OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
TESIS
Karya tulis sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Magister dari
Institut Teknologi Bandung
Oleh
HERRY PRIBAWANTO SURYAWAN
NIM : 20106006
Program Studi Matematika
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
ABSTRAK
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
Oleh
Herry Pribawanto Suryawan
NIM : 20106006
Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di
ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang
diperu-mum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisidoubling seperti
halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga
akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut.
Kata kunci: Operator integral fraksional, Ukuran growth, Ruang Lebesgue
ABSTRACT
FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS
AND OLSEN’S INEQUALITIES
ON NON-HOMOGENEOUS SPACES
By
Herry Pribawanto Suryawan
NIM : 20106006
In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on
non-homogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-homogeneous
Morrey spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a
growth measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces.
Key words: Fractional integral operators, Growth measure, Non-homogeneous
OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL
DAN KETAKSAMAAN OLSEN
DI RUANG TAK HOMOGEN
Oleh
Herry Pribawanto Suryawan
NIM : 20106006
Program Studi Matematika
Institut Teknologi Bandung
Bandung, Februari 2008
Telah diperiksa dan disetujui oleh
Pembimbing
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS
Tesis Magister yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di
perpus-takaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan
keten-tuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI
yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan
diperke-nankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan
seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk
menye-butkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin
Tuhan adalah gembalaku, takkan kekurangan aku. Ia membaringkan aku di padang yang berumput hijau, Ia membimbing aku ke air yang tenang;
Ia menyegarkan jiwaku. Ia menuntun aku di jalan yang benar oleh karena
namaNya. Sekalipun aku berjalan dalam lembah kekelaman aku tidak takut
bahaya, sebab Engkau besertaku; gadaMu dan tongkatMu, itulah yang
menghibur aku. Engkau menyediakan hidangan bagiku, di hadapan lawanku;
Engkau mengurapi kepalaku dengan minyak; pialaku penuh melimpah.
Kebajikan dan kemurahan belaka akan mengikuti aku, seumur hidupku;
dan aku akan diam dalam rumah TUHAN sepanjang masa.
(MAZMUR 23: 1-6)
Untuk Mama dan seluruh keluargaku
Kata Pengantar
Segala puji syukur, hormat, dan kemuliaan untuk Tuhan Yesus Kristus, atas
kasih dan tuntunan-Nya, penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Banyak hal
terjadi selama penulis menempuh studi dan menulis tesis ini, namun penulis
menyadari semua itu merupakan bagian dari rencana Tuhan yang indah untuk
hidup penulis.
Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister dari Institut Teknologi Bandung. Penulis menyadari bahwa tesis ini
tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan moral, material, dan doa dari
berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati, penulis
menyam-paikan terima kasih kepada:
(1) Prof. Dr. Hendra Gunawan, yang telah berkenan dengan sabar
mem-bimbing penulis, memberikan ilmu, ide, saran, teguran, dan perhatian
yang sangat berharga bagi penulis.
(2) Dr. Wono Setya Budhi dan Dr. Yudi Soeharyadi, yang telah
berke-nan menjadi penguji pada ujian tesis ini dan memberikan masukan yang
sangat berarti.
(3) Dr. Irawati dan Dr. Hilda Assiyatun sebagai wali akademik, yang
telah memberikan pengarahan kepada penulis selama menempuh
(4) Bapak dan Ibu Dosen di Program Studi Matematika ITB, yang telah
membagikan ilmu dan pengalamannya yang sangat berharga. Khususnya
penulis mengucapkan terimakasih kepada Prof. Dr. Hendra Gunawan,
Dr. Wono Setya Budhi, Dr. Jalina Widjaya, Dr. Irawati, Dr. M. Intan
Detiena, Dra. Muliana H. Arinardi, M.Si, Prof. Dr. Edy Soewono, Dr.
Oki Neswan, dan Dr. Achmad Muchlis.
(5) Yayasan Sanata Dharma dan Universitas Sanata Dharma, yang telah
memberikan beasiswa dan kemudahan, sehingga penulis dapat
menem-puh pendidikan di ITB dengan baik dan lancar.
(6) Rekan-rekan di ITB dan di USD, atas dukungan dan perhatiannya
ke-pada penulis. Secara khusus penulis ingin berterimakasih keke-pada Ibu
Dra. Idha Sihwaningrum, M.Sc, rekan satu bimbingan, yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini melalui diskusi, ide, saran,
dan perhatiannya.
(7) Mama Yuniati, kakak-kakakku, dan seluruh keluargaku atas doa,
perha-tian, dan kasih sayangnya kepada penulis.
(8) Sahabatku dalam suka dan duka, Anton Wardaya, yang tidak pernah
bosan membagikan kasih Allah, dukungan, doa, dan bantuan kepada
penulis.
(9) Semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan tesis ini
tersele-saikan dengan baik, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
Semoga tesis ini bermanfaat bagi para pembaca.
Bandung, Januari 2008
Daftar Isi
Abstrak ii
Abstract iii
Halaman Pengesahan iv
Pedoman Penggunaan Tesis v
Halaman Persembahan vi
Kata Pengantar vii
Daftar Isi ix
1 Pendahuluan 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1
1.2 Tujuan Penulisan . . . 5
1.3 Sistematika Penulisan . . . 5
2 Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Tak
Ho-mogen 7
2.1 Keterbatasan Operator Mn di Ruang Lp(µ) . . . . 7
2.3 Keterbatasan OperatorIn
α di Ruang Morrey Tak Homogen yang
Diperumum . . . 19
3 Ketaksamaan Olsen di Ruang Tak Homogen 27
3.1 Ketaksamaan Olsen di Ruang Lp(µ) . . . 27
3.2 Ketaksamaan Olsen di Ruang Mp,φ(µ) . . . 28
4 Kesimpulan 32
Bab 1
Pendahuluan
1.1
Latar Belakang Masalah
Salah satu objek kajian dalam Analisis Fourier adalah operator integral. Di
dalam tesis ini akan dipelajari salah satu operator integral yang dikenal sebagai
operator integral fraksional atau sering juga disebut potensial Riesz. Operator
ini pertama kali dipelajari oleh Hardy, Littlewood, dan Sobolev pada sekitar
tahun 1930. Operator ini dapat diperoleh melalui transformasi Fourier dari
operator Laplace (lihat Stein [13] hal. 117 atau Lieb and Loss [9] hal. 123).
Untuk fungsifyang terdefinisi padaRddanα∈Rdengan 0< α < d, operator integal fraksional (orde α)Iα didefinisikan sebagai
Iαf(x) :=
1 γ(α)
Z
Rd
f(y)
|x−y|d−α dy
dengan
γ(α) = Γ(
d−α
2 )
2απd2Γ(α
2)
.
NotasiLpmenyatakan ruang Lebesgue, yaitu ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi
terukur f sehingga kfkLp <∞ dengan
kfkLp =
µZ
Rd
|f(y)|p dy
¶1 p
dan
kfkL∞ =esssup
©
|f(x)|:x∈Rdª.
