SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PENYELESAIANNYA

SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA

DAN PENYELESAIANNYA

1. Buktikan untuk setiap bilangan real a, b berlaku a2₊ b2 _≥ 2ab _!

Bukti :

(

a₋ b

)

2 _≥ 0_⇔ a2 ₋ 2ab₊ b2 _≥ 0_⇔ a2₊ b2 _≥ 2ab

2. Buktikan untuk setiap bilangan real a, b dengan a≥ 0danb≥ 0 berlaku a+ b ≥ ab

2 ! Bukti :

(

a− b

)

≥ ⇔ a− ab + b≥ ⇔ a+ b≥ ab ⇔ a+ b ≥ ab 2 2 0 2 0 2 Catatan : Bentuk a+ b ≥ ab

2 dikenal sebagai AM ≥ GM dimana AM singkatan Arithmetic Mean sedangkan GM singkatan Geometric Mean.

3. Buktikan untuk setiap bilangan positif a, b, c dan d berlaku 4

4 abcd d c b a+ + + _≥ ! Bukti : abcd cd ab cd ab d c b a d c b a+ + + ₌ + + + _≥ + _{≥ =} 2 2 2 2 4

4. Buktikan untuk setiap bilangan real a, b dan c dengan a≥ 0,b≥ 0danc ≥ 0 berlaku

3 3 abc c b a ≥ + + Bukti : Misal 3 3 3

3 x a b c x dan abc y abc y

c b a = ⇔ = = + + ⇔ = + + Maka 4 4 3 2 2 2 2 2 4 ab cx abcx y x x c b a x c b a x c b a _{≥ = =}       +       + ≥ + + + = + + + Karena a+ b+ c = 3x maka x+ x ≥ 4 y3x ⇔ x4 ≥ y3x ⇔ x≥ y 4 3

5. Buktikan untuk setiap bilangan positif a, b, c berlaku

(

b+ c

) (

c+ a

) (

a+ b

)

≥ 8abc ! Bukti : ) 3 ....( 2 ) 2 ....( 2 ) 1 ....( 2 ab b a ca a c bc c b ≥ + ≥ + ≥ +

Jika (1) x (2) x (3) maka didapat : b c c a a b ≥ a b c = abc      +       +       + 2 2 2 2 2 2 Atau

(

b+ c

) (

c+ a

) (

a+ b

)

≥ 8abc

6. Jika a bilangan positif, buktikan bahwa + 1 ≥ 0 a a ! Bukti : 2 1 0 1 2 0 1 2 ≥ + ⇔ ≥ + − ⇔ ≥       ₋ a a a a a a

7. Jika a dan b sembarang bilangan, buktikan bahwa + ≥ 2

a b b a ! Bukti :

(

₋

)

2 _≥ 0_⇔ 2 ₊ 2 _≥ 2 _{⇔ + ≥} 2 a b b a ab b a b a

8. Jika a, b bilangan positif dan a + b = 1 maka

2 1 ≤

ab !

Bukti :

Karena a dan b positif dan a + b = 1 maka :

) 2 ....( 1 1 ) 1 ....( 1 1 ≥ ≥ b a Jika (1) + (2) maka 2 1 2 1 2 2 2 1 1 ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ ≥ + a b ab ab ab ab b a b a

9. Jika a, b, c , d bilangan positif, maka buktikan

(

ac+ bd

)(

ab+ cd

)

≥ 4abcd ! Bukti : ) 2 ....( 2 ) 1 ....( 2 + ≥ ≥ + c d d c dan a b b a Jika (1) + (2) didapat : 4 4 ⇔ + + + ≥ ≥ + + + a b d c c d b a c d d c a b b a

(

ac bd

) (

ab cd

)

abcd abcd cd b abc abd cd a 4 4 2 2 2 2 ≥ + + ⇔ ≥ + + +

10.Untuk setiap bilangan real x, buktikan bahwa

2 1 1 4 2 ≤ + x x ! Bukti :

(

)

2 1 2 1 0 1 2 0 1 ₄ 2 2 4 2 4 2 2 _≥ + ⇔ ≥ + ⇔ ≥ + − ⇔ ≥ − x x x x x x x

11.Untuk setiap bilangan real x, buktikan bahwa 2 1 2 2 2 ≥ + + x x ! Bukti :

(

2

) (

4 1

)

4 4 4 4 0 4 2 2 2 2 2 4 _{≥ ⇔ x + x + ≥ x + ⇔ x + ≥ x +} x

(

)

(

)

2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _≥ + + ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ x x x x x x

12. Hitunglah nilai dari :

2 2 2 2 2 2 2 2 ₂₀₀₅ 1 2004 1 1 ... 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1+ + + + + + + + + + + + Jawab :

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{( ( 1))} ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 1 1 + + + + + + + = + + + + + = + + + n n n n n n n n n n n n n n n n

=

(

)

(

(

)

)

( 1) 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 + + = + + = + + + = + + + = + + + + + n n n n n n n n n n n n n n n n n n = 1 1 1 1 + − + n n Jadi _{2 2 2 2 2 2 2 2} 2005 1 2004 1 1 ... 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1+ + + + + + + + + + + + =       _{+ −} + +       _{+ −} +       _{+ −} +       _{+ −} 2005 1 2004 1 1 ... 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 =

(

)

2005 2004 2004 2005 2004 2004 2005 1 1 1 .... 1 1 1  = + =      − + + + + +

13.Diketahui a, b, c, d dan e adalah bilangan real. Jika a+b+c+d+e = 19 dan _a2 _{+ b}2_{+ c}2_{+ d}2 _{+ e}2 ₌ 99 tentukan nilai maksimum z !

