Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 3 (2014), hal 185 – 192.
185
MODEL PERUBAHAN KETINGGIAN AIR TERHADAP WAKTU PADA
CERAMIC WATER FILTER
Yogi Bagus Angriawan, Evi Noviani, Nilamsari Kusumastuti
INTISARI
Model perubahan ketinggian air terhadap waktu merupakan model matematika yang merepresentasikan kecepatan aliran air yang tersaring menggunakan Ceramic Water Filter (CWF). Model ini erat kaitannya dengan perubahan massa air yang tersaring keluar melalui luas penampang sisi-sisi CWF. Perubahan massa air dipengaruhi oleh waktu proses penyaringan air. Perubahan massa air terhadap waktu secara fisis sebanding dengan massa jenis air yang konstan dan perubahan volume air terhadap waktu. Pengaruh perubahan ketinggian air terhadap waktu pada proses penyaringan air dengan menggunakan CWF dikaji untuk pembentukan dan penerapan model perubahan ketinggian air terhadap waktu. Pembentukan model ini diawali dengan menentukan volume dalam CWF secara geometris untuk mendeskripsikan volume air. Pada proses penyaringan air, tidak ada penambahan air sampai air habis tersaring, sehingga volume air tersaring sama dengan volume awal air. Selain itu, tidak ada pengaruh endapan yang menempel pada sisi-sisi CWF, sehingga konduktivitas hidroliknya konstan. Banyaknya aliran air yang tersaring per satuan waktu disebut dengan laju aliran air. Laju aliran air dimodelkan menggunakan persamaan Darcy. Perubahan massa air terhadap waktu dinyatakan juga sebanding dengan massa jenis air dan laju aliran air. Perubahan volume air terhadap waktu berdasarkan aturan rantai persamaan diferensial sebanding dengan perubahan volume air terhadap ketinggian air dan perubahan ketinggian air terhadap waktu. Hubungan antara perubahan massa air terhadap waktu dan perubahan volume air terhadap waktu, diperoleh model perubahan ketinggian air terhadap waktu. Pada aplikasi model ini terhadap produk CWF, diperoleh perubahan ketinggian air terhadap waktu sampai air tersaring habis adalah 1,743634 × 10-6 cm/s.
Kata Kunci: Ceramic water filter, laju aliran air dan persamaan darcy.
PENDAHULUAN
Ceramic Water Filter (CWF) adalah alat alternatif yang digunakan untuk mengatasi masalah air
yang keruh, kotor dan mengandung bakteri. Ukuran pori-pori pada dinding CWF umumnya berkisar antara – mikron, sedangkan ukuran bakteri yaitu 3 mikron dan ukuran kotoran yang terdapat di dalam air yaitu lebih dari mikron. Berdasarkan ukuran tersebut, CWF dapat menyaring bakteri dan kotoran yang terdapat di dalam air [1]. Pada saat air dimasukkan ke dalam CWF, diketahui massa air sebanding dengan massa jenis air dan volume air [2]. Waktu proses penyaringan air di dalam CWF menyebabkan terjadinya perubahan massa air dan volume air, sehingga air yang berada di dalam CWF tersaring dan mengalir keluar melalui pori-pori pada sisi-sisi CWF. Air dapat tersaring keluar karena pengaruh dari perubahan ketinggian air terhadap waktu penyaringan [1]. Pada penelitian ini dianalisis pengaruh perubahan ketinggian air terhadap waktu pada proses penyaringan air dengan CWF.
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji pembentukan dan penerapan model perubahan ketinggian air terhadap waktu. Model perubahan ketinggian air terhadap waktu merupakan suatu bentuk representasi dari kecepatan aliran air yang tersaring menggunakan CWF. CWF pada penelitian ini berbentuk kerucut terpancung. CWFterbuat dari tanah liat (lempung) dan bahan campuran seperti kulit jagung, sekam padi atau serbuk kayu. Pada proses pembakaran, bahan campuran tersebut membentuk pori-pori pada CWF. Pengukuran panjang jari-jari alas, ketebalan sisi-sisi dan ketinggian dalamdilakukan setelah CWF siap pakai. Ketebalan sisi bawah dan sisi samping diasumsikan sama. Pada proses penyaringan air, tidak ada penambahan air sampai air yang berada di dalam CWF habis tersaring. Proses penyaringan air di dalam CWF tidak dipengaruhi oleh endapan, sehingga
186
Y.B.ANGRIAWAN, E.NOVIANI, N.KUSUMASTUTI
kemampuan bahan untuk dilalui air dan kemampuan air untuk melewati bahan (konduktivitas hidrolik) diasumsikan konstan.
