bank soal olimpiade matematika

(1)

SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA

DAN PENYELESAIANNYA

1. _{Buktikan untuk setiap bilangan real a, b berlaku}_a2+ _b2 ≥ ₂_ab_!

Bukti :

(

a− b

)

2 ≥ 0⇔ a2 − 2ab+ b2 ≥ 0⇔ a2+ b2 ≥ 2ab

2. _{Buktikan untuk setiap bilangan real a, b dengan}a ≥ 0danb≥ 0_berlakua+ b ≥ ab

2 !

Bukti :

(

a− b

)

≥ ⇔ a− ab+ b≥ ⇔ a+ b≥ ab ⇔ a+ b ≥ ab

2 2

0 2

0

2

Catatan : Bentuk a+ b ≥ ab

2 dikenal sebagai AM ≥ GM dimana AM singkatan Arithmetic Mean

sedangkan GM singkatan Geometric Mean.

3. _{Buktikan untuk setiap bilangan positif a, b, c dan d berlaku} 4

4 abcd

d c b a

≥ + + +

! Bukti :

abcd cd

ab cd

ab d

c b a d c b

a _≥ + _≥ ₌

+ + + = + + +

2 2

4

4. _{Buktikan untuk setiap bilangan real a, b dan c dengan}a≥ 0,b≥ 0danc ≥ 0_berlaku

3

3 abc

c b a

≥ + +

Bukti :

Misal 3 3 3

3 x a b c x dan abc y abc y

c b a

= ⇔

= =

+ + ⇔ = + +

Maka 4 4 3

2 2

2 2 2

4 ab cx abcx y x

x c b a x

c b a x c b

a _≥ ₌ ₌

      +       + ≥ + + + = + + +

Karena a+ b+ c = 3x maka x+ x ≥ 4 y3x ⇔ x4 ≥ y3x ⇔ x≥ y

4 3

5. _{Buktikan untuk setiap bilangan positif a, b, c berlaku}

(

b+ c

) (

c+ a

) (

a+ b

)

≥ 8abc ! Bukti :

) 3 ....( 2

) 2 ....( 2

) 1 ....( 2

ab b

a

ca a

c

bc c

b

≥ +

Jika (1) x (2) x (3) maka didapat : b c c a a b ≥ a b c = abc 

    +       +     

 + 2 2 2

2 2

2

(2)

6. _{Jika a bilangan positif, buktikan bahwa} + 1 ≥ 0

a

a !

Bukti :

2 1 0

1 2 0

1 2

≥ + ⇔ ≥ + − ⇔ ≥    



 ₋

a a a

a a

a

7. _{Jika a dan b sembarang bilangan, buktikan bahwa} + ≥ 2

a b b a

! Bukti :

(

−

)

2 ≥ 0⇔ 2 + 2 ≥ 2 ⇔ + ≥ 2

a b b a ab b

a b

a

8. _{Jika a, b bilangan positif dan a + b = 1 maka}

2 1

≤ ab _! Bukti :

Karena a dan b positif dan a + b = 1 maka :

) 2 ....( 1 1

) 1 ....( 1 1

≥ ≥

b a

Jika (1) + (2) maka

2 1 2

1 2

2 2

1 1

≤ ⇔ ≥

⇔ ≥

+ ⇔ ≥ + ⇔ ≥

+ a b ab ab ab

ab b a b

a

9. _{Jika a, b, c , d bilangan positif, maka buktikan}

(

ac+ bd

)(

ab+ cd

)

≥ 4abcd ! Bukti :

) 2 ....( 2 )

1 ....(

2 + ≥

≥ +

c d d c dan a

b b a

Jika (1) + (2) didapat :

4

4 ⇔ + + + ≥

≥ + + +

a b d c c d b a c

d d c a b b a

(

ac bd

) (

ab cd

)

abcd

cd b abc abd

cd a

4 4

2 2 2

2

≥ + +

⇔ ≥ +

+ +

10._{Untuk setiap bilangan real x, buktikan bahwa}

2 1

1 4

2

≤ + x

x

! Bukti :

(

)

2

1 2

1 0

1 2 0

1 ₄

2 2

4 2

2 ≥

+ ⇔ ≥

+ ⇔

≥ + − ⇔

≥ −

x x x

x x

11._{Untuk setiap bilangan real x, buktikan bahwa} 2

1 2

2 2

≥ + + x x

! Bukti :

(

2

) (

4 1

)

4 4 4 4

0 4 2 2 2 2 2

4 ≥ ⇔ + + ≥ + ⇔ + ≥ +

x x

(

)

(

)

2

1 2 1

2 2 1

2 2

2 2 2

2 2

2 ≥

+ + ⇔

+ ≥

+ ⇔

+ ≥

+ ⇔

x x x

x x

x

12. Hitunglah nilai dari :

2 2

2 2 2

2 2

2

2005 1 2004

1 1 ... 4

1 3

1 1 3

1 2

1 1 2

1 1

1

1+ + + + + + + + + + + +

Jawab :

(

)

(

)

2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2

)) 1 ( (

) 1 2 ( ) 1 2 ( )

1 (

1 )

1 ( 1

1 1

1

+

+ + + + + + =

+

+ + + + =

+ + +

n n

n n n

n

n n

n n n

(3)

=

(

)

(

)

( 1)

1 1 1 1 1 )

1 (

1 )

1 (

1 2 3 2

2 2

2 2 3 4

+ + = + + = +

+ + = +

+ + =

+

+ + + +

n n n

n n

n n n n

n

n n n n

=

1 1 1 1

+ − +

n n

Jadi ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2005 1 2004

1 1 ... 4

1 3

1 1 3

1 2

1 1 2

1 1

1

1+ + + + + + + + + + + +

= 

  



 ₊ ₋

+ +    

  ₊ ₋ +

   

  ₊ ₋ +

   

  ₊ ₋

2005 1 2004

1 1 ... 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1

1

=

(

)

2005 2004 2004 2005

2004 2004

2005 1 1 1 .... 1 1

1  = + =

  

  − + + + + +

13._{Diketahui a, b, c, d dan e adalah bilangan real. Jika a+b+c+d+e = 19 dan}_a2 + _b2+ _c2+ _d2 + _e2 = ₉₉

tentukan nilai maksimum z ! Jawab :

(

) (

)

0 35 38 5

4 396 38

361

99 99

38 361

99 38

361

2 2 2 2 2 2 99

38 361

2 2 2 2 2 2 38

361 19

2

2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

≤ − −

− ≤ + −

− + − + − + − ≤ + −

+ + + + + + + + + + + + − ≤ + −

+ + + + + + − = + −

+ + + + + + + + + = + −

+ + + = −

e e

e

e e

d c d b c b d a c a b a e e

e

cd bd bc ad ac ab e

e e

cd bd bc ad ac ab d

c b a e e

d c b a e

Dengan rumus abc didapat

10 2144 38

10 2144

38 +

≤ ≤ −

e

Jadi nilai maksimum e =

10 2144 38+

14. Jika 1+2+3+4+….+n = aaa, maka tentukan nilai n dan aaa ! Jawab :

37 ) 6 ( ) 1 (

37 ) 3 ( ) 1 ( 2

37 ) 3 ( 111

) 1 ( 2 ....

