PERSAMAAN. Variabelnya Cuma 1, yaitu x

(1)

PERSAMAAN

1. Pengertian

Persamaan adalah kalimat terbuka yang mengikutsertakan tanda sama dengan / = Contoh :

2x + 1 = 0 3x² – 27 = 9 4x – 6 = 0 x + y = 8

Adapun pengertian kalimat Terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat dikatakan benar atau salah (kebenaran belum ditentukan).

Contoh : x + 2 = 5 x² - 6 = 10 dimana : x

∈

bilangan asli

∈

: dibaca ”anggota”

2. Bentuk-bentuk Persamaan

a.

Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan yang hanya ada 1 variabel dan pangkatnya adalah 1 Contoh :

x + 3 = 0 3a + 6 = 2 2x - 5 = 0 4 – 8a = -12

b.

Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan yang variabelnya ada 2 dan berpangkat 1 Contoh :

x + y = 4 2a – 7b = 9

c.

Persamaan Kuadrat Satu Variabel

Persamaan yang jumlah variabelnya 1 berpangkat 2 Contoh :

x² - 4 = 0

3y² + 4y – 5 = 0

d.

Persamaan Kuadrat Dua Variabel

Persamaan yang variabelnya ada 2 dan pangkat tertingginya adalah 2 Contoh :

x² + y² - 2xy = 27 4a² - 3b² + 5ab = 10 e. Persamaan Pangkat Tinggi

Persamaan dengan variabel yang berpangkat lebih dari 2 Contoh :

x³ + x² - x – 10 = 10 5x4 _{– 2x³ + 4x² = 0}

3. Persamaan Linear Satu Variabel

Bentuk umum persamaan ini adalah :

ax + b = c dimana : a ≠ 0 x : variabel a, b, c : bilangan riil Contoh :

Variabelnya Cuma 1, yaitu x

(2)

Cara menyelesaikan soal-soal di atas perhatikan langkah-langkah di bawah ini:

Semua suku di sebelah kiri tanda ”=” disebut ruas kiri dan semua suku di sebelah kanan tanda ”=” disebut ruas kanan

Setiap perpindahan suku, dari ruas kiri ke ruas kanan maupun sebaliknya (pada operasi penjumlahan dan pengurangan) selalu diikuti dengan perubahan tanda (bila positif maka menjadi negatif, atau sebaliknya)

Khusus untuk operasi perkalian dan pembagian, perpindahan suku dari ruas satu ke ruas lainnya maka bila awalnya merupakan operasi perkalian maka berubah menjadi operasi pembagian. Begitupula sebaliknya, bila awalnya pembagian, maka begitu dipindahkan berubah menjadi operasi perkalian. INGAT !! Di sini tanda positif maupun negatif tidak berubah

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear Dua Variabel dapat dilakukan dengan :

Metode Substitusi (memasukkan) Metode Eliminasi (menghilangkan)

2x + 4 = 10 dan 5x – 7 = 8 Maka penyelesaiannya, 2x + 4 = 10 5x – 7 = 8 2x = 10 - 4 5x = 8 + 7 2x = 6 5x = 15 x = 2 6 x = 5 15 x = 3 x = 3

4. Persamaan Linear Satu Variabel

Bentuk umum persamaan ini adalah :

ax + by = c atau

px + qy = r dimana :

x dan y disebut variabel

a, b, c, p, q, r adalah koefisien / bilangan

(3)

Adalah penyelesaian dari dua persamaan linear dua variabel dengan cara memaukkan atau menggantikan salah satu variabel dari persamaan satu ke persamaan yang lainnya, atau sebaliknya.

Contoh :

5x + 2y =23 ... (persamaan 1) x + y = 7 ... (persamaan 2) Langkah penyelesaiannya :

1.

Persamaan 2, yaitu x + y = 7 diubah menjadi x = 7 - y

2.

Masukkan (substitusikan) nilai x = 7 – y ke persamaan 1, sehingga yang awalnya adalah 5x + 2y = 23 menjadi 5 (7- y) + 2y = 23 35 – 5y + 2y = 23 -3y = 23 – 35 -3y = -12 y = 3 12 − − y = 4

3. Substitusikan nilai y = 4 ke salah satu persamaan. Misalkan persamaan 2, diperoleh :

x + 4 = 7 x = 7 – 4 x = 3

Jadi, nilai yang memenuhi adalah : x = 3 dan y = 4

b. Metode Eliminasi

Adalah suatu penyelesaian dari dua persamaan linear dengan dua variabel dengan cara menghilangkan salah satu peubah.