Metodologi pada penelitian ini diawali dengan membentuk persamaan garis sisi samping bagian dalam CWF. Persamaan garis tersebut kemudian diputar mengelilingi sumbu , sehingga membentuk sebuah benda putar. Selanjutnya dicari volume benda putar untuk mendeskripsikan volume maksimum air yang dapat diisi ke dalam CWF. Pada proses penyaringan air, aliran air yang tersaring dipengaruhi oleh laju aliran air. Laju aliran air dipengaruhi oleh konduktivitas hidrolik. Laju aliran air ini dimodelkan menggunakan persamaan Darcy. Laju aliran air terbagi atas laju aliran air pada sisi bawah dan sisi samping CWF, sehingga laju aliran air total diperoleh dari penjumlahan laju aliran air pada sisi bawah dan sisi samping CWF.
Proses penyaringan air di dalam CWF menyebabkan perubahan massa air dan volume air. Perubahan massa air dan volume air dipengaruhi oleh waktu penyaringan air. Secara fisis perubahan massa air terhadap waktu sebanding dengan massa jenis air dan laju aliran air, sedangkan perubahan volume air terhadap waktu berdasarkan aturan rantai persamaan diferensial sebanding dengan perubahan volume air terhadap ketinggian air dan perubahan ketinggian air terhadap waktu. Hubungan antara perubahan massa air terhadap waktu dan perubahan volume air terhadap waktu, diperoleh model perubahan ketinggian air terhadap waktu.
PEMBENTUKAN MODEL PERUBAHAN KETINGGIAN AIR TERHADAP WAKTU
Berikut ini adalah langkah-langkah pembentukan model perubahan ketinggian air terhadap waktu pada CWF:
1. Membentuk Persamaan Garis Sisi Samping Bagian Dalam pada CWF Berikut ini disajikan gambar CWF:
Gambar 1. Bentuk CWF (a) CWF, (b) Garis Sisi Samping Bagian Dalam pada CWF
Gambar 1 (a) merupakan bentuk CWF dengan panjang jari-jari alas bawah bagian dalam , ketinggian dalam , panjang sisi samping bagian dalam , ketebalan sisi bawah , dan ketebalan sisi samping . Satuan ukur untuk , , , , dan dinyatakan dalam . Gambar 1 (b) merupakan garis sisi samping yang menyatakan panjang sisi samping bagian dalam pada CWF. Panjang sisi samping tersebut diasumsikan sebagai garis lurus yang melalui titik ke titik .
Titik terletak tepat pada sumbu di , sehingga titik mempunyai koordinat . Titik dilalui oleh garis tegak yang memotong sumbu di dan dilalui oleh garis mendatar yang memotong sumbu di . Panjang jarak dari ke dinotasikan dengan , sehingga titik dilalui oleh garis mendatar yang memotong sumbu di . Berdasarkan garis mendatar dan garis tegak yang masing-masing memotong sumbu dan , titik mempunyai koordinat . Garis lurus yang melalui titik konstan ke titik dengan dapat dinyatakan sebagai persamaan garis sisi samping bagian dalam CWF sebagai berikut:
(1) ( ) ( )
Model Perubahan Ketinggian Air Terhadap Waktu.... 187 Berdasarkan Gambar 1 (b), panjang dipengaruhi oleh ketinggian dalam CWF dan besar sudut . Sudut terbentuk dari sisi samping yang berhimpitan dengan ketinggian dalam CWF di titik pada sumbu . Hubungan antara panjang , ketinggian dalam , dan besar sudut dinyatakan sebagai berikut:
(2)
dari persamaan (2), diperoleh panjang sebagai berikut:
(3)
dengan mensubstitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1), diperoleh:
(4)
2. Membentuk Persamaan Volume Benda Putar yang Didefinisikan sebagai Persamaan Volume Air di dalam CWF
Panjang sisi samping bagian dalam dimisalkan menjadi salah satu sisi dari bidang datar yang merupakan potongan dari bentuk CWF. Berikut ini disajikan gambar potongan bentuk CWF:
Gambar 2. Potongan Bentuk CWF (a) Bidang Datar , (b) Bagian Bidang Datar
Berdasarkan Gambar 2 (a), potongan bentuk CWF dimisalkan sebuah bidang datar yang dibatasi oleh persamaan garis
, sumbu , dan garis dengan . Gambar 2 (b) menunjukkan bidang datar yang dibagi menjadi bagian pada interval [ ] dengan titik-titik bagi .
