BAB XVII. PROGRAM LINEAR
BAB XVII. PROGRAM LINEAR
Pengertian Program Linear : Pengertian Program Linear :
Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau
(pemaksimalan atau peminimalan suatu peminimalan suatu tujuan) yangtujuan) yang dapat digunakan untuk mencari keuntungan maksimum dapat digunakan untuk mencari keuntungan maksimum seperti dalam bidang perdagangan, penjualan dsb
seperti dalam bidang perdagangan, penjualan dsb Daerah Penyelesaian:.
Daerah Penyelesaian:.
Dalam penyelesaian persoalan program linear adalah Dalam penyelesaian persoalan program linear adalah pemahaman dalam pembuatan grafik pertidaksamaan pemahaman dalam pembuatan grafik pertidaksamaan linear yaitu penentuan daerah himpunan penyelesaian linear yaitu penentuan daerah himpunan penyelesaian dari suatu system pertidaksamaan linear.
dari suatu system pertidaksamaan linear. Yang perlu diingat dalam pembuatan grafik Yang perlu diingat dalam pembuatan grafik
pertidaksamaan linear ini yaitu mengenai persamaan pertidaksamaan linear ini yaitu mengenai persamaan garis.
garis.
1. Persamaan garis melalui suatu titik (x
1. Persamaan garis melalui suatu titik (x11, y, y11) dengan) dengan gradien m adalah: gradien m adalah: (y - y (y - y11) = ) = m (x m (x - x- x11)) •• p p (x(x11, y, y11)) 2. Persamaan garis melalui titik (x
2. Persamaan garis melalui titik (x11, y, y11) dan (x) dan (x22, y, y22 )) adalah: adalah: 1 1 2 2 1 1 y y y y y y y y − − − − = = 1 1 2 2 1 1 x x x x x x x x − − − − • • • • (x(x 2 2, y, y22)) (x (x11, y, y11)) p p
3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x (y=0) 3. Persamaan garis lurus yang memotong sumbu x (y=0) di titik (b,0) dan memotong sumbu y (x=0) di titik (0, a) di titik (b,0) dan memotong sumbu y (x=0) di titik (0, a) adalah: adalah: b b x x + + a a y y = 1 = 1 ⇔⇔ ax + by = a.bax + by = a.b y y Bukti : Bukti : b b x x + + a a y y = 1 = 1 ⇔⇔ ax + by = a.bax + by = a.b
Gunakan persamaan 2 di atas : Gunakan persamaan 2 di atas :
1 1 2 2 1 1 y y y y y y y y − − − − = = 1 1 2 2 1 1 x x x x x x x x − − − −
Persamaan garis melalui (b,0)
Persamaan garis melalui (b,0) (x(x11, y, y11)) dan (0, a) dan (0, a) (x(x22 , y, y22)) 0 0 0 0 − − − − a a y y = = b b b b x x − − − − 0 0 ⇔ ⇔ a a y y = = b b b b x x − − − − ⇔ ⇔ - by = a(x-b)- by = a(x-b) ⇔ ⇔ - by = ax – ab- by = ax – ab ⇔ ⇔ ab = ax + byab = ax + by ⇔ ⇔ ax + by = abax + by = ab terbuktiterbukti
4. Dua gradien sama apabila dua garis saling sejajar. 4. Dua gradien sama apabila dua garis saling sejajar.
m m11 = m= m22 h h11 h h22
5. Hasil perkalian dua gradien adalah – 1 apabila dua garis 5. Hasil perkalian dua gradien adalah – 1 apabila dua garis
saling
saling tegak tegak luruslurus m
m11 . m. m22 = -1= -1
h h11
Contoh: Contoh:
Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah ini : Tentukan persamaan garis dari gambar di bawah ini :
garis h1 melalui (3,0) dan (0,2) ; garis h1 melalui (3,0) dan (0,2) ; garis h1
garis h1⊥⊥h2 dan melalui (1,0).h2 dan melalui (1,0).
