commit to user
4
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Tinjauan PustakaBrecklin dan Chambers [2], memperkenalkan analisis Regresi M-kuantil yang merupakan suatu analisis regresi yang mempelajari cara mengetahui hubungan antara variabel bebas dan variabel tak bebas untuk nilai ekstrim, serta membentuk model dari variabel yang digunakan. Kemudian, Tzavidis dan Chambers [9] memperkenalkan pendekatan alternatif untuk mengestimasi wilayah kecil menggunakan Regresi M-kuantil dengan efek random.
Chambers dan Tzavidis [3], melakukan penelitian kembali mengenai Regresi M-kuantil dengan pendekatan SAE dan memaparkan perbandingan Model Regresi M-kuantil dengan model efek random pada estimasi wilayah kecil. Selanjutnya, Tzavidis et al. [10] mengembangkan penelitian mengenai Regresi M-kuantil dengan pendekatan SAE untuk menggabarkan pemetaan kemiskinan suatu wilayah.
Berdasarkan penelitian-penelitian mengenai Regresi M-kuantil yang telah dipublikasikan, penulis tertarik untuk menulis skripsi ini. Pada skripsi ini, dikaji ulang pembentukan model Regresi M-kuantil dan menggunakan metode Iterative
Reweighted Least Square untuk mengestimasi parameternya.
2.2. Landasan Teori
Pada penelitian ini terdapat beberapa teori-teori penunjang, antara lain pengertian konsep dasar regresi nonparametrik, teori dasar matriks, Small Area
Estimation (SAE), Integral Riemann-Stieltjes, Regresi M-kuantil, metode IRLS,
commit to user
5
2.2.1. Regresi Nonparametrik
Regresi nonparametrik merupakan analisis regresi yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel bebas dan variabel tak bebasnya tidak mengikuti salah satu distribusi tertentu. Analisis regresi nonparametrik tidak memerlukan data yang memenuhi asumsi normalitas. Menurut Yatchew dan Hardle [11], secara umum model regresi nonparametrik dapat dituliskan sebagai berikut.
dengan
: variabel bebas ke- , : variabel tak bebas ke- ,
: fungsi smooth yang tidak diketahui, : residu yang saling bebas ke- .
2.2.2. Teori Dasar Matriks
Menurut Jain dan Gunawardena [4], teori dasar matriks sebagai berikut. Definisi 2.2.1. Susunan bilangan-bilangan atau symbol dalam bentuk segi empat siku-siku disebut matriks. Susunan bilangan tersebut terdiri dari m baris dan n kolom. ( )
Definisi 2.2.2. Matriks Diagonal adalah matriks yang memiliki nilai tidak sama dengan 0 pada diagonalnya dan bernilai 0 pada elemen yang lain.
(
commit to user
6
Definisi 2.2.3. Jika A = adalah matriks maka tranpos A dinotasikan
dengan yang merupakan matriks dimana untuk semua i, j.
(
)
Definisi 2.2.4. Jika A merupakan matriks dan matriks B memiliki ukuran yang sama dengan matriks A dan diperoleh AB =I= BA dimana I adalah matriks identitas, maka A disebut invertible dan B adalah invers dari A.
2.2.3. Small Area Estimation (SAE)
Suatu area dikatakan kecil apabila sampel yang diambil dari area tersebut menghasilkan estimasi langsung yang tidak akurat. Metode SAE digunakan untuk meningkatkan ketepatan hasil estimasi langsung pada derah kecil. Menurut Rao [7], estimasi dengan metode SAE dibedakan menjadi 2, yaitu Design Based
Estimator dan Model Based Estimator. Design Based Estimator adalah metode
pendugaan suatu daerah berdasarkan data pada daerah itu sendiri. Metode ini tidak dapat menduga daerah yang tidak tersurvei, sedangkan Model Based Estimator merupakan metode pendugaan suatu daerah dengan menghubungkan informasi pada daerah tersebut dengan daerah yang tidak tersurvei.
Design Based Estimator terdiri dari beberapa teknik pendugaan, salah satunya
yaitu General Regression Estimator(GREG). Metode GREG merupakan metode pendugaan yang dapat menggunakan informasi tambahan yang berkorelasi dengan untuk meningkatkan ketepatan. Nilai dari pendugaan ini adalah rata-rata variabel yang diamati dari setiap unit sampel pada setiap wilayah. Sebagaimana ditulis oleh Rao[7], persamaan metode GREG yaitu
̂ ̂ ∑ 4 ̅ ̂ ∑ 5 ̂ dengan ̂ : penduga GREG,
commit to user
7
: pembobot untuk rumah tangga ke-i, daerah kecil ke-j, dan individu ke-k, : variabel tak bebas untuk rumah tangga ke-i, daerah kecil ke-j, dan
individu, ke-k ̂ : estimasi parameter,
̂ : estimasi jumlah populasi seluruh rumah tangga i pada daerah kecil ke-j,
̅ : rata-rata sampel ke-i.