Tinggi bagian bidang datar dimisalkan sama yaitu . Pada setiap subinterval
[ ] diambil suatu titik sampel yaitu . Bidang datar dan bagian dari bidang datar kemudian diputar terhadap sumbu , sehingga membentuk benda putar dan cakram, serta mengakibatkan persamaan garis pada persamaan (4) dapat diubah menjadi . Berikut ini disajikan gambar benda putar dan cakram:
Gambar 3. Penampang Benda Putar dan Cakram
Cakram yang ditunjukkan oleh Gambar 3 memiliki ketinggian dan panjang jari-jari penampang CWFpada subinterval [ ] adalah dengan
. Cakram ini memiliki volume yang dinotasikan dengan . Sehingga volume cakram dapat diaproksimasikan dengan volume tabung sebagai berikut:
(5)
188
Y.B. ANGRIAWAN, E. NOVIANI, N. KUSUMASTUTI
dari persamaan (5), volume dalam CWF diperoleh dengan menjumlahkan volume cakram pada interval [ ] menggunakan jumlahan Riemann sebagai berikut [3]:
∑
(6)
Apabila jumlah bagian cakram , maka ketinggian cakram , sehingga jumlahan Riemann dari persamaan (6) sama dengan integral tentu pada interval [ ] yang didefinisikan sebagai volume dalam CWFsebagai berikut [3]:
∫ (7)
dengan mengintegralkan persamaan (7), diperoleh:
[ ] (8)
Berikut ini disajikan gambar penampang CWF saat diisi dengan air:
Gambar 4. Penampang CWF pada saat Diisi Air
Gambar 4 menunjukkan bahwa pada saat CWF diisi dengan air, diketahui ketinggian dalam sama dengan ketinggian air . Volume benda putar yang ditunjukkan oleh persamaan (8) sama dengan volume maksimum air yang dapat diisi ke dalam CWF. Sehingga dengan mensubstitusikan
ke dalam persamaan (8), diperoleh persamaan volume air sebagai berikut:
[ ] (9)
3. Membentuk Persamaan Laju Aliran Air pada CWF
Proses penyaringan air dengan CWF menyebabkan adanya aliran air yang keluar dari sisi-sisi CWF,sehingga volume air yang berada di dalam CWF akan berkurang. Aliran air yang keluar per satuan waktu disebut dengan laju aliran air. Laju aliran air berdasarkan persamaan Darcy dinyatakan sebagai berikut [4]:
(10)
Diketahui adalah laju aliran air ( ⁄ ), adalah permeabilitas bahan ( ), adalah perubahan tekanan dari atas ke bawah penampang CWF ( ⁄ ), adalah kekentalan atau viskositas air ( ⁄ ), dan adalah ketebalan sisi CWF ( ). Berdasarkan sisi-sisi CWF, persamaan laju aliran air pada CWF terbagi atas laju aliran air pada sisi bawah dan laju aliran air pada sisi samping . Berikut ini disajikan gambar penampang sisi-sisi CWF:
Gambar 5. Penampang Sisi-sisi CWF (a) Sisi Bawah (b) Sisi Samping
Model Perubahan Ketinggian Air Terhadap Waktu.... 189 Gambar 5 (a) merupakan penampang sisi bawah CWF dengan jari-jari alas dan ketebalan sisi bawah . Pada sisi bawah, air yang tersaring keluar disebabkan adanya perubahan tekanan air yang mendorong air keluar melalui sisi bagian dalam menuju sisi bagian luar alas penampang CWF. Perubahan tekanan air pada sisi bawah dinyatakan pada persamaan berikut:
(11)
Berdasarkan persamaan (11), adalah massa jenis air ( ⁄ ) dan adalah percepatan gravitasi bumi ( ⁄ ). Penampang CWFmemiliki luas yang dinyatakan dengan:
(12)
Sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (11), (12) dan ketebalan sisi bawah ke dalam persamaan (10), diperoleh laju aliran air pada sisi bawah sebagai berikut:
(13)
Gambar 5 (b) merupakan penampang sisi samping CWF. Pada sisi samping, air yang tersaring keluar dari penampang sisi samping disebabkan adanya perubahan tekanan air yang mendorong air keluar melalui sisi bagian dalam menuju sisi bagian luar.