Hardy, Littlewood, dan Sobolev telah membuktikan bahwa operatorIαterbatas
dari Lp ke Lq, yakni
kIαfkLq ≤CkfkLp (1.1) untuk 1
q =
1
p − α
d dan 1 < p < d
α. Ketaksamaan (1.1) ini dikenal sebagai
ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev (lihat Stein [14]). Dari ketaksamaan
ini dapat dikatakan bahwa operator Iα memetakan fungsi f menjadi fungsi
lain, yaitu Iαf, yang secara lokal bersifat lebih baik dalam hal keterintegralan.
Selanjutnya pada tahun 1987 F. Chiarenza dan M. Frasca memperlihatkan
keterbatasan operator Iα di ruang Morrey, yang merupakan perumuman dari
ruang Lebesgue. ApabilaLplocmenyatakan ruang Lebesgue lokal —ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K dari Rd berlaku
Z
K
|f(x)|p dx <∞,
maka ruang Morrey Lp,λ didefinisikan sebagai ruang semua fungsi f ∈ Lp loc
sehingga
kfkLp,λ := sup
B(x,r)
µ
1 rλ
Z
B(x,r)
|f(y)|p dy
¶1 p
<∞ (1.2)
danB(x, r) adalah bola dengan pusatx∈Rddan berjari-jarir, dan 0≤λ ≤d.
Khususnya untuk λ = 0 diperoleh Lp,λ =Lp. Perhatikan dari (1.2) diperoleh
bahwa terdapat C > 0 sehingga untuk 0≤λ≤d berlaku 1
rλ
Z
B(x,r)
|f(y)|p dy≤C
atau
Z
B(x,r)
Hasil Chiarenza dan Frasca adalah ketaksamaan berikut
kIαfkLq,λ ≤CkfkLp,λ
untuk 1< p < αd, 0< λ < d−αp, dan q1 = 1p−d−αλ. Dalam pembuktian keter-batasanIαdariLp,λkeLq,λ, Chiarenza dan Frasca memanfaatkan keterbatasan
operator maksimal Hardy-Littlewood (klasik)
M f(x) = sup
r>0
1 rd
Z
B(x,r)
|f(y)| dy
di Lp,λ (lihat Chiarenza and Frasca [1]).
Dalam penelitian sepuluh tahun terakhir telah diperlihatkan bahwa kondisi
doubling di dalam analisis Fourier bukanlah hal yang esensial tapi dapat diganti
dengan kondisi growth. Hal inilah yang memotivasi munculnya pengertian
ruang tak homogen (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5], Garcia-Cuerva and
Gatto [4], dan Nazarov, et al. [10]). Ruang tak homogen adalah ruang Rd
yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif µ yang memenuhi kondisi
growth. Ini berbeda dengan ruang homogen yang dilengkapi dengan ukuran
yang memenuhi kondisi doubling. Diberikan kubus dengan panjang sisil,Q(l) di Rd, maka ukuran µpada Rd dikatakan memenuhi kondisi doubling apabila untuk terdapat C > 0 sehingga
µ(Q(2l))≤C µ(Q(l)).
Sementara itu ukuran µdikatakan memenuhi kondisi growth (orde n) apabila terdapat C > 0 sehingga
µ(Q(l))≤C ln untuk suatu n∈R dengan 0< n≤d.
Dengan menggunakan pengertian ukuran growth tersebut di atas dapat
diperumum. Ruang Lebesgue tak homogen Lp(µ), 1 ≤ p≤ ∞, adalah ruang
kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga kfkLp(µ) <∞, dengan
kfkLp(µ) =
µZ
Rd
|f(y)|p dµ(y)
¶1 p ,
dan
kfkL∞(µ) =esssup
©
|f(x)|:x∈Rdª.
Di sini esssup©|f(x)|:x∈Rdª menyatakan batas atas terkecil esensial dari
|f|. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lploc(µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K diRd berlaku
Z
K
|f(y)|p dµ(y)<∞
dan ruang Morrey tak homogen yang diperumumMp,φ(µ) didefinisikan sebagai
ruang dari semua fungsi f ∈Lploc(µ) sehingga
kfkMp,φ(µ):= sup
r>0
1 φ(r)
µ
1 rn
Z
Q(x,r)
|f(y)|p dµ(y)
¶1 p
<∞
dan untuk p=∞
kfkM∞,φ(µ) := sup
Q(x,r)
1
φ(Q) kfkL∞(Q)
denganφadalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa kondisi tertentu. Khu-susnya untuk φ(t) =t−np maka didapat Mp,φ(µ) =Lp(µ) dan untuk φ(t) =c, suatu fungsi konstan positif maka didapat M∞,φ(µ) =L∞(µ).
Selanjutnya operator integral fraksional (orde α) dalam konteks ruang tak homogen Lp(µ) dengan µukuran growth orde n, didefinisikan sebagai
Iαnf(x) :=
Z
Rd
f(y)
|x−y|n−α dµ(y)
In
α di ruang tak homogen, khususnya Lp(µ) dan Mp,φ(µ), dan untuk hal itu
akan dibahas juga operator maksimal Hardy-LittlewoodMnyang didefinisikan
sebagai
Mnf(x) := sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|f(y)|dµ(y).
Khususnya akan dibuktikan bahwaMnterbatas diLp(µ), yakni terdapatC > 0 sehingga
kMnfkLp(µ) ≤CkfkLp(µ), untuk p >1.
Catat bahwa untukn =ddiperolehMn=M yaitu operator maksimal
Hardy-Littlewood klasik.
1.2
Tujuan Penulisan
Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operatorIαndi ruang Lebesgue
tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Selanjutnya
untuk suatu fungsi W yang terdefinisi padaRdakan ditunjukkan keterbatasan operatorW Iαdi ruangLp(µ) danMp,φ(µ). Hasil penulisan tesis ini diharapkan
dapat memberikan kontribusi pengetahuan mengenai keterbatasan operatorIαn
serta ketaksamaan Olsen di ruang tak homogen, khususnyaLp(µ) danMp,φ(µ).
1.3
Sistematika Penulisan
Sistematika dari tesis ini adalah sebagai berikut.
Bab 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah,
tin-jauan pustaka, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.
Pada bab 2 dibuktikan keterbatasan operator Iαn di ruang Lebesgue tak
memberikan bukti keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood Mn di
ruang Lp(µ). Subbab kedua membahas keterbatasan operator In
α di ruang
Lebesgue tak homogen dengan memanfaatkan keterbatasan operator Mn di
ruang tersebut. Sementara pada subbab ketiga akan dibuktikan keterbatasan
operator In
α di ruang Morrey tak homogen yang diperumum.
Bab 3 menyajikan hasil yaitu ketaksamaan Olsen di ruangLp(µ) danMp,φ(µ).
Pada subbab pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruangLp(µ).
Selanjut-nya pada subbab kedua dibuktikan ketaksamaan Olsen di ruang Mp,φ(µ).
