Desain Kontrol Fuzzy Takagi-Sugeno dengan Mempertimbangkan Kondisi Stabilitas Relaks pada Sistem Pendulum-Kereta

Abstrak— Paper ini menyelesaikan permasalahan stabilisasi

pada sistem pendulum-kereta. Kontroler dirancang menggunakan state feedback berbasis performansi H∞. Model sistem pendulum-kereta direpresentasikan ke dalam model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) melalui linearisasi pada tiga titik operasi di sekitar state ekuilibrium. Hasil linearisasi tersebut digunakan untuk menyusun aturan plant pada model fuzzy T-S. Aturan kontroler diturunkan menggunakan konsep Parallel Distributed

Compensation (PDC). Analisis stabilitas sistem diperoleh dari

Teorema Lyapunov. Dalam analisis tersebut, kondisi stabilitas relaks dari model fuzzy T-S juga dipertimbangkan. Hasil analisis stabilitas berupa beberapa pertidaksamaan matriks linear. Solusi pertidaksamaan diselesaikan secara efektif dan efisien menggunakan teknik pemrogaman Linear Matrix Inequalities (LMI). Kontroler hasil desain diterapkan pada plant sistem pendulum-kereta. Hasil simulasi dan implementasi menunjukkan bahwa pendulum dapat stabil di posisi terbaliknya.

Kata Kunci—Sistem Pendulum-Kereta, Model Fuzzy T-S, Parallel Distributed Compensation, Performansi H∞, Linear

Matrix Inequalities.

I. PENDAHULUAN

Dalam lima puluh tahun terakhir, pendulum terbalik menjadi plant acuan yang paling populer dalam pembelajaran dan penelitian di bidang teori kontrol dan robotika [1]. Salah satu jenis pendulum terbalik yang sering diteliti adalah sistem pendulum-kereta.

Sistem pendulum-kereta merupakan salah satu contoh sistem nonlinear dan tidak stabil. Desain kontrol pada sistem ini tentu tidak semudah seperti dalam desain kontrol sistem linear karena karakteristik dari sistem pendulum-kereta yang nonlinear. Gaya yang bekerja pada pendulum, kereta, dan gaya gesek kereta pada rel menyebabkan sistem ini memiliki sifat nonlinear. Selain itu, batasan pada panjang rel kereta dan sinyal kontrol juga perlu dipertimbangkan dalam mendesain kontroler pada sistem ini. Penggunaan sistem ini sering ditemukan dalam crane peti kemas, segway, robot, dan peluncuran roket.

Secara umum, terdapat tiga permasalahan yang sering dibahas dalam penelitian mengenai sistem pendulum-kereta. Permasalahan tersebut meliputi mengayunkan pendulum dari posisi pendan menuju posisi terbalik (swing-up), stabilisasi pendulum di posisi terbalik, dan memaksa pendulum mengikuti sinyal referensi yang diberikan (tracking). Ketiga permasalahan tersebut diselesaikan tanpa menggerakkan kereta melalui batas rel.

Disisi lain, model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) telah menarik perhatian banyak peneliti dalam tiga dekade terakhir [2]-[8]. Model fuzzy tersebut secara efektif dapat merepresentasikan dinamika sistem nonlinear melalui beberapa persamaan linear [2]. Aturan pada model fuzzy ini disusun oleh persamaan linear pada bagian konsekuen dengan fungsi keanggotaan nonlinear pada bagian premis. Secara keseluruhan, model fuzzy T-S merupakan percampuran dari persamaan linear sistem dalam merepresentasikan dinamika sistem nonlinear.

Stabilitas sistem merupakan isu yang sangat penting dalam mendesain suatu sistem. Hal ini berlaku juga dalam representasi sistem nonlinear melalui model fuzzy T-S. Analisis stabilitas dari model fuzzy T-S telah banyak diturunkan melalui berbagai macam metode. Salah satu cara dengan menggunakan metode kedua Lyapunov yang dinyatakan melalui fungsi Lyapunov V(x) yang bernilai definit positif serta turunan pertama fungsi Lyapunov V(x)yang bernilai definit negatif [3].

