BAB III SIFAT TRANSPOR QUANTUM DOT

BAB III

SIFAT TRANSPOR QUANTUM DOT

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai efek ukuran devais berskala nanometer terhadap fenomena transpor elektron yang terjadi. Salah satu fenomena transpor yang menarik untuk dikaji pada ukuran tersebut adalah efek Blokade Coulomb yang menjadi basis kerja dari devais single electron transistor. Kemudian pada bagian lain akan dibahas mengenai teori single charge tunneling yang menjadi basis teori transpor elektron pada quantum dot.

3.1 Blokade Coulomb

Pada devais makroskopik (bulk material), secara umum, arus listrik total dan karakteristik lainnya tidak bergantung pada korelasi antar elektron (electron correlation). Korelasi antar elektron tersebut hanya berkontribusi pada fluktuasi arus (current noise) semata. Namun, ketika ukuran devais diperkecil, mencapai ukuran nanometer, korelasi antar elektron menjadi sangat mempengaruhi karakteristik seperti arus total devais. Sehingga fenomena transport pada devais berukuran nanometer sangat ditentukan oleh korelasi antar elektron atau dengan kata lain transfer salah satu elektron bergantung pada transfer elektron lainnya.

Gambar 3.1: Sistem sederhana single electronics (metal-insulator-metal). Untuk mempelajari fenomena transport tersebut, tinjau suatu sistem sederhana single electronics dengan sambungan tunnel yang terisolasi antara dua elektroda konduktif (gambar 3.1). Karakterisasi sambungan tersebut ditentukan oleh konduktansi G dan kapasitansi C. Konduktansi dianggap cukup kecil sehingga sistem dapat dikatakan sebagai sebuah kapasitor yang bocor (leaking capacitor). Kapasitansi diasumsikan sebanding dengan penampang lintang sambungan S.

Energi elektrostatik E kapasitor dengan muatan Q adalah _el E_{el =}Q2 2C_{. Jika} terdapat satu elektron keluar dari sambungan tersebut, maka terjadi perubahan energi elektrostatik sambungan sebesar

(

)

C Q e e E_el 2 2 − = Δ , (3.1)

Transfer single elektron tersebut menyebabkan terjadi fluktuasi tegangan dipersambungan sebesar ΔΦ_s =e C dan fluktuasi arus sebesar Δj =GΔΦ_s. Jika sambungan tersebut berupa sambungan makroskopik dengan S =

(

0.1×0.1

)

mm transfer single elektron dapat diabaikan karena energi thermal masih jauh lebih besar dibandingkan dengan ΔE_el, KT >>ΔE_el, meskipun diamati pada temperatur rendah. Namun, jika ukuran devais diperkecil sampai berukuran nanometer misalnya S =

(

200×200

)A

& , energi elektrostatik single elektron E_{s =}e2 2C _lebih besar dari 10 meV. Sehingga efek transfer single elektron menjadi sangat berpengaruh pada temperatur rendah.

Prinsip ketidakpastian Heisenberg antara energi Δ dan waktu tunnelingE_s τ_t

mengizinkan kita untuk memperkirakan batas ekstrem dari τ_t, τ_t >2π _h ΔE_s , dan arus listrik yang berkaitan dengan waktu tunneling single elektron

C e e j_{s t} 3 4 h π τ ≥

≈ . Jika arus j melebihi fluktuasi arus karena perubahan _s tegangan ΔΦ yakni _s j_s ≥Δj =GΔΦ_s, maka transfer single elektron akan mengontrol arus listrik pada sambungan.

Dari penjabaran di atas, dapat ditarik dua buah persyaratan agar efek korelasi antar elektron dapat diamati dan menjadi sangat berpengaruh dalam menentukan karakteristik seperti arus listrik pada devais yaitu:

h e G KT e C 2 2 << << , (3.2)

(Coulomb blockade). Jika kondisi persamaan (3.2) tercapai, charging energy pada sistem menjadi sangat berperan penting, dan pada temperatur rendah, tunneling elektron tidak mungkin terjadi atau dengan kata lain terblok. Fenomena tersebut teramati dengan jelas pada karakteristik arus-tegangan seperti terlihat pada gambar 3.2. Tidak ada elektron tunneling pada daerah dengan tegangan bias

C e C

e <Φ<

− akibat blokade Coulomb.