Bab 4 merupakan kesimpulan yang memberikan penegasan tentang hasil
te-muan yang diperoleh dari fakta yang telah dibicarakan pada bab-bab
Bab 2
Keterbatasan Operator Integral
Fraksional di Ruang Tak
Homogen
2.1
Keterbatasan Operator
M
ndi Ruang
L
p(
µ
)
Pada bagian ini akan dibahas operator maksimal Mn, khususnya akan
diper-lihatkan bahwa Mn bersifat terbatas di ruang Lp(µ). Hasil ini cukup penting
karena akan dipergunakan dalam pembuktian keterbatasan operator In α dari
Lp(µ) ke Lq(µ) untuk suatu q > p.
Dalam hal ukuran Lebesgue, sifat invarian terhadap translasi dan sifat dilasi
merupakan alat yang sangat baik dalam pengembangan Analisis Fourier.
Su-atu perluasan dari hal ini adalah konsep ruang tipe homogen, yaitu ruang
kuasi-metrik yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif yang
dou-bling bukanlah hal yang esensial yaitu banyak hasil dalam Analisis Fourier
yang tetap berlaku ketika kondisidoubling diganti dengan kondisigrowth.
Mi-salnya pada F. Nazarov, et al. [10] mengenalkan ruang tak homogen sebagai
ruang metrik—termasukRd—yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif
yang memenuhi kondisi growth.
Diberikan kubusQ⊂Rd dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordi-nat. Ukuran Borel tak negatif µpada Rd dikatakan memenuhi kondisi growth
(orde n) apabila terdapat konstanta C >0 sehingga
µ(Q)≤C ln
dengan l = l(Q) menyatakan panjang sisi kubus Q dan n bilangan real ter-tentu dengan 0< n≤d. Karena ukuran suatu kubus didominasi oleh panjang sisinya dipangkatkan n, maka ukuran growth (orde n) sering juga disebut se-bagai ukuran berdimensi-n. Untuk suatu k > 0, kQ menyatakan kubus yang sepusat (konsentris) dengan kubusQtetapi panjang sisinya adalah kkali pan-jang sisi kubus Q, yaitu l(kQ) = k l(Q). Lebih lanjut, Q(x, r) menyatakan kubus yang berpusat di x dan berjari-jari r. Dalam hal ini yang dimaksud dengan jari-jari kubus adalah setengah panjang sisinya. Untuk selanjutnya di
dalam seluruh tesis ini,C merupakan konstanta positif yang tidak perlu sama dari satu baris ke baris yang lainnya.
Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel tak negatif pada Rd yang memenuhi kondisi growth orde n dan 1 ≤ p < ∞. Ingat kembali ruang Lebesgue tak homogen Lp(µ), 1≤p≤ ∞, adalah ruang
kelas-kelas ekuivalen f sehingga kfkLp(µ) <∞, dengan
kfkLp(µ) =
µZ
Rd
|f(y)|p dµ(y)
¶1 p ,
dan
kfkL∞(µ) =esssup
©
Di sini esssup©|f(x)|:x∈Rdª menyatakan batas atas terkecil esensial dari
|f|, yakni
esssup©|f(x)|:x∈Rdª = inf{M >0 :|f(x)| ≤M a.e.−µpada
Rd}. Dua buah fungsi f dan g di Lp(µ) dikatakan ekuivalen jika f = g hampir di
mana-mana.
Selanjutnya, ingat fungsi maksimal Hardy-Littlewood
Mnf(x) = sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|f(y)| dµ(y).
Dalam hal ini Mn disebut sebagai operator maksimal. Terdapat pendefinisian
lain untuk fungsi maksimal yang dikenal sebagaifungsi maksimal tak terpusat
yaitu
Mucf(x) = sup Q∋x
1 ln
Z
Q
|f(y)| dµ(y).
Akan diperlihatkan bahwa fungsi maksimal setara titik demi titik (pointwise
equivalent) dengan fungsi maksimal tak terpusat. Untuk setiap x∈Rd, 1
rn
Z
Q(x,r)
|f(y)|dµ(y) = 1 (12l)n
Z
Q(x,r)
|f(y)|dµ(y) = 2
n
ln
Z
Q(x,r)
|f(y)|dµ(y)
≤2nsup Q∋x
1 ln
Z
Q
|f(y)|dµ(y). Jadi diperoleh sup r>0 1 rn Z
Q(x,r)
|f(y)| dµ(y)≤2nsup
Q∋x
1 ln
Z
Q
|f(y)|dµ(y). Dengan kata lain
Mnf(x)≤2nM
ucf(x). (2.1)
Di lain pihak,
1 ln
Z
Q
|f(y)|dµ(y)≤ 1
rn
Z
Q(x,r)
≤sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|f(y)|dµ(y).
Hubungan ini berlaku untuk setiap kubus Q dengan panjang sisi l, sehingga diperoleh
sup
Q∋x
1 ln
Z
Q
|f(y)|dµ(y)≤sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|f(y)|dµ(y). Dengan kata lain,
Mucf(x)≤Mnf(x). (2.2)
Dengan demikian dari (2.1) dan (2.2) diperoleh
Mucf(x)≤Mnf(x)≤2nMucf(x),
untuk setiap x∈Rd.
Untuk membuktikan keterbatasan operatorMn diLp(µ) terlebih dahulu
dibe-rikan pengertian operator tipe lemah dan tipe kuat serta teorema interpolasi
Marcinkiewicz. Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran danT operator dari Lp(X, µ) ke ruang fungsi terukur dariY. OperatorT merupakan operator tipe lemah (p, q), q <∞ jika untuk setiapλ >0 berlaku
ν{y∈Y :|T f(y)|> λ} ≤
µ
CkfkLp(X,µ) λ
¶q
.
dan T merupakan operator tipe lemah (p,∞) jika T merupakan operator ter-batas dari Lp(X, µ) ke L∞(Y, ν). Operator T merupakan operator tipe kuat
(p, q) jika T terbatas dariLp(X, µ) keLq(Y, ν), yakni terdapatC >0 sehingga
kT fkLq(Y,ν) ≤CkfkLp(X,µ).
Catat bahwa jika T adalah operator tipe kuat (p, q), makaT tipe lemah (p, q). Misalkan T suatu operator tipe kuat (p, q). Tulis Eλ ={y∈Y :|T f(y)|> λ}
maka
ν(Eλ) =
Z
Eλ dν ≤
Z
Eλ
¯ ¯ ¯ ¯
T f(x) λ
¯ ¯ ¯ ¯
q
dν ≤ kT fk
q Lq(Y,ν) λq ≤
µ
CkfkLp(X,µ) λ
¶q
Jadi T operator tipe lemah (p, q).
Didefinisikan Lp1(X, µ) + Lp2(X, µ) sebagai ruang semua fungsi f sehingga f =f1+f2denganf1 ∈Lp1(X, µ) danf2 ∈Lp2(X, µ). Misalkanp1 < p2, maka
berlaku Lp(X, µ)⊂Lp1(X, µ) +Lp2(X, µ) untuk setiap p denganp
1 ≤p≤p2.