Contoh :

x + y = 9 ... (1) 2x + 3y = 25 ... (2) Langkahnya :

1.

Untuk menentukan nilai x, maka eliminasikan terlebih dahulu nilai y pada soal dengan cara

x + y = 9 X 3 3x + 3y = 27 2x + 3y = 25 X 1 2x + 3y = 25 x = 2

2. Untuk menentukan nilai y yang diminta, maka eliminasikan x dengan cara x + y = 9 X 2 2x + 2y = 18

2x + 3y = 25 X 1 2x + 3y = 25 -y = -7 y = 7

atau menggunakan cara campuran eliminasi dan substitusi, dimana

Untuk langkah no. 2 ini dalam mencari nilai y dapat digantikan dengan cara substitusi kedalam salah satu persamaan.

(4)

Misalnya ke persamaan (1) yaitu x + y = 9, dan sudah diperoleh dari eliminasi langkah 1 nilai x = 2. Maka gantilah nilai x pada persamaan (1) tersebut menjadi 2, sehingga:

2 + y = 9 y = 9 – 2 y = 7

Jadi, nilai yang memenuhi adalah : x = 2 dan y = 7

PERTIDAKSAMAAN

1. Pengertian

Pertidaksamaan adalah suatu pernyataan yang menggunakan tanda ketidaksamaan, seperti: ≤, ≥, <, >, atau ≠.

dimana :

≤ dibaca kurang dari atau sama dengan ≥ dibaca lebih dari atau sama dengan < dibaca kurang dari

> dibaca lebih dari

≠ dibaca tidak sama dengan

Contoh :

x – 2 < 5 2a – 10 ≤ 0 8 – 2y > 6 12 – 3m ≥ 3

2. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Adalah suatu pernyataan yang menggunakan tanda ketidaksamaan dan hanya mempunyai satu variabel dimana variabel tersebut berpangkat satu

Contoh :

x + 3 > 0 x – 2 ≤ 3x – 6 2y + 4 ≥ 5 + y

Sifat-sifat yang berlaku pada pertidaksamaan linear :

Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka tanda pertidaksamaan tidak berubah

Jika Kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka tanda tidak berubah

Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka tanda berubah

(5)

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x – 4 ≤ 8 Jawab : 3x – 4 ≤ 8 3x ≤ 8 + 4 3x ≤ 12 x ≤ 8 12 x ≤ 4

jadi himpunan penyelesaiannya = {x | x ≤ 4,x

∈

R}

dibaca :

x dimana

x lebih kecil atau sama dengan 4,

dan

x anggota bilangan Real

Contoh 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari 20 – (4x + 4) ≤ - 8, x

∈

R

Jawab : 20 – (4x + 4) ≤ - 8, 20 – 4x + 4 ≤ - 8, –- 4x ≤ - 8 – 20 + 4 –- 4x ≤ - 24 –- 4x ≥ 24 x ≥ 4 24 x ≥ 6 Himpunan penyelesaiannya = {x | x ≥ 6, x

∈

R}

(6)

BARISAN & DERET

1. Barisan Aritmetika

Contoh : 1, 3, 5, 7, 9, .... beda = 2 2, 5, 8, 11, 14, .... beda = 3 4 1 , 2 1 , 4 3 , 1, 4 1 1 , 2 1 1 , ... beda = 4 1 a. Ciri-ciri Barisan Arimetika

1. Merupakan urutan bilangan yang teratur 2. Mempunyai selisih (beda) yang sama

3. Tidak disertai dengan tanda operasi bilangan, seperti penjumlahan dan pengurangan

b. Rumus Barisan Aritmetika

1. Bentuk umum barisan Aritmetika

a, a + b, a + 2b, a + 3b, ... 2. Rumus menentukan suku ke-n

Un = a + (n - 1) b 3. Rumus menentukan suku tengah

Ut = 2 1 (a + Un) dimana : a = suku pertama

b = beda (selisih antar suku) Un = suku ke-n n = banyaknya suku Ut = suku tengah Un-1 = suku ke n - 1

2. Deret Aritmetika

Contoh : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + .... 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + .... 4 1 + 2 1 + 4 3 + 1 + 4 1 1 + 2 1 1 + ...

