Bab III Studi Kasus Model Double Decrement

Pada bab ini, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai beberapa definisi dalam teori Double Decrement. Selanjutnya akan dibahas bentuk kuantifikasi dependensi dalam kasus Double Decrement menggunakan konsep konkordan dengan pendekatan copula.

3.1 Model Double Decrement

Definisi 3.1.1 Peluang Untuk Usia Meninggal

Misalkan seseorang yang baru lahir akan dilihat peluang bersyaratnya bahwa dia akan meninggal antara usia dan . Untuk kondisi ini sudah dipastikan bahwa dia akan hidup sampai usia tahun. Maka akan berlaku

x z x

(

)

( )

_{( )}

( )

Pr | 1 F z F x x X z X x F x − ≤ ≤ > = − (3.1)

Dimana X adalah usia pada saat seseorang itu meninggal. Simbol

( )

x digunakan untu mewakili seseorang yang hidup pada usia dan sisa usianya sebagai T, atau

lebih jelasnya, sebagai . Maka orang ini akan meninggal pada usia . x

( )

T x x T+

Karena usia kematian tidak bisa diramalkan, maka Tdianggap sebagai variabel acak dengan fungsi distribusi peluangnya adalah

(

)

Pr , 0

tqx = T ≤t t≥ (3.2) Simbol _tq_x dapat dinterpretasikan sebagai peluang

( )

x akan meninggal di selang waktu t tahun kemudian. Dari fungsi ini dapat didefinisikan _tp sebagai peluang _x

( )

x akan bertahan hidup selama tahun yang akan datang dengan fungsi

distribusi peluangnya adalah

t

(

)

1 Pr ,

Definisi 3.1.2 Force of Mortality

Jika diketahui z= + ∆x maka akan diperoleh x

(

)

(

)

_{( )}

( )

( )

_{( )}

Pr | 1 1 F x x F x f x x X x x X x x F x F x + ∆ − ∆ ≤ ≤ + ∆ > = = − − (3.4)

merupakan peluang seseorang berusia akan meninggal sesaat setelah usia . x x

Diketahui F x'

( )

= f x

( )

adalah fungsi distribusi peluang dari variabel acak usia kematian yang kontinu. Tulis

( )

( )

( )

( )

' 1 x f x s F x s x µ = =− − x

)

(3.5)

disebut sebagai force of mortality yang bernilai non-negatif.

Untuk menggambarkan double decrement di atas, misal terdapat dua peubah acak: 1. T(x) : peubah acak kontinu yang menyatakan sisa waktu (t) seseorang

berusia x akan gugur status asuransinya.

2. J(x) : peubah acak diskrit yang menyatakan penyebab seseorang berusia x menjadi gugur dari status asuransinya, dapat diberikan nilai 1 untuk kematian dan 2 untuk pensiun hari tua sebagai kasus double decrement.

Fungsi padat peluang gabungan dari kedua peubah acak di atas dinotasikan dengan f_{T x J x( ) ( ),}

(

t j , akan digunakan untuk menghitung peluang kejadian yang , didefinisikan oleh T dan J. Misal,

( )

{

(

) (

)

}

, , T J

f t j dt=P t< ≤ +T t dt ∩ J = j (3.6) menyatakan peluang terjadinya decrement ke- pada waktu antara t hingga

, dapat kita nyatakan sebagai

j

t+dt _tq_x( )j dengan t >0, j=1, 2.

Selanjutnya fungsi padat peluang marginal untuk T(x) dalam kasus double decrement dinyatakan sebagai berikut,

( )

2 ,

( )

1 , T T J j f t f t = =

∑

j (3.7)

Sedangkan fungsi padat peluang marginal untuk J(x) adalah

( )

,

( )

0 , t J T J f j =

∫

f s j ds (3.8)

dengan t menyatakan sisa usia seseorang yang sekarang berusia . x

Beberapa fungsi aktuaria yang berhubungan dengan double decrement menggunakan superscript

( )

τ , menyatakan fungsi yang berhubungan dengan semua penyebab decrement , dapat didefinisikan sebagai berikut:

( )

_{( )}

_{( )}

₍

₎

( ) ( ) ( )

₍

₎

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

_{( )}

( ) ( ) 1 2 , min , , log x a t x x x t t x t x x x t t x x x t e x t x t x x t S t S t t P T T t l l S x a x a d l l d q l l p l d l dt f t p τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ µ µ + + + + + ⎡ ⎤ = = _⎣ > _⎦ = − ≥ = − = = = − =