Untuk melihat hal ini, ambil sebarang f ∈ Lp(X, µ) dan k suatu konstanta
positif. Tulis
f1(x) =
f(x) jika |f(x)|> k 0 jika |f(x)| ≤k dan
f2(x) =
f(x) jika |f(x)| ≤k 0 jika |f(x)|> k. Maka diperoleh
Z
X
|f1(x)|p1 dµ=
Z
X
|f1(x)|p|f1(x)|p1−p dµ≤kp1−p
Z
X
|f(x)|p dµ
dan juga
Z
X
|f2(x)|p2 dµ=
Z
X
|f2(x)|p|f2(x)|p2−p dµ≤kp2−p
Z
X
|f(x)|p dµ.
Jadi f1 ∈Lp1(X, µ) dan f2 ∈Lp2(X, µ) sehingga f ∈Lp1(X, µ) +Lp2(X, µ).
Teorema berikut memegang peranan penting dalam pembuktian keterbatasan
operator maksimal di ruang Lebesgue tak homogen. Bukti lengkap teorema
ini dapat dilihat pada Duoandikoetxea [2] hal. 29, atau Krantz [8] hal 319,
atau Stein [13] hal 21.
Teorema 2.1. (Teorema interpolasi Marcinkiewicz). Diketahui (X, µ)
dan (Y, ν) ruang ukuran, 1 ≤ p1 < p2 ≤ ∞ dan T operator sublinear dari
Lp1(X, µ) +Lp2(X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y, yang merupakan tipe
lemah(p1, p1)dan juga merupakan tipe lemah(p2, p2). Maka operatorT
Teorema selanjutnya menyatakan keterbatasan operator Mn di ruang Lp(µ).
Pembuktian teorema ini melibatkan lema cover Vitali yang buktinya dapat
dilihat pada Jones [7] hal. 448 atau Stein [13] hal. 9.
Lema 2.2. (Lema cover Vitali). Diketahui {Q1, Q2, . . . , Qk, . . .} koleksi
kubus di Rd. Maka ada subkoleksi terhitung kubus {Q˜1,Q˜2, . . . ,Q˜j, . . .}
se-hingga
1. Q˜j saling lepas sepasang-sepasang, dan
2. berlaku
[
k
Qk ⊆
à [
j
3 ˜Qj
!
Teorema 2.3. Operator maksimal Mn memenuhi
µ©x∈Rd:Mnf(x)> λª≤ C
λ
Z
Rd
|f(x)| dµ(x)
dan
kMnfkL∞(µ)≤CkfkL∞(µ).
Bukti. Ambil f ∈L1(µ) dan didefinisikan Eλ =
©
x∈Rd:Mnf(x)> λª.
Jika x∈Eλ, yaitu x∈Rd dan Mnf(x)> λ, maka terdapat rx >0 sehingga
1 rn
x
Z
Q(x,rx)
|f(y)| dµ(y)> λ.
Lema cover Vitali memberikan koleksi kubus yang saling lepas sepasang-
se-pasang {Q(xj, rj)}j, dengan xj ∈Eλ dan rj =rxj, sehingga
Eλ ⊂
[
x∈Eλ
Q(x, rx)⊂
[
j
Jadi diperoleh
µ(Eλ)≤
X
j
µ(Q(xj,3rj))
≤3nX j
rjn
≤CX
j
1 λ
Z
Q(xj,rj)
|f(y)| dµ(y)
≤ C
λ
X
j
Z
Q(xj,rj)
|f(y)| dµ(y)
≤ C
λ
Z
Rd
|f(y)| dµ(y).
Di sini kita menggunakan fakta bahwa kubus-kubus Q(xj, rj) saling lepas
sepasang-sepasang. Jadi terbukti
µ©x∈Rd:Mnf(x)> λª ≤ C
λ
Z
Rd
|f(x)| dµ(x).
Untuk bagian selanjutnya, apabila diambil sebarangx∈Rddan kubusQ⊂Rd
yang berpusat di x dan berjari-jari r, maka
1 rn
Z
Q(x,r)
|f(y)| dµ(y)≤ 1
rn
Z
Q(x,r)
esssup|f(y)| dµ(y)
≤ 1
rn
Z
Q(x,r)
kfkL∞(µ) dµ(y)
=kfkL∞
(µ)
1 rn
Z
Q(x,r)
dµ(y)
=kfkL∞
(µ)
1 rnµ(Q)
≤CkfkL∞
(µ). Akibatnya sup r>0 1 rn Z
Q(x,r)
|f(y)|dµ(y)≤CkfkL∞(µ)
atau berarti
kMnfkL∞
(µ)≤CkfkL∞
Akibat 2.4. Operator maksimal Mn terbatas di Lp(µ) untuk 1< p <∞ .
Bukti. Untuk mendapatkan keterbatasan operator maksimal Mn dari Lp(µ)
ke Lp(µ) cukup dengan menerapkan teorema interpolasi Marcinkiewicz pada
dua hasil di dalam Teorema 2.3. Catat bahwa Mn merupakan suatu operator
sublinear. Ambil sebarang f, g ∈Lp(µ), 1< p < ∞, maka
Mn(f +g)(x) = sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|(f +g)(y)| dµ(y)
≤sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
(|f(y)|+|g(y)|) dµ(y)
≤sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|f(y)| dµ(y) + sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|g(y)| dµ(y) =Mnf(x) +Mng(x)
dan juga
Mn(k.f)(x) = sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|(k.f)(y)| dµ(y) = sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|k||f(y)| dµ(y) =|k|sup
r>0
1 rn
Z
Q(x,r)
|f(y)| dµ(y) =|k|Mnf(x).
Karena diketahui juga bahwa Mn merupakan tipe lemah (1,1) dan juga tipe
lemah (∞,∞), maka menurut teorema interpolasi Marcinkiewicz, operatorMn bertipe kuat (p, p) untuk 1< p <∞, yaitu berlaku
kMnfkLp(µ)≤CkfkLp(µ).
Dengan kata lain terbukti bahwa operator maksimal Mn terbatas di Lp(µ)
2.2
Keterbatasan Operator
I
αndi Ruang
Le-besgue Tak Homogen
Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa operator In
α terbatas dari Lp(µ) ke
Lq(µ) untuk suatu q > p. Ingat kembali definisi operator integral fraksional
di ruang tak homogen sebagai berikut. Untuk 0 < α < n ≤ d dan α, n ∈ R, operator integral fraksional (orde α) adalah
Iαnf(x) =
Z
Rd
f(y)
|x−y|n−α dµ(y)
dengan f ∈L∞(µ) fungsi dengan tumpuan kompak.
Pertama perlu dilihat bahwa operator Iαn ini terdefinisi dengan baik.
Ker-nel dari operator integral ini bersifat singular pada diagonal x = y, namun demikian berlaku
Z
|x−y|<1
f(y)
|x−y|n−α dµ(y)≤ kfkL∞(µ)
∞
X
k=0
Z
2−k−1≤|x−y|<2−k 1
|x−y|n−α dµ(y)
≤ kfkL∞(µ)
∞
X
k=0
Z
2−k−1≤|x−y|<2−k
1
2(−k−1)(n−α) dµ(y)
≤ kfkL∞(µ)
∞
X
k=0
µ¡Q(x,2−k)¢
2(−k−1)(n−α)
≤ kfkL∞
(µ)
∞
X
k=0
C2(−k)n
2(−k−1)(n−α)
=C2n−αkfkL∞
(µ)
∞
X
k=0
2−kα
<∞. Jadi integral yang mendefinisikan In
α konvergen mutlak. Pada akhirnya
ope-rator In
α ini terdefinisi untuk f ∈ Lp(µ), 1 ≤ p ≤ ∞ sebab koleksi fungsi
f ∈L∞(µ) dengan tumpuan kompak bersifat padat diLp(µ).
penting dalam pembuktian keterbatasan operator integral fraksional In α di
ru-ang Lebesgue tak homogen.
