BAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert

(1)

BAB 2

RUANG HILBERT

Pokok pembicaraan kita dalam tugas akhir ini berpangkal pada teori ruang Hilbert.

Untuk itu di bab ini akan diberikan definisi ruang Hilbert dan ciri-cirinya, separabilitas ruang Hilbert, serta teori operator di ruang Hilbert.

2.1 Definisi Ruang Hilbert

Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang memiliki sifat khusus. Karena itu, sebelum mendefinisikan ruang Hilbert, terlebih dahulu akan kita bahas konsep ruang hasil kali dalam dan beberapa teoremanya yang akan mengantarkan kita pada ruang Hilbert.

Di Aljabar Linier Elementer kita telah mempelajari definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor. Ruang hasil kali dalam adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam.

Definisi 1. Hasil kali dalam di ruang vektor kompleks H adalah fungsi h·, ·i : H × H −→ C sehingga, untuk setiap x, y, z ∈ H dan α₁, α₂ ∈ C berlaku:

1. hx, yi = hy, xi,

2. hα1x + α2y, zi = α1hx, zi + α2hy, zi,

3. hx, xi ≥ 0 dan hx, xi = 0 jika dan hanya jika x = 0.

5

(2)

Pasangan (H, h·, ·i) disebut sebagai ruang hasil kali dalam.

Di ruang hasil kali dalam, kita dapat mendefinisikan

k xk = hx, xi^1/2 (2.1)

yaitu norm yang diinduksi dari hasil kali dalam. Jelas bahwa (2.1) memenuhi k xk ≥ 0 untuk setiap x dan k xk = 0 jika dan hanya jika x = 0; juga k αxk = | α| k xk untuk setiap α ∈ C dan x ∈ H. Bukti untuk ketaksamaan segitiga akan diberikan setelah ketaksamaan Cauchy-Schwarz.

Ruang hasil kali dalam memberi kita kesempatan untuk mendefinisikan ortogo- nalitas. Dua vektor x, y ∈ H kita sebut ortogonal, x ⊥ y, jika hx, yi = 0. Untuk suatu himpunan M, kita katakan x ortogonal terhadap M jika x ⊥ m untuk setiap m ∈ M. Suatu himpunan vektor {x_α} disebut himpunan ortogonal jika hx_α, x_βi = 0 untuk α 6= β. Kita definisikan himpunan ortonormal sebagai himpunan ortogonal dari vektor-vektor yang bernorm 1.

Teorema 2 (Teorema Pythagoras). Misalkan {x_i}ⁿ_i=1 adalah suatu himpunan or- togonal di ruang hasil kali dalam H, maka

°°

° Xn

i=1

x_i

°°

°

2

= Xn

i=1

k x_ik² Bukti. °

°°

°° Xn

i=1

x_i

°°

°

2

=

*Xn

i=1

x_i, Xn

j=1

x_j +

= Xn

i=1

Xn j=1

hx_i, x_ji = Xn

i=1

k x_ik²

Teorema 3 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz). Untuk setiap x, y ∈ H berlaku

| hx, yi| ≤ k xk · k yk (2.2)

Bukti. Jelas bahwa (2.2) berlaku untuk y = 0. Asumsikan y 6= 0 dan misalkan e = k yk⁻¹y. Perhatikan bahwa x = hx, ei e + (x − hx, ei e) dan x − hx, ei e ⊥ e, teorema Pythagoras mengimplikasikan bahwa

k xk² = k hx, ei ek²+ k x − hx, ei ek² ≥ k xk² = | hx, ei|² atau hx, ei ≤ k xk. Substitusi e dengan k yk⁻¹y maka diperoleh (2.2).

(3)

Teorema 4 (Ketaksamaan segitiga). Untuk setiap x, y ∈ H berlaku

k x + yk ≤ k xk + k yk (2.3)

Bukti. Perhatikan bahwa

k x + yk² = hx + y, x + yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi

= k xk²+ 2Re hx, yi + k yk²

≤ k xk²+ 2 | hx, yi| + k yk²

≤ k xk²+ 2 k xk · k yk + k yk² = (k xk + k yk)²

dan karenanya ketaksamaan (2.3) terbukti.

Kita telah menunjukkan bahwa norm yang didefinisikan oleh (2.1) memenuhi sifat definit-positif, perkalian skalar, dan ketaksamaan segitiga yang merupakan sifat-sifat dari ruang bernorm. Jadi, setiap ruang hasil kali dalam dapat membentuk ruang bernorm.

Di kuliah Pengantar Analisis Real kita telah mengenal definisi kekonvergenan barisan dan barisan Cauchy. Suatu ruang bernorm H dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di H konvergen ke suatu elemen di H.

