KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR
WAKTU DISKRIT
Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika
Dosen Pembimbing : 1. Soleha, S.Si, M.Si
2. Dian Winda Setyawati, S.Si, M.Si Abstrak
Matriks similar dengan suatu matriks diagonal atau dapat didiagonalkan jika dan hanya jika jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen nilai-eigen sama dengan n. Untuk matriks yang jumlah multiplisitas geometrinya tidak sama dengan n, matriks tersebut tidak dapat didiagonalkan tetapi dari matriks tersebut dapat diperoleh matriks yang hampir diagonal, biasa disebut matriks Jordan , yang similar dengan . Untuk mendapatkan matriks , harus mendapatkan matriks
sedemikian hingga .
Tugas akhir ini mengkaji cara mendapatkan matriks S dengan menggunakan vektor-eigen tergeneralisasi. Selain itu juga mengkaji bentuk matriks Jordan, sifat-sifat matriks Jordan, dan aplikasi matriks Jordan pada sistem kontrol waktu diskrit.
Kata kunci :matriks Jordan, vektor-eigen tergeneralisasi, sistem kontrol waktu diskrit
1. Pendahuluan
Matriks dan dikatakan similar jika ada matriks nonsingular P sehingga
Jika matriks mempunyai multiplisitas geometri dari nilai-eigen sama dengann, dapat didiagonalkan dengan kata lain ada matriks diagonal D yang similar dengan matriks A sehingga
dengan dan sebagai vektor kolom ke-i. adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen untuk [4]. Lalu bagaimana jika multiplisitas geometri dari nilai-eigen tidak sama dengan ?Apakah tidak ada matriks yang similar dengan ? Ternyata walaupun matriks , multiplisitas geometri dari nilai-eigen tidak sama dengan , tidak dapat didiagonalkan tetapi dari matriks tersebut dapat diperoleh matriks yang hampir diagonal, biasa disebut matriks Jordan, yang similar dengan A. Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut dengan .
2. Nilai-eigen, Vektor-eigen, dan Similaritas Berikut ini diberikan definisi nilai-eigen, vektor-eigen, dan cara mendapatkannya.
Definisi 2.1 [2] Jika , maka vektor tak-nol pada disebut suatu vektor-eigen dari jika
untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai-eigen dari , dan disebut suatu vektor-eigen dari yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai-eigen dan vektor-eigen dari suatu matriks adalah sebagai berikut.
Penyelesaian tak nol didapat jika dan hanya jika
Setelah didapat nilai-eigen, vektor-eigen bisa diperoleh dengan cara memasukkan nilai ke persamaan
Jika adalah nilai-eigen dari suatu matriks maka multiplisitas aljabar adalah banyaknya sebagai akar dari persamaan polinomial karakteristik A. Sedangkan multiplisitas geometri adalah dimensi ruang-eigen yang bersesuaian dengan [2].
Definisi 2.2 [4] Misalkan . Untuk suatu nilai-eigen , himpunan dari semua vektor yang memenuhi disebut
ruang-eigen dari yang bersesuaian dengan nilai-ruang-eigen . Ingat bahwa setiap elemen tak nol dari ruang-eigen merupakan vektor-ruang-eigen dari dari yang bersesuaian dengan nilai-eigen .
Berikut diberikan teorema yang menghubungkan besarnya nilai dari multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri.
Teorema 2.1[2] Multiplisitas geometri masing-masing nilai-eigen dari matriks A kurang dari atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.
Pandang persamaan .
disebut polinomial karakteristik dari . Berikut ini diberikan sifat yang dimiliki polinomial karakteristik dari suatu matriks. Teorema 2.2 (Cayley-Hamilton) [4] Misalkan
adalah polinomial karakteristik dari maka
Terdapat tiga macam matriks yang banyak digunakan dalam pembahasan yaitu:
1. Matriks Diagonal
Suatu matriks dikatakan diagonal jika .
2. Matriks Segitiga
Suatu matriks dikatakan matriks segitiga atas jika . Jika , maka dikatakan matriks strictly segitiga atas. dikatakan matriks segitiga bawah jika .
Nilai-eigen dari dua matriks yang disebutkan di atas, bisa langsung diketahui. Hal ini tertera pada lema berikut.