3 2 1

x xa n

n

x xa n

n

x xa xa

aaa

n n n

= +

= =

+ = + + + +

Ini merupakan perkalian berurutan. Jadi a = 6 dan n = 36

15._{Jika aabb =}(xy)2 maka tentukan nilai dari a, b, x dan y ! Jawab :

Karena (xy)2 adalah bilangan kuadrat maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6 atau 9. Berarti bb = 00, 11, 44, 55, 66 atau 99

Bilangan kuadrat bila dibagi 4 sisanya 0 (untuk genap) atau 1 (untuk ganjil) Bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhir habis dibagi 4, jadi bb = 44 aabb = aa44 = 11 x a04 maka a = 7

aabb = 7744 = 2

88

(4)

16. Buktikan bahwa : 3 3 3 3 2

(

)

2 ( 1) 2 2

1 1 4

1 ....

3 2 1

  

 ₊

= + =

+ + +

+ n n n n n

Bukti :

Dibuktikan dengan induksi matematika. Untuk n = 1 maka 3 .1(1 1) 2

2 1 1

  

 ₊

= benar

Misal untuk n = k benar maka 3 3 3 3 ( 1) 2

2 1 ....

3 2 1

  

 ₊

= + + +

+ k k k

Untuk n = k + 1 maka 13+ 23+ 33 + ....+ k3+ (k+ 1)3

(

)

(

)(

)

2

2 2

3 2

2 1 2 1

) 2 ( ) 1 ( 4 1

) 4 4 ( ) 1 ( 4 1

1 4

1 1

) 1 ( ) 1 ( 2 1

  

 ₊ ₊

=

+ +

=

+ + +

=

   



 ₊ ₊

+ =

+ +   

 ₊

=

k k

k k k

k k

k

17._Jika 3 2 2

2004 = A − B dimana A dan B bilangan asli, maka tentukan nilai A dan B ! Jawab :

2 2

3

2 2

3

2 3

2

2 3

3 3

) 2003 . 1002 ( ) 2005 . 1002 (

2004 . 2003 . 2 1 2005

. 2004 . 2 1 2004

) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1

) 1 ( 2 1 )

1 ( 2 1

) 1 ( 2 1 )

1 ( .... 3 2 1

− =

  

 −   

 =

  

 ₋

−   

 ₊

=

  

 ₊

= +   

 ₋

  

 ₊

= + − + + + +

n n n

n n

n n n

n n

n n n

n

Jadi A = 1002.2005 dan B = 1002.2003

18._Jika_A= ₁3 − ₂3+ ₃3− ₄3+ ₅3− ₆3+ _....+ ₂₀₀₅3_{, maka tentukan nilai A !}

Jawab :

(

)

(

)

4009 . 1003

) 2004 2005

)( 2004 2005

( 1003

) 2004 2005

( 1003

) ) 501 . 4 ( 2005 ( 1003

) 1003 . 1002 . 2 1 ( 16 2006 . 2005 . 2 1

) 1002 .... 3 2 1 ( 2 . 2 2005 ....

3 2 1

) 2004 ....

3 2 ( 2 2005 ....

3 2 1

2 2

2

2 2

2

2 2

3 3

3 3 3 3

3 3 3

3 3

3 3 3

=

− +

=

− =

−    

  =

+ + + + −

+ + + + =

+ + + − +

(5)

19. a₁,a₂,a₃,....,a_n adalah bilangan cacah yang berbeda. Jika 2a1 + 2a2 + 2a3 + ....+ 2an = 2005 maka

tentukan nilai dari a1+ a2+ a3+ ....+ an !

Jawab :

46 0 2 4 6 7 8 9 10 ....

2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2005

1 1111101010 2005

3 2 1

0 2

4 6

7 8 9 10

2

= + + + + + + + = + + + +

+ + + + + + + + + + = =

n

a a

20. Diketahui x, y, z dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhi persamaan :

) 3 ( .... 1000

) 2 ( .... 1 1 1 1

) 1 ( ....

3 3

3

3+ + =

= + +

z y x

t z y x

Tentukan nilai dari x + y + z + t Jawab :

(

)

(

)

2000 2

1000 1000

3 .

3

3 ) (

3 1 1

1 1

3 3

3 3 3

3 3 3 3

= = + = + + +

= → =

= + +

− +

+ + =

− + + +

+ + + + = + +

= + + ⇔

= + + = + +

t t t t z y x

t t

z y x

xyz t

xyz t z y x t

xyz yz

xz xy z y x z y x z y x

t xyz yz xz xy t

xyz yz xz xy z y x

21._{Suatu fungsi dinyatakan sebagai}

e e

e x

f

x x

+ =

)

( .

Tentukan nilai dari )

2005 2004 ( ... ) 2005

2 ( ) 2005

1

( f f

f + + +

Jawab :

1 2

2 )

1 ( ) (

1 1 1

1

1 1

1

= +

+

+ +

= + +

+

+ + +

= + + + = −

+ ₋ − ₋ ₋ − ₋−

e e e e e

e e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e

e e e

e x

f x f

x x

x x x

x

1 ) 2005 1003 ( ) 2005 1002 ( ... ...

1 ) 2005 2003 ( ) 2005

2 (

1 ) 2005 2004 ( ) 2005

1 (

= +

f f

(6)

22. Diketahui a dan b adalah bilangan real yang memenuhi syarat : i. a3− 3ab2 = 44

ii. b3− 3a2b= 8

Tentukan nilai 2 2

b a + ! Jawab :

(

3

)

8 6 9 64

8 3

1936 9

6 44

) 3 ( 44

3

2 4 4 2 6 2

2 2 3 2

3

4 2 2 4 6 2

2 2 3 2

3

= +

− ⇔

= −

⇒ = −

= +

− ⇔

= −

⇒ =

−

b a b a b b

a b b

a b

b a b a a ab

a ab

a

+

(

2 2

)

3 2 2 3 3

6 4 2 2 4 6

2 10 2000 2000

2000 3

3

= =

+ ⇔

= +

= + +

+

b a b

a

b b a b a a

23. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 digit angka abcd sehingga memenuhi persamaan abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1) !

Jawab :

abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1)

1000a + 100b + 10c + d + 1 = (10a + c + 1)(10b + d + 1)

= 100ab + 10ad + 10a + 10bc + cd + c + 10b + d + 1 990a + 90b + 9c - 100ab - 10ad - 10bc – cd = 0

(900a – 100ab) + (90a – 10ad) + (90b – 10 bc) + 9c – cd = 0 100a (9 – b) + 10a (9 – d) + 10b (9 – c) + c (9 – d) = 0 Jadi : b = d = c = 9

a = 1, 2, 3, …., 9

Sehingga bilangan-bilangan itu : 1999, 2999, 3999, …., 9999

24._{Tentukan nilai dari}

2003 3

2 1

2 2004 2003

2005 ....