persamaan garis h1 (gunakan rumus persamaan garis h1 (gunakan rumus
b b x x + + a a y y = 1 = 1 )) 3 3 x x + + 2 2 y y = = 1 1 |x |x 6|6| persamaan garis h1 persamaan garis h1 ⇒⇒ 2x + 3y = 62x + 3y = 6 3y = 3y = -2x -2x + 6+ 6 y = y = -3 3 2 2 x + 6 x + 6 persamaan garis h2 : persamaan garis h2 : h1 h1⊥⊥h2 h2 sehingga sehingga mm 1 1 . m. m22 = -1= -1 m m11 = -= -3 3 2 2 maka m maka m22 == 2 2 3 3 melalui (1,0) melalui (1,0) (y - y (y - y11) = m) = m22 (x (x - - xx11)) y – 0 = y – 0 = 2 2 3 3 ( x – 1 ) ( x – 1 ) y y == 2 2 3 3 ( x – 1 ) ( x – 1 ) 2y = 3x – 3 2y = 3x – 3
persamaan garis h2 adalah 3x-2y = 3 persamaan garis h2 adalah 3x-2y = 3
Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear: Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear: Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan
pertidaksamaan linear linear dapat dapat dilakukan dilakukan dengandengan menggunakan metoda grafik dan uji titik.
menggunakan metoda grafik dan uji titik.
Langkah-langkahnya ( ax + by
Langkah-langkahnya ( ax + by ≥≥ c) yaitu :c) yaitu :
1. Gambar garis ax + by = c 1. Gambar garis ax + by = c
2. Lakukan uji titik dengan menentukan titik sembarang 2. Lakukan uji titik dengan menentukan titik sembarang (x,y) yang terletak di luar garis ax + by= c, kemudian (x,y) yang terletak di luar garis ax + by= c, kemudian substitusika
substitusikan ke n ke dalam persamaan dalam persamaan ax + ax + byby ≥≥ c.c.
a. Jika benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah a. Jika benar, maka himpunan penyelesaiannya adalah
daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
ax + by = c
b. Jika salah, titik tersebut bukan himpunan b. Jika salah, titik tersebut bukan himpunan
penyelesaiannya penyelesaiannya
Tanpa melakukan uji titik himpunan penyelesaian Tanpa melakukan uji titik himpunan penyelesaian
pertidaksamaan dapat dilihat dari gambar berikut dimana pertidaksamaan dapat dilihat dari gambar berikut dimana garis membagi bidang menjadi 2 bagian :
garis membagi bidang menjadi 2 bagian : untuk a
untuk a >0 >0 dan b>0dan b>0 y y ax + by ax + by ≥≥ abab (0,a) (0,a) ax + by ax + by ≤≤ abab x x (b,0) (b,0) ax + by =c ax + by =c untuk a > 0 dan b <0 untuk a > 0 dan b <0 y y ax - by
ax - by ≤≤ -ab -ab (0,a)(0,a)
ax - by ax - by ≥≥ -ab-ab x x (-b,0) (-b,0)
Untuk a < 0 dan b > 0 Untuk a < 0 dan b > 0
-ax + by
-ax + by ≥≥ -ab-ab
(b,0) (b,0)
x x
(0,-a)
(0,-a) -ax -ax + + byby≤≤ -ab-ab
y y Untuk a < 0 dan b <0 Untuk a < 0 dan b <0 -ax – by -ax – by ≤≤ abab x (-b,0) x (-b,0) (0,-a) (0,-a) -ax – by -ax – by ≥≥ abab y y Contoh: Contoh:
Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari system Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari system
pertidaksamaan : pertidaksamaan : 2x +3 y 2x +3 y ≤≤6 6 ; ; 4x 4x +2y+2y ≤≤8 ; x8 ; x ≥≥0 ; y0 ; y≥≥00 untuk x dan y untuk x dan y ∈∈RR jawab: jawab: Langkah 1: Langkah 1:
gambar persamaan 2x +3y gambar persamaan 2x +3y ≤≤66
Buat garis 2x +3 y = 6 Buat garis 2x +3 y = 6
titik potong dengan sb x jika y=0
titik potong dengan sb x jika y=02x = 62x = 6 x = 3 x = 3 titik potong dengan sb y jika x = 0
titik potong dengan sb y jika x = 03y = 63y = 6 y=2 y=2 didapat koordinat (3,0) dan (0,2)
didapat koordinat (3,0) dan (0,2)
x = 2 x = 2 titik potong dengan sb y jika x = 0
titik potong dengan sb y jika x = 02y = 82y = 8 y= 4 y= 4 didapat koordinat (2,0) dan (0,4)
didapat koordinat (2,0) dan (0,4)
4 4
4x+2y=8 4x+2y=8 2
2 titik titik potongpotong 2x+3y=6 2x+3y=6
2 2 33
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian, ujilah Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian, ujilah titik
