku berurutan pada baris sebelumnya. Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1= 1 = 20 = 21-1
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Misalnya Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 selalu tetap.Bentuk umum barisan aritmatika seperti berikut :U1,U2,U3,... ,Un-1 atau a,a + b,a + 2b,……,a + (n-1) b.Keterangan :U1 = a = suku pertama
Un-Un-1 = beda = b Un=sukuke-n
n=banyaknya suku/urutan suku
Un=n-1
C. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk
menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan pembentukan barisan bilangan. Contoh :
Tentukan suku ke-20 barisan bilangan 2,5,8,11,.... Penyelesaian: a = 2. b = 5-2 = 3. Un = a + (n-1) b=2+(20-1)3=2+60–3=59
Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun, sebagai berikut : a. Bila b > 0, maka barisan aritmatika itu naik.
b. Bila b < 0, maka barisan aritmatika itu turun.
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1). sehingga diperoleh hubungan: Ut = 1/2 (U1 + U(2t – 1) )
Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal, maka: Utengah = 1/2 ( Uawal + Uakhir)
D. Barisan Aritmatika Tingkat Banyak (Pengayaan)
Barisan aritmatika tingkat x adalah sebuah barisan aritmatika yang memiliki selisih yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan. Dengan menggunakan
pembuktian Binomium Newton (tidak diuraikan disini), maka rumus umum suku ke-n untuk barisan aritmatika tingkat banyak adalah:
Un = a + (n – 1)b + 1/2 (n -1)(n -2)c + 1/3 (n -1)(n - 2)(n-3)d + …. Keterangan : a = suku ke-1 barisan mula-mula
b = suku ke-1 barisan tingkat satu ,c = suku ke-1 barisan tingkat dua, d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya
3. Deret Bilangan
Deret adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya setelah suku pertama diperoleh dengan menambahkan (deret hitung atau deret Aritmetika) atau mengalikan (deret ukur atau deret geometri) bilangan sebelumnya dengan sebuah bilangan konstan yang bukan nol.
4. Deret Aritmetika
Jika merupakan barisan aritmatika, maka merupakan deret aritmatika.
Jumlah n suku Deret Aritmatika
Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinotasikan dengan .
atau karena maka
Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bisa dicari menggunakan rumus berikut:
Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika
Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku dimana maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:
Keterangan:
5. Hubungan Barisan Aritmetika dan Deret Aritmetika
Bagaimana mencari Sn atau mencari rumus Jumlah suku n untuk barisan Aritmetika bertingkat ?. Pada dasarnya mencari rumus Sn dari aritmatika bertingkat ( termasuk juga aritmatika biasa tidak bertingkat ), selalu bisa dilakukan dengan
memakai tips semacam ini : Sn pada barisan aritmatika biasa atau bertingkat selalu bisa dihitung memakai Un dengan barisan aritmatika setingkat di atasnya. Untuk Menghitung Sn aritmatika biasa identik dengan menghitung Un aritmatika bertingkat 2. Untuk
menghitung Sn aritmatika bertingkat 2, identik dengan menghitung Un aritmatika bertingkat 3
Untuk menghitung Sn aritmatika bertingkat 3, identik dengan menghitung Un aritmatika bertingkat 4. demikian seterusnya. Contoh : Ada barisan Arimatika biasa (tidak bertingkat ) semacam ini : 2 4 6 8 10.
Un = a + ( n-1 ) b = 2 + ( n - 1 ) 2 = 2 + 2n - 2
Un = 2n. Sn sudah ada rumusnya yaitu 1/2 n ( a + Un ) = 1/2 n ( 2 + 2n ) Sn = pn2 + qn = qn + pn2.
Hasil Sn yang diperoleh juga persis sama yaitu n2+n. Jadi selain memakai rumus Sn standar, Sn barisan aritmatika biasa, bisa juga dicari dengan memakai Un barisan aritmatika bertingkat . Tips ini berlaku untuk semua barisan aritmatika bertingkat berapapun.