2 4 3

5 2

3 2

4 2

2 1

3

x x x

x x

x + + + +

Jawab :

k k

k k k

k k

a k b a k

k

kb k

a k

b k

a k

k k

2 ). 1 (

) ( 2 ). 1 (

) 1 ( ) 1 .( 2 . 2 2 ). 1 .(

2

+ + − = +

− + = + −

= +

+

jadi a – b = 1 karena a = 2 maka b = 1

∑

= ₌ ₋

   



 ₋

+ +    



 ₋

+    



 ₋

= + −

2003

1

2003

2003 2003

2 2 1

1

2004 . 2

1 1

2004 . 2

1 2003

. 2

2 ....

3 . 2

1 2 . 2

2 2

. 2

1 1 . 2

2 ) 1 .( 2

1 .

2 2 (

k

k k

25._{Jika x dan y bilangan asli yang memenuhi persamaan xy + x + y = 71 dan}_x2_y+ _xy2 = ₈₈₀_maka tentukan nilai x2 + y2 !

Jawab :

Misal xy = a dan x + y = b maka :

xy + x + y = 71 ⇔ a + b = 71 ⇔ a = 71 – b ….. (1)

880

2

2 + =

xy y

x ⇔ xy(x + y) = 880 ⇔ ab = 880 …. (2)

Dari (1) dan (2) didapat :

i. b = 55 dan a = 16 maka x2 + y2 =

(

x+ y

)

2− 2xy = 552 − 2.16= 2993

ii. _{b = 16 dan a = 55 maka}_x2 + _y2₌

(

_x+ _y

)

2− ₂_xy = ₁₆2 − ₂_.₅₅= ₁₄₆

26._{Tentukan nilai}_A2_{dimana A adalah jumlah dari nilai mutlak semua akar-akar persamaan :}

x x

9 19

91 19

(7)

Jawab :

383

383 2

19 383 2

383 19

2 383 19

0 91 19 91

19

2 2 . 1

2

=

= − +

+ = −

+ +

=

± =

= − −

⇔ +

=

A A x

x x

27. Didefinisikan ₃ ₂ ₃ ₂ ₃ ₂

1 2 1

1 2

1 )

(

+ − + − + + + =

n n n

f _{untuk semua n bilangan asli. Tentukan}

nilai dari f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999) ! Jawab :

(

)

(

)

y x

y x y

xy x

y xy x

y x y

x y x

− − = +

+ ⇔

+ + −

= − =

− 3 3

3 2

3

3 2

3

3 2

3 3 3 3 3

3 1

Misal :

1 1

) 1 )( 1 (

1 )

1 ( 1 2

1 )

1 ( 1 2

2 2

2

2 2

2

− = ⇒

− = − + =

− = ⇒ −

= + − =

+ = ⇒ +

= + + =

n xy n

n n xy

n x n

n n y

n x n

n n x

2 1 1

) 1 ( ) 1 (

1 1

) (

1 )

(

3 3

3 2

3

3 2

− − + = − − +

− − + =

− − = +

+ =

n n

n f

y x

y x y

xy x

n f

f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999)

=

(

) (

)

(

)

2

999999 1000000

.... 6 8 4 6 2 4 0

2 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 − + − + − + − + + −

= 50

2 100 0

= +

28._{Carilah 3 bilangan asli x, y, z dimana}z< y< x< 2004_{dan memenuhi persamaan}x3+ y4 = z5 ! Jawab :

3 8 24

24 25 3 6

5 4 5 3

1 )

1

( − ⇔ = −

= − = =

= − =

a a x a

a a a x maka a

y dan a z Misal

y z x

a –1 harus bilangan pangkat 3 seperti 1, 8, 27 dsb. Misal a = 2 maka x = 28 3 2− 1= 256

64 2

32 2

6 5

= =

= = y z

29._{Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku}₁₂₁n − ₂₅n + ₁₉₀₀n − ₍−₄₎n_{selalu habis digai} 2000 !

Jawab :

2000 = 125 x 16 Gunakan teori n n

b

a − habis dibagi a – b

n n

) 4 ( 1900 25

121 − + − − = 1900n − 25n+ 121n − (−4)n

(8)

30._{Buktikan bahwa 1998 + 1999 x} 2004

2 habis dibagi 7 ! Bukti :

1998 + 1999 x 2004

2 = (7n + 3) + (7n + 4) x (7 + 1)668

Kita lihat satuannya : 3 + 4 x 1668_{= 3 + 4 = 7}

Jadi 1998 + 1999 x 2004

2 habis dibagi 7

31._{Tentukan 3 bilangan asli x, y, z sehingga}

2005 2006

3 3

= + +

z x

y x Jawab :

(

)

(

)

(

)

(

2 2

)

2 2

3 3

z xz x z x

y xy x y x z x

y x

+ − +

= + +

Karena 2006 dan 2005 relatif prima, maka diantara faktor-faktor pembilang dan penyebut harus ada yang sama.

x + y = x + z tidak mungkin, karena y = z.

1337 668

669 2005

2

2006 2

2005 2006 2005

2006

) ( ) )( (

2 2

= + = =

= ⇒    = +

= +

= + +

+ + ⇒ =

+ +

+ =

− = + −

− = −

+ − = + −

z y x sehingga z

dan y

y z

z y

z z y

y z y z

x y x

z y x

z y x z y z y

xz xy z y

z xz x y xy x

32._{Tentukan rumus untuk}(1x1!)+ (2x2!)+ (3x3!)+ ...+ (nxn!)_! Jawab :

(

)

[

]

(

)

[

]

1 )! 1 ( ! 1 )! 1 (

)! 1 ( ! 1

) ! )! 1 (( ... ) ! 3 ! 4 ( ) ! 2 ! 3 ( ) ! 1 ! 2 ( ) ! ( .... ) ! 3 3 ( ) ! 2 2 ( ) ! 1 1 (

! 3 ! 4 ! 3 3

! 2 ! 3 ) ! 2 1 ( ) ! 2 3 ( ) ! 2 1 ( ! 2 1 2 ! 2 2

! 1 ! 2 ) ! 1 1 ( ) ! 1 2 ( ) ! 1 1 ( ! 1 1 1 ! 1 1

− + = − + =

+ + − =

− + + + − + − + − = +

+ +

+ − =

− = −

= −

+ =

− = −

= −

+ =

n n

n

n n

n x n x

x x

dst x

x x

x

x x

x

33._Diketahui

1336 1 .... 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1

1− + − + − + −

= b a

dimana a relatif prima dengan b. Tunjukkan bahwa a adalah kelipatan dari 2005 !

Jawab :

) 1003 . 1002

1 ....