Pada penelitian [4], kondisi stabilitas model fuzzy T-S dianalisis dengan menerapkan konsep Parallel Distributed Compensation (PDC). Dalam konsep ini, kontroler linear state feedback didesain menurut daerah ruang state persamaan linear dari model fuzzy T-S. Analisis stabilitas dari keseluruhan sistem kontrol fuzzy tersebut diselesaikan menggunakan metode kedua Lyapunov.

Kondisi stabilitas lain yang disebut sebagai kondisi stabilitas relaks diperoleh pada [5]. Pada penelitian tersebut, analisis stabilitas diperoleh secara analitis melalui karakteristik persamaan kuadratik. Hasil analisis dapat mereduksi dalam pencarian solusi fungsi Lyapunov. Kondisi stabilitas relaks yang berbeda dapat dilihat pada [6]. Hasil analisis berupa penambahan matriks tunggal sebagai representasi dari interaksi antar subsistem. Kondisi ini dapat mereduksi sifat konservatif dalam analisis stabilitas model fuzzy T-S. Pada [7], kondisi stabilitas relaks diterapkan pada plant pendulum dengan 2 state, yaitu sudut pendulum dan kecepatan sudut pendulum. Dalam penerapan ini, performansi H∞ berbasis observer fuzzy ditambahkan untuk melemahkan

gangguan yang diberikan pada sistem.

Penelitian ini akan menyelesaikan permasalahan stabilisasi pada sistem pendulum-kereta. Beberapa metode kontrol telah diusulkan untuk permasalahan stabilisasi sistem pendulum-kereta. Kontroler stabilisasi model fuzzy T-S dengan performansi Linear Quadratic Regulator (LQR) [9] dan performansi H∞ dengan batasan input-output [10] dapat

Desain Kontrol

Fuzzy

Takagi-Sugeno dengan

Mempertimbangkan Kondisi Stabilitas Relaks pada

Sistem Pendulum-Kereta

Muhamad Faisal

1)

, Trihastuti Agustinah

2) 1,2)

Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail

:

1)

faisal.muhamad09@mhs.ee.its.ac.id

2)

trihastuti@ee.its.ac.id

menyelesaikan permasalahan stabilisasi. Hasil desain dari dari dua metode tersebut diketahui bahwa pendulum dapat stabil di posisi terbalik. Namun, analisis stabilitas melalui kondisi stabilitas relaks pada dua metode tersebut belum diperhitungkan.

Paper ini dibagi ke dalam beberapa bab. Bab 2 membahas teori dasar dan analisis stabilitas model fuzzy T-S. Desain kontrol fuzzy dengan mempertimbangkan kondisi stabilitas relaks dapat dipelajari pada Bab 3. Pembahasan simulasi dan implementasi dapat dilihat pada Bab 4. Bab 5 membahas kesimpulan dari paper ini.

II. TEORIDASAR A. Sistem Pendulum-Kereta

Sistem pendulum-kereta terdiri atas sepasang batang pendulum yang berayun pada kereta. Pendulum dapat bergerak bebas pada sisi vertikal, sedangkan kereta bergerak pada sisi horizontal. Kereta digerakkan menggunakan motor DC. Untuk menggerakkan batang pendulum, kereta bergerak maju mundur pada lintasan yang terbatas. Posisi vertikal dari batang pendulum (atas dan bawah) merupakan state ekuilibrium dimana tidak ada gaya yang bekerja. Jika pada state ekuilibrium vertikal tidak diberi gaya maka pendulum tidak akan kembali ke state ekuilibrium awal. Hal ini membuktikan bahwa sistem pendulum-kereta merupakan salah satu contoh dari sistem yang tidak stabil.

Sistem pendulum-kereta merupakan salah satu contoh dari sistem Single Input Multi Output (SIMO). Masukan sistem, sinyal kontrol u, diberikan melalui kereta yang sejajar dengan lintasan. Keluaran sistem berbentuk vektor state x=[x1 x2 x3

x4]T dimana x1 merupakan posisi kereta ditinjau dari titik

tengah kereta, x2 merupakan sudut pendulum ditinjau dari

posisi vertikal atas, x3 merupakan kecepatan kereta, dan x4

merupakan kecepatan sudut pendulum.