Lema 2.1 [2] Jika (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilai-eigen A adalah anggota-anggota diagonal utama A.
3. Matriks Blok Diagonal
Suatu matriks dalam bentuk
dengan dan
, dikatakan matriks blok diagonal. Matriks di atas dapat ditulis sebagai
. Persamaan ini disebut jumlahan langsung dari matriks
.
Berikut ini diberikan definisi dari similaritas suatu matriks.
Definisi 2.3[4] Suatu matriks dikatakan similar dengan matriks jika terdapat suatu matriks nonsingular sedemikian hingga
Relasi “Bsimilar A” dinotasikan dengan . Suatu relasi similaritas memiliki beberapa sifat yang mana diberikan pada lema di bawah ini.
Lema 2.2 [4] Relasi similaritas adalah suatu relasi ekivalen pada ; dengan kata lain, relasi similaritas memenuhi sifat-sifat berikut ini
a. Refleksif :
b. Simetris : maka
c. Transitif : dan maka
Terdapat suatu definisi untuk menyatakan suatu matriks yang similar dengan matriks diagonal seperti yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.4 [2] Suatu matriks dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P yang mempunyai invers
sedemikian sehingga adalah suatu matriks diagonal.
Berdasarkan Definisi 2.4 maka dapat dikatakan matriks dapat didiagonalkan jika similar terhadap suatu matriks diagonal.
Untuk mengetahui apakah suatu matriks dapat didiagonalkan dapat dilihat dari multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometrinya seperti yang tertera pada teorema berikut ini.
Teorema 2.3[5] Misal
i. A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika jumlah multiplisitas geometri nilai-eigennya n. ii. Jika multiplisitas geometri dari masing-masing nilai-eigen A sama dengan multiplisitas aljabarnya, maka A dapat didiagonalkan.
iii. Jika semua nilei-eigen A berbeda (masing-masing multiplisitas aljabarnya adalah 1), maka A dapat didiagonalkan.
Berikut ini diberikan suatu teorema tentang similaritas matriks blok diagonal.
Teorema 2.4 [4] Misalkan , mempunyai nilai-eigen dengan multiplisitas
, dan berbeda maka similar terhadap matriks dengan bentuk
dengan adalah matriks segitiga atas dengan semua elemen diagonalnya sama dengan
.
Berikut ini diberikan sifat-sifat yang dimiliki dua matriks similar.
Teorema 2.5[4] Misalkan . Jika A dan B similar, maka keduanya mempunyai rank, determinan, dan polinomial karakteristik yang sama.
Lema 2.3 [4] Misal matriks dan . Jika
adalah jumlahan langsung dari Adan B maka C dapat didiagonalkan jika dan hanya jika Adan B dapat didiagonalkan.
3. Bentuk Kanonik Jordan
Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari matriks blok Jordan. Suatu matriks Jordan yang similar dengan matriks yang diberikan disebut bentuk kanonik Jordan. Setelah tahu bentuk kanonik Jordan, semua informasi aljabar linear tentang matriks yang diberikan dapat diketahui dengan mudah.
Berikut ini diberikan definisi blok Jordan. Definisi 2.5 [4] Suatu blok Jordan Jk(λ) adalah matriks segitiga atas dengan bentuk
ada k-1 angka “+1” pada superdiagonal; muncul k kali pada diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan . Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari blok Jordan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut
Dengan mungkin sama dan nilai tidak perlu berbeda.
4. Sifat-sifat Matriks Jordan terhadap Similaritas
Sebelum menuju sifat-sifat matriks Jordan terhadap similaritas, terlebih dahulu perlu membuktikan lema berikut.
Lema 4.1 [4] Diberikan dan blok Jordan
Maka (i). dan (ii). jika (iii). untuk dan (iv).
dengan adalah matriks identitas, adalah vektor satuan basis standar ke-i dan
. Bukti :
(i). Dengan induksi, akan dibuktikan
Untuk matriks berukuran Anggap benar untuk matriks berukuran
Sekarang cek untuk matriks
(ii). Dengan induksi, akan dibuktikan ,
Untuk matriks berukuran
maka pasti sama dengan 0.