Beberapa fungsi aktuaria yang berhubungan dengan Multiple decrement didefinisikan sebagai berikut :

( )

_{( )}

₍

₎

( ) ( ) ( )

₍

₎

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

_{( )}

( ) ( ) 1 2 min , , , log j j j x a j j j t x x x t j j _{t x} t x x j j x t t x x j j x t e x t j j x t x x t S t P T T t J j l l S x a x a d l l d q l l p l d l dt f t p τ τ τ τ µ µ + + + + + ⎡ ⎤ = _⎣ > = _⎦ = − ≥ = − = = = − =

Selanjutnya akan diturunkan untuk Associated single decrement sebagai berikut:

( )

_{( )}

( ) ( ) ( )

₍

₎

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

_{( )}

( ) ( ) ' ' ' ' , ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' log ' ' ' ' j x a t x x x t t x t x x x t t x x x t e x t x t x x t S t P T t l l S x a x d l l d q l l p l d l dt f t p τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ µ µ + + + + + ⎡ ⎤ = _⎣ > _⎦ a = − ≥ = − = = = − =

Berdasarkan Survival Copula yang telah dibahas pada bab sebelumnya serta dengan menggunakan definisi-definisi pada kasus double decrement di atas, maka permasalahan terjadinya penurunan populasi dalam perusahaan asuransi dapat dirumuskan sebagai berikut,

(

)

( )1

_{( )}

( )2

_{( )}

1, 2 ' 1 , ' 2 , 1, 2

S t t =C S⎡_⎣ t S t ⎤_⎦ ∀t t ≥0

(3.9)

Lemma berikut akan mempertegas rumusan di atas.

Misal

( )

( )

( )

2 ' 1 j j j j C u P S T u = ⎧ ⎫ ⎪ _{⎡ ⎤}⎪ = _{⎨ ⎣} ≤ _⎦⎬ ⎪ ⎪ ⎩

I

⎭

Maka C u

( )

merupakan suatu copula sedemikian sehingga

(

)

( )1

_{( )}

( )2

_{( )}

1, 2 ' 1 , ' 2 , 1, 2

S t t =C S⎡_⎣ t S t ⎤_⎦ ∀t t ≥0

.

Perhatikan S'( )j

( )

t =P T

(

j > = −t

)

1 P T

(

j ≤ = −t

)

1 tq'x( )j

dengan _tq_x'( )j =Pr

(

T_j ≤t t

)

, ≥0 menyatakan peluang seseorang keluar dari populasi setelah t tahun berikutnya disebabkan oleh penyebab j .

Karena _tq'_x( )j ≈ maka dengan menggunakan asumsi Constant Force diperoleh 0

( )

(

( )

)

( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ln 1 ln 1 j t x j t x t x t x j t x t x t x j t x q q q q q q q q τ τ τ τ − = − − ≈ − = Akibatnya

(

)

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ' 1 ' 2 1 2 , ' , ' 1 ,1 1 ,1 t x t x t x t x S t t C S t S t C q q C q q ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = _⎣ − − _⎦ ⎡ ⎤ = _⎣ − − _⎦ .

3.2 Data Double Decrement

Studi kasus terhadap sebuah perusahaan asuransi dilakukan dengan meneliti efek pensiun dan meninggal setelah pensiun sebagai penyebab penurunan populasi peserta asuransi pada suatu perusahaan asuransi, sebagai double decrement dalam selang waktu sebelas tahun. Berikut ini disajikan tabel data beserta gambar plotnya dari

( )

(

)

( ) ' Pr , 0 j t x j j t x q T t t q = ≤ ≥ ≈ .

Tabel 4 Data Double Decrement

Umur qx(P) qx(M) q1x(P) 1-q1x(P) 1-qx(M) 50 0.0134 0.0003 0.012098 0.987902 0.9997 51 0.0092 0.0008 0.010136 0.989864 0.9992 52 0.0099 0.0011 0.010192 0.989808 0.9989 53 0.0098 0.0015 0.010826 0.989174 0.9985 54 0.0087 0.0016 0.013477 0.986523 0.9984 55 0.0216 0.0023 0.02653 0.97347 0.9977 56 0.692 0.0176 0.042409 0.957591 0.9824 57 0.0199 0.0186 0.036579 0.963421 0.9814 58 0.0296 0.0253 0.035965 0.964035 0.9747 59 0.029 0.0313 0.036621 0.963379 0.9687 60 0.5853 0.0589 0.038017 0.961983 0.9411 Ket: P = Pensiun ,

M = Meninggal setelah Pensiun

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 0.8 0.85 0.9 0.95 1 qx(P) qx (M )

Gambar 3.1 Diagram Pencar

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 48 50 52 54 56 58 60 62 Umur qx qx(P) qx(M)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 48 50 52 54 56 58 60 62 Umur qx qx1(P) qx(M)

Gambar 3.3 Grafik qx vs Umur Hasil Graduasi

Untuk selanjutnya data yang akan digunakan dalam simulasi adalah data hasil graduasi.

