Bab 1 -Pendahuluan Hitung Vektor.

1

Bab 1 -Pendahuluan Hitung Vektor .

Soal 1-20 Pada suatu benda bekerja dua gaya : 100 N pada 170^o dan 100 N pada 50^o. Tentukan resultannya.

Pembahasan:

Diketahui :

 F1 = 100 N pada 170^o

 F₂ = 100 N pada 50^o Ditanyakan :

 R...?

Jawab :

 Komponen vektor R adalah 𝑅_𝑥 = 𝐹_𝑥 dan 𝑅_𝑦 = 𝐹_𝑦 ,sehingga:

𝑅_𝑥 = 𝐹₁cos 10^˚+ 𝐹₂cos 50^˚

𝑅_𝑥 = −100 N cos 10^˚+ 100𝑁 cos 50^˚ 𝑅_𝑥 = −100 𝑁 × 0,984 + 100 𝑁 × 0,642 𝑅_𝑥 = −98,48𝑁 + 64,279𝑁

𝑅_𝑥 = −34,2 𝑁

y

100 N

50⁰ 170^o

F1

X F2

F2 cos 50⁰ F₂ sin 50⁰

F1 cos 10⁰

F₁ sin 10⁰

2 𝑅_𝑦 = 𝐹₁sin 10⁰+ 𝐹₂sin 50⁰

𝑅_𝑦 = (100𝑁 sin 10⁰ ) + (100 N sin 50⁰) 𝑅_𝑦 = 100𝑁 × 0,173 + (100𝑁 × 0,766) 𝑅_𝑦 = 17,3𝑁 + 76,6𝑁

𝑅_𝑦 = 93,9 𝑁

𝑅 = 𝑅_𝑥² + 𝑅_𝑦²

𝑅 = −34,2 𝑁 ²+ 93,9𝑁 ² 𝑅 = 1.169,64 𝑁²+ 8.817,21 𝑁² 𝑅 = 9.986,85 𝑁²

𝑅 = 99,9 𝑁 𝑅 = 100 𝑁

𝑡𝑎𝑛 𝜃 =𝑅_𝑦 𝑅_𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 93,96 𝑁

−34,2 𝑁 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = −2,74 𝜃 = 70°

Sehingga:

𝜃 = 180° − 70°

𝜃 = 110°

Jadi besar gaya resultannya adalah : R=100 N pada sudut 110^o

3

Soal 1-21 Dimulai dari titik asal sistem koordinat, pergeseran-pergeseran berikut terjadi di bidang xy pergeseran-pergeseran adalah koplanar atau terletak pada satu bidang) 60 mm pada arah +y, 30 mm pada arah –x, 40 mm pada 150⁰ dan 50 mm pada 240⁰ . Carilah resultan pergeseran baik secara grafis maupun aljabar.

Pembahasan Diketahui:

- Pergeseran 60 mm pada arah +y - Pergeseran 30 mm pada arah –x - Kemudian 40 mm pada 150⁰ - Kemudian dan 50 mm pada 240⁰ Ditanyakan :

- Resultan pergeseran secara grafis - Resultan pergeseran secara aljabar Jawab :

a) Resultan pergeseran secara grafis Menentukan sumbu x dan y

60 mm 30 mm 40 mm

50 mm

97 mm

240⁰

150⁰

Resultan pergeseran

4 b) Resultan pergeseran secara aljabar

Untuk komponen x

𝑅_𝑥 = Σ𝐹_𝑥 = −30𝑚𝑚 + 40𝑚𝑚 cos 150⁰ + 50𝑚𝑚 𝑐𝑜𝑠 240⁰ 𝑅_𝑥 = Σ𝐹_𝑥 = −30𝑚𝑚 + 40𝑚𝑚 −0,86 + 50𝑚𝑚 −0,5 𝑅_𝑥 = Σ𝐹_𝑥 = −30mm + −34,6 𝑚𝑚 − 25𝑚𝑚

𝑅_𝑥 = Σ𝐹_𝑥 = −64,6mm − 25𝑚𝑚 𝑅_𝑥 = Σ𝐹_𝑥 = −89,6mm

Dan untuk komponen y maka:

𝑅_𝑦 = Σ𝐹_𝑦 = 60𝑚𝑚 + 40𝑚𝑚 sin 150⁰ + 50𝑚𝑚 𝑠𝑖𝑛 240⁰ 𝑅_𝑦 = Σ𝐹_𝑦 = 60𝑚𝑚 + 40𝑚𝑚 0,5 + 50𝑚𝑚 −0,86

𝑅_𝑦 = Σ𝐹_𝑦 = 60𝑚𝑚 + 20𝑚𝑚 + (−43,3)𝑚𝑚 𝑅_𝑦 = Σ𝐹_𝑦 = 80 𝑚𝑚 − 43,3𝑚𝑚

𝑅_𝑦 = Σ𝐹_𝑦 = 36,7𝑚𝑚

Sehingga resultannnya adalah

𝑅 = 𝑅_𝑥²+ 𝑅_𝑦²

𝑅 = −89,6²𝑚𝑚² + 36,7²𝑚𝑚² 𝑅 = 8028,16𝑚𝑚²+ 1346,89𝑚𝑚² 𝑅 = 9375,05 𝑚𝑚²

𝑅 = 96, 82 𝑚𝑚 𝑅 = 𝟗𝟕 𝒎𝒎

tan 𝛼 = 𝑅_𝑦 𝑅_𝑥 tan 𝛼 = 36,7𝑚𝑚

89,6mm tan 𝛼 = 0,4

jadi 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 0,4 𝛼 = 22

Jadi akibat pergeseran resultan adalah 97 mm pada sudut (180⁰-22⁰)=

158^o

5 240°

45°

Soal 1-22 Hitunglah secara aljabar resultan dari gaya-gaya coplanar berikut:

100 N pada 30°, 141.1 N pada 45°, dan 100 N pada 240°. Periksa hasil anda secara grafis.

Pembahasan Diketahui;

𝐹₁ = 100 𝑁 𝑝𝑎𝑑𝑎 30^° 𝐹₂ = 141.1 𝑁 𝑝𝑎𝑑𝑎 45^° 𝐹₃ = 100 𝑁 𝑝𝑎𝑑𝑎 240^°

Ditanyakan: resultan gaya coplanar?

Jawab:

Resultan pergeseran secara aljabar

N F

N N N

F

N N

N F

N N

N F

x x x x

58 . 136

50 98 . 99 60 . 86

2 100 1 2 2

1 1 . 141 2 3

100 1

60 cos 100 45 cos 4 . 141 30

cos

100 ^{0 0 0}



























N F

N N

N F

N N

N F

N N

N F

Y Y Y Y

38 . 63

60 . 86 98 . 99 50

2 3 100 1 2 2

4 1 . 2 141 100 1

60 sin 100 45

sin 4 . 141 30

sin

100 ^{0 0 0}



























30°

X

100N

Y 141.4N

F1 cos 30⁰ F1 sin 30⁰

F2 cos 45⁰

100 N F2 sin 45⁰

F3 sin 60⁰ F3 cos 60⁰

6

F5

N R

N R

R

N N

R

N N

R

F F

R _{X Y}

151 56 . 150

N 11 . 22671

02 . 4017 09

. 18654

38 . 63 58

. 136

2

2 2

2 2 2

2 2 2



















250

46 . 0 arctan

46 . 0 tan

58 . 136

38 . tan 63

tan





















N N F

F

X Y

Jadi resultan dari gaya-gaya coplanar sebesar 151 N pada sudut 25°

Soal 1-23 Hitung secara aljabar resutan ke lima perpindahan koplanar berikut : 20 m pada 30⁰, 40 m pada 120⁰ , 25 m pada 180⁰ , 42 m pada 270⁰ , dan 12 m pada 315⁰ . bandingkan dengan hasil perhitungan secara grafik?

Pembahasan:

y

Diketahui :

F1

F2

30⁰ 120⁰

180⁰ 270⁰

45⁰ F3 X

F4

F₅ cos 45⁰

F5 sin 45⁰ F2 sin 60⁰

F2 cos 60⁰

F₁ cos 30⁰ F1 sin 30⁰

7 Diketahui :

F1= 20 m pada 30⁰ F2= 40 m pada 120°

F3= 25 m pada 180°

F₄= 42 m pada 270°

F5= 12 m pada 315°

Ditanyakan : resultan koplanar?