Anggap benar untuk matriks berukuran Jadi
Sekarang cek untuk matriks berukuran
Sehingga
(iii). Akan dibuktikan untuk Bukti:
hanya akan mempunyai nilai saat bertemu dengan kata lain hanya yang mempunyai nilai. Matriks berukuran yang hanya elemen ke yang sama dengan satu adalah
.
(iv). Akan dibuktikan Bukti :
Lema di atas akan digunakan untuk pembuktian Teorema 4.1.2 berikut ini
Teorema 4.1 [4] Misalkan adalah matriks strictly segitiga atas. Terdapat sebuah matriks nonsingular dan bilangan bulat
dengan
dan sedemikian sehingga
Bukti:
Pembuktian akan dilakukan dengan induksi. Jika
Anggap benar untuk matriks berukuran yaitu matriks matriks strictlysegitiga atas terdapat matriks nonsingular
sedemikian hingga
dengan
, dan
Perhatikan bahwa tidak ada blok jordan pada diagonal J yang berukuran lebih besar dari sehingga berdasarkan Lema 4.1.1 (ii) maka
Sekarang akan dibuktikan untuk matriks berukuran n. Dimisalkan
dengan , dan adalah matriks strictlysegitiga atas.
Pandang persamaan di bawah ini
Dengan mempartisi menjadi
yaitu dan dan
berdasarkan persamaan serta partisi pada ruas kanan dari , maka persamaan dapat ditulis sebagai berikut
Sekarang pandang similaritas dari matriks tersebut yaitu
Ada dua kemungkinan nilai berdasarkan atau .
(i) Jika maka
dengan
adalah blok Jordan berukuran dengan diagonal utama nol. Gunakan sifat
untuk , secara rekursif dapat ditunjukkan bahwa
untuk
Untuk
Untuk
Karena , terlihat bahwa paling banyak dalam langkah pada similaritas ini, nilai di luar diagonal pada akhirnya akan sama dengan nol. Dapat disimpulkan bahwa
(ii) Jika , maka menunjukkan bahwa similar terhadap matriks
Dengan similaritas,
Sehingga dapat pula disimpulkan bahwa similar terhadap matriks
Berikut akan dicari matriks yang similar dengan matriksB. Misalkan matriks tersebut adalah
Akan dibuktikan dengan induksi.
Untuk matriks berukuran . Dianggap benar untuk yaitu terdapat matriks nonsingular sedemikian hingga
Dengan adalah matriks Jordan dengan elemen diagonal nol.
(4.6)
Karena similar dengan dan
similar dengan maka similar dengan . Teorema 4.2 [4] Misalkan adalah matriks real. Terdapat suatu matriks nonsingular
sedemikian sehingga
dan .
Bukti:
Berikut ini akan dibuktikan bahwa . Dari Teorema 2.4 didapatkan bahwa setiap matriks kompleks yang mempunyai nilai-eigen dengan multiplisitas dan berbeda, similar dengan matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal sama. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal sama similar dengan matriks Jordan.
Misalkan matriks segitiga atas dengan elemen diagonal utama p adalah dan misalkan adalah matriks strictly segitiga atas sedemikian hingga
Dari Teorema 4.1 diketahui bahwa . akan dibuktikan dengan kata lain akan dibuktikan .
karena setiap matriks kompleks similar dengan matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal sama dan matriks tersebut similar dengan matriks Jordan maka setiap matriks kompleks similar dengan matriks Jordan. 5. Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan
Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi Suatu matriks , dengan jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen nilai-eigen tidak sama dengan n, maka tidak similar dengan matriks diagonal karena jumlah vektor-eigennya tidak sama dengan Tetapi matriks tersebut similar dengan matriks Jordan. Untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear dapat digunakan vektor-eigen tergeneralisasi. Berikut ini diberikan definisi dari vektor-eigen tergeneralisasi.
Definisi 4.1 [3] Vektor x disebut vektor-eigen tergeneralisasi dengan tingkat dari A yang berpadanan dengan jika dan hanya jika
dan
Perhatikan jika , definisi ini menjadi dan , di mana ini merupakan definisi vektor-eigen.
Misalkan adalah vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian dengan dan merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan tingkat , maka vektor-eigen tergeneralisasi tersebut dapat ditentukan dari persamaan berikut.
yang dapat dituliskan sebagai
Himpunan vektor disebut rantai vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang .
Berikut ini akan dibuktikan bahwa vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang dari nilai-eigen yang sama adalah vektor bebas linear. Teorema 4.3 [3] Jika
merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang maka adalah bebas linear.
Bukti:
Akan dibuktikan vektor-eigen tergeneralisasi adalah vektor bebas linear. Dengan kata lain akan dibuktikan untuk
,
hanya mempunyai 1 penyelesaian yaitu Pembuktian akan dilakukan dengan iterasi. Iterasi 1
Kalikan kedua ruas dengan
Berdasarkan Definisi 4.2.1 bahwa diperoleh
karena maka dapat disimpulkan bahwa . Dengan mensubstitusikan hasil ini ke (4.10) diperoleh persamaan berikut
(4.11) Iterasi 2
Berdasarkan Definisi 4.1 bahwa diperoleh
karena maka dapat disimpulkan bahwa . Dengan mensubstitusikan hasil ini ke diperoleh persamaan berikut
Kalikan kedua ruas dengan dan akan diperoleh kembli persamaan
sehingga .
Dengan mengulangi langkah-langkah tersebut, akhirnya didapatkan kesimpulan
Sehingga terbukti bahwa vektor-eigen tergeneralisasi adalah vektor bebas linear. Setelah terbukti bahwa vektor-eigen tergeneralisasi dari nilai-eigen yang sama merupakan vektor bebas linear, selanjutnya akan dibuktikan bahwa vektor-eigen tergeneralisasi dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai-eigen yang berbeda juga bebas linear.
Teorema 4.4 [3] Vektor-eigen tergeneralisasi dari dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear.
Bukti:
Tanpa mengurangi keumuman, misalkan mempunyai nilai-eigen dengan
jadi mempunyai satu rantai vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang sedangkan . Misalkan vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian dengan adalah
dan vektor-eigen yang bersesuaian dengan adalah . Akan
dibuktikan bahwa
adalah bebas linear dengan kata lain akan dibuktikan bahwa
hanya mempunyai satu penyelesaian yaitu
Pandang lagi persamaan Kalikan kedua ruas dengan
Berdasarkan Definisi 4. 1 bahwa diperoleh
Karena maka
oleh sebab itu
Kalikan dengan sehingga maka Kalikan dengan sehingga maka
Dan seterusnya hinga diperoleh Karena maka
Karena maka
Dan seterusnya hingga diperoleh Dari Teorema 4.3 diperoleh sehingga
bebas linear.
Sekarang asumsikan bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari , maka nilai-eigen dari A adalah
Berikut ini akan dibahas dua kasus yaitu untuk dan
. 4.2.1
Untuk kasus di mana
adalah hanya ada satu vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen , akibatnya hanya ada satu blok Jordan yang bersesuaian dengan nilai-eigen berulang ini.
Teorema 4.5 Asumsikan bahwa matriks
memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari serta , maka ada matriks Jordan
dan
dengan adalah vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian dengan dan adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen
sedemikian hingga Bukti:
Dari
Dari maka memenuhi persaman berikut
Vektor-eigen bersesuaian dengan nilai-eigen yang masing-masing berbeda, dapat ditentukan dari
Kemudian dengan menggabungkan persamaan dengan , yaitu diperoleh Karena dan maka persamaannya menjadi 4.2.2
Karena kita berasumsi bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari dan
, maka ada vektor-eigen yang bebas linear yang bersesuaian dengan sehingga terdapat blok Jordan yang bersesuaian dengan nilai-eigen .
Untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear, terlebih dahulu akan dibuktikan sifat berikut.
Lema 4.2 [3] Diberikan ruang null dari , maka
Bukti:
ruang null dari dengan kata lain memuat semua yang memenuhi
.
Akan dibuktikan dengan kata lain akan dibuktikan jika maka
berarti
Dengan mengalikan kedua ruas dengan diperoleh
Berarti Sekarang akan ditunjukkan cara untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear.