Definisi 5. Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap.

Contoh 1. Diberikan `² = ©

{xn}^∞_n=1|P_∞

n=1| xn|² < ∞ª

. `² adalah ruang Hilbert dengan norm k xk = P_∞

n=1| x_n|² dan hasil kali dalam padanannya adalah hx, yi = P_∞

n=1xny_n

Norm di ruang Hilbert diinduksi oleh hasil kali dalam. Sebaliknya, hasil kali dalam dapat diperoleh kembali dari norm tersebut. Bukti untuk teorema berikut berupa perhitungan sederhana dan karena itu tidak akan diberikan.

Teorema 6. Untuk setiap vektor x dan y di ruang Hilbert H berlaku:

Hukum Paralelogram

k x + yk²+ k x − yk² = 2 k xk²+ 2 k yk² (2.4)

(4)

Identitas Polarisasi

4 hx, yi = k x + yk² − k x − yk² + i k x + iyk²− i k x − iyk² (2.5) Jika suatu norm memenuhi hukum paralelogram, maka norm tersebut diinduksi oleh hasil kali dalam, yang dapat diperoleh kembali dari identitas polarisasi.

Jadi, hukum paralelogram berperan penting untuk mengenali apakah suatu ruang bernorm yang lengkap adalah ruang Hilbert. Jelas bahwa norm `²memenuhi hukum paralelogram dan hasil kali dalam `² memenuhi identitas polarisasi.

2.2 Separabilitas

Saat kita berbicara dalam konteks ruang Hilbert berdimensi tak hingga, separabilitas menjadi penting karena dengan sifat ini kita dapat menyatakan setiap vektor sebagai limit dari suatu barisan tak hingga dan ortogonalitas mengimplikasikan bahwa dekomposisi ini tunggal.

Berikut akan dibahas definisi dari ruang Hilbert separabel serta akan ditunjukkan bahwa setiap ruang Hilbert separabel isomorf dengan `².

Lemma 7. Misalkan H suatu ruang Hilbert atas C dan {e_n: n ∈ N} adalah him- punan ortonormal di H. Misalkan pula {xn : n ∈ N} barisan di C yang memenuhi P_∞

n=1| x_n|² < ∞. Maka barisan S_N :=P_N

n=1x_ne_n konvergen di H.

Bukti. Definisikan T_N :=P_∞

n=1| x_n|², maka {T_N} adalah barisan bilangan Real yang konvergen. Akibatnya, {TN} barisan Cauchy. Ambil sebarang ε > 0 maka terdapat k ∈ N sehingga untuk N > M ≥ k berlaku

| T_N − T_M| = XN n=M +1

| x_n|² < ε².

Akibatnya,

k S_N − S_Mk² =

°°

° XN n=M +1

x_ne_n

°°

°

2

≤ XN n=M +1

| x_n|² < ε².

Diperoleh k S_N − S_Mk < ε. Jadi, {S_N} Cauchy. Karena H lengkap, maka {S_N} konvergen di H.

(5)

Teorema 8 (Ketaksamaan Bessel). Misalkan {e_n : n ∈ N} himpunan ortonormal di ruang Hilbert H, maka untuk setiap x ∈ H berlaku

X∞ i=1

| hx, e_ii|² ≤ k xk².

Bukti. Untuk semua himpunan ortonormal hingga {e₁, . . . , e_n} diketahui bahwa x =P_n

i=1hx, e_ii e_i+ (x −P_n

i=1hx, e_ii e_i) dan x −P_n

i=1hx, e_ii e_i ortogonal terhadap e₁, . . . , e_n dan dengan demikian juga ortogonal terhadap subruang yang dibangun oleh {e₁, . . . , e_n}. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, didapat

k xk² =

°°

° Xn

i=1

hx, e_ii e_i

°°

°

2

+

°°

°x − Xn

i=1

hx, e_ii e_i

°°

°

2

≥

°°

° Xn

i=1

hx, e_ii e_i

°°

°

2

= Xn

i=1

| hx, e_ii|².

Untuk himpunan ortogonal yang tak hingga, asumsikan n −→ ∞ untuk mendapat- kan ketaksamaan Bessel.

Akibat 9. Misalkan {e_n : n ∈ N} himpunan ortogonal di ruang Hilbert H, maka untuk setiap x ∈ H, P_∞

i=1hx, eii ei ada.

Definisi 10. Suatu barisan ortonormal (en) di ruang Hilbert H dikatakan lengkap jika satu-satunya anggota H yang ortogonal terhadap setiap e_n adalah vektor nol.

Teorema 11. Misalkan (e_n)_n∈N adalah barisan ortonormal di ruang Hilbert H.