titik (0,0). (0,0). Titik(0,0) memenuhi Titik(0,0) memenuhi pertidaksamaanpertidaksamaan 2x +3 y
2x +3 y ≤≤6 6 ; ; 4x 4x +2y+2y ≤≤8 ; x8 ; x ≥≥0 ; y0 ; y≥≥0, maka (0,0)0, maka (0,0)
merupakan anggota himpunan penyelesaian. merupakan anggota himpunan penyelesaian. Daerah yang diarsir menunjukkan himpunan Daerah yang diarsir menunjukkan himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan linear penyelesaian dari system pertidaksamaan linear.. Tambahan:
Tambahan:
Titik potong dua persamaan adalah: Titik potong dua persamaan adalah: Substitusikan persamaan 1 dan 2 : Substitusikan persamaan 1 dan 2 : 2x + 3 2x + 3y = 6 y = 6 | x 4 | x 4 || ⇒⇒ 8x + 12y = 248x + 12y = 24 4x + 2 4x + 2y = 8 y = 8 | x 2 | x 2 || ⇒⇒ 8x 8x + + 4y 4y = = 16 16 --8 y = --8 8 y = 8 y = 1 y = 1 2x + 3y = 6 2x + 3y = 6 2x 2x + 3. + 3. 1 = 1 = 66 x = 1 x = 1 2 2 1 1
titik potongnya adalah (1 titik potongnya adalah (1
2 2 1 1 , 1 ) , 1 )
Nilai Optimum (Maksimum dan Minimum) dalam daerah Nilai Optimum (Maksimum dan Minimum) dalam daerah penyelesaian
penyelesaian
Untuk menentukan nilai optimum dalam daerah Untuk menentukan nilai optimum dalam daerah penyelesaian, dapat ditentukan dengan menggunakan penyelesaian, dapat ditentukan dengan menggunakan metode titik pojok (titik ekstrim) atau garis selidik. metode titik pojok (titik ekstrim) atau garis selidik.
Jawab: Jawab: y y Q Q (0,2) (0,2) P= P= (1(1 2 2 1 1 ,1) ,1) x x O O R(2,0) R(2,0) (3,0)(3,0)
titik P merupakan titik potong garis titik P merupakan titik potong garis 2x + 3 2x + 3y = 6 y = 6 | x 4 | x 4 || ⇒⇒ 8x + 12y = 248x + 12y = 24 4x + 2 4x + 2y = 8 y = 8 | x 2 | x 2 || ⇒⇒ 8x 8x + + 4y 4y = = 16 16 --8 y = --8 8 y = 8 y = 1 y = 1 2x + 3y = 6 2x + 3y = 6 2x 2x + 3. + 3. 1 = 1 = 66 x = 1 x = 1 2 2 1 1
titik potongnya adalah titik P (1 titik potongnya adalah titik P (1
2 2 1 1 , 1 ) , 1 )
Daerah yang diarsir merupakan himpunan Daerah yang diarsir merupakan himpunan
penyelesaian dari system pertidaksamaan. Titik-titik penyelesaian dari system pertidaksamaan. Titik-titik ekstrimnya adalah P( ekstrimnya adalah P(11 2 2 1 1 ,1) ,1), Q, Q(0,2)(0,2), R, R(2,0)(2,0)dandan O(0,0). O(0,0). Tabel. Tabel. Titik Titik O O P P Q Q RR X X 00 1 1 2 2 1 1 0 0 22 Y Y 0 0 1 1 2 2 00 A=x+3y 0 A=x+3y 0 4 4 2 2 1 1 6 6 22 B=2x+5y B=2x+5y 0 0 8 8 10 10 44 dari tabel dapat disimpulkan bahwa :
dari tabel dapat disimpulkan bahwa :
nilai maksimum dari A adalah 6 , minimum adalah 0 nilai maksimum dari A adalah 6 , minimum adalah 0 nilai maksimum dari B adalah 10, minimum adalah 0 nilai maksimum dari B adalah 10, minimum adalah 0
Model Matematika Model Matematika
Model matematika adalah penerjemahan dari situasi yang Model matematika adalah penerjemahan dari situasi yang disajikan dalam bahasa sehari-hari menjadi bahasa
disajikan dalam bahasa sehari-hari menjadi bahasa matematika (pertidaksamaan linear)
matematika (pertidaksamaan linear) Contoh:
Contoh:
Tempat parkir di suatu gedung mempunyai luas 800m Tempat parkir di suatu gedung mempunyai luas 800m 22,, untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas untuk memarkir sebuah mobil diperlukan tempat seluas 10m
10m22 dan untuk suatu bus atau truk diperlukan tempatdan untuk suatu bus atau truk diperlukan tempat seluas 20m
seluas 20m22. Tempat parkir tersebut maksimal hanya dapat. Tempat parkir tersebut maksimal hanya dapat menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika ongkos menampung tidak lebih dari 50 mobil dan bus. Jika ongkos parkir untuk mobil adalah Rp.2000,- dan untuk bus/truk parkir untuk mobil adalah Rp.2000,- dan untuk bus/truk Rp.4000,- berapa ongkos maksimal parkir yang didapat ?. Rp.4000,- berapa ongkos maksimal parkir yang didapat ?.