Kita misalkan multiplisitas aljabar dari adalah dan misalkan
maka maka maka maka maka
Dari nilai null dapat diketahui jumlah vektor yang bebas linear yaitu
vektor-eigen
vektor-eigen vektor-eigen Sehingga
Berikut ini akan dijelaskan bagaimana menentukan banyaknya blok Jordan dan ukuran blok Jordan yang bersesuaian dengan .
i. Jika maka terdapat blok jordan yang bersesuaian dengan . ii. Jika dan
dengan panjang rantai dengan
maka ukuran blok Jordan yang bersesuaian dengan adalah
.
Teorema 4.6. Jika maka terdapat dan dimana kolom-kolom merupakan vektor-eigen (tergeneralisasi) yang bersesuaian dengan sedemikian hingga
Bukti:
Tanpa mengurangi keumuman anggap bahwa mempunyai nilai-eigen nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain
yang semuanya berbeda dari dan
sehingga artinya terdapat s blok Jordan pada matriks Jordan. Misalkan panjang rantai dengan
maka bisa diperoleh Rantai pertama diperoleh maka Rantai kedua diperoleh maka Rantai ke-s
diperoleh
maka
Vektor-eigen bersesuaian dengan nilai-eigen yang masing-masing berbeda, dapat ditetukan dari
Kemudian dengan menggabungkan persamaan vektor-eigen tergeneralisasi sebelumnya dengan persamaan vektor-eigen di atas menjadi satu, yaitu
Misalkan rantai vektor sebagai
Diperoleh
Atau sehingga 6. Keberagaman Sistem Kontrol Waktu
Diskrit
Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh
Misalkan didefinisikan vektor keadaan baru dengan adalah matriks nonsingular.
Substitusikan persamaan ke persamaan , diperoleh
Kalikan kedua ruas dengan
Misal didefinisikan
dan
maka persamaan dapat ditulis ulang sebagai
Dengan cara yang sama,
Misalkan dan maka persamaan menjadi
Hal ini menunjukkan bahwa sistem pada persamaan ekivalen dengan persamaaan sistem dan .
7. Keteramatan Sistem Kontrol Waktu Diskrit
Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh
dengan
vektor keadaan, vektor output, matriks anggota matriks anggota Solusi dari
Setelah mendapatkan solusi sistem pada persamaan , bisa didefinisikan sifat keteramatan dari sistem tersebut.
Definisi 4.2 Suatu sistem dinamakan teramati jika setiap keadaan awal
dapat ditentukan dari .
Dengan menggunakan , kita mendapatkan syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keteramatan seperti yang dijelaskan pada lema berikut ini.
Lema 4.3 [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keteramatan pada persamaan
adalah
7.1 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan Keteramatan
Selain dengan cara yang diuraikan sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan apakah suatu sistem teramati atau tidak. Yaitu dengan mengubah matriks ke bentuk diagonal atau Jordan.
Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh . Jika semua vektor-eigen berbeda, dan sebuah matriks transformasi
mentransformasikan ke bentuk matriks diagonal, sedemikian hingga
dengan adalah nilai-eigen berbeda dari . Sistem teramati jika dan hanya jika tidak ada kolom dari matriks yang semua elemennya nol.
Jika matriks tidak mempunyai vektor-eigen yang berbeda, maka pendiagonalan tidak mungkin dilakukan. Dalam kasus seperti ini, kita boleh mengubah menjadi bentuk kanonik Jordan:
Sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama,
b. Kolom yang bersesuaian dengan baris pertama dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang elemennya nol semua, c. Elemen dari masing-masing kolom
yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.
8. Keterkontrolan Sistem Kontrol Waktu Diskrit
Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh
dengan
waktu yang merupakan bilangan bulat vektor keadaan,
vektor kontrol, matriks anggota matriks anggota
Untuk selanjutnya, sistem yang dinyatakan dengan persamaan (4.22) dinotasikan sebagai sistem . Solusi dari dapat diselesaikan menggunakan metode rekursi yaitu
Mengulangi prosedur ini, didapatkan
Setelah mendapatkan solusi sistem , bisa didefinisikan sifat keterkontrolan dari sistem tersebut.
Definisi 4.3 Suatu sistem dinamakan terkontrol jika untuk setiap keadaan awal dan keadaan akhir , terdapat dan vektor kontrol sedemikian hingga solusi dalam persamaan menjadi .
Dengan menggunakan definisi yang diberikan, kita akan mendapatkan syarat untuk keadaan keterkontrolan.