Perubahan tekanan air dipengaruhi oleh perubahan ketinggian air yang dinotasikan dengan . Perubahan ketinggian air diperoleh dari selisih antara ketinggian awal air dengan ketinggian air setelah tersaring yang dinyatakan oleh persamaan . Hubungan perubahan tekanan air dan perubahan ketinggian air dinyatakan dalam persamaan . Sehingga perubahan tekanan air pada sisi sampingCWF dapat dinyatakan pada persamaan berikut:
(14)
Luas penampang sisi samping yang dilalui air dipengaruhi oleh perubahan ketinggian air pada proses penyaringan. Penampang sisi samping ini kemudian dibagi menjadi bagian pada interval
[ ] dengan titik-titik bagi yang memiliki ketinggian
sama yaitu . Pada subinterval [ ], diambil suatu titik sampel yaitu . Sehingga panjang jari-jari penampang CWFpada subinterval [ ] dinyatakan oleh persamaan
dengan . Bagian penampang sisi samping memiliki luas
yang dinotasikan dengan . Luas bagian penampang sisi samping ini dapat diaproksimasikan dengan luas sisi samping sebuah tabung sebagai berikut:
(15)
dari persamaan (15), luas bagian penampang sisi samping CWF diperoleh dengan menjumlahkan bagian luas penampang pada interval [ ] menggunakan jumlahan Riemann sebagai berikut [3]:
∑
(16)
Apabila jumlah luas bagian penampang sisi samping , maka tinggi dari luas bagian penampang sisi samping , sehingga limit dari persamaan (16) sama dengan integral tentu pada interval [ ] yang didefinisikan sebagai luas penampang sisi sampingsebagai berikut:
∑ ∫ (17)
Dengan mensubstitusikan persamaan (14) dan (17) serta ketebalan sisi samping ke dalam persamaan (10), diperoleh laju aliran air pada sisi samping sebagai berikut:
∫
190
Y.B. ANGRIAWAN, E. NOVIANI, N. KUSUMASTUTI Selanjutnya dengan mengintegralkan persamaan (18), diperoleh:
[
] (19)
Laju aliran air pada CWF dapat dinyatakan sebagai penjumlahan laju aliran air pada sisi bawah dan laju aliran air pada sisi samping sebagai berikut [4]:
(20)
Persamaan (13) dan (19) kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (20) dengan mengingat asumsi untuk ketebalan , sehingga diperoleh:
[ ] (21)
Hubungan antara permeabilitas bahan, massa jenis air, percepatan gravitasi bumi dan viskositas air sebagai berikut [5]:
(22)
Berdasarkan persamaan (22), adalah konduktivitas hidrolik ( ⁄ ). Sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (22) ke dalam persamaan (21), diperoleh:
[ ] (23)
Secara fisis, massa air dipengaruhi oleh massa jenis air dan volume air . Hubungan ini dinyatakan dalam persamaan berikut [2]:
(24)
Hukum kekekalan massa dalam ilmu fisika menyatakan bahwa massa air yang masuk ke dalam CWF akan sama dengan massa air yang keluar dari waktu ke waktu [2]. Sehingga persamaan (24) dapat didiferensialkan dengan mengingat bahwa dan tergantung kepada , dan diperoleh:
(25)
Berdasarkan aturan rantai persamaan diferensial, diperoleh perubahan volume air terhadap waktu sebagai berikut: (26)
Selanjutnya dengan mendiferensialkan persamaan (9) terhadap ketinggian air, diperoleh persamaan
[ ], sehingga persamaan (26) menjadi:
[ ]
(27)
Persamaan (27) kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (25), sehingga diperoleh:
[ ]
(28)
Pada proses penyaringan air, massa air yang keluar dari CWF disebabkan adanya laju aliran air yang tersaring keluar dari sisi dalam menuju sisi luar. Perubahan massa air terhadap waktu dipengaruhi oleh massa jenis air dan laju aliran air. Berikut ini disajikan persamaan hubungan antara perubahan massa terhadap waktu, massa jenis air dan laju aliran air [6]:
(29)
Model Perubahan Ketinggian Air Terhadap Waktu.... 191
[ ] (30)
dari persamaan (28) dan (30), diperoleh:
[ ]
[ ] (31)
Kemudian dari persamaan (31), diperoleh model perubahan ketinggian air terhadap waktu sebagai berikut:
[ ]
[ ] (32)
Persamaan (32) menyatakan bahwa perubahan ketinggian air terhadap waktu dipengaruhi oleh panjang jari-jari alas dalam CWF, konduktivitas hidrolik, ketinggian air, besarnya sudut yang mengapit sisi samping CWFterhadap ketinggian air, dan ketebalan sisi CWF.
