Makalah Kelompok II Tugas Matdas I

(1)

ii

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan hidayah-Nya lah kami dapat menyelesaikan makalah karena dengan hidayah-Nya lah kami dapat menyelesaikan makalah Matematika Dasar 1 mengenai fungsi dan grafiknya, operasi fungsi, fungsi Matematika Dasar 1 mengenai fungsi dan grafiknya, operasi fungsi, fungsi komposisi, fungsi trigonometri, pendahuluan limit, teorema limit dan komposisi, fungsi trigonometri, pendahuluan limit, teorema limit dan kekontiniuan fungsi. Makalah ini kami kerjakan semaksimal mungkin dan kekontiniuan fungsi. Makalah ini kami kerjakan semaksimal mungkin dan dengan bantuan berbagai pihak, sehingga dapat memperlancar dengan bantuan berbagai pihak, sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu tidak lupa kami sampaikan banyak pembuatan makalah ini. Untuk itu tidak lupa kami sampaikan banyak terima kasih kepada pihak yang telah membantu kami dalam pembuatan terima kasih kepada pihak yang telah membantu kami dalam pembuatan makalah ini, khususnya kepada Bapak Pada Oloan Siregar, S.Kom., M.T.I makalah ini, khususnya kepada Bapak Pada Oloan Siregar, S.Kom., M.T.I selaku Dosen mata kuliah Matematika Dasar I yang telah memberikan selaku Dosen mata kuliah Matematika Dasar I yang telah memberikan tugas ini kepada kami.

tugas ini kepada kami.

Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita. Kami juga menyadari menambah wawasan serta pengetahuan kita. Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam tugas ini terdapat banyak kekurangan dan sepenuhnya bahwa di dalam tugas ini terdapat banyak kekurangan dan jauh dari apa

jauh dari apa yang kami harapkan. Untuk itu, yang kami harapkan. Untuk itu, kami berharap kami berharap adanya kritik,adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan di masa yang akan datang, mengingat saran dan usulan demi perbaikan di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun.

tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun.

Jambi, 23 Januari 2015 Jambi, 23 Januari 2015

Penyusun, Penyusun,

(2)

ii ii

Daftar Isi

Kata Pengantar ... i Kata Pengantar ... i Daftar Isi ... ii Daftar Isi ... ii

BAB I FUNGSI DAN GRAFIKNYA ... 1

1.2. Pengertian ... 1

BAB II OPERASI FUNGSI ... 4

2.1. Pengertian Operasi Fungsi ... 4

2.2. Jumlah, Selisih, 2.2. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Kali dan Bagi, Pangkat Bagi, Pangkat ... 4. 4 BAB III FUNGSI KOMPOSISI ... 6

BAB III FUNGSI KOMPOSISI ... 6

3.2. Contoh Soal 3.2. Contoh Soal dan Penyelesaian dan Penyelesaian ... 7... 7

BAB IV FUNGSI TRIGONOMETRI ... 9

4.1. Pengertian Fungsi Trigonometri 4.1. Pengertian Fungsi Trigonometri ... 9... 9

4.2. Nilai Fungsi Trigonometri ... 10

4.3. Fungsi 4.3. Fungsi

–

Fungsi Trigonometri ... 12 Fungsi Trigonometri ... 12

4.3.1. Fungsi Sinus ... 12 4.3.1. Fungsi Sinus ... 12 4.3.2. Fungsi Cosinus ... 12 4.3.2. Fungsi Cosinus ... 12 4.3.3. Fungsi Tangen ... 13 4.3.3. Fungsi Tangen ... 13

4.4. Fungsi Invers Trigonometri ... 14

BAB V PENDAHULUAN LIMIT ... 16

5.1. Definisi Limit ... 16

5.2. Limit Kanan dan Kiri (Limit Sepihak) ... 17

5.2.1. Definisi Limit Kanan ... 18

5.2.2. Definisi Limit Kiri ... 18

BAB VI BAB VI TEOREMA LIMIT TEOREMA LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI DAN KEKONTINUAN FUNGSI ... 22... 22

6.1. Teorema Limit ... 22

6.1.1. Teorema Limit Utama ... 22

6.1.2. Teorema Substitusi ... 24 6.1.2. Teorema Substitusi ... 24 6.1.3. Teorema Apit ... 24 6.1.3. Teorema Apit ... 24 6.2. Kekontinuan Fungsi ... 25 6.2. Kekontinuan Fungsi ... 25

(3)

ii ii Kata Pengantar ... i Kata Pengantar ... i Daftar Isi ... ii Daftar Isi ... ii