Teorema 2.5. (Ketaksamaan Hedberg). Diberikan 0 < α < n dan f
fungsi terbatas dengan tumpuan kompak. Maka untuk 1≤p < αn berlaku
|Iαnf(x)| ≤Ckfk
pα n
Lp(µ)M
nf
(x)1−pαn .
Bukti. Ambil sebarang t >0, maka
|Iαnf(x)| ≤
Z
|x−y|<t
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
| {z }
A
+
Z
|x−y|≥t
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
| {z }
B
.
Akan dicari batas untuk masing-masing suku di atas yaitu A dan B. Untuk suku pertama, A, berlaku
A=
Z
|x−y|<t
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
=
∞
X
k=0
Z
2−k−1t≤|x−y|≤2−kt
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
≤2n−αtα
∞
X
k=0
2−kα
(2−kt)n
Z
Q(x,2−kt)
|f(y)| dµ(y)
≤2n−αtα
∞
X
k=0
2−kαMnf(x)
=CtαMnf(x).
Selanjutnya untuk suku kedua yaitu B pertama kita perhatikan untuk kasus p= 1 sebagai berikut
B =
Z
|x−y|≥t
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
≤ 1
tn−α
Z
|x−y|≥t
|f(y)| dµ(y)
Untuk kasus 1 < p < n
α, pilih β = p
′(n −α)−n, dimana p′ adalah pangkat
sekawan dari p yaitu 1
p +
1
p′ = 1. Maka β > 0, dan dengan menggunakan
ketaksamaan H¨older diperoleh
B =
Z
|x−y|≥t
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
≤
µZ
|x−y|≥t
|f(y)|p dµ(y)
¶1 pµZ
|x−y|≥t
dµ(y)
|x−y|p′
(n−α)
¶1 p′
=kfkLp(µ)
µZ
|x−y|≥t
dµ(y)
|x−y|p′
(n−α)
¶1 p′
=kfkLp(µ)
à ∞ X
k=0
Z
2kt≤|x−y|≤2k+1t
dµ(y)
|x−y|n+β
!1 p′
≤ kfkLp(µ)
à ∞ X
k=0
µ¡Q(x,2k+1t)¢
(2kt)n+β
!1 p′
≤CkfkLp(µ)2 n p′
t−pβ′
à ∞ X
k=0
2−kβ
!1 p′
=CkfkLp(µ)t− β p′
=Ct−(np−α)kfk
Lp(µ).
Jika dipilih p= 1 danC = 1, maka diperoleh ketaksamaan yang sama dengan kasus p = 1 di atas. Dengan demikian kita memperoleh untuk 1 ≤ p < n α
berlaku
|Iαnf(x)| ≤A+B
≤C³tαMnf(x) +t−(np−α)kfk
Lp(µ)
´
untuk setiap t >0. Selanjutnya dengan memilih
t =
µ
Mnf(x)
kfkLp(µ)
¶−pn
>0
dan mensubstitusikannya ke dalam ketaksamaan terakhir, diperoleh
|Iαnf(x)| ≤C
õ
Mnf(x)
kfkLp(µ)
¶−pn!α
Mnf(x) +C
õ
Mnf(x)
kfkLp(µ)
¶−pn!−(np−α)
=C
M
nf(x)−pαn Mnf(x)
kfk−
pα n
Lp(µ)
+M
nf(x)−pαn+1
kfk−
pα n+1
Lp(µ)
kfkLp(µ)
=C
M
nf(x)1−pαn kfk−
pα n
Lp(µ)
=Ckfk
pα n
Lp(µ)M
nf
(x)1−pαn.
Dengan menggunakan fakta bahwa fungsi maksimal Mnf terbatas di Lp(µ),
maka bukti selesai.
Sekarang akan diperlihatkan bahwa operator integral fraksional Iαn bersifat
terbatas dari Lp(µ) ke Lq(µ) untuk suatu q > p.
Teorema 2.6. Diberikan0< α < n.
1. OperatorIn
α terbatas dariLp(µ)ke Lq(µ)untuk1≤p < n α dan 1 q = 1 p− α n.
2. Jika 1
q = 1− α
n, maka berlaku
µ©x∈Rd:|Iαf(x)|> λ
ª
≤
µC
kfkL1(µ) λ
¶q
.
Bukti.
1. Dari Ketaksamaan Hedberg diperoleh
|Iαnf(x)| ≤Ckfk
pα n
Lp(µ)M
nf
(x)1−pαn yang berakibat
µZ
Rd
|Iαnf(x)|q dµ(x)
¶1 q
≤Ckfk
p α n
Lp(µ)
µZ
Rd
|Mnf(x)|q(1−pαn) dµ(x)
¶1 q
=Ckfk
p α n
Lp(µ)
µZ
Rd
|Mnf(x)|p dµ(x)
¶1 q
=Ckfk
p α n
Lp(µ)
µZ
Rd
|Mnf(x)|p dµ(x)
¶1 p p q
=Ckfk
p α n
Lp(µ)kM
nfk
p q
≤Ckfk
p α n
Lp(µ)kfk p q
Lp(µ) =Ckfk
p α n +
p q
Lp(µ) =CkfkLp(µ). Jadi berlaku
kIαnfkLq(µ)≤CkfkLp(µ). Dengan kata lain terbukti In
α terbatas dari Lp(µ) ke Lq(µ).
2. Untuk p= 1, Ketaksamaan Hedberg memberikan
|Iαnf(x)| ≤Ckfkαn
L1(µ)M
nf(x)1−α n
=Ckfkαn
L1(µ)M
nf(x)1q.
Menggunakan fakta bahwa Mn merupakan operator tipe lemah (1,1),
diper-oleh
µ©x∈Rd :|I
αf(x)|> λ
ª
≤µ
x∈Rd:Mnf(x)>
λ
Ckfk
α n
L1(µ)
q ≤
Ckfk
α n
L1(µ) λ q Z Rd
|f(x)| dµ(x)
=
Ckfkαn
L1(µ) λ
q
kfkL1(µ)
=
µ
CkfkL1(µ) λ
¶q
.
Ini merupakan ketaksamaan yang ingin dibuktikan.
2.3
Keterbatasan Operator
I
αndi Ruang
Mor-rey Tak Homogen yang Diperumum
Pada bagian ini akan dibuktikan keterbatasan operator In
α dari Mp,φ(µ) ke
tertentu. Terlebih dahulu akan diingat kembali mengenai ruang Morrey tak
homogen yang diperumum.
Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel padaRd yang memenuhi kondisi growth dan 1 ≤ p < ∞. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lploc(µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd berlaku
Z
K
|f(y)|p dµ(y)<∞.