Model matematika dari sistem pendulum-kereta diturunkan melalui identifikasi fisik dari sistem. Model fisik dari sistem terdapat pada Gambar 1. Persamaan state sistem dinyatakan sebagai berikut 3 1 x x  4 2 x x  2 2 4 2 2 2 2 4 3 sin ) sin ( cos ) sin ( x l J x f x g x l w x x T u a x c p            2 2 4 2 2 2 4 2 4 sin sin ) sin ( cos x l J x f x g w x x T u x l x c p            (1) dengan l m m m m J l a _{c p} p c ) ( ; 2 _{ }     .

Massa kereta dan massa pendulum dinotasikan sebagai mc

dan mp. Ɩ merupakan jarak antara sumbu rotasi pendulum dengan pusat massa sistem. J merupakan momen inersia ditinjau dari titik pusat massa. w merupakan gangguan. Tc dan

V masing masing merupakan friksi dan gaya normal dari sistem, sedangkan Dp merupakan momen friksi dari sistem.

B. Model Fuzzy T-S

Model fuzzy yang diusulkan oleh Takagi dan Sugeno diuraikan dalam bentuk aturan if-then. Aturan tersebut mewakili hubungan linear lokal input-output dari sistem nonlinear. Keistimewaan dari model ini terletak pada bagian konsekuen dari aturan fuzzy yang dinyatakan dalam bentuk model sistem linear. Tiap model sistem linear pada bagian konsekuen disebut subsistem. Secara keseluruhan, model fuzzy T-S merupakan percampuran (blending) fuzzy dari model sistem linear.

Aturan plant model fuzzy T-S dinyatakan dalam bentuk: Aturan Plant ip p i and andz t isM M is t z if 1() 1  () r i t t t t t t t t then zi yi i i i ..., , 2 , 1 ; ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (            x C z x C y w E u B x A x (2) dengan Mij merupakan himpunan fuzzy, r menyatakan jumlah

aturan plant. x(t) merupakan vektor state, u(t) merupakan vektor masukan, nxn R A , nxm R B dan qxn R C merupakan parameter plant. E merupakan matriks gangguan. z1(t),…, zp(t)

merupakan variabel premis yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk vektor state, gangguan eksternal atau waktu. Keluaran akhir dari model ini dinyatakan dalam bentuk



    r i i i i i zt t t t h t 1 )} ( ) ( ) ( )){ ( ( ) ( Ax Bu Ew x



  r i i i z t t h t 1 ) ( )) ( ( ) ( Cx y (3) dengan



  _r i i i i t z w t z w t z h 1 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ;z(t)[z1(t)z2(t)zp(t)];



  r j j ij i zt M z t w 1 )) ( ( )) ( ( (4)

Mij(zj(t)) merupakan derajat keanggotaan objek zj(t) terhadap

himpunan fuzzy Mi dan memenuhi



    r i i i zt w zt i r w 1 , , 2 , 1 , 0 )) ( ( ; 0 )) ( (  r i t z h t z h _i r i i( ()) 1; ( ()) 0, 1,2, , 1    



 ₍₅₎

Aturan kontroler diturunkan menggunakan konsep PDC dapat dinyatakan Aturan Kontroler ip p i and andz t isM M is t z if 1() 1  () r i t t thenu()K₁x(), 1,2,, (6) Secara keseluruhan, keluaran akhir dari aturan kontroler fuzzy dapat dinyatakan



   r i i i z t t h t 1 ) ( )) ( ( ) ( Kx u (7)

Model fuzzy T-S lup tertutup diperoleh melalui subtitusi Persamaan (6) ke dalam Persamaan (3) dinyatakan sebagai

) ( ) ( } )){ ( ( )) ( ( ) ( 1 1 t t t z h t z h t _i r i j i i r j j i A BK x Ew x 

_{ }

     (8) C. Analisis Stabilitas

Asumsikan w(t)=0. Sistem fuzzy T-S lup tertutup pada Persamaan (8) dapat dinyatakan stabil asimtotik jika terdapat matriks simetris P yang memenuhi

1. P0 2.   ii0 T ii P P , i = j 3. 0 2 2 _                 ij ji T ji ij P P , i ≠ j (9) dengan _ii A_iB_iK_i. D. Analisis Stabilitas Relaks

Berikut ini merupakan stabilitas dari sistem fuzzy T-S dengan mempertimbangkan interaksi antar subsistem yang direpresentasikan ke dalam bentuk matriks tunggal Y~. Kondisi ini menyebabkan sifat konservatif karena interaksi antar subsistem dapat direduksi sehingga menjamin kondisi stabilitas relaks.