Jawab:

 𝐹₁𝑥 = 𝑓₁cos 𝜃₁ = 20 N cos 30⁰ = 17.32 𝑁 𝐹₁𝑦 = 𝑓₁sin 𝜃₁ = 20 N sin 30⁰ = 10

 𝐹₂𝑥 = 𝑓₂ cos 𝜃₂ = 40𝑁 cos 120⁰ = −20 𝑁 𝐹₂𝑦 = 𝑓₂sin 𝜃₂ = 40𝑁 sin 120⁰ = 34.6𝑁

 𝐹₃𝑥 = 𝑓₃ cos 𝜃₃ = 25𝑁 cos 180⁰ = −25𝑁 𝐹₃𝑦 = 𝑓₄sin 𝜃₃ = 25𝑁 sin 180⁰ = 0

 𝐹₄𝑥 = 𝑓₄ cos 𝜃₄ = 42𝑁 cos 270⁰ = 0 𝑁 𝐹₄𝑦 = 𝑓₄ sin 𝜃₄ = 42𝑁 sin 270⁰ = −42 𝑁

 𝐹₅𝑥 = 𝑓₅ cos 𝜃₅ = 12𝑁 cos 315⁰ = 8,48 𝑁 𝐹₅𝑦 = 𝑓₅₄ sin 𝜃₅ = 12𝑁 cos 315⁰ = −8,48 𝑁

N N

N N N

R_X 17.3 20 25 8.48 19.22

𝑅_𝑌 = 10𝑁 + 34.6𝑁 − 42𝑁 − 8.48𝑁 = −5.88𝑁

 𝑅 = −19.22 𝑁 ²+ −5.88 𝑁 ² 𝑅 = 396.40 𝑁²+ (34.57)𝑁² 𝑅 = 403.97 𝑁² = 20𝑁

 𝑡𝑎𝑛 ∅ = ^5.88𝑁

19.22𝑁 = 0.30

∅ = 𝑎𝑟𝑐 tan 0.30 = 163° sehingga 𝜃 = 360° − 163° = 197°

Secara resultan ke lima perpindahan koplanar sebesar 20 m pada sudut 197⁰

8

Soal 1-24 Dua buah gaya 80 N dan 100 N bekerja dengan sudut 60° antara sesamanya sambil menarik sebuah benda .

A. Carikan satu gaya yang dapat menggantikan ke dua buah gaya (Resultan)

B. Satu gaya (disebut gaya kesetimbangan), manakah yang menghasilkan kesetimbangan antara kedua gaya .

pembahasan

A . 𝑅 = 𝐹₁² + 𝐹₂ ² + 2. 𝐹₁. 𝐹₁cos 𝛼

𝑅 = 80²𝑁²+ 100²𝑁²+ 2.80𝑁. 100𝑁 cos 60 𝑅 = 6400𝑁²+ 10000𝑁²+ (16000.0,5)𝑁² 𝑅 = 16400𝑁²+ 8000𝑁²

𝑅 = 24400𝑁² 𝑅 = 156 𝑁

Sehingga besarnya resultan gaya R=156 N pada 34° terhadap gaya 80 N B..

Benda

80 N

100N 80 N sin ₁

100 N sin ₂

100 N cos ₂ 80 N cos ₁

80𝑁 sin 𝜃₁+ 100𝑁 sin 𝜃₂ = 0 𝐹_𝑦 = 0

80𝑁 sin 𝜃₁− 100𝑁 sin 𝜃₂ = 0…..

Yang dapat menghasilkan kesetimbangan adalah gaya pada sumbu Y karena arahnya saling berlawanan sehingga saling menyeimbangkan satu sama yang lain.