Khususnya jika f ∈ L1loc(µ) maka f disebut fungsi yang terintegral-µ secara
lokal di Rd. Jelas bahwa Lp(µ)⊂Lp
loc(µ) untuk 1≤p <∞ (lihat Jones [7]).
Pada Gunawan and Eridani [6], diperkenalkan pengertian ruang Morrey yang
diperumum. Terilhami oleh hal tersebut, selanjutnya akan didefinisikan
penger-tian ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Misalkan diketahui fungsi
φ : (0,∞)→(0,∞) merupakan fungsi yang memenuhi kondisi doubling, yaitu terdapat C > 0 sehingga
1 C ≤
φ(s) φ(t) ≤C,
apabila 12 ≤ st ≤ 2. Pertama perhatikan bahwa untuk setiap fungsi φ yang memenuhi kondisi doubling berlaku
Z 2k+1r
2kr
φ(t)
t dt ∼φ(2
kr)
untuk setiap bilangan bulatkdanr >0. Hal ini dapat dilihat sebagai berikut. Karena φ memenuhi kondisi doubling maka terdapatC > 0 sehingga
1 C ≤
φ(t) φ(2kr) ≤C
apabila t∈[2kr,2k+1r]. Jadi
1 Cφ(2
kr)≤φ(t)≤Cφ(2kr),
yang berarti
1 C
φ(2kr)
2kr ≤
φ(t) t ≤C
φ(2kr)
Dengan mengintegralkan ketaksamaan ini pada [2kr,2k+1r] yaitu
Z 2k+1r
2kr 1 C
φ(2kr)
2kr dt ≤
Z 2k+1r
2kr
φ(t) t dt ≤
Z 2k+1r
2kr
Cφ(2
kr)
2kr dt
maka diperoleh
K1φ(2kr)≤
Z 2k+1r
2kr
φ(t)
t dt≤K2φ(2
kr
)
dengan K1 dan K2 konstanta positif. Dengan demikian, disimpulkan untuk
setiap bilangan bulat k dan r >0 berlaku
Z 2k+1r
2kr
φ(t)
t dt∼φ(2
k
r).
Untuk 1 ≤ p < ∞ dan fungsi φ seperti tersebut di atas, ruang Morrey tak homogen yang diperumum Mp,φ(µ) didefinisikan sebagai ruang dari semua
fungsi f ∈Lploc(µ) sehingga
kfkMp,φ(µ):= sup
r>0
1 φ(r)
µ
1 rn
Z
Q(x,r)
|f(y)|p dµ(y)
¶1 p
<∞
dan untuk p=∞
kfkM∞,φ(µ) := sup
Q(x,r)
1
φ(Q) kfkL∞(Q).
Berikut diberikan hubungan ruang-ruang Morrey tak homogen yang
diperu-mum.
Lema 2.7. Apabila 1< p < q <∞ maka
M∞,φ(µ)⊆ Mq,φ(µ)⊆ Mp,φ(µ)⊆ M1,φ(µ). Bukti. Misalkan p′ adalah pangkat sekawan dari p, yaitu 1
p +
1
p′ = 1 dan
Q sebarang kubus di Rd, maka dengan menggunakan ketaksamaan H¨older diperoleh
Z
Q
|f(y)| dµ(y)≤
µZ
Q
|f(y)|p dµ(y)
¶1 pµZ
Q
dµ(y)
≤
µZ
Q
|f(y)|p dµ(y)
¶1 p
(µ(Q))p1′
≤
µZ
Q
|f(y)|p dµ(y)
¶1 p
(C rn))p1′
Jadi
1 rn
Z
Q
|f(y)| dµ(y)≤C
µ
1 rn
Z
Q
|f(y)|p dµ(y)
¶1 p
Ketaksamaan di atas menunjukkan bahwa Mp,φ(µ) ⊆ M1,φ(µ). Selanjutnya
karena 1< qp <∞, maka 1
rn
Z
Q
|f(y)| dµ(y)≤C
µ
1 rn
Z
Q
|f(y)|qp dµ(y)
¶p q .
Tulis f =|g|p, maka
1 rn
Z
Q
|g(y)|p dµ(y)≤C
µ
1 rn
Z
Q
|g(y)|q dµ(y)
¶p q
atau
µZ
Q
|g(y)|p dµ(y)
¶1 p ≤C µ 1 rn Z Q
|g(y)|q dµ(y)
¶1 q .
Ini berarti Mq,φ(µ)⊆ Mp,φ(µ).
Untuk melihat bahwa M∞,φ(µ)⊆ Mq,φ(µ), perhatikan ketaksamaan
µ
1 rn
Z
Q
|g(y)|q dµ(y)
¶1 q ≤C µ 1 rn Z Q
kgkqL∞(µ) dµ(y)
¶1 q
≤CkgkL∞(µ).
Perhatikan bahwa untuk φ(t) = tλ
−n
p , 0≤λ≤n, akan diperoleh
Mp,φ(µ) = Lp,λ(µ)
— ruang Morrey tak homogen (klasik) (lihat Bab 1 Pendahuluan). Ingat
M∞,φ(µ) =L∞(µ). Jadi ruang Morrey tak homogen yang diperumum terkait
dengan suatu fungsi tak naik φ(t) sehingga φ(t)→ ∞ untuk t→0.
Sekarang akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang
Morrey tak homogen yang diperumum.
Teorema 2.8. Misalkan fungsi φmemenuhi kondisi doubling dan untuk setiap
r >0 berlaku
Z ∞
r
tα−1φ(t) dt ≤Crαφ(r),
serta fungsi ψ memenuhi rαφ(r) ≤ C
1ψ(r) untuk setiap r, dengan C1 tidak
bergantung pada r. Maka, untuk 1 ≤ p < n α dan
1
q =
1
p − α
n, terdapat C > 0
sehingga berlaku
kIαnfkMq,ψ(µ)≤CkfkMp,φ(µ).
Bukti. Untuk a∈Rd dan r >0, tulis Q=Q(a, r) dan ˜Q=Q(a,2r) dan
f =f1+f2 =f χQ˜ +f χQ˜c.
Karena
kf1kLp(µ) =
µZ
Rd
|f1(x)|p dµ(x)
¶1 p
=
µZ
˜
Q
|f(x)|p dµ(x)
¶1 p
= (2r)npφ(r) 1 φ(r)
µ
1 (2r)n
Z
˜
Q
|f(x)|p dµ(x)
¶1 p
≤C(2r)npφ(r)kfk
Mp,φ(µ) <∞,
maka f1 ∈Lp(µ). Selanjutnya untuk x∈Q
µZ
Q
|Iαnf1(x)|q dµ(x)
¶1 q
≤Ckf1kLp(µ)
≤C(2r)npφ(r)kfkMp,φ
(µ), sehingga diperoleh µ 1 rn Z Q
|Iαnf1(x)|q dµ(x)
¶1 q
≤Crnp− n
qφ(r)kfkMp,φ
(µ)
≤Crαφ(r)kfkMp,φ(µ)
≤CC1ψ(r)kfkMp,φ(µ) atau
1 ψ(r)
µ
1 rn
Z
Q
|Iαnf1(x)|q dµ(x)
¶1 q
≤CkfkMp,φ(µ). Akibatnya
kIαnf1kMq,ψ(µ)≤CkfkMp,φ(µ). (2.3) Selanjutnya diperoleh estimasi untuk In
αf2 sebagai berikut.
|Iαnf2(x)| ≤
Z
˜
Qc
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
≤
Z
|x−y|≥r
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
≤ ∞
X
k=0
Z
2kr≤|x−y|≤2k+1r
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
≤ ∞
X
k=0
1 (2kr)n−α
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
=
∞
X
k=0
(2kr)α
µ
1 (2kr)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶
.