1335 . 670

1 1336

. 669

1 ( 2005

1003 . 1002

2005 ....

1335 . 670

2005 1336

. 669

2005

1003 . 1002

1002 1003 ....

1335 . 670

670 1335 1336

. 669

669 1336

1003 1 1002

1 .... 1335

1 670

1 )

1336 1 669

1

1336 1 .... 670

1 669

1

) 668

1 ... 3 1 2 1 1 ( ) 1336

1 ... 3 1 2 1 1 (

) 1336

1 ... 3 1 2 1 ( 2 ) 1336

1 ... 3 1 2 1 1 ( 1336

1 .... 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1

+ + +

=

+ + +

=

+ +

+ + +

+ =

   



 ₊

+ +    



 ₊

+   

 ₊

=

+ + + =

+ + + + − +

+ + + =

+ + + − +

+ + + = −

+ − + − + −

(9)

34. Jika

x x

3 2

+ + + + =

maka tentukan nilai x !

Jawab :

(

3

)(

1

)

0 3

0 3 2 3

2+ ⇔ 2− − = ⇔ − + = ⇒ =

= x x x x x

x

x yang memenuhi.

35._Diketahui

2005 1002 ....

7 3 5 2 3 1 2003

1002 ....

5 3 3 2 1

12 2 2 2 2 2 2 2

+ + + + = +

+ + +

= dan b

a

Tunjukkan bilangan bulat terdekat dari a – b ! Jawab :

501 2005

1003 . 1002 2005

) 1002 2005 ( 1002 2005

1002 1002

) 1 ... 1 1 1 ( 2005 1002 1

2005 1002 2003

1001 2003

1002 ....

5 2 5 3 3 1 3 2 1 1

) 2005 1002 ....

7 3 5 2 3 1 ( ) 2003 1002 ....

5 3 3 2 1 1 (

2 2

2 2 2 2

2 2

≈ =

− =

+ + + + + −

=

−   

 ₋

+ +   

 ₋

+   

 ₋

+ =

+ + + + − +

+ + + = − b a

36._{Diketahui a, b, c, d, e dan f adalah bilangan real. Jika} = = = 64 f e d

c b a

maka tentukan

3 2 2

4 5

f f d d b

e e c c a

+ −

Jawab :

512 64

4 5

) 4

5 ( 64

4 5

) 64 ( 64 . ) 64 ( 4 64 . ) 64 ( 5 4

5

4 5

64 64

3 3

2 2

3 2 2

3

3 2 2

3 2

2 3

2 2

3 2 2

= =

+ −

=

+ −

= + −

+ −

= ⇔ =

f f d d b

f f

d d

b f

f d d b

e e c c a

f e f

e

d c d

c

b a b

a

37._Diketahui

∑

=

   

 

+ + + + = 2004

1 1 2 3 ...

1

k k

A _{. Tentukan nilai A !}

Jawab :

2005 4008 2005

2 2 2005

2 2004

2 ... 4 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2

1 2 2 )

1 (

2 ...

3 2 1

1

2 ) 1 ( ....

3 2 1

2004

1 2004

1

= −

=    



 ₋

+ +    

  − +    

  − =

+ − =

+ =

+ + + +

+ = + + + +

∑

= =

= k k

k k k k k k

(10)

38._Jika ( ) 2 1 = 3 ≠ 0

    

+ x dan x

x f x

f maka tentukan penyelesaian untuk f(x) = f(-x) !

Jawab :

2 2

2 ) ( ) (

2 ) ( )

1 (

) 2 ....( 3 ) ( 2 ) 1 (

) 1 ...( 3

) 1 ( 2 ) (

2 2

2

± = ⇒ −

− = − ⇒ − =

− = =

+ ⇒

= +

x x

f x f

x x x

f maka n dihilangka x

f Jika

x x f x f

39._{Tentukan nilai dari}_x3 + _y3_{jika diketahui} 19 60

2

= + =

+ +

y xy x dan y

x y

x _!

Jawab :

Misal x + y = a dan b y x ₌

maka : ⇒

= +

+ 19

y x y

x _{a + b = 19 atau a = 19 – b …… (1)}

) 2 ...( 60 60

) ( 60

2

= ⇒ = + ⇔

= +

ab y

x y x y

xy x

Dari (1) dan (2) didapat :

i. _{b = 4 dan a = 15 maka x + y = 15 dan x = 4y sehingga x = 12 dan y = 3 jadi}_x3 + _y3 = ₁₇₅₅ ii. _{b=15 dan a = 4 maka x + y = 4 dan x = 15y sehingga x = 15/4 dan y = ¼ jadi}

64 3376

3

3+ =

y x

40. Tentukan penyelesaian (x,y,z) dari sistem persamaan :    

= + +

19 14 11

zx x z

yz z y

xy y x

Jawab :

6 , 4 5

4 , 2 3

0 15 2 14

1 19 1 11 1 19 1 11 14

1 19 19

1 11 11

2

− = − = ⇒ − =

= = ⇒ =

= − + ⇔ =    

 

+ −    

 

+ − + +

− + + − ⇒ = + +

+ − = ⇔ = + +

z y

x

z y x

x x x

x x

x yz

z y

x x z

zx x z

x x y

xy y x

41. Jika x, y, z adalah bilangan real yang memenuhi persamaan :

3 2 1

3 3 3

2 2 2

= + +

z y x

Maka tentukan nilai x4 + y4+ z4 ! Jawab :

(

)

2 1

) (

2 2 1 )

(

2 2

2 2 2 2

− = + +

+ + + = ⇔ +

+ + + + = + +

yz xz xy

yz xz xy yz

xz xy z

(11)

(

)

(

)

( )

[

]

(

)

[

]

6 1 4

1 . 6 1 . 2 2 1 2 2

) (

2 2

) ( ) ( 2

) (

2 6 1 3

1 ). 2 1 ( 3 3 1

3 ) )(

( 3

4 4 4

2 4

4 4 2

4 4 4

2 2

2 4

4 4

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 3

3 3 3 3

= + +

   



 ₋

      − + + + =

+ + −

+ + +

+ + =

+ +

+ + + =

+ + +

+ + = + +

= ⇔

− − + =

− + + +

+ + + + = + +

z y x

z y x xyz yz

xz xy z

y x

yz xz

xy z

y x

z y z x y x z y x z y x

xyz xyz

xyz z

y x yz xz xy z

y x z y x

42._Diketahui_f₍_x₎=

(

_x+ ₃

)

4− ₁₂₍_x+ ₃₎3+ ₅₄₍_x+ ₃₎2− ₁₀₈₍_x+ ₃₎+ ₈₁_{. Tulislah f(x) dalam bentuk} yang paling sederhana dan tentukan f(2005) !