Jadi misalnya untuk menghitung Jumlah suku ke n ( Sn ) barisan arimatika bertingkat 3, buat dulu barisan Sn, ini identik dengan menghitung Un bertingkat 4, lalu anda gunakan rumus suku ke n ( Un ) barisan aritmatika bertingkat 4 untuk menyelesaikannya.
Contoh : Anggap saja ada soal begini : Carilah Sn atau rumus jumlah suku n untuk barisan di bawah ini
1 17 69 181 377 681
Perhatikan bahwa !. Mencari Sn dari 1, 17, 69, 181, 377, 681 adalah identik dengan mencari Un dari 1, 18, 87, 268, 646, 1326.
cari rumus suku ke n atau Un dari barisan Sn tersebut.
Kita bisa saja memakai rumus spesial suku n atau Un aritmatika pangkat 4 karena hasilnya berpangkat 4, atau bisa juga memakai rumus umum barisan aritmatika
bertingkat berapapun, seperti yang ada di sini : a = 1, b = 17, c = 52, d = 60, e = 24. Un dari barisan Sn tersebut :
Tinggal dimasukkan : a, b, c, d, e
Jika persamaan di atas disederhanakan hasilnya adalah
HASIL DAN PEMBAHASAN A. Hasil Penelitian
1. Rumus yang Cepat,Akurat dan Tepat dalam Menyelesaikan Suatu Soal dalam Menentukan Rumus Suku Ke-n (Un) dan Beda Barisan (b)
Setelah melakukan penelitian berdasarkan metode-metode yang digunakan. Maka, Rumus cepat yang digunakan oleh penulis untuk mengerjakan soal barisan dan deret bentuk Sn= pn2+qn adalah :
Un = S1 +
(n-1) 2p Un = 2pn + (q – p )
a. untuk menentukan rumus suku ke-n penulis menggunakan dua rumus : dan
Keterangan :
p = koefisien dari persamaan Sn yaitu pn2 q = koefisien dari persamaan Sn yaitu qn S1 = jumlah suku pertama dari persamaan Sn n = suku yang ingin ditentukan (1,2,3…)
b = 2p
b. Untuk menentukan beda barisan (b) penulis menggunakan rumus :
2. Pembuktian/pertanggungjawaban dengan Penggunaan Rumus dari Penulis dalam Menentukan Rumus Suku Ke-n (Un) dan Beda Barisan (b) Berdasarkan Rumus Dasarnya
Untuk membuktikan keabsahan rumus yang digunakan, penulis memaparkan pertanggungjawaban rumusnya atau proses modifikasi rumus sehingga didapatkan rumus baru :
a. Pembuktian rumus : Un = 2pn + qn
Sn = pn2+qn Un = Sn-Sn-1
Un = (pn2+qn) – (p(n-1)2 + q(n-1)) Un = (pn2+qn) – ( p (n2-2n+1) + qn – q) Un = (pn2+qn) – (pn2-2pn + p + qn – q) Un = pn2+qn – pn2 + 2pn – p – qn + q Un = 2pn +
(q- p)
Un = 2pn – p +q
b. Pembuktian rumus : b = 2p
Apabila diteruskan rumus dari Un = 2pn + (q- p) maka akan didapatkan beda barisan :
b = U2-U1 ( eliminasi suku ke -2 (U2) dan suku pertama (U1) U2 = 2pn + (q- p) = 2p(2) + (q-p) = 4p + q – p = 3p + q
U1 = 2pn + (q- p) = 2p(1) + (q-p) = 2p + q – p = p + q b =
2p
U2 – U1 = 2p
c. Pembuktian rumus : Un = S1 + (n-1) 2p
Un = a + (n-1) b
Rumus ini merupakan hasil analogi dari rumus dasar untuk mencari rumus suku ke-n (Un) barisan aritmetika yaitu rumus :
Keterangan :
a = suku pertama (U1) b = beda barisan
maka hasil analogi dari rumus ini adalah dengan menganalogkan a yaitu suku pertama dengan S1 jumlah pertama suatu suku aritmetika karena a dan S1 memiliki nilai yang sama, contohnya :
barisan aritmetika : 3,5,7,9,… (beda = 2) Tentukan :