Asumsikan w(t)=0. Sistem fuzzy T-S lup tertutup pada Persamaan (8) dapat dinyatakan stabil asimtotik jika terdapat matriks simetris P dan Yij yang memenuhi

1.P0 2.  ii ii0 T ii P P Y , i = j 3. 0 2 2 _                  ij ji ij T ji ij Y P P , i ≠ j 4. ~ 0            rr ri ir ii Y Y Y Y Y      (10) E. Performansi H∞

Berikut ini akan dibahas mengenai perumusan performansi H∞. Pada kasus stabilisasi, performansi H∞ dapat dinyatakan

sebagai 2 ) ( ) ( ) ( ) (  





f o f o t t T t t T dt t t dt t t w w z z (11) dengan y(t) merupakan keluaran dari sistem dan w(t)

merupakan gangguan dari sistem.

Persamaan (11) dapat dinyatakan sebagai gangguan yang diberikan pada sistem akan memiliki efek kurang dari atau sama dengan γ untuk 0 < γ < 1 terhadap keluaran sistem ditinjau dari sudut pandang energi sistem. Hal ini dapat dinyatakan bahwa gangguan yang diberikan pada sistem akan dilemahkan pada nilai kurang dari atau sama dengan parameter γ.

III. PERANCANGANSISTEM

Sistem fuzzy T-S lup tertutup pada Persamaan (8) dapat dinyatakan stabil asimtotik dengan mempertimbangkan kondisi (10) dan memenuhi performansi (11) jika terdapat matriks simetris P, Yij dan 0 < γ <1 yang memenuhi

1. P0 2. 2 0         ii zi T zi T i i ii T ii P P  PEE P C C Y 3. ~ 0            rr ri ir ii Y Y Y Y Y      (12)

Penuruan rumus dari Pertidaksamaan (12) dapat dilihat sebagai berikut:

Tinjau fungsi Lyapunov ) ( ) ( ) ( t t V T Px x x  (13)

Tinjau pula turunan fungsi Lyapunov pada Persamaan (3.24)

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t V T T x P x Px x x    _{  (14)}

Subtitusi Persamaan (8) ke dalam Persamaan (14) ) ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t t V T i T i T ii T ii T Px E w w PE x x P P x x        ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 t t t t t t V T i i T T ii T ii T x P E PE x w w x P P x x           (15) Tulis ulang Pertidaksamaan (12)

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 t t t t t t ii zi T zi T T i i T ii T ii T x Y C C x x P E PE x x P P x          (16) Subtitusi Persamaan (15) ke dalam Pertidaksamaan (16) diperoleh ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 t t t t V T ii zi T zi T w w x Y C C x x     ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 t t t t V T zi T zi T w w x C C x x    ₍₁₇₎

Integralkan kedua sisi





f  tf   t T zi T zi T t t dt t t t t dt V 0 0 )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( 2 w w x C C x x  



    f t t T T f V t t t t t dt t V 0 )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( 2 0 z z w w x x 



   tf t T T dt t t t t t V 0 )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( 2 0 z z w w x 





   f tf t T t t T _{tdt t t dt} t 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 _{z z} 2 _{w w} 





f  tf t T t t T dt t t dt t t 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 w w z z 

2 0 0 ) ( ) ( ) ( ) (  





f f t t T t t T dt t t dt t t w w z z (18) Pertidaksamaan (18) identik dengan Pertidaksamaan (11) dan memenuhi kondisi (10) sehingga Pertidaksaman (12) dapat dibuktikan secara matematis.

Sistem fuzzy T-S lup tertutup pada Persamaan (8) dapat dinyatakan stabil asimtotik dengan mempertimbangkan kondisi (10) dan memenuhi performansi (11) dalam bentuk LMI jika terdapat matriks simetris X, Zijdan 0 < γ <1 yang

memenuhi 1. X0 2. ii 0, i = j 3. ( ) 0 2 1 1 1        ii ij ji r , i ≠ j 0 ~             rr ri ir ii Z Z Z Z Z      (19) dengan XP Mi KiX Zii XYiiX 1_{; ;}                    I E I X C E XC Z M B B M X A XA 2 1 0 0  T i zi i T zi ii i i T i T i ii T ii ii untuk i, j=1, 2…, r.