(7)

1. Bilangan teratur

2. Mempunyai selisih (beda) yang sama

3.

Disertai tanda operasi bilangan penjumlahan atau pengurangan

d.

Rumus Deret Aritmetika

1.

Rumus menentukan jumlah suku ke-n Sn = 2 n (a + Un) Atau Sn = 2 n (2a + (n – 1) b)

2. Rumus menentukan suku ke-n Un = a + (n - 1) b 3. Rumus menentukan beda

b = Un – Un-1 dimana :

Sn = Jumlah suku ke-n

b = beda (selisih antar suku) Un = suku ke-n

3. Barisan Geometri

Contoh : 2, 4, 8, 16, 32, 64, .... 3, 6, 9, 12, 24, 48, 96, .... 2 1 , 4 1 , 8 1 , 16 1 , 32 1 , ...

a.

Ciri-ciri Barisan Geometri

1.

Merupakan kelipatan bilangan yang teratur

2.

Mempunyai rasio (pembagi) yang sama

3. Tidak disertai dengan tanda operasi bilangan, seperti penjumlahan dan pengurangan

b.

Rumus Barisan Geometri

1. Bentuk umum barisan Geometri a, ar, ar², ar³, ar4_{, ...}

2. Rumus menentukan suku ke-n Un = a + r n - 1

3.

Rumus menentukan rasio r =

1 _

_

−

n

ke

suku

n

ke

suku

atau r = 1 − Un Un dimana : Un = suku ke-n r = rasio a = suku pertama

(8)

4. Deret Geometri

Contoh : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + .... 3 + 6 + 9 + 12 + 24 + 48 + 96 + .... 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + ...

a. Ciri-ciri Deret Geometri

1. Merupakan penjumlahan atau pengurangan dari barisan geometri

2.

Mempunyai rasio (pembagi) yang sama

b. Rumus Deret Geometri

a.

Rumus menentukan jumlah suku ke-n jika r > 1 Sn = 1 ) 1 ( − − r r a n

b.

Rumus menentukan jumlah suku ke-n jika r < 1 Sn = r r a n − − 1 ) 1 (

(9)

Daftar Nilai TUGAS KOPDAR

Mata Pelajaran IPS – Semester 2

Kelas Klmpk Anggota Komunitas NILAI

3 AK

1 Deni, dewi, evi, ima, lussiana, lukman, putri Palpirus 95 Arni, ahmad, hana, nurul, septian,

sri, tri, zainal Reog Ponorogo 97

3 AK

2 1 Cecep, dimas, endro, erna, evy, siti, tika, yenti Teman yovie & Nuno 99

Deddy, desi, dianah, divi, nurhidayati, hendra, rifai,

martindo, sandri

Perguruan Silat Salemba 98 Ahmad, andre, diana, hermawan,

irma, nursopian, ririn, siti Bintaro Tiger Club 95

5 Andri, dini, eray, nanang, novi,

rozalia, septi, tri Bonanza magic 95

3 AK

3 1

2 Desi, harum, lisna, mega, muji,

nur, wandoko Zero Eight Automatic 99 3 Abdul, anis s., anis n., neng, siti,

tajudin, yuni Taekwondo Averus 98

4 5

3 AP

1 1 Arum, hilda, iga, linda, mega, romega, rizki, sanny, wilah Vendettamoto 99

2 Theo, marya, sessy, bella, nadira,

hidayatul, agus, ismi, pandu SL Never Die 99 3

4 Vinny, ambar, setyarini, defi,

lustia, brian, nurmala Tandjidor Scooter Club 98 5 Agung, ani, arpiah, chuniasih,

imro, nini, rahmat, ratna Struggle Jakarta 95

3 AP

2 1 Ami, atika, diana, febri, indra, komala, fajar, sri The jak mania 99

2 Dewi, merry, mutia, novita, novita

dwi, ulfa, wahyuningsih, wiwi Shotokaw 212 95 3

4 5

(10)