suku awal (a) dan jumlah suku pertama (S1) a = 3
Sn = ( 2a + (n-1) b ) S1 = ( 2(3) + (1-1) 2) a =
S1
= ( 6) = 3
Kesimpulan :
kemudian hasil pembuktian dari rumus barisan bilangan bentuk Sn= pn2+qn didapatkan rumus : b = 2p , maka :
Un = a + (n-1) b (Rumus Dasar untuk Bilangan Aritmetika) Un = S1 +
(n-1) 2p
dianalogkan menjadi : a = p
+ q
Selain itu juga penulis menemukan rumus lain seperti :
Keterangan : a = Suku awal pada barisan aritmetika biasa
p = Koefisien pn2 pada barisan aritmetika bertingkat bentuk Sn q = koefisien qn pada aritmetika bertingkat bentuk Sn
Untuk menguji efektifitas dan perbandingan efektifitas antara rumus penulis dengan rumus reduksi dari responden penulis memberikan 4 buah soal dengan berbagai variasi untuk menentukan suku ke-n (Un) beda barisan (b) yang akan dikerjakan masing-masing dari versi responden dan versi penulis yang diukur waktu pengerjaannya. berikut adalah soalnya :
Soal 1 : Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan oleh Sn = 2n2- 3n. Suku ke-8 deret tersebut adalah ….(Prediksi Erlangga Fokus
U8 = (2-3) + (8-1) 2 (2) Sn = n2+3n. Tentukan : (LKS Tuntas Matematika Kelas XII-2013)
Waktu : 3 Detik c) Cara 1 : U2+U4 = (2n +2) + (2n+2)
= (2(2)+2) + (2(4)+2) = 6 + 10 = 16
Waktu : 16 Detik Cara 2 : U2 + U4 = 2a + 4b
= 2 (p+q) + 4(2p) = 2 (1+3) + 4(2)
= 8 + 8 = 16 Waktu : 20 Detik Waktu Tercepat : 32 Detik
Waktu Terlama : 38 Detik
Versi Responden : a) Un = Sn - Sn-1
Un = (n2+3n) – ((n-1)2 + 3(n-1))
Un = (n2+3n) – (n2- 2n +1+3n-3)
Un = n2+3n – n2 – n +2 Un = 2n + 2
Waktu : 37 Detik b) b = U2-U1
b = (2n +2) – (2n+2) b = (2(2) + 2) – (2(1)+2)
b = 6 – 4 = 2
c) U2+U4 = (2n +2) + (2n+2)
= (2(2)+2) + (2(4)+2) = 6 + 10 = 16
Waktu : 16 Detik Total Waktu : 66 Detik Nama Responden : Yulianto SMA Negeri 4 Makassar
Soal 4 : Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Versi
Penulis : b = 2p = 2( ) = 5 Waktu : 5 Detik
Versi Responden :
Un = Sn-Sn-1
Un = ( (5n-19)) – ( (5(n-1)-19) Un = ( ) – ( ) Un =
Un = (2n-1) b = U2-U1
= ( 1)) - ( (2n-1))
= ( (2(2)-1) – ( (2(1)-1)
= (4-1) - (1) = - = = 5 Waktu : 100 Detik
Putra 2)
Soal 5 : Dari suatu deret diketahui Sn = 3n2- 15n. Jika Un = 0 , maka n = …. (Matematika IPA Kelas 3-Bailmu-2013)
Versi Penulis : Cara 1 : Un = S1 + (n-1) 2p
Un = (3-15) + (n-1) 2(3)
Un = -12 + 6n-6
0 = 6n-18 6n = 18 n= 3
Waktu : 22 Detik Cara 2 : Un = 2pn + (q-p)
0 = 2(3)n + (-15-3)
0 = 6n-18 6n = 18 n= 3
Waktu : 20 Detik
Versi Responden : Un = Sn-Sn-1
Un = (3n2- 15n) – (3(n-1)2- 15(n-1))
Nomor Soal
Waktu Responden (Detik)
Waktu Penulis (Detik)
Selisih waktu (Detik)
1 55 17 atau 16 38 atau 39
2 66 38 atau 32 28 atau 34
4 100 5 95
5 62 22 atau 20 40 atau 42
B. Pembahasan
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dipaparkan, maka dapat dijawab ketiga rumusan masalah diatas. Bahwa rumus baru yang diciptakan penulis dalam memecahkan soal barisan dan deret aritmetika bentuk Sn = pn2+qn, terbagi atas dua yaitu rumus untuk mencari suku ke-n (Un) dan mencari beda barisan (b).