𝐹_𝑥 = 0 Y

Benda 60°

80 N

100N

R

Sehingga besarnya resultan gaya –R=156 pada 214° terhadapgaya 80 N

9

Soal 1-25 Dengan aljabar tentukan : (a) gaya resultan dan (b) gaya pengimbang (lihat soal 1-24) ketiga gaya sebidang berikut : 300 N pada 0⁰ , 400 N pada 30^0, dan 400 N pada 150⁰ ?

Jawab:(a) 500 N pada 53°; (b) 500 N pada 233°

pembahasan Diketahui :

F₁ = 300 N pada0⁰ F₂ = 400 N pada30⁰ F₃= 400 N pada 150⁰

Di tanyakan : (a) gaya resultan dan (b) gaya pengimbang jawab :

Y₁ = r sin 𝜃 Y₁= 300N x sin 0⁰

Y₁⁼ 300 Nx0 Y1 = 0

X₁ = r cos 𝜃

X₁= 300N x cos 0 X₁ = 300N x 1 X1 = 300N Y2 = r sin 𝜃

Y2 = 400 N x sin 30⁰ Y2 =

400N x ½ Y2=200N

X2 = r cos 𝜃

X2 = 400N x cos 30⁰ X₂ =400N x ½ 3 X₂ = 200N

400 N

400 N cos 30⁰ 400 N

150⁰

30⁰

300 N 400 N sin 30⁰

400 N sin 30⁰

400 N cos 30⁰

10 (a) gaya resultan R=500N pada sudut 53⁰

(b) Gaya pengimbang 500 N pada = 53⁰ berarti berada pada kuadran 1, jadi gaya setimbangnya berada pada Kuadran III = 180⁰ + 53⁰ = 233⁰ Jadi pengimbang adalah = 500 N pada 233⁰

Y3 = r sin 𝜃

Y₃= 400N x sin 150⁰ Y3 =

400 Nx ½ Y3 = 200N

X3 = r cos 𝜃

X₃= 400 Nx cos 150 X3 = 400N x -1/2 3 X₃= -200 3N R_y = Y₁+Y₂+Y₃

R_y = 0+200N+200N Ry =400N

R_x = X₁+X₂+X₃

R_x =300N+200N-200N Rx =300N

tan 𝜃 =𝑑𝑦 𝑑𝑥 tan 𝜃 =400𝑁

300𝑁= 4 3 Arc tan (4/3) =53⁰ 𝑅 = 𝑅𝑥² + 𝑅𝑦²

𝑅 = 3𝑂𝑂²𝑁²+ 400² 𝑁² 𝑅 = 90000𝑁²+ 16000𝑁² R= 500 N

11

Soal 1-27 Berapa besar pergeseran yang harus ditambahkan pada suatu pergeseran 50 cm dengan arah (+x) untuk menghasilkan pergeseran resultan sebesar 85 cm pada 25°?

Pembahasan Diketahui:

ā = 50 cm searah sumbu +x R = 85 cm pada 25°

Ditanyakan:

b = ? Jawab:

Untuk mencari nilai pergeseran b kita bisa menggunakan theorem phytagoras dengan cara menguraikan vektor-vektor tersebut ke dalam komponen sumbu x dan y, sehingga:

𝑏 = 𝑏_𝑥²+ 𝑏_𝑦² Untuk

b_x = R cos  – a

= 85 cm cos 25° - (50 cm) = 85 cm ( 0,90 ) – (50 cm) = 76,94 cm – 50 cm = 26,94 cm

by = R sin α

= 85 cm(sin 25°) = 85 cm x 0,922 = 35,92 cm Maka:

b = 𝑏_𝑥²+ 𝑏_𝑦²

a=50 25⁰ R=85

b by

bx

b

12 b = 𝑏_𝑥²+ 𝑏_𝑦²

b = 26.94² 𝑐𝑚² + 35.92² 𝑐𝑚² = 725.76𝑐𝑚²+ 1290.29 𝑐𝑚² = 2016 𝑐𝑚² b = 44,9 𝑐𝑚

Untuk arah vektor b (sudut α) dapat di cari dengan persamaan:

tan 𝛼 =𝐵_𝑦

𝐵_𝑥 = 35.92 𝑐𝑚

26.94 𝑐𝑚= 1.33 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 tan 1.33 = 53°

Besar pergeseran yang harus ditambahkan sebesar 44.9 cm pada 53°

13

Soal 1-30 Seorang anak menahan sebuah kereta ( berat 150 N ) di atas permukaan yang miring 20⁰, agar tidak menggelinding turun. Berapakah gaya tarik anak itu?

