1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam matematika ada beberapa persamaan yang dipelajari, diantaranya adalah persamaan polinomial tingkat tinggi, persamaan sinusioda, persamaan eksponensial atau persamaan logaritmik atau kombinasi dari persamaan-persamaan tersebut. Persamaan polinomial yang sering dipelajari dalam bidang matematika adalah persamaan polinomial berderajat 2. Masalah yang sering muncul dari persamaan polinomial ini adalah pada menentukan akar dari persamaan tersebut.
Akar atau pembuat nol dari persamaan polinomial yaitu nilai – nilai yang memenuhi persamaan polinomial sehingga membuat persamaan tersebut bernilai nol. Untuk menentukan akar persamaan polinomial berderajat 2 tidak dijumpai kesulitan, dimana bentuk umum dari persamaan polinomial berderajat 2 adalah
𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Maka untuk menentukan akar-akar persamaan polinomial tersebut dapat menggunakan beberapa cara diantaranya dengan cara faktorisasi, cara horner, cara substitusi, cara eliminasi substitusi dan menggunaan rumus kuadratik. Bentuk umum dari rumus kuadratik yaitu sebagai berikut :
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐 2𝑎
Namun untuk persamaan polinomial berderajat 3 atau yang lebih tinggi, rumus diatas tidak dapat digunakan karena penyelesaiannya akan menjadi sangat kompleks dan akan mengalami kesulitan. Oleh karena itu diperlukan suatu metode yang akan memudahkan dalam menentukan akar – akar dari persamaan tersebut, yaitu dengan menggunakan metode numerik.
Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, bagi, dan kali) (Munir, 2013:5). Penyelesaian numerik untuk persamaan-persamaan polinomial berderajat 3 atau
2
lebih dilakukan dengan metode pendekatan. Proses perhitungan metode pendekatan ini dilakukan dengan cara iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang untuk memperoleh hasil yang semakin mendekati nilai penyelesaian eksak. Dalam tahap iterasi, nilai dari penyelesaiannya tidak selalu menghasilkan nilai eksak dikarenakan penyelesaian dari metode numerik ini adalah solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati. Dengan memanfaatkan hasil kajian Adiwidya (2010) mengenai perbandingan kecepatan komputasi beberapa algoritma solusi persamaan nirlanjar, hasil pencarian akar menggunakan metode regula falsi untuk soal 𝑓 𝑥 = 𝑥2− 3𝑥 − 4 yaitu 3,99999999999yang mendekati akar sebenarnya yaitu 𝑥 = 4.
Beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menemukan atau mencari akar-akar polinomial antara lain, metode Tabulasi, metode Biseksi, metode Regula Falsi, metode Bairstow, metode Quotient-Difference (Q-D), metode Müller dan lain sebagainya.
Metode Müller adalah suatu algoritma untuk menentukan akar atau suatu metode numerik untuk menyelesaikan persamaan 𝑓 𝑥 = 0. Metode Müller merupakan perluasan dari metode secant yang dalam iterasinya hanya membutuhkan dua nilai tebakan awal dari fungsi 𝑓(𝑥), sedangkan untuk metode Müller menggunakan tiga titik untuk mengkonstruksi grafik berbentuk parabola yang melalui ketiga titik tersebut.
Metode Bairstow adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial tingkat 𝑛 dengan menggunakan dua tebakan awal yaitu 𝑟 dan 𝑠 yang digunakan dalam menentukan faktor kuadrat dari polinomial. Penyelesaiannnya adalah dengan menggunakan tahap-tahap iterasi. Penyelesaian persamaan polinomial dengan metode Bairstow cukup kompleks, terutama untuk penyelesaian persamaan polinomial tingkat tinggi.
Metode Quotient-Difference (Q-D) merupakan metode penyelesaian persamaan polinomial dengan membuat tabel yang terdiri dari kolom 𝑒 dan 𝑞. Kolom 𝑒 dan 𝑞 ini merupakan suatu simbol yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan polinomial. Pada kolom 𝑒 dan 𝑞 ini akan terjadi iterasi-iterasi melalui beberapa tahap. Proses iterasi dilakukan terus sampai batas tertentu yaitu
3
jika didapatkan semua nilai 𝑒 atau jika terjadi nilai 𝑒 berfluktuasi. Semua nilai kolom 𝑞 pada baris terakhir adalah akar-akarnya.
Dari beberapa metode tersebut pada dasarnya mempunyai tujuan yang sama, yaitu menentukan akar-akar polinomial dengan menggunakan tahap iterasi. Semakin banyak prosedur iterasi yang dilakukan, maka nilai pendekatan penyelesaian semakin mendekati nilai eksak. Nilai yang semakin mendekati nilai eksak menjadi ukuran tingkat konvergensi suatu metode. Sedangkan kecepatan suatu metode berkonvergensi merupakan ukuran dari keefektifan suatu metode numerik. Untuk mengetahui metode mana yang lebih efektif untuk digunakan dalam menentukan akar persamaan polinomial, maka perlu membandingkan ketiga metode tersebut dari segi iterasi dan kekonvergenannya. Dalam kajian sebelumnya yang dilakukan oleh Midawati (2006) telah dibandingkan dua metode untuk mencari akar-akar persamaan polinomial yaitu metode bagi dua dan metode posisi palsu. Dalam skripsinya diperoleh kesimpulan bahwa metode posisi palsu lebih cepat konvergen dari metode bagidua.