Untuk mencari suku ke-n (Un) penulis menggunakan rumus Un = 2pn + (q – p ) atau Un = S1 + (n-1) 2p. Sedangkan untuk menentukan beda barisan penulis
menggunakan rumus b=2p dan memang terbukti bahwa rumus ini cukup cepat,tepat, dan akurat dalam memecahkan tipe soal bilangan bertingkat (bentuk pn2+qn). Rumus inilah yang akan penulis paparkan pada karya ilmiah ini.
Rumus Un = 2pn + (q – p ) merupakan hasil modifikasi dari rumus dasar untuk mencari suku ke-n (Un) yaitu rumus Un = Sn - Sn-1 (Proses modifikasi rumus dapat dilihat pada bab empat Hasil dan pembahasan di sub Hasil Penelitian halaman 17-19).
Sedangkan rumus b=2p merupakan hasil modifikasi dari rumus Un = 2pn + (q – p ) (Proses modifikasi dapat dilihat pada bab empat Hasil dan pembahasan di sub Hasil Penelitian halaman 18). Sedangkan pada rumus Un = S1 + (n-1) 2p merupakan rumus hasil analogi dari rumus dasar mencari suku ke-n (Un) dari barisan aritmetika yang biasa yaitu rumus Un = a + (n-1) b.
Rumus Un = a + (n-1) b memiliki karakteristik yang sama dengan rumus Un = S1 + (n-1) 2p, dengan menganalogkan jumlah suku pertama S1 sama dengan suku awal a dan dari rumus sebelumnya didapatkan b=2p sehingga diperolehlah rumus Un = S1 + (n-1) 2p. Rumus ini cukup efektif dalam mengerjakan soal barisan dan deret aritmetika bentuk Sn = pn2+qn karena bisa dilihat dari segi efisiensi waktunya yg cukup cepat dan akurat dalam memecahkan soal.
Efisiensi waktu dalam pengerjaan soal sangat begitu efisien karena bisa dilihat dari tabel kesimpulan pengerjaan soal selisih jarak yang cukup besar antara pengerjaan soal versi responden dan versi penulis menunjukkan bahwa versi dari penulis lebih cepat daripada versi dari responden sedangkan jenis soal sama dan waktu memulai
pengerjaannya bersamaan.
maka efisiensinya sangat cepat,tepat,dan akurat karena mampu mencapai 90 % keefektifan dan efisiensi rumus yang digunakan oleh penulis.
Kemudian apabila rumus penulis ini diterapkan pada Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN) ataupun Ujian Mandiri (UM) lainnya, seperti SIMAK UI, UM UGM dan sebagainya , jika diketahui jumlah soal pada Tes bidang studi diberikan waktu 60 menit untuk Matematika IPA,Fisika,Kimia dan Biologi berarti pembagian rata untuk waktu masing-masing bidang studi adalah 15 menit, 15 menit pengerjaan untuk soal Matematika IPA sedangakan soal Matematika IPA ada 15 soal berarti tiap waktu pengerjaannya adalah 1menit atau 60 detik.
Maka apabila soalnya, seperti soal pilihan 1,2,3,4 seperti contoh soal nomor 2 (lihat halaman 21) maka :
Selisih waktu = 60 - 28 = 32 detik , atau selisih waktu = 60-34 = 26 Efisiensi = X100 % = 53,33 % atau Efisiensi X100 % = 43,33 %
Maka bisa disimpulkan bahwa efisiensi waktu sebesar 53,33 % dan 43,33 % sudah dapat dikatakan cukup baik apalagi dengan soal setingkat SBMPTN yang kebanyakan persepsi siswa sangat sulit untuk dikerjakan.