Jawab :

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4 4

2 3

4

4 3 2

2 3

4 4

4

2005 )

2005 (

81 ) 3 ( 108 ) 3 ( 54 ) 3 ( 12 3

3 3 . 3 4 3 . 3 6 3 . 3 4 3 3

3

=

+ + −

+ + + − + =

+ + − +

+ + − + = − + =

f

x

x x

43._{Tentukan nilai x, y, z yang memenuhi persamaan}

7 1 ,

3 1 ,

2 1

= + =

+ =

+ z x

zx z

y yz y

x xy

Jawab :

4 1 1

4

1 1

1

3 1 1

3

: )

3 ( ) 2 ( ), 1 (

) 3 ....( 7 7

1 1 7 7

1

) 2 ....( 3 3

1 1 3 3

1

) 1 ....( 2 2

1 1 2 2

1

= ⇔ = =

− = ⇔ = − =

= ⇔ = =

= + ⇒ = + ⇔ = + ⇔ = +

z z c

y y b

x x a

didapat dan

Dari

c a z

x zx

x z x

z zx

c b z

y yz

z y z

y yz

b a y

x xy

y x y

x xy

44._{Tentukanlah nilai dari} 

  

  −       −       −       −

2004 1 1 .... 4 1 1 3 1 1 2 1

1 _!

Jawab :

2004 1 2004 2003 . 2003 2002 ... 4 3 . 3 2 . 2 1

=

2005 . 2004

1 ...

4 . 3

1 3 . 2

1 2 . 1

1

+ + +

+ !

Jawab :

1 1 1 ) 1 (

1

+ − =

+ k k

(12)

2005 . 2004

1 ...

4 . 3

1 3 . 2

1 2 . 1

1

+ + +

+ = 

  



 ₋

+ +       − + − +       −

2005 1 2004

1 ... 4 1 3 1 ) 3 1 2 1 ( 2 1 1 1

2005 2004

2005 1

1− =

=

10000 9999

1 ....

4 3

1 3

2 1 2

1 1

+ +

+ + + + +

+ !

Jawab :

10000 9999

1 ....

4 3

1 3

2 1 2

1 1

+ +

+ + + + + +

=

(

− 1+ 2

) (

+ − 2+ 3

) (

+ − 3+ 4

)

+ ...+

(

− 9999+ 10000

)

= − 1+ 10000 = 99

47. Jika

1 1 1 1 17

57

+ + + + =

d c b a

maka tentukan nilai a x b x c x d !

Jawab :

1 4

1 1

1 2

1 3

5 1 1

1 2

1 3

5 6 1 2

1 3

6 5 2

1 3

6 17

1 3 17

6 3 17 57

+ + + + =

+ + + = + + = + + = + = + =

Jadi a = 3, b = 2, c = 1 dan d = 4 Sehingga a x b x c x d = 3.2.1.4 = 24

47._Jika

8 3 10

3 2 6

2y y z z x

x +

= + = +

maka tentukan nilai dari 2 2 2

2005 2005

2005

z y x

xy zx

yz

+ +

! Jawab :

) 3 ...( 0

3 8 5 10 30 24 16

) 2 ...( 0

9 8 6

18 16 8

) 1 ...( 0

9 4 5 18 12 20 10

= + − ⇔ + = +

= − + ⇔ + = +

z y x x z z y

z y x x z y x

z y x z y y x

dari (1), (2) dan (3) didapat x = y = z

2 2 2

2005 2005

2005

z y x

xy zx

yz

+ +

= 2005₂

(

₂ ₂

)

2005

2 2 2

= +

+

+ +

x x x

48. Diketahui :

2004 1 ... 1005

1 1004

1 1003

1

2004 1 2003

1 ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1

+ + +

+ =

− +

− + − + − =

B A

Maka hitunglah nilai dari 2 2

B A − ! Jawab :

2004 1 ... 1004

1 1003

1

1002 1 .... 3 1 2 1 1 2004

1 .... 3 1 2 1 1

2004 1 ... 6 1 4 1 2 1 2 2004

1 .... 3 1 2 1 1

2004 1 2003

1 ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1

+ + +

=

   



 ₊ ₊ ₊ ₊

−    



 ₊ ₊ ₊ ₊

=

   



 ₊ ₊ ₊ ₊

−    



 ₊ ₊ ₊ ₊

=

− +

− + − + − = A

(13)

50. Buktikan bahwa 2 ! 2005

1 ... ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1

< +

+ +

+ !

Jawab :

2 1 1 ! 2005

1 ... ! 3 1 ! 2 1 ! 1

1

1 2

1 1 0

2 1

2 1 1

) 2 1 1 ( 2 1

2 1 .... 2

1 2

1 ! 2005

1 ... ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1

2004 2004

2004 3

2 1

= + < +

+ + +

<       − >

     

      − = −

      − = +

+ + + < +

+ + +

Jadi

maka Karena

51. Tentukan nilai dari

1 1 1 1 .... 2 1 .... 1 1 1

1

2005 2004

2004

2005+ + − + + + + + + + +

− _e _e _e

e Jawab :

1 2 2 1

1 1 1

= + +

+ + = + +

+ −

−

− x x

x x x

x

e e

e e e

e

2 1 2005

1 1

1 1 ... 1 1 1

1 1 ... 1

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 .... 2 1 .... 1 1 1

1

0 2004

2004 2005

2005

2005 2004

2004 2005

=

+ + + + + + =

+ + +    

 

+ + + +

   

 

+ + + =

+ + + + + + + + +

+

− −

e e

e

e e

52. Diketahui a, b, c, d adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan : a + 4b + 9c + 16d = 52 …………. (1)

4a + 9b + 16c + 25d = 150 ………..(2) 9a + 16b + 25c + 36d = 800 ………(3) Tentukan nilai dari 16a + 25b + 36c + 49d ! Jawab :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

450 75

48 27 12 3 ) 2 .(

2400 108

75 48 27 3 ) 3 .(

25 4 27 48 .

2 1 2 3 2 2 3 3 2

16 12

27 .

1 1 1 3 2 1 3 3 1

1 3 2 3 3

0 1

3 2 3 3

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

= + + + ⇒

= +

+ + ⇒

= + − ⇔ +

+ − + = +

= + − ⇔ + + − + = +

+ + − + = +

= − + + + − +

d c b a x

Pers

d c

b a x

Pers

b b b b b

b b

b

a a a a a

a a

a

n n

- 15a + 21b + 27c + 33d = 1950

Persa.(1)x1⇒ a + 4b + 9c + 16d = 52

+ 16a + 25b + 36c + 49d = 2002

53.Jika

2 2004 1+

=

x maka tentukan nilai dari :

2003 2004

2005 3

2003 4

4 )

2000 2007

4 )

x x

x b

x x

a

− −

(14)

Jawab :

0 2003

4 4

. 0 2003 4

4 2004 1

4 4 )

3 2000 4

2003 4

2000 4

4 2000 2007

2003 4

2000 2007

4

2003 4

4 2003 4

4 2

2004 1

)

2003 2004

2005

2003 2

2

2 2

3

2 3 2

= −

−

= −

− ⇔ =

+ −

= −

− +

=

− − = −

− +

= −

−

+ = ⇒ +

= ⇔

+ =

x x

x

x x

x b

x x

x x x

x x

a

54.Jika a dan b adalah bilangan real yang memenuhi persamaan :

(

)

61 1

11 1

2 2 2

2

2 + = −

= + +

b a b

a b a

b a ab

Tentukan nilai dari b a

1 1 ₊

! Jawab :

Misal x dan a b y

ab = + =

1

30

5 1 6 1

1 6

5 1 1

5 )

30

6 1 5 1

1 5

6 1 1

6 )

: )

2 ( ) 1 (

) 2 ...( 61

61 .