Gambar 3.2: Karakteristik I-V yang dipengaruhi oleh blokade Coulomb. 3.2 Single Charge Tunneling

Untuk memudahkan analisa, marilah kita abaikan sejenak karakter energi spektrum yang bersifat diskret dari dot dan kita asumsikan, pada kondisi netral, keadaan-keadaannya sepenuhnya dikarakterisasikan oleh jumlah kelebihan elektron n pada dot. Untuk menghitung energi sistem, kita tinjau sebuah sirkuit sistem quantum dot yang terhubung dengan tiga buah terminal, yaitu source, drain, dan gate seperti terlihat pada gambar 3.3. Tunnel junction pada source dan drain yang terhubung dengan dot dimodelkan dengan resistor dan kapasitor seperti terlihat pada gambar 3.4.

Gambar 3.3: Skematik quantum dot yang terhubung dengan tiga terminal source, drain, dan gate.

Gambar 3.4: Ekivalen sirkuit quantum dot. Muatan dalam sistem di atas haruslah kekal, sehingga

(

V U

)

C

(

V U

)

C

(

V U

)

C Q Q Q ne s s g g d d s g d − + − + − = + + = − , (3.3)

dengan U adalah potensial quantum dot. Muatan efektif quantum dot

∑

= + = = s g d i i iV C ne CU Q , , , _(3.4)

Kelebihan muatan elektron dalam dot (excess electrons) dan muatan induksi dari masing-masing elektroda berkontribusi pada muatan efektif quantum dot.

( )

₂ 2 2 2 1 2 2 ⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = =

∑

∑

i i i i i i n CV C V C C ne C ne C Q E , (3.5)

Untuk kasus stasioner, arus melalui kedua sambungan bernilai sama. Pada kasus non-stasioner, muatan listrik dapat terakumulasi pada dot yang menyebabkan arus pada kedua persambungan memiliki nilai yang berbeda. Pada bagian ini kita akan berkonsentrasi pada kasus stasioner.

Transpor elektron dari source menuju drain terjadi dengan pola berikut, pertama elektron ditransfer dari source menuju dot kemudian dilanjutkan dengan transfer elektron dari dot menuju drain. Energi yang diperlukan untuk transisi pertama sebesar

(

+

)

₊

_∑

= − + i i i n n CV C e C e n E E 2 1 2 2 1 , (3.6)

Energi transisi pertama tersebut harus lebih kecil dari drop tegangan eV_s. Sehingga persyaratan berikut harus tercapai

0

1 − + ≥

+ n s

n E eV

E , (3.7)

Analog dengan transport elektron dari source menuju drain, transport elektron dari drain menuju source memerlukan persyaratan berikut

0

1 − − ≥

+ n d

n E eV

E , (3.8)

Hubungan antara V_s, V_d, dan V_g yang menyebabkan terjadi transpor elektron pada sistem dapat diperoleh dari pertidaksamaan (3.7) dan (3.8). Jika diasumsikan

G G

G_s = _d = , C_s =C_d ≈

( )

C 2

(

C_g <<C

)

, V_s =−V_d =V_b 2 (3.9) dengan V_b adalah tegangan bias. Sehingga diperoleh kriteria berikut

(

n

)

e C C V C

V_b ≥ 2 +1 −2 _{g g} , (3.10)

Dari persamaan tersebut dapat diamati adanya tegangan ambang (threshold voltage) yang penting dalam pengaturan transpor elektron pada quantum dot. Tegangan ambang berbanding lurus dengan tegangan gate.