Lema 4.4 [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keterkontrolan pada persamaan
adalah
Bukti:
Akan dibuktikan jika sistem terkontrol maka
. Misal dan . Karena terkontrol, maka terdapat dan
Artinya . Jika jelas . Jika , . Jadi . Akibatnya .
Dengan kata lain
Akan dibuktikan jika maka sistem terkontrol. Karena solusi dari persamaan adalah
kita mendapatkan
Karena adalah matriks , kita dapatkan bahwa masing-masing dari matriks adalah matriks . misalkan Matriks
disebut matriks keterkontrolan. Jika rank matriks keterkontrolan adalah , maka untuk sebarang keadaan dan , terdapat sebuah rangkaian sinyal kontrol yang memenuhi persamaan . sehingga jika rank dari matriks keterkontrolan adalah , maka sistem
terkontrol
8.1 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan Keterkontrolan
Selain dengan cara yang diuraikan sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan
apakah suatu sistem terkontrol atau tidak. Yaitu dengan mengubah matriks ke bentuk diagonal atau Jordan.
Teorema 4.7 [6] Jika matriks adalah matriks diagonal maka sistem terkontrol.
Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh (4.28). Jika semua vektor-eigen berbeda, maka mungkin untuk menemukan matriks transformasi
seperti
Perhatikan bahwa jika nilai-eigen berbeda maka vektor-eigen berbeda. Bagaimanapun, kebalikannya tidak benar. Perhatikan juga bahwa kolom ke i dari matriks adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen ke i
. Misalkan didefinisikan maka persamaan (4.28) menjadi
Misalkan didefinisikan
maka,
Jika pada matriks yang berukuran
terdapat vektor baris nol, maka variabel keadaan yang bersesuaian dengan kolom tersebut tidak dapat dikontrol oleh setiap . Oleh sebab itu, syarat untuk keadaan keterkontrol adalah bahwa, jika vektor-eigen berbeda, maka sistem dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika tidak ada vektor baris nol dalam . Hal ini penting
untuk dicatat bahwa untuk menerapkan syarat ini pada keadaan terkontrol, kita harus mengubah matriks ke dalam bentuk diagonal.
Jika matriks tidak mempunyai vektor-eigen yang berbeda, maka pendiagonalan tidak mungkin dilakukan. Dalam kasus seperti ini, kita boleh mengubah menjadi bentuk kanonik Jordan. Sebagai contoh, jika mempunyai nilai-eigen dan mempunyai
vektor-eigen yang berbeda, maka bentuk kanonik Jordan dari adalah
Submatriks berukuran dan pada diagonal utama disebut blok Jordan.
Andaikan mungkin untuk menemukan matriks transformasi sehingga
Jika kita definisikan
maka
Syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem
boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama, b. Elemen dari vektor baris yang
bersesuaian dengan baris terakhir dari masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol,
c. Elemen dari masing-masing baris yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.
9. Kesimpulan
Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan yaitu
1. Matriks strictly segitiga atas similar dengan matriks Jordan
2. Sebarang matriks real similar dengan matriks Jordan
3. Jika merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang maka
adalah bebas linear.
4. Vektor-eigen tergeneralisasi dari dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear. 5. Untuk sebarang terdapat yaitu
matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-eigen (tergeneralisasi) dan matriks Jordan sehingga
6. Matriks adalah matriks Jordan, sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama, b. Kolom yang bersesuaian dengan baris
pertama dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang elemennya nol semua, c. Elemen dari masing-masing kolom
yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.
7. Jika matriks adalah matriks Jordan, syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem (F,G) boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama,
b. Elemen dari vektor baris yang bersesuaian dengan baris terakhir dari masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol,
c. Elemen dari masing-masing baris yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol 10.Daftar Pustaka
1. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 1. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.
2. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 2. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432.
3. Chen, Chi-Tsong. 1970. Linear System Theory and Design. CBS College Publishing.
4. Horn, Roger A., Charles R. Johnson. 1990. Matrix Analysis. Cambridge University Press. 5. Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W.H.
Freeman and Company.
6. Ogata, Katsuhiko. 1995. Discrete-Time Control Systems Second Edition. Prentice-Hall International, Inc.