1 1 61

) (

) 1 ...( 11 11

1

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

= = + = +

+ = =

= ⇔ = =

= = + = +

+ = =

= ⇔ = =

− = ⇔ − = ⇒

− =

+

= + ⇒ = + +

ab b a b a

b a y

ab ab x

ii

ab b a b a

b a y

ab ab x

i

didapat dan

Dari

x y

x x x y x b

a b

a b a

y x b

a ab

55. Buktikan bahwa jika suatu bilangan kelipatan 9 maka jumlah angka-angkanya pasti kelipatan 9 ! Jawab :

abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + a + 9b + b + 9c + c + d = 999a + 99b + 9c + (a+ b + c + d) = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)

a + b + c + d = abcd – 9(111a + 11b + c)

Karena abcd kelipatan 9 maka a + b + c + d kelipatan 9.

56. Diketahui bilangan asli berurutan a, b, c , d. buktikan bahwa ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1 habis dibagi 12

Jawab :

Hasil kali 2 bilangan asli berurutan pasti bilangan genap (kelipatan 2) Misal a = x, b = x + 1, c = x + 2 dan d = x + 3

ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1

=x(x+1)+x(x+2)+x(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)+(x+2)(x+3)+1 = 2

x +x+ 2

x +2x+ 2

x +3x+ 2

x +3x+2+ 2

x +4x+3+ 2

x +5x+6+1

=6 2

(15)

=6x(x+1) + 12(x+1)

Karena x(x+1) kelipatan 2 maka 6x(x+1) kelipatan 12 Jadi soal kelipatan 12.

57. Buktikan bahwa semua bilangan asli yang terdiri dari 6 digit angka berbentuk abcabc selalu habis dibagi 91 !

Bukti :

abcabc = 100.000a + 10.000b + 1.000c + 100a + 10b + c = 100100a + 10010b + 1001c

= 1001 x 100a + 1001 x 10b + 1001c

= (91 x 11) x 100a + (91 x 11) x 10b + (91 x 11)c Jadi abcabc habis dibagi 91.

58. Jika a, b, c bilangan real positif dan a + b + c = 1, buktikan bahwa (1 - a)(1 – b)(1 – c)≥ 8 abc ! Jawab :

(

)(

)

(

a

)

b c abc

c b a c

a c b b a

maka x

x Jika

ac c

a

bc c

b

ab b

a

b c

a

a c

b

c b

a

c b a

8 ) 1 )( 1 ( 1

8 : )

3 ( ) 2 ( ) 1 (

) 3 ....( 2

) 2 ....( 2

) 1 ....( 2

1 1 1

1

2 2 2

≥ − − −

≥ + + +

≥ +

− = +

= + +

59. Jika A = 1 + (1+2) + (1+2+4) + (1+2+4+8) + …..+(1+2+4+…..+2n−1) maka tentukan rumus untuk nilai A !

Jawab :

1 + (1+2) + (1+2+4) + (1+2+4+8) + …..+(1+2+4+…..+2n−1) =

∑ ∑

= = − _

  

 

n

i i

k k

1 1

1

2

Karena 1+2+4+……. 2 1

1 2

) 1 2 ( 1

− = −

− =

⇒ i

i i

S maka :

1 + (1+2) + (1+2+4) + (1+2+4+8) + …..+(1+2+4+…..+2n−1)

=

∑

= = = =

− =

−

n

i

n

i

n

i i n

i i i

n

1 1 1 1

2 1 2 1 2

∑

=

+ +

=

+

+ − = − − = −

− = −

− =

+ + + =

n

i

n n

i n

i

n n

i

n n

1

1 1

1

) 2 ( 2 2

2 1 2

2 2 1 2

) 1 2 ( 2 ... 8 4 2 2

60. Jika a, b dan c bilangan real positif, buktikan bahwa a2b+ ab2+ b2c+ bc2 + a2c+ ac2 ≥ 6abc ! Jawab :

abc ac

c a bc c b ab b a maka Jika

abc c

b c a c ab b

a

abc ac

ab a bc c

b

abc bc

b a b ac c

a

6 )

3 ( ) 2 ( ) 1 (

) 3 ....( 2

. 2

) 2 ....( 2

. 2

) 1 ....( 2

. 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

≥ + + + + + +

+

≥ + ⇒ ≥

+

≥ + ⇒ ≥

+

≥ + ⇒ ≥

(16)

61. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut jika diketahui a, b, c, d bilangan real. abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1 …. (1)

bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 …. (2) cda + cd + da + ac + c + d + a = 9 …. (3) dab + da + ab + bd + d + a + b = 9 …. (4) Jawab :

Jika pers (1), (2), (3) dan (4) semua masing-masing ruas di tambah 1, maka didapat : (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 2

(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 10 (a + 1)(c + 1)(d + 1) = 10 (a + 1)(b + 1)(d + 1) = 10 x

(

)

[

]

(

)

1 2 2

10 ) 1 ( 10

1 2 2

10 ) 1 ( 10

1 2 2

10 ) 1 ( 10

1 2 5 2

10 ) 1 ( 2

2 10 ) 1 )( 1 )( 1 ( 1

2000 )

1 )( 1 )( 1 ( 1

3 3

− = ⇔ =

+

− = ⇔ =

+

− = ⇔ =

+

− = ⇔ =

+

= + + + +

c c

b b

a a

d d

d c b a

62. Jika a dan b bilangan real dan 2

10 10

= + + +

a b

b a b a

maka tentukan nilai b a

! Jawab :

1 5

4 0

) 1 ( 4 5

0 4 9

5 2

10 1

10 2

10

10 2

= =

⇒ = −    



 ₋

⇔

= +       −       ⇔ = +

+ + ⇔ = + + +

b a atau b

a b

a

b a b

a b

a b a b a a

b b a b a

63. Jika a, b, c dan d real positif dan berlaku d c b a

< maka buktikan bahwa

d c d b

c a b a

< +

+ <

Jawab :

d c d b

c a b a dan Dari

d c d b

c a d

b c a b a

d b c c a d c

a b d b a

cd bc cd ad bc

ab ad ab

< +

+ <

< +

+ +

+ <

+ < + +

< +

+ < + +

< +

: ) 2 ( ) 1 (

) 2 ...( )

1 ...(

) ( ) ( )

( ) (

64. Buktikan bahwa untuk n bilangan bulat maka n3+ 2n selalu habis dibagi 3 ! Jawab :

n n

n n n n

n n

n3+ 2 = ( 2+ 2)= ( 2−1+ 3= ( 2− 1)+ 3 = ( −1) ( + 1)+ 3

Karena (n-1)n(n+1) merupakan 3 bilangan berurutan maka (n-1)n(n+1) habis dibagi 3, jadi n3+ 2n habis dibagi 3.