Dengan menggunakan ketaksamaan H¨older, diperoleh
µ
1 (2kr)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶
≤
µ
1 (2kr)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶1 p
µ
1 (2kr)n
Z
Q(a,2k+1r)
dµ(y)
Jadi berlaku
|Iαnf2(x)| ≤C
∞
X
k=0
(2kr)α
µ
1 (2k+1r)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶1 p
µ
1 (2k+1r)n
Z
Q(a,2k+1r)
dµ(y)
¶1−1 p
=C
∞
X
k=0
(2kr)α
µ
1 (2k+1r)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶1 p
µ
µ(Q(a,2k+1r))
(2k+1r)n
¶1−1 p
≤C
∞
X
k=0
(2kr)α
µ
1 (2k+1r)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶1 p ≤C ∞ X k=0
(2kr)αφ(2k+1r)kfk
Mp,φ(µ)
≤CkfkMp,φ(µ)
∞
X
k=0
(2kr)αφ(2kr).
Karena φ dan tα memenuhi kondisi doubling, maka
(2kr)αφ(2kr)∼
Z 2k+1r
2kr
tαφ(t)
t dt =
Z 2k+1r
2kr
tα−1φ(t) dt
sehingga
∞
X
k=0
Z 2k+1r
2kr
tα−1φ(t) dt=
Z ∞
r
tα−1φ(t) dt. Jadi berlaku
|Iαnf2(x)| ≤CkfkMp,φ(µ)
Z ∞
r
tα−1φ(t)dt
≤Crαφ(r)kfkMp,φ(µ). Maka diperoleh µ 1 rn Z Q
|Iαnf2(x)|q dµ(x)
¶1 q
≤Crα−nqφ(r)kfk
Mp,φ(µ)
µZ
Q
dµ(x)
¶1 q
=Crα−npφ(r)kfk
≤Crαφ(r)kfkMp,φ(µ)
≤Cψ(r)kfkMp,φ(µ) atau
1 ψ(r)
µ
1 rn
Z
Q
|Iαnf2(x)|q dµ(x)
¶1 q
≤CkfkMp,φ(µ). Akibatnya
kIαnf2kMq,ψ(µ) ≤CkfkMp,φ(µ). (2.4)
Dengan demikian dari (2.4), (2.5), dan ketaksamaan Minkowski diperoleh
kIαnfkMq,ψ(µ)≤CkfkMp,φ(µ). Ini berarti bahwa operator In
Bab 3
Ketaksamaan Olsen di Ruang
Tak Homogen
3.1
Ketaksamaan Olsen di Ruang
L
p(µ)
Pada bab ini akan dibahas ketaksamaan Olsen di ruang Lp(µ) dan Mp,φ(µ).
Untuk suatu untuk suatu fungsi W pada Rd akan ditunjukkan keterbatasan operatorW Iαdi ruangLp(µ) dan di ruangMp,φ(µ). Pertama diberikan
ketak-samaan Olsen di ruang Lp(µ) yang buktinya cukup sederhana, yaitu dengan memanfaatkan keterbatasan operator In
α dari Lp(µ) ke Lq(µ) untukq= np n−αp.
Teorema 3.1. (Ketaksamaan Olsen) Untuk1≤p < αn berlaku
kW IαnfkLp(µ) ≤CkWk
Lnα(µ)kfkLp(µ)
yaitu W In
α terbatas di Lp(µ), apabila W ∈L
n α(µ).
Bukti. Ambil sebarangy ∈Rd, dan selanjutnya dengan menggunakan
ketak-samaan H¨older diperoleh
Z
Rd
|W Iαnf(y)|p dµ(y)≤
µZ
Rd
|W(y)|qpq−p dµ(y)
¶q−p q µZ
Rd
|Iαnf(y)|q dµ(y)
dengan 1q = 1p − α
n. Apabila diambil akar pangkat p pada kedua ruas
ketak-samaan dan dengan memperhatikan bahwa qpq−p = n
α, maka didapatkan
µZ
Rd
|W Iαnf(y)|p dµ(y)
¶1 p
≤
µZ
Rd
|W(y)|αn dµ(y)
¶α nµZ
Rd
|Iαnf(y)|q dµ(y)
¶1 q
atau
kW IαnfkLp(µ) ≤ kWk
Lnα(µ)kI
n
αfkLq(µ). Karena operator integral fraksional In
α terbatas dari Lp(µ) ke Lq(µ) untuk
q = n−npαp, maka didapatkan
kW IαnfkLp(µ) ≤ kWk
Lnα(µ)kI
n
αfkLq(µ) ≤CkWk
Lnα(µ)k fkLp(µ).
3.2
Ketaksamaan Olsen di Ruang
M
p,φ(µ)
Pada bagian ini akan dibuktikan perumuman Teorema 3.1 yaitu ketaksamaan
Olsen di ruang Mp,φ(µ). Bukti dari teorema ini serupa dengan bukti
keter-batasan operator Iαn di ruang Morrey tak homogen yang diperumum (lihat
Teorema 2.8).
Teorema 3.2. (Ketaksamaan Olsen) Misalkan φ memenuhi kondisi dou-bling dan
Z ∞
r
tα−1φ(t) dt ≤Crαφ(r).
Maka, untuk 1≤p < αn dan 1q = 1p − α
n terdapat C >0 sehingga berlaku
kW IαnfkMp,φ(µ) ≤CkWk
Lnα(µ)kfkMp,φ(µ)
dengan W ∈Lnα(µ).
Jadi f1 ∈Lp(µ) dan berlaku
kf1kLp(µ)=
µZ
Rd
|f1(y)|p dµ(y)
¶1 p = µZ ˜ Q
|f(y)|p dµ(y)
¶1 p
= (2r)npφ(r) 1 φ(r)
µ
1 (2r)n
Z
˜
Q
|f(y)|p dµ(y)
¶1 p
≤C(2r)npφ(r)kfk
Mp,φ(µ). Karena
µZ
Q
|W Iαnf1(y)|p dµ(y)
¶1 p
≤ kW Iαnf1kLp(µ)
≤ kWkLn α(µ)kI
n
αf1kLq(µ)
≤CkWkLn
α(µ)kf1kLp(µ)
≤C(2r)npφ(r)kWk
Lnα(µ)kfkMp,φ(µ),
maka diperoleh
1 φ(r)
µ
1 (2r)n
Z
Q
|W Iαnf1(y)|p dµ(y)
¶1 p
≤CkWkLn
α(µ)kfkMp,φ(µ),
dan akibatnya
kW Iαnf1kMp,φ(µ)≤CkWk
Lαn(µ)kfkMp,φ(µ). (3.1) Selanjutnya untuk x∈Q berlaku
|Iαnf2(x)| ≤
Z
˜
Qc
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
≤
Z
|x−y|≥r
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
≤ ∞
X
k=0
Z
2kr≤|x−y|≤2k+1r
|f(y)|
|x−y|n−α dµ(y)
≤ ∞
X
k=0
1 (2kr)n−α
Z
Q(a,2k+1r)
=
∞
X
k=0
(2kr)α
µ
1 (2kr)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶
.