3.3 Pemodelan Dependensi Decrement Melalui Copula

Sebagai langkah awal untuk menyelidiki dependensi kasus double decrement ini, terlebih dahulu akan dipilih copula yang tepat untuk menggambarkan struktur dependensi dari variabel acak dalam yang dimiliki, untuk selanjutnya akan ditaksir parameter copula berdasarkan copula yang telah terpilih. Algoritma identifikasi copula sebagai berikut (Lihat [3]):

1. Taksir korelasi Kendall

(

)(

1 1 1 2 2 2 n i j i j i j n sign X X X X τ − < ⎛ ⎞ _⎡

₎

_⎤ =_{⎜ ⎟ ⎣} − − _⎦ ⎝ ⎠

∑

2. Tentukan

{

(

)

}

( ) # , : , ;1 1 j j j i j i i X Y X X Y Y V i n < < = ≤ − ≤n

3. Konstruksi taksiran non parametrik ( ) ( )

1 1 n n i i K v v n = δ =

∑

−V

4. Selanjutnya konstruksi pula taksiran parametrik Kφ( )v = −v λφ( )v ; 0< <v 1

6. Buat Q-Q Plot untuk taksiran K non parametrik dan parametrik, kemudian hitung Koefisien Korelasinya.

Dengan menerapkan algoritma ini pada data di atas maka diperoleh plot Kn( )v

dan Kφ( )v terhadap v sebagai berikut:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 K empirik Ket: _____ K Clayton _____ K Gumbel Gambar 3.4 Grafik K(v)

Dengan membandingkan plot empirik dengan plot copula Clayton dan Gumbel, maka copula yang tepat untuk digunakan dalam memodelkan dependensi studi kasus ini adalah copula Clayton. Selanjutnya perhatikan dua plot berikut ini.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Non Parametrik Cl a y to n

Gambar 3.5 Q-Q Plot Copula Clayton terhadap Non Parametrik

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Non Parametrik Gu m b e l

Jika dihitung nilai koefisien korelasi untuk masing-masing copula terhadap non parametrik, maka diperoleh 0.9914 untuk Clayton dan 0.9909 untuk Gumbel. Dengan menggunakan Kolmogorv-Smirnov Test lebih tegas lagi ditunjukkan bahwa kedua copula cocok untuk memodelkan data dengan P-Value 0.190 untuk Clayton dan 0.079 untuk Gumbel. Karena P-Value Clayton lebih besar daripada P-Value Gumbel maka data double decrement lebih cocok dimodelkan dengan copula Clayton. Selanjutnya akan ditaksir parameter copula Clayton terhadap data pada Tabel 4 dengan menggunakan teknik Maximum Likelihood Estimator.

Copula Clayton didefinisikan sebagai berikut,

( )

(

)

1

,

C u v = u−α+v−α −1− α (3.10)

Misalkan c u v

(

,

)

merupakan fungsi densitas dari C u v . Maka fungsi likelihood

( )

, bisa ditulis sebagai

(

, ;

)

( )

,

L u v α =

∏

c u v (3.11)

Dengan memaksimumkan fungsi likelihood di atas terhadap data pada Tabel 4, dalam hal ini menggunakan software Excel:Solver, maka diperoleh nilai taksiran

77.86

α)= . Berdasarkan fungsi pada Tabel 3 maka akan diperoleh

(

. 1 2 1 2

)

(

1 2 1 2 ˆ ˆ ( )( ) 0 ( )( ) 0.975 X Y P X X Y Y P X X Y Y 0

)

τ ≡ τ = − − > − − − < =

dimana (X Y dan ₁, )₁ (X Y₂, ₂) menyatakan vektor acak dengan entri pada Tabel 4

kolom kelima dan keenam. Maka bisa disimpulkan bahwa decrement pensiun dengan meninggal setelah pensiun memiliki dependensi yang sangat kuat.