65. Tentukan nilai x, y, z bilangan real yang memenuhi persamaan :

) 3 ....( 2

) 2 ....( 2

) 1 ....( 2

2 2 2

z xy z

y zx y

x yz x

= +

(17)

Jawab :

Jika pers (1) kali x, pers (2) kali y dan pers (3) kali z maka didapat :

2 3

2 2 2

z xyz z

y xyz y

x xyz x

= +

Dengan mengeliminasi 2xyz maka didapat x = y = z z y x

x x x x x

yz

x + = ⇒ + = ⇒ = = =

3 1 .

2

2 2

2

66. Jika a, b, c real positif sedemikian sehingga

d c c b b a

=

= tentukan nilai dari

c b a

c b

a

+ +

2 3

2005 2004

2003

Jawab : d c c b b a

=

= maka a = b = c

c b a

c b

a

+ +

2 3

2005 2004

2003

1002 2

3

2005 2004

2003 ₌

+ +

⇒

a a a

a a

a

67. Buktikan bahwa untuk n bilangan asli yang lebih dari 1 maka n5 − n habis dibagi 30 ! Jawab :

1 )( 1 ( ) 1

( 2

5− = − + +

n n n n n n

(n-1)n(n+1) habis dibagi 6.

Bilangan yang habis dibagi 5 sellau berujung 5 atau 0.

(

2

)

( 2 1)

5₋ ₌ ₋ ₊

n n n n n n

Untuk n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 selalu berujung 0 atau 5, jadi habis dibagi 5. Sehingga n5 − n habis dibagi 6 x 5 = 30

68. Buktikan bahwa 1110− 1 habis dibagi 100 ! Bukti :

1 1 10 . 10 10 . 45 10 . 120

10 . 210 10

. 252 10

. 210 10

. 120 10 . 45 10 . 10 10 1 ) 1 10 ( 1 11

1 2

3

4 5

6 7

8 9

10 10

10

− + +

+

+ +

+ = − + = −

Habis dibagi 100.

69. Tentukan nilai positif x, y, z dari persamaan :

) 3 ....( 2 log log

log

) 2 ....( 2 log log

log

) 1 ....( 2 log log

log

16 16

4

9 9

3

4 4

2

= +

+

= +

+

= +

+

y x

z

x z

y

z y

x

Jawab :

( )

3 32 256

24 . 256 .

256

8 27 81

24 . 81 .

81

3 2 16

24 . 16 .

16

24 256

. 81 . 16 )

3 ( ) 2 ( ) 1 (

) 3 ...( 256 256

log log

2 log log

log

) 2 ...( 81 81

log log

2 log log

log

) 1 ...( 16 16

log log

2 log log

log

2 2 2

4

2 16

16 16

2 16 16

16 4

2 9

9 9

2 9 9

9 3

2 4

4 4

2 4 4

4 2

= ⇔ =

⇒ =

⇔ =

= ⇔ = ⇒

= ⇔

=

= ⇔ = ⇒

= ⇔

=

= ⇒

= +

+ ⇔

= +

+

= ⇒

= +

+ ⇔

= +

+

= ⇒

= +

+ ⇔

= +

+

z z

xyz z xy

z

y y

xyz y zx

y

x x

xyz x yz

x

xyz xyz

x x

xy z y

x z

y x

z

zx y x

z y

x z

y

yz x z

y x

z y

(18)

70. Diketahui a+b+c+d=0 dan a.b.c.d≠ 0. Buktikan bahwa :

(

3 3 3 3

)

2

(

)

2

9 abc abd acd bcd

d c b

a + + + = + + +

Bukti :

2 2

3 3 3 3

3 3 3

3

) (

9 ) (

) (

3 3

3 ) ( 3

3 3

) ( 3

) ( 3 ) (

) ( 0

abd abc bcd acd d

c b a

abd abc bcd acd abd

abc b

a cd d

c b a

abd abc

d c cd d c b a

d c ab d

c

b a ab b

a b a

d c b a d

c b a

+ + + =

+ + +

+ + + =

+ +

+ =

+ + +

+ +

+ −

− − = +

+ +

+ − =

+ −

+ = +

+ − = + ⇔ = + + +

71. Diketahui x dan y adalah bilangan real dengan ketentuan 1< y< 2dan x− y+ 1= 0_{. Tentukan nilai}

dari 4x2 + 4y− 3+ 2 y2− 6x− 2y+ 10

Jawab :

x = y – 1 disubstitusikan ke 4x2+ 4y− 3+ 2 y2 − 6x− 2y+ 10 maka akan didapat :

(

2y−1

)

2 + 2

(

y− 4

)

2 = 2y−1+ 2y− 4

Karena 1< y< 2 _{maka :}

7 ) 4 ( 2 1 2

) 4 ( 4

1 2 1 2

= − − −

− − = −

− = −

y y

Jadi

y y

72. Sebuah bilangan terdiri dari 3 digit. Bilangan itu habis dibagi 12 dan hasil baginya adalah jumlah angka-angkanya. Tentukan bilangan itu !

Jawab :

100a+10b+c=12(a+b+c) ⇔ a= c+ b

2 1 5 44

c yang mungkin adalah bilangan genap yaitu 8 44a = .8+

2 1

5 _{b atau b = 44a – 44 maka a = 1 dan b = 0}

Jadi bilangan itu adalah 108

73. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa

8 1 2 1 sin 2 1 sin 2 1

sin A B C ≤ !

Bukti :

8 1 64

2 1 sin . 2 1 sin . 2 1 sin

4 . 4 . 4 2 1 sin . 2 1 sin . 2 1 sin

4 2 1 sin 4

2 1 sin 4

2 1 sin

. ) ( 0

) (

4 ) ( 2

2 1

2 cos 1 2 1 sin

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

= ≤

≤

≤ ≤

≤

≤ − − ≥

−

− − = − + − = −

=

c b a

c b a C

B A

ab c ac b bc a C B

A

ab c C dan

ac b B akibatnya

bc a A Sehingga

a c b a maka c

b Karena

bc c b a bc

a c b A

(19)

74. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa

8 1 cos cos

cosA B C ≤ !