Kemudian, masih dalam soal SBMPTN dan UM, apabila bentuk soalnya pilihan ganda yang bentuknya seperti nomor 4, maka efisiensi waktunya :
Selisih waktu = 60 -5 = 55 detik
Efisiensi = X 100 % = 92 % (Pembulatan).
Efisiensi yang demikian itu adalah efisiensi waktu yang sudah luar biasa dalam soal setingkat SBMPTN dan UM.
Jika melihat efektifitas dan efisiensi waktu yang telah dipaparkan, maka sudah tidak diragukan lagi rumus mencari suku ke-n (Un) dan beda barisan (b) pada barisan dan deret aritmetika bentuk Sn = pn2 + qn yang dipaparkan oleh penulis cukup efektif dalam mengerjakan soal-soal barisan dan deret aritmetika bentuk pn2 + qn.
Manfaat rumus baru yang diciptakan oleh penulis ini sangat berguna untuk mengefisiensikan waktu pada pelaksanaan tiap ujian baik itu ujian
harian,semester,nasional atau SBMPTN sehingga cukup banyak waktu luang untuk mengerjakan soal yang lainnya.
6. Teori Pendukung Jumlah (Sn) Bilangan Bertingkat A. Teori Diophantus (250-200 SM)
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang sistem aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika Diophantus berisi pemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan tingkat pertama dan juga
sumbangsinya pada teori bilangan aritmetika terutama pada jumlah (Sn) pada bilangan bertingkat.
1. Persamaan umum untuk mencari suku ke–n pada Barisan aritmatika tingkat dua Un = + +
dengan m0 := suku awal pada barisan semula
m1 := suku awal pada barisan tingkat pertama yang dibentuk
m2 := suku awal pada barisan tingkat kedua yang dibentuk atau beda konstan yang diproleh
B. Teori Johan Carl Friedrich Gauss (30 April 1777 – 23 Februari 1855). Gauss sangat berjasa pada bidang matematika, tepatnya pada teori deret aritmetika Gauss adalah matematikawan, astronom,danfisikawan Jerman yang memberikan beragam kontribusi. Ia dipandang sebagai salah satu matematikawan terbesar sepanjang masa selain Archimedes dan Isaac Newton. Dilahirkan
diBraunschweig,Jerman, saat umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampumengoreksi kesalahan daftar gajitukang batu ayahnya.
Menurut sebuah cerita, pada umur 10 tahun, ia membuat gurunya terkagum kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah
suatu deretaritmatika berupa penghitungan deret1+2+3+...+100. Meski cerita ini hampir sepenuhnya benar, soal yang diberikan gurunya sebenarnya lebih sulit dari itu
Jumlah Semua Suku Pada Deret
Alkisah, Carl Friedrich Gauss, salah satu matematikawan terbaik dan yang paling berpengaruh sepanjang masa, menemukan metode untuk menghitung nilai dari ketika beliau masih berusia 10 tahun. Metode yang diperkenalkan oleh Gauss di usia belia itu masih belum tergantikan hingga saat ini. Untuk menghormati jasa beliau, metode ini dinamai metode Gaussian.
Lantas, bagaimana caranya menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik?
Untuk menghitung jumlah dari suku-suku pada sebuah deret aritmatik, kita a kan meminjam metode Gaussian ini sebentar :
Dengan demikian kita peroleh rumus untuk menghitung total nilai seluruh suku pada deret aritmatika, yaitu . Dimana :
menyimbolkan jumlah (sum) dari suku-suku pada deret. menyimbolkan suku pertama pada deret. menyimbolkan suku terakhir pada deret. menyimbolkan banyaknya suku pada deret.
Karena deret aritmatika berbentuk maka kita boleh saja meng-asumsikan bahwa ada suku yang letaknya berada di rentang (well-order principle) sehingga deret aritmatika dapat dituliskan sebagai .