Arus transisi source-dot didefinisikan sebagai berikut

[

s g g d

]

n n p e I =

∑

Γ_→ −Γ _→ , _(3.11)

dengan p_n adalah probabilitas stasioner untuk menemukan kelebihan elektron n pada dot. p_n dapat ditentukan dari persamaan kesetimbangan berikut

(

1 ₁

)

0 1 1 1 1Γ− + +Γ+ − Γ − +Γ+ = − nn n nn nn nn n n p p p , (3.12) dengan

(

)

(

)

(

)

g s

(

)

g d n n g d g s n n n n n n → → + → → − Γ + + Γ + = Γ Γ − + Γ − = Γ 1 1 1 1 1 1 , (3.13)

Tunneling rates dapat dihitung dari ekspresi golden rule dengan transmitansi tunneling dianggap sebagai pertubrasi. Hamiltonian sistem dapat ditulis menjadi

bath dh g s H H H H H₀ = + + + , _(3.14) dengan

(

)

_∑

∑

∑

+ + + + − = − = = = σ σ σ σ σ σ σ σ σ ε ε q q q dh q q q q g k k k k d s N c c n C Q n H c c H c c H ˆ , 2 ˆ ₀ , , _(3.15) bath

H pada persamaan (3.14) menyatakan hamiltonian untuk thermal bath. Kita asumsikan source dan drain dapat memiliki potensial kimia yang berbeda. N+ adalah jumlah ion positif pada dot. Untuk mendeskripsikan tunneling, diperkenalkan Hamiltonian antara source dan dot

. . , , c h c c T H q k kq k q g s =

∑

+ + ↔ σ σ σ , _(3.16)

Dengan menerapkan golden rule, diperoleh

( )

[

( )

]

(

)

∫

∫

∞ ∞ − + ∞ ∞ − → = − − − Γ s _{k q s k g q n n s} g s d d f f E E eV e G 1 2 ε ε ε 1 ε δ , (3.17)

Konduktansi tunneling persambungan source-dot

( ) ( )

2 2 4 kq g s F g F s s g g T e G π ε ε ν ν h = , (3.18)

(

)

(

)

( )

(

c

)

c g

(

c

)

d

( )

d c g s s s s g s g s F e G V n V n F e G V n V n , 2 , 2 2 , , 2 , , − → → + → → Δ = − − Γ = Γ Δ = − − Γ = Γ , (3.19) dengan

( )

₍

₎

( )

pada 0 exp 1+ − → Θ = = T KT F ε ε ε ε ε , _(3.20) dan

( )

μ μ μ e en e CV eV C eV E E n i i i n n ⎥± ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ± − = Δ_{± ± m m}

∑

2 1 2 1 , , (3.21)

adalah energi yang diperlukan untuk transisi. Hasil perhitungan karakteristik kurva arus-tegangan untuk struktur transistor (seperti struktur di atas yang telah dibahas) yang simetri diperlihatkan pada gambar 3.6 berikut.

Gambar 3.5: Kurva karakteristik arus-tegangan sebuah transistor simetri sebagai fungsi dari tegangan gate dan tegangan bias pada temperatur T =0[13].

Pada temperatur rendah dan pada tegangan bias yang rendah pula, VC e<1, hanya ada dua keadaan muatan yang berperan. Pada tegangan bias yang lebih besar, lebih banyak lagi keadaan muatan yang berperan. Untuk memahami lebih lanjut tentang fenomena/fakta tersebut, perhatikan gambar 3.6 yang memiliki plot

grafik yang sama dengan gambar 3.5 untuk kasus dengan V_s =V_g =−V 2 untuk nilai Q yang berbeda-beda. ₀

Gambar 3.6: Coulomb staircase pada quantum dot [14].

Sementara itu, charge tunneling merubah energi elektrostatik dot secara diskret, sedangkan tegangan gate Vg merubah energi elektrostatik dot secara kontinu. Dengan kata lain, charge tunneling merubah muatan dalam dot dalam bilangan bulat sementara tegangan gate merubah muatan dalam dot secara kontinu

g gV

C

q= . Kompetisi antara muatan induksi kontinu dan muatan diskret melahirkan pola osilasi Coulomb seperti terlihat pada gambar 3.7.