Jawab: Jawab:
langkah 1 : buat model
langkah 1 : buat model matematika dalam bentuk tablematematika dalam bentuk table
Jenis
Jenis Luas Luas Banyak Banyak Mobil Mobil 10 10 XX Bus Bus 20 20 YY Tersedia Tersedia 800 800 5050 Diperoleh model matematika:
Diperoleh model matematika: 10x 10x + + 20y20y ≤≤ 800800 ⇔⇔ x + 2yx + 2y ≤≤ 8080 x + y x + y ≤≤5050 x x ≥≥ 00 y y ≥≥ 00
fungsi tujuannya adalah f(x,y)=2000x + 5000
fungsi tujuannya adalah f(x,y)=2000x + 5000 y dengan syarat-y dengan syarat-syarat di atas.
syarat di atas.
Langkah 2: menggambar daerah penyelesaian Langkah 2: menggambar daerah penyelesaian Daerah 1 Daerah 1 x + 2 y = 80x + 2 y = 80 X 0 80 X 0 80 Y 40 0 Y 40 0 Titik (0,40) 80,0) Titik (0,40) 80,0) daerah 2 daerah 2 x + y = 50x + y = 50 X 0 50 X 0 50 Y 50 0 Y 50 0 Titik (0,50) (50,0) Titik (0,50) (50,0)
Titik potong garis x + 2 y = 80 dan x + y = 50 Titik potong garis x + 2 y = 80 dan x + y = 50
x + 2 y = 80 x + 2 y = 80 x x + + y y = = 50 50 --y = 30 y = 30 x + x + y y = 50= 50 x = 50 – 30 = 20 x = 50 – 30 = 20 titik potongnya (30,20) titik potongnya (30,20) (0,50)
(0,50) titik titik potong potong (20,30)(20,30) (0,40) (0,40) (0,0) (0,0) (50,0) (80,0) (50,0) (80,0) Daerah yang diarsir adalah daerah peny
Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaianyaelesaianya
Langkah 3 : Menentukan nilai optimum fungsi tujuannya Langkah 3 : Menentukan nilai optimum fungsi tujuannya Dengan menggunakan metoda titik-titk sudut :
Dengan menggunakan metoda titik-titk sudut :
Terdapat 4 titik sudut yaitu (0,0), (50,0), (20,30) dan (0,40) Terdapat 4 titik sudut yaitu (0,0), (50,0), (20,30) dan (0,40)
Jadi ongkos maksimal yang didapat adalah Rp.160.000 Jadi ongkos maksimal yang didapat adalah Rp.160.000 dengan jumlah parkir untuk mobil sebanyak 20 mobil dan dengan jumlah parkir untuk mobil sebanyak 20 mobil dan untuk bus/truk sebanyak 30 bus/truk
untuk bus/truk sebanyak 30 bus/truk catatan:
catatan:
nilai untuk titik (0,40) jumlahnya sama dengan untuk nilai untuk titik (0,40) jumlahnya sama dengan untuk (20,30) tetapi tidak mungkin satu lahan parkir hanya (20,30) tetapi tidak mungkin satu lahan parkir hanya digunakan untuk bus/truk saja sehingga nilai tersebut digunakan untuk bus/truk saja sehingga nilai tersebut diabaikan. diabaikan. Titik Titik (0,0) (0,0) (50,0) (50,0) (20,30) (20,30) (0,40)(0,40) X X 0 0 50 50 20 20 00 Y Y 0 0 0 0 30 30 4040 2000x+4000y 0 2000x+4000y 0 100.000 100.000 160.000 160.000 160.000160.000