(ia menahan dalam arah sejajar permukaan miring ).

Pembahasan

Diketahui : W = 150 N 𝜃 = 20°

Ditanyakan : 𝐺𝑎𝑦𝑎 𝑡𝑎𝑟𝑖𝑘 𝑎𝑛𝑎𝑘 (𝐹) ? Jawab Σ𝐹 = 0

𝐹 − 𝑤 sin 𝜃 = 0

𝐹 = 𝑤 sin 𝜃

𝐹 = 150 𝑁 . sin 20°

𝐹 = 150 𝑁 . 0,34 𝐹 = 51 𝑁

Ilustrasi

W cosα

W

W sin α

θ

N

20⁰

14

Soal 1-31 Seorang anak menahan sebuah kereta (berat 150 N) di atas permukaan bidang miring 30°. Agar tidak menggelinding turun, berapakah gaya tarik anak itu ? (ia menahan dalam arah sejajar permukaan miring)

Jawab : 75N

Diketahui : w = 150 N α = 30°

∑F = 0 (karena beban tidak menggelinding)

Ditanyakan : F tarikan agar supaya beban tidak menggelinding ? Jawab:

𝐹_𝑥 = 0 𝐹 − 𝑤 sin 𝜃 = 0 𝐹 − 𝑤 sin 𝜃 = 0 𝐹 = 𝑤 sin 𝜃

𝐹 = 150 𝑁 . sin 30°

𝐹 = 150 𝑁 . 0,5 𝐹 = 75 𝑁

ilustrasi

N

W sin α

W cosα

W

θ ³⁰

0

15 Soal 1-32 Berapakah

(a)A+B+C, (b)A-B dan (c) A-C

jika A=7i – 6j,B=-3i+12j, dan C =4i-4j Pembahasan

Diketahui : A = 7i - 6j B = -3i + 12j C = 4i - 4j Jawab :

(a) A+B+C = (7i-6j) + (-3i+12j) + (4i-4j) = (7-3+4) i + (-6+12-4)j = 8i+2j

(b) A-B = (7i-6j) - (-3i+12j) = (7+3)i +(-6-12)j = 10i-18j

(c) A-C = (7i-6j) – (4i-4j) = (7-4)i+(-6+4)j = 3i - 2j

16

Soal 1-36 Sebuah truk dengan kecepatan 70km/jam ke arah utara. Asap knalpot terlihat membentuk sudut 20° ke arah timur (terhitung dari arah selatan). Kalau diketahui bahwa angin meniup tepat ke arah timur, berapakah kecepatan angin tersebut?

Diketahui:

V_truk = 70 km/jam θ = 20°

Ditanyakan: V_angin = ?

V_truk ke utara=V_truk ke selatan (Hukum Newton III) 𝑉_{𝑡𝑟𝑢𝑘} = 𝑉_{𝑎𝑠𝑎𝑝}. cos 20°

70 𝑘𝑚 𝑗𝑎𝑚 = 𝑉_{𝑎𝑠𝑎𝑝}. 0,9396

𝑉_{𝑎𝑠𝑎𝑝} =70 𝑘𝑚 𝑗𝑎𝑚 0,9396 𝑉_{𝑎𝑠𝑎𝑝} = 74,49 𝑘𝑚 𝑗𝑎𝑚

𝑉_{𝑎𝑛𝑔𝑖𝑛} = 𝑉_{𝑎𝑠𝑎𝑝}. sin 20°

𝑉_{𝑎𝑛𝑔𝑖𝑛} = 74,49 𝑘𝑚 𝑗𝑎𝑚. 0,342020

𝑉_{𝑎𝑛𝑔𝑖𝑛} = 25,4 𝑘𝑚

𝑗𝑎𝑚 ≈ 25 𝑘𝑚 𝑗𝑎𝑚

U

Vtruk=70 km/jam Vangin

Vasap

20°

S

B T