Maka pernyataan berikut ekuivalen:

1. (en)n∈N lengkap.

2. x =P_∞

n=1hx, e_ni e_n, untuk setiap x ∈ H.

3. k xk² =P_∞

n=1| hx, e_ni|², untuk setiap x ∈ H (identitas Parseval).

(Bukti dapat dilihat pada [7].)

Definisi 12. Ruang Hilbert separabel adalah ruang Hilbert yang memiliki barisan ortonormal lengkap.

(6)

Diberikan ruang Hilbert `². Misalkan e_i ∈ `² adalah vektor normal dengan elemen ke-i bernilai 1 dan yang lain 0. Maka (ei)i∈N adalah barisan ortonormal di

`² yang lengkap. Dengan demikian, `² merupakan ruang Hilbert separabel.

Untuk selanjutnya, barisan ortonormal yang lengkap akan disebut sebagai basis ortonormal. Konteks pembicaraan kita selanjutnya juga akan dibatasi hanya untuk ruang Hilbert separabel. Hal menarik yang perlu diperhatikan adalah semua ruang Hilbert separabel isomorf dengan `². Teorema berikut ini akan menunjukkannya.

Teorema 13. Misalkan H ruang Hilbert separabel dan (ei)i∈N basis ortonormal dari H. Maka terdapat isometri U : H −→ `² yang memenuhi:

U(x) = (hx, eni)n∈N, x ∈ H.

Bukti. Ambil sebarang x ∈ H. Dari ketaksamaan Bessel didapat bahwaP_∞

i=1| hx, e_ii|²

≤ k xk². Akibatnya, (hx, eni)n∈N∈ `². Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa U adalah pemetaan linier.

Dari identitas Parseval didapat bahwa

k xk² = X∞

i=1

| hx, e_ni|² = k U(x)k².

Misalkan U(x) = 0, maka

0 = (k U(x)k²)^1/2= ( X∞

i=1

| hx, e_ni|²)^1/2 = k xk .

Akibatnya, x = 0, yaitu U adalah pemetaan injektif.

Misalkan (h_n) ∈ `², maka dari Lemma 7, deret P_∞

n=1h_ne_n konvergen ke suatu x ∈ H, dan didapat U(x) = (h_n). Jadi, U adalah pemetaan surjektif.

Dengan demikian, U adalah pemetaan linier, bijektif, dan mempertahankan hasil kali dalam; dan oleh karena itu, H isomorf dengan `².

Kita telah menunjukkan bahwa semua ruang Hilbert separabel isomorf dengan

`². Dengan demikian, kita dapat bekerja di ruang Hilbert separabel dengan meng- gunakan sifat-sifat yang berlaku di `².

(7)

2.3 Operator Terbatas

Definisi 14. Misalkan H₁ dan H₂ adalah ruang Hilbert. Operator linier T : H₁ −→ H₂ disebut operator terbatas jika norm(T ) memenuhi

k T k = sup k T (h)k : h ∈ H₁, k hk ≤ 1. (2.6)

Teorema 15. Misalkan H₁ dan H₂ adalah ruang Hilbert.

Untuk setiap pemetaan linier terbatas T : H₁ −→ H₂ terdapat secara tunggal pemetaan adjoint T^∗ : H₂ −→ H₁ sehingga:

hT (x), yi = hx, T^∗(y)i x ∈ H₁, y ∈ H₂.

(Bukti dapat dlihat di [7].)

Definisi 16. Operator T : H −→ H disebut self-adjoint jika T^∗ = T .

Definisi 17. Operator T : H −→ H disebut positif jika dan hanya jika hT (x), xi ≥ 0 untuk semua x ∈ H.

Teorema 18. Suatu operator positif memiliki akar kuadrat positif yang tunggal.

Jika T positif, maka T^1/2 menyatakan akar kuadrat positif dari T .

Misalkan T : H −→ H adalah operator positif dan terbatas. Dari Teorema 18 kita tahu bahwa T^1/2 ada dan tunggal. Jelas bahwa T^1/2 juga terbatas. Lebih jauh,

T^1/2(x), x®

= hx, T^1/2(x)i =

x, T^1/2(x)®

, karena

T^1/2(x), x®

∈ R⁺. Jadi, T^1/2 juga self-adjoint.

Pemetaan linier terbatas dan adjoint-nya menjadi ide awal dalam transformasi sinyal menggunakan frame. Sinyal yang direpresentasikan sebagai vektor di ruang Hilbert H dipetakan ke `² oleh suatu operator linier terbatas. Dengan bantuan operator adjoint-nya, dicari suatu cara untuk mengembalikan sinyal yang telah diolah tersebut ke bentuk aslinya. Hal ini akan dibahas di bab berikutnya.