BAB I FUNGSI DAN GRAFIKNYA ... 1

BAB II OPERASI FUNGSI ... 4

2.1. Pengertian Operasi Fungsi ... 4

2.2. Jumlah, Selisih, 2.2. Jumlah, Selisih, Hasil Kali dan Hasil Kali dan Bagi, Pangkat Bagi, Pangkat ... 4. 4 BAB III FUNGSI KOMPOSISI ... 6

BAB III FUNGSI KOMPOSISI ... 6

3.2. Contoh Soal 3.2. Contoh Soal dan Penyelesaian dan Penyelesaian ... 7... 7

BAB IV FUNGSI TRIGONOMETRI ... 9

4.1. Pengertian Fungsi Trigonometri 4.1. Pengertian Fungsi Trigonometri ... 9... 9

4.2. Nilai Fungsi Trigonometri ... 10

4.3. Fungsi 4.3. Fungsi

–

Fungsi Trigonometri ... 12 Fungsi Trigonometri ... 12

4.3.1. Fungsi Sinus ... 12 4.3.1. Fungsi Sinus ... 12 4.3.2. Fungsi Cosinus ... 12 4.3.2. Fungsi Cosinus ... 12 4.3.3. Fungsi Tangen ... 13 4.3.3. Fungsi Tangen ... 13

4.4. Fungsi Invers Trigonometri ... 14

BAB V PENDAHULUAN LIMIT ... 16

5.1. Definisi Limit ... 16

5.2. Limit Kanan dan Kiri (Limit Sepihak) ... 17

5.2.1. Definisi Limit Kanan ... 18

5.2.2. Definisi Limit Kiri ... 18

BAB VI BAB VI TEOREMA LIMIT TEOREMA LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI DAN KEKONTINUAN FUNGSI ... 22... 22

6.1. Teorema Limit ... 22

6.1.1. Teorema Limit Utama ... 22

6.1.2. Teorema Substitusi ... 24 6.1.2. Teorema Substitusi ... 24 6.1.3. Teorema Apit ... 24 6.1.3. Teorema Apit ... 24 6.2. Kekontinuan Fungsi ... 25 6.2. Kekontinuan Fungsi ... 25

(4)

iii iii 6.2.1. Sifat

6.2.1. Sifat

–

Sifat Fungsi Kontinu Sifat Fungsi Kontinu ... 26... 26

6.2.2. Kekontinuan Pada Selang ... 28

KESIMPULAN ... 29

DAFTAR PUSTAKA ... 30

(5)

1

FUNGSI DAN GRAFIKNYA

1.2 Pengertian

Fungsi adalah suatu aturan korespodensi (padanan) yang menghubungkan setiap objek x dalam himpunan yang disebut daerah asal. Dengan sebuah nilai f(x) dari setiap himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.

Apabila sebuah fungsi g mengambil suatu bilangan ril x lalu mengkuadradkan nya x². dan mendapatkan sebuah rumus yang memberikan pada aturan padanan. g(x)=x² maka dapat dibuat sebuah diagram skematis untuk fungsi ini.

Daerah asal daerah hasil

-2 4

-1 3

0 2

1 1

2 0

Daerah asal disebut juga domain. Sedangkan daerah hasil disebut juga kodomain.misalnya jika f adalah fungsi dengan aturan f(x) = x² +1

dan jika daerah asal dirinci sebagai (-1, 0, 1, 2,3) maka daerah hasilnya adalah (1,2,5,10). Daerah asal dan aturan menentukan daerah hasil tersebut.

Daerah asal f(x) = x²+1 daerah hasil

3 10

(6)

2

1 2

0 1

-1

Ketika fungsi daerah asal nya tidak dirinci, kita slalu menganggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan terear bilangan real sedemikian rupa sehingga aturan fungsi ada maknanya dan memberikan bilangan real. Ini disebut daerah asal alami. Bilangan bilangan yang harus anda ingat untuk ditiadakan dari daerah asal alami adalah nilai nilai yang menyebkan munculnya pembagian dengan nol atau akar kuadrat bilangan negatif.

Notasi fungsi dilambangkan dengan huruf tunggal seperti f (atau g

atau F). maka f(x) dibaca “f dari x” atau “f pada x”. menunjukkan nilai yang

diberikan oleh f terhadap x. jadi jika f(x)=x³-4. Maka

F(2)= 2³-4 = 4

F(-1)=(-1)³-4 = -5

F(a)=a³-4

Bilamana aturan fungsi diberikan sebuah persamaan y=f(x), x disebut peubah bebas dan y disebut peubah tak bebas. Sebarang nilai boleh dipilih sebagai nilai dari peubah bebas x, sedangkan nilai y bergantung pada pilihan x.

Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan himpunan bilangan real, kita tentu dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafik pada bidang koordinat. Dan grafik fungsif adalah grafik dari persamaan y=f(x)

Selain itu fungsi genap dan ganjil juga menentukan bentuk grafik. Seringkali kita memperkirakan kesimetrisan suatu fungsi dengan

(7)

memeriksa rumus fungsi tersebut. Jika f(-x)=f(x) untuk semua x, maka grafik simetris terhadap sumbu y. fungsi demikian disebut fungsi genap, barangkali karna fungsi menentukan f(x) sebagai jumlah dari pangkat pangkat genap x adalah genap. Fungsi f(x)= x²-4. Demikian juga f(x) =

=

3

6  2



11



5,

f(x) =





(+



₎

, dan f(x) =

(



−)



-2 2 4 -4 -4 -2 2 4 6 x y

Sedangkan fungsi ganjil adalah fungsi yang memiliki grafik simetris terhadap titik asal. Fungsi yang memberikan f(x) sebagai jumlah dari pangkat pangkat ganjil x adalah ganjil. Dengan persamaan f(-x) = -f(x). Jadi g(x) =





 2

.

(8)

4

BAB II

OPERASI FUNGSI

2.1. Pengertian Operasi Fungsi

Fungsi bukanlah bilangan. Akan tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b. dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b. demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan fungsi baru f + g.

Jumlahan f + g , selisih f - g , hasil kali skalar a. f , hasil kali f .g , dan hasil bagi f /g masing-masing didefinisikan sebagai berikut:

1. (f+g)(x)= f(x) + g(x) 2. (f-g)(x)=f(x) - g(x) 3. (af)(x) = a f(x) 4. (f.g)(x)= f(x)g(x)

5.

(f/g)(x)= f(x)/g(x), g(x)≠0

2.2. Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi, Pangkat. Jumlah fungsi f dan g dengan rumus rumus

()=32,()=√

Kita dapat membuat sebuah fungsi baru f+g dengan cara memberikan pada x nilai (x-

3)/2+√x yakni

( )()=()()=32√

Dengan catatan daerah asal f+g adalah irisan (bagian bersama) dari daerah asal f dan g.

Fungsi fungsi f-

g, f◦g, dan f/g diperkenalkan dengan cara yang

analog. Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal alami.

(9)

Jika f dan g masing-masing:

Maka tentukan: f + g , f – g ,f ._{g ,dan f/g beserta domainnya.}

Penyelesaian:

Karena , maka f + g , f – g ,f ._{g ,dan f/g}

(10)

6

BAB III

FUNGSI KOMPOSISI

3.1. Pengertian

Fungsi komposisi merupakan sebuah fungsi gabungan dari fungsi satu ke fungsi lainnya. Penggabungan suatu fungsi selalu menggunakan metode subtitusi.

Seperti contoh, fungsi f dan fungsi g yang didefinisikan oleh: F(x) = x2 _{dan g(x) = 2x + 1}

Pilihlah sembarangan bilangan di dalam domain fungsi g, misalkan x = -2, maka:

g(x) = 2x + 1 g(-2) = 2(-2) + 1 g(-2) = -3

Hasil -3 dari g di proses lagi menjadi masukan untuk fungsi f, diperoleh : f(x) = x2

f(-3) = (-3)2 f(-3) = 9

Penjelasan tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut : 1. Mulai dengan memasukan nilai x dan hitunglah g(x)

2. Pergunakan hasil g(x) sebagai suatu masukan untuk formula fungsi dan hitunglah f(g(x))

Hasil f(g(x)) sering dinotasikan sebagai ( f o g )(x) dibaca : 1. f bunderan g terhadap x

(11)

3. f komposisi g terhadap x

Dari kesimpulan tersebut dapat ditarik definisi untuk komposisi fungsi ( f o g ) yaitu :

1. diberikan dua fungsi f dan g, fungsi ( f o g )(x) ditentukan oleh formula ( f o g )(x) = f(g(x))

2. Domain dari ( f o g )(x) terdiri atas masukan x (x



domain g) dan g(x)



domain f.

Sifat

–

sifat komposisi fungsi 1. Pada umumnya tidak komutatif

(g o f)(x)

≠

(f o g)(x)

2. Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif (f o (g o h))(x) = ((f o g)o h)(x)

3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x (f o I)(x) = (I o f)(x) = x

3.2. Contoh Soal dan Penyelesaian

Diketahui : fungsi f(x) = x

–

1;g(x) = x + 2; h(x) = x2

_–

_{1 maka}

(f o g)(x) = f(g(x)) (g o f)(x) = g(f(x)) = f(x + 2) = g(x

–

1) = (x + 2)