APLIKASI MODEL
Pada CWF yang telah diproduksi diketahui panjang jari-jari alas bawah bagian dalam
, panjang jari-jari alas atas bagian dalam , tinggi bagian dalam
, ketebalan dinding , dan ketinggian air pada saat CWF diisi penuh yaitu
Tentukan perubahan ketinggian air terhadap waktu sampai air habis tersaring? (diketahui konduktivitas hidrolik adalah [ ]).
Penyelesaian:
Berikut ini disajikan gambar CWF:
Panjang didapat dari persamaan dan diperoleh
Sehingga diperoleh perubahan ketinggian air terhadap waktu sampai air di dalam CWF habis tersaring, yaitu: [ ] [ ] [ ] [ ] .
Jadi, perubahan ketinggian air terhadap waktu sampai air yang berada di dalam CWFhabis tersaring adalah .
192
Y.B. ANGRIAWAN, E. NOVIANI, N. KUSUMASTUTI PENUTUP
Berdasarkan pengkajian pembentukan dan analisis hasil simulasi model perubahan ketinggian air pada CWF dapat disimpulkan:
1. Model perubahan ketinggian air terhadap waktu pada CWF, yaitu:
[ ]
[ ]
2. Dari hasil penerapan model untuk panjang jari-jari alas bawah bagian dalam , panjang jari-jari alas atas bagian dalam , tinggi air , dan ketebalan sisi-sisi CWF , diperoleh perubahan ketinggian air terhadap waktu atau kecepatan aliran air sampai air yang berada di dalam CWF ini habis tersaring adalah sebesar
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Sukarma HR. Buku Panduan Pembuatan Saringan Keramik. Jakarta: Yayasan Tirta Indonesia Mandiri Indonesia; 2011.
[2]. Serway RA, Jewett JW. Physics for Scientists and Engineers. 4th ed. Thomson Brooks; 2004.
[3]. Varberg D, Purcell EJ. Kalkulus. Susila IN, editor. Jilid I. Tanggerang: Binarupa Aksara Publisher; 2010.
[4]. Leftwich MC, Yakub I, Plapally A, Soboyejo ABO, Soboyejo WO. Understanding the Filtr ́n Ceramic Water Filter. International Ceramic Pot Filter Workshop. 2009 Feb; 28(2):121-128.
[5]. Fahlin CJ. Hydraulic Properties Investigation of the Potters For Peace Colloidal Silver Impregnated, Ceramic Filter. University of Colorado at Boulder, CO, USA. 2003 Mar; 7(4). [6]. Wald I. Modeling Flow Rate to Estimate Hydraulic Conductivity in Parabolic Ceramic
Water Filter. Journal of Mathematic Modelling, 2012; V4:2(8).
[7]. Lewis MA, Cheney CS, Odochartaigh BE. Guide to Permeability Indices. British Geological Survey Open Report, Cr/06/160N; 2006.
YOGI BAGUS ANGRIAWAN : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak, yogibagusangriawan@gmail.com
EVI NOVIANI : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak,
evi_noviani@math.untan.ac.id
NILAMSARI KUSUMASTUTI : Jurusan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak,