Pembuktian Pertidaksamaan (19) dapat dilihat sebagai berikut.

Tinjau ulang Pertidaksamaan (12).

0 2         ii zi T zi T i i ii T ii P P  PEE P C C Y

Premultiply-postmultiply Pertidaksamaan (12) dengan P-1

0 1 1 1 1 2 1 1 1 1                 P Y P P C C P E E P K B P A B K P A P ii zi T zi T i i i i ii T i T i T ii  (20) Subtitusi X=P-1, Mi=Ki P-1, Zii= P-1YiiP-1 ke dalam

Pertidaksamaan (20) diperoleh hasil 0 2         ii zi T zi T i i i i T i T i ii T ii Z X C XC E E M B B M X A XA  (21) Dengan menerapkan komplemen Schurs pada Pertidaksamaan (3.40) didapat 0 1 2                I X C XC Z E E M B B M X A XA zi T zi ii T i i i i T i T i ii T ii  (22) Pertidaksamaan (22) dapat ditulis ulang sebagai

0 0 0 2 1                            T i i zi T zi ii i i T i T i ii T ii E E I X C XC Z M B B M X A XA  (23)

Dengan menerapkan komplemen Schurs pada Pertidaksamaan (23) didapat 0 0 0 2 1                   I E I X C E XC Z M B B M X A XA  T i zi i T zi ii i i T i T i ii T ii (24) Pertidaksamaan (24) identik dengan Pertidaksamaan (19). Hal ini membuktikan bahwa Pertidaksamaan (19) dapat dibuktikan secara matematis dari Pertidaksamaan (12).

Prosedur desain kontroler meliputi:

a. Pilih fungsi keanggotaan dan susun aturan plant dari model fuzzy T-S.

b. Tentukan nilai parameter γ.

c. Selesaikan pertidaksamaan dengan membuat program LMI pada MATLAB.

d. Ulangi prosedur b-d hingga diperoleh solusi infeasible. e. Susun aturan kontroler fuzzy.

Hasil desain kontroler fuzzy T-S dengan mempertimbangkan kondisi stabilitas relaks pada pertidaksamaan (19) memiliki spesifikasi desain sebagai berikut:

a. Sistem dapat stabil asimtotik

b. Hasil desain melalui kondisi stabilitas relaks memperoleh performansi yang lebih baik dibanding tanpa melalui kondisi stabilitas relaks.

c. Kontroler mampu melemahkan gangguan yang diberikan pada sistem dengan tingkat pelemahan dibawah γ.

IV. HASILSIMULASIDANIMPLEMENTASI Aturan plant terdiri atas 3 aturan yang meliputi Aturan 1: If x2(t) is M1 (Sekitar 0 rad) then x(t)A1x(t)B1u(t)E1w(t) ) ( ) (t Cy1xt y  ) ( ) (t C_z1x t z  Aturan 2: If x2(t) is M2 (Sekitar ±0,2 rad) Then x(t)A₂x(t)B₂u(t)E₂w(t) ) ( ) (t Cy2x t y  ) ( ) (t C_z2x t z  Aturan 3: If x2(t) is M3 (Sekitar ±0,4 rad) Then x(t)A3x(t)B3u(t)E3w(t) ) ( ) (t Cy3xt y  ) ( ) (t C_z3xt z  (25) dengan                0079 , 0 0 0319 , 15 0 0001 , 0 0 2524 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 A ;              2370 , 1 8272 , 0 0 0 1 B                0079 , 0 0 6874 , 14 0 0001 , 0 0 2317 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 A ;              2111 , 1 8264 , 0 0 0 2 B

Gambar 2. Fungsi Keanggotaan Aturan Kontroler                0079 , 0 0 6841 , 13 0 0001 , 0 0 1735 , 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 3 A ;              1349 , 1 8240 , 0 0 0 3 B ) 1 , 1 , 1 , 1 ( 3 2 1 y y diag y C C  C 3 3 2 2 1 1 B;E B ;E B E    ) 1 , 0 , 1 , 0 , 9 , 0 6 , 1 ( 3 2 1 z z diag z C C  C

Aturan aturan kontroler menggunakan fungsi keanggotaan segitiga yang diilustrasikan pada Gambar 2.