Dengan menggunakan ketaksamaan H¨older diperoleh
µ
1 (2kr)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶
≤
µ
1 (2kr)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶1 p
µ
1 (2kr)n
Z
Q(a,2k+1r)
dµ(y)
¶1−1 p .
Jadi berlaku
|Iαnf2(x)| ≤C
∞
X
k=0
(2kr)α
µ
1 (2k+1r)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶1 p
µ
1 (2k+1r)n
Z
Q(a,2k+1r)
dµ(y)
¶1−1 p
=C
∞
X
k=0
(2kr)α
µ
1 (2k+1r)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶1 p
µ
µ(Q(a,2k+1r))
(2k+1r)n
¶1−1 p
≤C
∞
X
k=0
(2kr)α
µ
1 (2k+1r)n
Z
Q(a,2k+1r)
|f(y)| dµ(y)
¶1 p ≤C ∞ X k=0
(2kr)αφ(2k+1r)kfkMp,φ(µ)
≤CkfkMp,φ(µ)
∞
X
k=0
(2kr)αφ(2kr).
Karena φ dan tα memenuhi kondisi doubling, maka
(2kr)αφ(2kr)∼
Z 2k+1r
2kr
tαφ(t)
t dt =
Z 2k+1r
2kr
tα−1φ(t) dt sehingga
∞
X
k=0
Z 2k+1r
2kr
tα−1φ(t) dt=
Z ∞
r
tα−1φ(t) dt. Jadi berlaku
|Iαnf2(x)| ≤CkfkMp,φ(µ)
Z ∞
r
≤C rαφ(r)kfkMp,φ(µ). Oleh karena itu diperoleh
1 φ(r)
µ
1 rn
Z
Q
|W Iαnf2(x)|p dµ(x)
¶1 p
≤C(r)α−np kfk
Mp,φ(µ)
µZ
Q
|W(x)|p dµ(x)
¶1 p
≤C(r)α−np kfk
Mp,φ(µ)
µZ
Q
|W(x)|nα dµ(x)
¶α n µZ
Q
dµ(x)
¶1 q
=C(r)α−np kfk
Mp,φ(µ)kWk
Lnα (µ(Q)) 1 q
≤C(r)α−np+ n q kfk
Mp,φ(µ)kWk
Lnα
≤CkWkLn
α kfkMp,φ(µ), dan akibatnya
kW Iαnf2kMp,φ(µ)≤CkWk
Lαn(µ)kfkMp,φ(µ). (3.2)
Dengan demikian dari (3.1), (3.2), dan ketaksamaan Minkowski, diperoleh
kW IαnfkMp,φ(µ)≤CkWk
Bab 4
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya diperoleh bahwa hasil
utama yang dibicarakan dalam tesis ini adalah keterbatasan operator In α di
ruang Morrey tak homogen yang diperumum, yang tertuang pada Teorema
2.8. Untuk membuktikan sifat ini dipergunakan hasil dari Garcia-Cuerva dan
Martell [5] yaitu operatorIn
α terbatas dariLp(µ) keLq(µ) untuk q= np n−αp, dan
dalam pembuktiannya keterbatasan operator maksimal Mn di ruang Lp(µ)
memegang peranan yang penting. Terilhami oleh hasil Gunawan and Eridani
[6] tentang ketaksamaan Olsen diLp danMp,φ, dapat dibuktikan ketaksamaan
Olsen di ruang Lp(µ) dan Mp,φ(µ). Kedua hasil ini berturut-turut tertuang
di dalam Teorema 3.1 dan Teorema 3.2. Di sini tampak bahwa konsep kunci
dalam penurunan hasil-hasil tersebut adalah ukurangrowth yang
mendefinisi-kan ruang tak homogen Lp(µ) dan Mp,φ(µ).
Semua hasil ini mengukuhkan bahwa kondisidoubling di dalam Analisis Fourier
khususnya operator integral bukanlah hal yang esensial, yaitu dapat diganti
dengan kondisi growth. Hal ini sejalan dengan hasil dari Garcia-Cuerva and
Gatto [4], Garcia-Cuerva and Martell [5], dan Nazarov et al. [10] tentang
Daftar Pustaka
[1] F. Chiarenza and M. Frasca (1987), ”Morrey spaces and
Hardy-Littlewood maximal function”, Rend. Mat. 7, 273-279.
[2] J. Duoandikoetxea (2001),Fourier Analysis, Graduate Studies in Math,
29, AMS, Providence, Rhode Island.
[3] G. B. Folland (1992), Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth
and Brooks/Cole Advanced Book and Software, Pasivic Grove,
Califor-nia.
[4] J. Garcia-Cuerva and A. E. Gatto (2004), ”Boundedness properties of
fractional integral operators associated to non-doubling measures”,
Stu-dia Math 162, no. 3, 245-261.
[5] J. Garcia-Cuerva and J. M. Martell (2001),”Two weight norm
inequali-ties for maximal operators and fractional integrals on non-homogeneous
spaces”, Indiana University Mathematics Journal50, no. 3, 1241-1280.
[6] H. Gunawan and Eridani,”Fractional integral and generalized Olsen
in-equalities”, to appear in Kyungpook Math. J.
[7] F. Jones (1993), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and
[8] S. G. Krantz (1999), A Panorama of Harmonic Analysis, The Carus
Mathematical Monographs, no. 27, The Mathematical Association of
America, USA.
[9] E. H. Lieb and M. Loss (1997),Analysis, Graduate Studies in Math,14,
AMS, Providence, Rhode Island.
[10] F. Nazarov, S. Treil, and A. Volberg (1998), ”Weak type estimates
and Cotlar inequalities for Calderon- Zygmund operators on
non-homogeneous spaces”, Internat. Math. Res. Notices, no. 9, 463-487.
[11] J. Peetre (1969), ”On the theory of Lp,λ spaces”, Journal of Functional
Analysis, no. 4, 71-87.
[12] I. Sihwaningrum dan H.P. Suryawan (2008), ”Operator integral
fraksio-nal dan ketaksamaan Olsen di ruang Lebesgue tak homogen”, Makalah
dipresentasikan pada Simposium Analisis dan Aplikasinya, Universitas
Gadjah Mada, Yogyakarta.
[13] E. M. Stein (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of
Functions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
[14] E. M. Stein (1993),Harmonic Analysis: Real-variable Methods,
Orthogo-nality, and Oscilatory Integrals, Princeton University Press, Princeton,
New Jersey.
[15] C. T. Zorko (1986), ”Morrey Space”, Proceeding of the American