Bukti :

Karena

(

b2− c2

)

2≥ 0 maka a4 − (b2− c2)2≤ a4

[

][

]

(

)

8 1 64

cos cos cos

4 . 4 . 4 cos cos . cos cos . cos cos

4 cos cos 4

cos cos 4

cos cos

) cos 2 ( cos 2

) (

2 2 2

2 2

2

4 4 2 2 2 2 2 2

= ≤

≤

≤ ≤

≤

≤ ≤ − − −

+

c b a

c b a C

B A

bc a ac b ab c C B C A B A

ac b C A dan ab c B A akibatnya bc

a C B

a B ac C ab

a c b a c b a

75. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa 3

2 3 sin sin

sinA+ B+ C ≤ !

Bukti :

3 2 3 3 2 1 3 2 1 . 4 sin sin

sin

) 60 180 ( 4 1 sin 4 3 2 1 sin sin

sin

: 1

) 60 (

4 1 cos

)) 60 (

4 1 cos ) 60 (

4 1 sin 2 ( 2 3 2 1 sin sin

sin

30 2

1 sin ) 2 1 2 1 sin( 2 3 2 1 sin sin

sin

: )

2 ( ) 1 .(

) 2 ...( ) 60 ( 2 1 sin 2 60 sin sin

) 1 ...( ) ( 2 1 sin 2 sin sin

1 ) ( 2 1 cos

) ( 2 1 cos ) ( 2 1 sin 2 sin sin

= −

≤ +

+

+ ≤

+ +

+

≤ − − +

− − + +

+ + ≤

+ +

+

  



   



 ₊

+ + ≤

+ +

+

+ ≤

+

+ ≤

−

− +

= +

C B

A

C B

A

maka C

B A Karena

C B A C

B A C

B A

C B

A C

B A

maka pers

Jika

C C

Sehingga

B A B

A maka B

A Karena

B A B

A B

A

  

 



76. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa 1

2 1 tan 2 1 tan 2

1 tan 2 1 tan 2

1 tan 2 1

tan A B+ A C+ B C =

Bukti :

C B

A

A C

B C

B A

C B

A

A C

B B

C A C

B A

C B

C A

C A B

A B A

2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos

2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin ) 2 1 2 1 sin( 2 1 sin

2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos

2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2

1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2

1 cos 2 1 sin 2 1 sin

2 1 cos 2 1 cos

2 1 sin 2 1 sin

2 1 cos 2 1 cos

2 1 sin 2 1 sin

2 1 cos 2 1 cos

2 1 sin 2 1 sin

+ + =

+ +

=

(20)

(

)

(

)

1

2 1 cos 2 1 cos

2 1 sin 2 1 sin 2

1 sin 2 1 sin 2

1 cos 2 1 cos

2 1 cos 2 1 cos

2 1 sin 2 1 sin 2

1 2 1 cos

2 1 cos 2 1 cos

2 1 sin 2 1 sin ) ( 180 2 1 sin

2 1 cos 2 1 cos

2 1 sin 2 1 sin 2

1 sin

2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos

2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2

1 cos 2 1 sin

2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos

2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 180

2 1 sin 2 1 sin

= +

− =

+    



 ₊

=

+ + − =

+ =

+ − =

C B

A

C B

A

A C

B A

A

C B

A

A C

B A

A



77. Jika A, B, C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, buktikan bahwa :

3 5 8 2 1 tan 2 1 tan 8

2 1 tan 2 1 tan 8

2 1 tan 2 1

tan A B+ + B C+ + A C+ ≤

Bukti :

(

)

(

)

3 5 ) 24 1 ( 3

24 2

1 tan 2 1 tan 2

1 tan 2 1 tan 3

8 2 1 tan 2 1 tan 8

2 1 tan 2 1 tan 8

2 1 tan 2 1 tan

3

) (

3 )

(

2 2

2

2 2

= + =

   



 ₊ ₊ ₊

≤

+ +

+

+ + ≤

+ +

+ + = + + + + + + + + ≤ +

+

+ +

+ + + = + +

C B

C A

B A

C A

C B

B A

c b a c

b a

c b a c b c a b a c b a c b a

bc ac

ab c

b a c b a

78. Buktikan bahwa

2 1 2005 2003 cos ... 2005

5 cos 2005

3 cos 2005

cos π + π + π + + π =

Bukti :

2005 2002 sin 2005 2004 sin 2005 sin 2005 2003 cos 2 ...

2005 4 sin 2005

6 sin 2005 sin 2005

5 cos 2

2005 2 sin 2005

4 sin 2005 sin 2005

3 cos 2

0 2005

2 sin 2005 sin 2005 cos 2

π π

π

− =

(21)

2 1

2005 sin

2 1

2005 sin

2005 2004 sin

2 1 2005 2003 cos ... 2005

5 cos 2005

3 cos 2005 cos

2005 2004 sin ) 2005 2003 cos ... 2005

5 cos 2005

3 cos 2005 (cos 2005 sin 2

=    

  − =

= +

+ +

+

= +

+ +

+

π π π π

π π

π

π π

79. Buktikan bahwa cosec10 + cosec50− cosec70 = 6

Bukti :

= −

+  

 _cos ₅₀ _cos ₇₀

10

cosec ec ec _ _ _

70 sin

1 50

sin 1 10

sin 1

− +

6

4 1 2 3

10 sin 2 1 4 1 10 sin 2 1

20 cos 20 cos 60 cos 2 2 3

) 10 sin 30 (sin 2 1 10 sin 2 1

20 cos 40 cos 80 cos 2 3

10 sin ) 20 cos 120 (cos 2 1

40 cos 60 cos 60 cos 80 cos 20 cos 120 (cos 2 1

10 sin 50 sin 70 sin

10 sin 50 sin 10 sin 70 sin 50 sin 70 sin

= − − =

+ − −

− +

− =

− −

−

− +

+ − =

− −

+ −

− +

− −

=

− +

=

 



 



 



 



 

  

 



80. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa tanA+ tanB+ tanC = tanAtanBtanC ! Bukti :

C B A C

B A

C B A

B A B

A B

A C

C B A

B A B

A C

C B A

B A C

C

C B A

B A C C

c

C B A

B A C B

A C

C B A

B A C B

A B

A C

C B A

B A C C

A B C

B A C

C B

B A

A

tan tan tan cos

cos cos

sin sin sin

cos cos cos

) sin sin cos

cos cos

(cos sin

cos cos cos

)) cos(

cos (cos sin

cos cos cos

) cos cos (cos

sin

cos cos cos

cos cos sin sin

cos

cos cos cos

cos cos sin ) sin( cos

cos cos cos

cos cos sin ) sin cos cos

(sin cos

cos cos cos

cos cos sin cos

cos sin cos

sin cos

sin

= =

+ −

=

+ −

=

+ =

+ + =

+ +

=

+ +

= +

(22)

81. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa tanAtanBtanC ≥ 3 3 ! Bukti :

3 3 tan tan tan 27 ) tan tan (tan tan tan tan 27 ) tan tan (tan tan tan tan 3 tan tan tan tan tan tan 3 tan tan tan 3 2 3 3 3 3 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ + + ≥ + + C