Hasil perhitungan dengan menggunakan pemrogaman LMI dengan γ sebesar 0,81 diperoleh matriks stabilitas dan state feedback gain sebagai berikut

                 3,0316 3,3759 11,1801 4,7611 -3,3759 3,8741 12,5056 5974 , 5 11,1801 12,5056 42,3958 17,6310 -4,7611 -5974 , 5 17,6310 -9,6353 P



99,1445 311,6727 82,8639 78,2371



1   K



98,7615 311,0465 82,7032 78,0273



2   K



106,0938 332,1573 88,6389 83,6906



3   K

Eigenvalue dari sistem lup tertutup diperoleh 0 ) det(₁IA₁B₁K₁  λ1= {-11,5458 + 5,3234i; -11,5458 - 5,3234i; -2,5742 + 0,8995i; -2,5742 - 0,8995i } 0 ) det(₂IA₂B₂K₂  λ2= {-10,6014 + 7,4395i; -10,6014 - 7,4395i; -2,4799 + 0,9117i; -2,4799 - 0,9117i } 0 ) det(₃IA₃B₃K₃  λ3= {-8,6640 + 10,6732i; -8,6640 - 10,6732i; -2,3113 + 0,9369i; -2,3113 - 0,9369i } (26) Dari nilai pada (26) tampak bahwa eigenvalue sistem berada pada sisi sebelah kiri. Hal ini dapat disimpulkan bahwa state feedback gain yang ada dapat menjamin stabilitas sistem.

Gambar 3. Respon Simulasi Posisi Kereta

Gambar 4. Respon Simulasi Sudut Pendulum Tabel 1

Perbandingan Respon Hasil Simulasi

Kereta/ Pendulum Ukuran Performansi Kontroler Fuzzy T-S - Relaks Posisi Kereta

Peak Time 0,49 detik 0,65 detik Max

Undershoot 0,36 meter 0,33 meter Amplitudo

Osilasi 0,017 meter -

Sudut Pendulum

Settling Time 3,81 detik 3,01 detik Max

Undershoot 0,06 rad 0,05 rad Amplitudo

Osilasi 0,009 rad 0,005 rad Gambar 3 dan Gambar 4 menunjukkan hasil simulasi dari kontroler yang dirancang dengan kondisi awal sebesar 0,4 rad. Gambar 3 memperlihatkan respon hasil simulasi posisi kereta sedangkan respon sudut pendulum dapat dilihat pada Gambar 4. Dari Gambar tersebut nampak bahwa kontroler dengan menggunakan analisis stabilitas relaks mampu menstabilkan sistem serta memiliki performansi yang lebih baik dibanding

kontroler tanpa memperhatikan kondisi stabilitas relaks. Hal ini memenuhi spesifikasi performansi pada poin a dan b. Secara keseluruhan hasil simulasi dapat dilihat pada Tabel 1.

Hasil implementasi dapat diilhat pada Gambar 5 dan Gambar 6. Dalam implementasi ini, sistem diberi gangguan yang terbatas agar dapat mengetahui respon sistem terhadap gangguan. Gangguan sebesar ±4 N diberikan pada sinyal kontrol. Kondisi awal sistem berada pada sudut awal 0,4 rad. Berbeda dengan simulasi, kondisi awal pada tahap ini dilakukan dengan mengangkat batang pendulum dari posisi pendan hingga posisi yang diinginkan secara manual.

Dari Gambar 4 dan Gambar 5 dapat dilihat bahwa pada saat gangguan diberikan kereta bergerak dari titik tengah dan pendulum menyimpang, namun secara keseluruhan pendulum tetap stabil di posisi terbaliknya. Tingkat pelemahan sistem diperoleh sebesar 0,66. Nilai tersebut berada dibawah nilai gamma yaitu sebesar 0,81. Dari hasil tersebut spesifikasi performansi pada poin c terpenuhi.

Gambar 5. Respon Implementasi Posisi Kereta

Gambar 6. Respon Implementasi Sudut Pendulum

V. KESIMPULAN

Dari data hasil pengujian baik secara simulasi maupun implementasi diperoleh hasil bahwa kontroler fuzzy T-S dengan mempertimbangkan kondisi stabilitas relaks mampu menstabilkan pendulum di posisi terbaliknya dan memiliki performansi yang lebih baik dibandingkan dengan kontroler tanpa memertimbangkan kondisi stabilitas relaks Selain itu gangguan yang diberikan kepada sistem dapat dilemahkan hingga dibawah gamma yang telah ditentukan.