2.2.4. Integral Riemann-Stieltjes
Menurut Muslich [6], Integral Riemann-Stieltjes merupakan bentuk perluasan dari Integral Reimann. Bentuk umum Integral Riemann-Stieltjes dapat dituliskan seperti berikut.
∫
dengan merupakan integran dan merupakan integrator.
Definisi 2.2.5. Fungsi f:[a,b] R terbatas dan :[a,b] R naik monoton pada
[a,b],dikatakan terintegral Riemann-Stieltjes terhadap pada [a,b] ditulis
singkat dengan [ ] jika nilai Infimum=Supremum.
Teorema 2.2.1. Jika pada[a,b] dan jika a<c<b maka pada [a,c] dan [c,b] dan berlaku
∫ ∫ ∫
.
Teorema 2.2.2. Jika kontinu pada imterval [a,b] dan merupakan fungsi monoton naik pada interval [a,b] maka
∫
commit to user
8
Integral Riemann-Stieltjes dapat direduksi menjadi Integral Riemann, apabila fungsi mempunyai turunan dan terbatas pada interval terbuka Sifat Integral Riemann-Stieltjes hampir sama dengan Integral Riemann pada saat integratornya monoton naik.
2.2.5. Regresi M-kuantil
Regresi Kuantil adalah metode pendekatan yang digunakan untuk membentuk suatu model berdasarkan data yang bernilai ekstrim [2]. Kelebihan dari metode ini yaitu dapat mengetahui perlakuan antara variabel bebas dan variabel tak bebas pada bagian awal, tengah, atau akhir dari data. Secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut.
dengan
: sampel ke-i, : daerah kecil ke-j,
: variabel tambahan, : vektor efek random.
Regresi M-kuantil merupakan bagian dari Regresi Kuantil, dimana perlakuan antara variabel bebas dan variabel tak bebas dapat dilihat pada setiap kuantil. Dalam metode ini, dapat dibentuk beberapa model untuk beberapa kuantil yang diinginkan. Sehingga diperoleh model terbaik dari beberapa model yang telah didapat sebelumnya. Model Regresi M-kuantil dengan kuantil ke- ditulis sebagai berikut.
(2.1)
dengan bernilai .
Menurut Tzavidis et al. [10], jika M-kuantil digunakan untuk mengestimasi daerah kecil dengan unit sampel ke- , maka persamaan (2.1) menjadi
commit to user
9
2.2.6. Iterative Reweighted Least Square
Menurut Bjorck [1], metode IRLS merupakan metode pendekatan numerik dengan menggunakan fungsi pembobot. Prosedur metode ini membutuhkan proses iterasi dengan nilai pembobot yang berubah pada setiap iterasinya. Estimasi parameter dapat dituliskan sebagai
̂ ,
dengan
: kuantil ke – q,
: matriks variabel bebas, : matriks n variabel tak bebas, : matriks diagonal pembobot sampel.
2.2.7. Fungsi Pembobot Huber
Fungsi Pembobot Huber merupakan salah satu fungsi pembobot yang dapat digunakan untuk mengestimasi parameter dengan metode IRLS. Bjorck [1] menuliskan bahwa persamaan fungsi pembobot Huber sebagai berikut.
{
dengan
: skala residual,
: fungsi pembobot Huber,
commit to user
10
2.2.8. Uji Kebaikan Model
Setelah diperoleh model Regresi M-kuantil, dilakukan uji lanjut yaitu uji kebaikan model. Uji kebaikan model pada Regresi M-kuantil ini, diuji berdasarkan nilai Mean Square Error (MSE). Model dengan nilai MSE paling kecil diantara yang lain, merupakan model Regresi M-kuantil yang terbaik. MSE pada Regresi M-kuantil dengan pendekatan SAE , ̂ , dapat dituliskan sebagai berikut. ̂ ̂( ̂ ) { ̂( ̂ )} dengan ̂( ̂ ) ∑ ∑ 02 3 1 { ̂ } dan ̂( ̂ ) 6∑ ∑ ̂ ∑ ̂ 7 2.3. Kerangka Pemikiran
Analisis regresi nonparametrik merupakan metode analisis untuk menangani data yang tidak memenuhi asumsi regresi parametrik. Regresi M-kuantil merupakan salah satu contoh regresi nonparametrik yang dapat melihat pengaruh variabel bebas terhadap variabel tak bebas pada bagian awal, tengah, dan akhir dari data sampel.
Regresi M-kuantil juga dapat digunakan untuk mengestimasi suatu wilayah kecil. Oleh karena itu, diperkenalkan pendekatan Regresi M-kuantil yang didasarkan pendugaan wilayah kecil dengan menggunakan metode GREG. Parameter dari model tersebut diestimasi dengan menggunakan metode IRLS. Metode IRLS merupakan pengembangan dari metode Weighted Least Square
(WLS). Dalam proses estimasi parameter dengan metode IRLS, digunakan fungsi
pembobot Huber. Kemudian, melakukan proses iterasi. Setelah diperoleh nilai parameter yang konvergen, dilakukan pembentukan model dengan regresi M-kuantil .