Berdasarkan latar belakang diatas, maka penulis akan membahas mengenai “ Membandingkan Metode Müller, Metode Bairstow dan Metode Quotient-Difference (Q-D) dalam Menentukan Akar Persamaan Polinomial”.
1.2 Rumusan Masalah
Latar belakang diatas menjelaskan bahwa untuk menentukan akar persamaan polinomial berderajat tinggi dapat menggunnakan metode numerik. Beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menemukan atau mencari akar-akar polinomial antara lain, metode Tabulasi, metode Biseksi, metode Regula Falsi, metode Bairstow, metode Quotient-Difference (Q-D), metode Müller dan lain sebagainya. Dari berbagai metode numerik tersebut pada dasarnya sama-sama menggunakan tahap iterasi, dimana semakin banyak iterasi yang dilakukan maka nilai pendekatan penyelesaian semakin mendekati nilai eksak. Nilai yang semakin mendekati nilai eksak menjadi ukuran tingkat konvergensi suatu metode. Sedangkan kecepatan suatu metode berkonvergensi merupakan ukuran dari
4
keefektifan suatu metode numerik . Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan digunakan antara lain:
1. Bagaimana cara menentukan akar persamaan polinomial dengan menggunakan metode Müller, metode Bairstow dan metode Quotient-Difference (Q-D) ?
2. Bagaimana perbandingan keefektifan dari ketiga metode tersebut dalam menentukan akar polinomial ?
1.3 Batasan Masalah
Metode numerik digunakan dalam menyelesaikan akar persamaan polinomial berderajat 3 atau lebih tinggi. Agar pembahasan dapat terarah, maka perlu adanya batasan masalah dalam penulisannya yaitu
1. Hanya akan membahas mengenai masalah persamaan polinomial berderajat 7 yang mempunyai akar-akar real dan bukan merupakan merupakan akar-akar ganda.
2. Dalam perhitungan pencarian akar-akar persamaan polinomial dari ketiga metode tersebut menggunakan teknik iterasi secara manual.
1.4 Tujuan Kajian
Persamaan polinomial yang sering dipelajari yaitu persamaan polinomial berderajat 2. Selama ini dalam menentukan akar persamaan polinomial berderajat 2 yaitu menggunakan cara faktorisasi, cara horner, cara substitusi, cara eliminasi substitusi dan menggunaan rumus kuadratik. Namun untuk menentukan akar persamaan polinomial dengan derajat 3 atau lebih tinggi, cara-cara tersebut tidak dapat digunakan. Maka dari itu diperlukan metode numerik dalam penyelesaiannya, diantaranya yaitu menggunakan metode Müller, metode Bairstow dan metode Quotient-Difference (Q-D). Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Mendeskripsikan cara menentukan akar persamaan polynomial dengan menggunakan metode Müller, metode Bairstow dan metode Quotient-Difference (Q-D).
5
2. Mengetahui keefektifan ketiga metode tersebut dalam menentukan akar persamaan polinomial.
1.5 Manfaat Kajian
Hasil dari kajian ini diharapkan dapat memberikan nilai manfaat dan nilai kegunaan bagi penulis dan pembaca. Adapun manfaat dan kegunaan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut :
1. Bagi Penulis
Penulis dapat memperdalam pengetahuan mengenai metode-metode numerik yang digunakan dalam menentukan akar persamaan polinomial khususnya metode Müller, metode Bairstow dan metode Quotient-Difference (Q-D) yang belum pernah dipelajari dalam perkuliahan.
2. Bagi Pembaca
Pembaca dapat menambah wawasan dan pengetahuan tentang metode numerik khususnya metode Müller, metode Bairstow dan metode Quotient-Difference (Q-D) dalam menentukan akar persamaan polinomial.
1.6 Definisi Operasional
Adapun definisi operasional yang digunakan dalam kajian ini sebagai berikut:
1.6.1 Metode Müller
Metode Müller adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan 𝑓 𝑥 = 0 dengan menggunakan tiga tebakan awal dari sebuah grafik berbentuk parabola yang melalui tiga titik dan menggunakan tahap-tahap iterasi sampai didapat nilai galat terkecil.
1.6.2 Metode Bairstow
Metode Bairstow adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial tingkat 𝑛 dengan menggunakan dua tebakan awal yaitu 𝑟 dan 𝑠 yang digunakan dalam menentukan faktor kuadrat dari polinomial, serta menggunakan tahap-tahap iterasi sampai nilai ∆𝑟 dan ∆𝑠 bernilai nol.
6 1.6.3 Metode Quotient-Difference (Q-D)
Metode Quotient-Difference (Q-D) merupakan metode penyelesaian persamaan polinomial dengan membuat tabel yang terdiri dari kolom 𝑒 dan kolom 𝑞, serta menggunakan tahap-tahap iterasi sampai batas tertentu yaitu jika didapatkan semua nilai 𝑒 atau jika terjadi nilai 𝑒 berfluktuasi. 1.6.4 Akar
Akar atau pembuat nol dari persamaan polinomial yaitu nilai – nilai yang memenuhi persamaan polinomial sehingga membuat persamaan tersebut bernilai nol.
1.6.5 Polinomial
Bentuk umum polinomial berderajat 𝑛 adalah
𝑝 𝑥 = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑥𝑛
dengan 𝑎𝑖 adalah konstanta riil, 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 dan derajat sebesar 𝑛, jika koefisien penuntunnya 𝑎𝑛 ≠ 0.