–

1 = (x

–

1) + 2 (f o g)(x) = x + 1 (g o f)(x) = x

–

1 (g o h o f)(x) = g(h(f(x))) (h o f o g)(x) = h(f(g(x)) = g(h(x

–

1)) = h(f(x + 2)) = g((x

–

1)2

–

₁₎ _{= h((x + 2)}

–

₁₎ = g(x2

–

_2x) _{= h(x + 1)}2

–

₁

(12)

8

= (x2

–

_{2x) + 2} _{= (x + 1)}2

–

₁

(g o h o f)(x) = x2

–

_{2x + 2} _{= (x}2_{+ 2x + 1)}

–

₁ (h o f o g)(x) = x2_{+ 2x}

(13)

9

FUNGSI TRIGONOMETRI

4.1 Pengertian Fungsi Trigonometri

Jika kita perhatikan gambar di samping, perbandingan trigonometri untuk sudut masing-masing adalah:

sin=



_

cos=



_

tan=



_

Karena untuk setiap sudut θ mengakibatkan hanya ada satu nilai sin θ,

cos θ dan tan θ maka terdapat pemetaan dari himpunan real (

R ) ke himpunan bilangan real (R ). Pemetaan-pemetaan atau fungsi-fungsi sin, cos dan tan merupakan pemetaan dari himpunan sudut ke bilangan real. Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut :

R R R R B R

f f f

• • • • • •

θ

sin θ

θ

cos θ

θ

tan

θ

Gambar a Gambar b Gambar c

a. Gambar (a) fungsi sinus didefenisikan f :sin  ,



R , dengan f







 sin  Y P y r ϴ O x P1 X

(14)

10

b. Gambar (b) fungsi kosinus didefenisikan f :cos  ,



R , dengan f







 cos 

c. Gambar (c ) fungsi tangen didefenisikan f :tan  ,



B, dengan f







 tan 

Untuk B = R \

…,





,





,





,





,…}

artinya semua anggota himpunan bilangan real selain

…,





,





,





,





,…}

Fungsi f







 sin  , f







cos  f







tan  disebut sebagai fungsi trigonometri. Adapun nilai sin, cos, dan tan suatu sudut dapat bernilai positif, nol atau negatif tergantung letak sudut di kuadrannya.

4.2 Nilai fungsi trigonometri

Menentukan nilai fungsi trigonometri sama dengan cara menentukan fungsi linier, fungsi kuadrat yang sudah kita pelajar, yakni dengan cara mensubtitusikan nilai variabel yang diberikan kedalam fungsi.

Contoh:

1. Tentukan nilai fungsi dari f(x) = 2 sin x, jika nilai x = 45o Penyelesaian f(x) = 2 sin x; x = 45o f(45 o_{) = 2 sin 45}o f(45 o_{) = 2}







√ 2

f(45 o_{) =}

√ 2

2. Tentukan nilai fungsi f(x) =

+−





+ 

; jika x =





(15)

f









=





+



−



 .



+



=



√ +



−(√ )





√ +()

=

√ −

√ +8



√ −8

=

−√ +

−6

f









=



−√ 

6

3. Jika f ( x) = k .cos x + (k + 4)sin x + 3 dan f









= 3 +

√ 2

maka nilai k adalah...

Penyelesaian

f



x



k .cos x 



k 4



sin x 3 f



x



k .cos x  k.sin x + 4 sin x  3 f



x



k (cos x + sin x) + 4 sin x + 3 f









= k

cos





sin





4sin





3

3 +

√ 2

=



12 √

2

12 √

2



+ 4



12 √

2



+ 3 3 +

√ 2

= k

√ 2

+ 2

√ 2

+ 3 k

√ 2

= (3 +

√ 2

)_– (2

√ 23)

k

√ 2

= -

√ 2

k = -1

(16)

12

4.3 Fungsi

–

Fungsi Trigonometri 4.3.1. Fungsi Sinus

Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi sinus adalah f(x) = sin x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.

Grafik fungsi sinus dapat diperoleh dengan membuat tabel nilai sinus dari sudut - sudut yang berada dalam daerah definisi. Dibawah ini fungsi sinus untuk daerah definisi [0o_{, 360}o_].

xo _{0 30} ₆₀ _{90 120} ₁₅₀ ₁₈₀

Sin x 0 0,5 0,86 1 0,86 0,5 0

xo ₂₁₀ ₂₄₀ ₂₇₀ ₃₀₀ ₃₃₀ ₃₆₀

Sin x -0,5 -0,86 -1 -0,86 -0,5 1

Grafik Fungsi Sinus

Jika daerah definisi diperluas untuk x



R maka dapat diamati bahwa f(x) = sin x adalah fungsi periodik dengan periode 360o_{atau 2}



_radian.

4.3.2. Fungsi Cosinus Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi cosinus adalah f(x) = cos x, dengan x adalah satuan ukuran sudut.