Dari hasil ini, penelitian selanjutnya diharapkan menerapkan kondisi stabilitas relaks ke dalam permasalahan tracking. Hasilnya diharapkan dapat menjadi alternatif metode dalam pemilihan kontroler pada permasalahan tracking.

DAFTARPUSTAKA

[1] O. Boubaker, “The Inverted Pendulum: A Fundamental Benchmark in Control Theory and Robotics,” International Conference on Education

and e-Learning Innovations, 2012.

[2] T. Takagi, M. Sugeno, “Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modelling and Control,” IEEE Trans. Systems, Man,

and Cybernetics, vol. 15 pp. 116-132, 1985.

[3] K. Tanaka, M. Sugeno, “Stability Analysis and Design of Fuzzy Control System,” Fuzzy Sets and System, pp. 135-156, 1992.

[4] H.O. Wang, K. Tanaka, M. Griffin, “Parallel Distributed Compensation on Nonlinear Systems by Takagi-Sugeno Fuzzy Model,” Proceedings

of FUZZ-IEEE, pp. 531-538, 1995.

[5] K. Tanaka, T. Ikeda, H.O. Wang, ”Design of Fuzzy Control System Based on Relaxed LMI Stability Condition,” Proc. of the 35th _IEEE

Conference on Decision and Control, Kobe, vol. 1, pp 589-603, 1996.

[6] E. Kim, H. Lee, “New Approaches to Relaxed Quadratic Stability Condition on Fuzzy Control Systems,” IEEE Trans. On Fuzzy System, Vol. 8 No. 5, October 2000.

[7] L. Xiaodong, Z. Qingling, ”New Approaches to H∞ Controller Design Based on Fuzzy Observer for T-S Fuzzy System via LMI,” Automatica, vol. 39, pp. 1571-1582, April 2003

[8] A. Ashfahani, T. Agustinah, “Desain Fuzzy Tracking Controller pada Pendulum Terbalik dengan Memperhitungkan Model Friksi,” Proc.

Seminar on Intelegent System and Its Applications, 2012.

[9] T. Agustinah, A. Jazidie, M. Nuh, “Hybrid fuzzy control of swing up and stabilizing of the pendulum-cart system using hybrid fuzzy control,”

Proc. IEEE Int. Conf. Computer Science and Automation Engineering,

Shanghai – China, Juni, 2011, 109-113.

[10] T. Febriarianto, “Desain Kontrol Fuzzy Berbasis Performansi H∞

dengan Batasan Input-Output untuk Sistem Pendulum-Kereta,” Tugas

Akhir, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, 2012. [11] M. Sugeno, “Fuzzy Control: Principles, Practice and Presperctives,”

Proc. on IEEE International Conference on Fuzzy Systems, 1992.

[12] L. Zadeh, “Fuzzy Sets,” Information Control, vol.8, pp. 338-353, 1965. [13] C.C. Lee, “Fuzzy Logic in Control Systems: Fuzzy Logic Controller

Part 1, 2,” IEEE Trans. Systems Man Cybern., vol. 2, 1990.

[14] K. Tanaka, H.O. Wang, Fuzzy Control Systems Design and Analysis: A

Linear Matrix Inequality Approach, John Wiley & Sons, 2001.

[15] K. Ogata, “Modern Control Engineering,” 3rd ed., Prentice Hall Inc., New Jersey, 1997.

[16] S. Boyd, L. ElGhaoui, E. Feron, V. Balakrisnan, “Linear Matrix

Inequalities in System and Control Theory”, SIAM, Philadelphia, 1994.

[17] P. Gahinet, A. Nemirovski, A.J. Laub, dan M. Chihali, “LMIControl

Toolbox”, The Math Works Inc, 1995.

[18] Digital Pendulum Feedback Instrument Ltd., Control in a MATLAB

environment, Feedback Instrument Ltd., England, 2004.

[19] H.D. Tuan, P. Apkarian, T. Narikiyo, Y. Yamamoto, “Parameterized Linear Matrix Inequality Techniques in Fuzzy Control System Design”,