Jawab :

(

) (

)

0 35 38 5 4 396 38 361 99 99 99 99 38 361 99 38 361 2 2 2 2 2 2 99 38 361 2 2 2 2 2 2 38 361 19 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ − − − ≤ + − − + − + − + − ≤ + − + + + + + + + + + + + + − ≤ + − + + + + + + − = + − + + + + + + + + + = + − + + + = − e e e e e e e e e e e d c d b c b d a c a b a e e e cd bd bc ad ac ab e e e cd bd bc ad ac ab d c b a e e d c b a e

Dengan rumus abc didapat

10 2144 38 10 2144 38− _{≤ ≤} + e

Jadi nilai maksimum e =

10 2144 38+

14. Jika 1+2+3+4+….+n = aaa, maka tentukan nilai n dan aaa ! Jawab : 37 ) 6 ( ) 1 ( 37 ) 3 ( ) 1 ( 2 37 ) 3 ( 111 ) 1 ( 2 .... 3 2 1 x xa n n x xa n n x xa xa aaa n n n = + = + = = + = + + + +

Ini merupakan perkalian berurutan. Jadi a = 6 dan n = 36

15.Jika aabb = (xy maka tentukan nilai dari a, b, x dan y !)2 Jawab :

Karena (xy adalah bilangan kuadrat maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6 atau 9.)2 Berarti bb = 00, 11, 44, 55, 66 atau 99

Bilangan kuadrat bila dibagi 4 sisanya 0 (untuk genap) atau 1 (untuk ganjil) Bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhir habis dibagi 4, jadi bb = 44 aabb = aa44 = 11 x a04 maka a = 7

aabb = 7744 = ₈₈2

16. Buktikan bahwa : 3 3 3 3 2

(

)

2 ( 1) 2 2 1 1 4 1 .... 3 2 1     ₊ = + = + + + + n n n n n Bukti :

Dibuktikan dengan induksi matematika. Untuk n = 1 maka 3 .1(1 1) 2 2 1 1     ₊ = benar

Misal untuk n = k benar maka 3 3 3 3 ( 1) 2

2 1 .... 3 2 1     ₊ = + + + + k k k Untuk n = k + 1 maka 13+ 23+ 33 + ....+ k3+ (k+ 1)3

(

)

(

)(

)

2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1 ) 2 ( ) 1 ( 4 1 ) 4 4 ( ) 1 ( 4 1 1 4 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 1     _{+ +} = + + = + + + =       _{+ +} + = + +     ₊ = k k k k k k k k k k k k k

17.Jika ₂₀₀₄3 _{= A}2 _{− B}2 _{dimana A dan B bilangan asli, maka tentukan nilai A dan B !}

Jawab : 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 ) 2003 . 1002 ( ) 2005 . 1002 ( 2004 . 2003 . 2 1 2005 . 2004 . 2 1 2004 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( .... 3 2 1 − =     −     =     ₋ −     ₊ =     ₊ = +     ₋     ₊ = + − + + + + n n n n n n n n n n n n n n Jadi A = 1002.2005 dan B = 1002.2003

18.Jika _{A= 1}3 _{− 2}3_{+ 3}3_{− 4}3_{+ 5}3_{− 6}3_{+ ....+ 2005}3_{, maka tentukan nilai A !}

Jawab :

(

)

(

)

4009 . 1003 ) 2004 2005 )( 2004 2005 ( 1003 ) 2004 2005 ( 1003 ) ) 501 . 4 ( 2005 ( 1003 ) 1003 . 1002 . 2 1 ( 16 2006 . 2005 . 2 1 ) 1002 .... 3 2 1 ( 2 . 2 2005 .... 3 2 1 ) 2004 .... 3 2 ( 2 2005 .... 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = − + = − = − = −       = + + + + − + + + + = + + + − + + + +

19. a₁,a₂,a₃,....,a_n adalah bilangan cacah yang berbeda. Jika 2a1 + 2a2 + 2a3 + ....+ 2an = 2005 maka tentukan nilai dari a1+ a2+ a3+ ....+ an !

Jawab : 46 0 2 4 6 7 8 9 10 .... 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2005 1 1111101010 2005 3 2 1 0 2 4 6 7 8 9 10 2 = + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + + = = n a a a a

20. Diketahui x, y, z dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhi persamaan :

) 3 ( .... 1000 ) 2 ( .... 1 1 1 1 ) 1 ( .... 3 3 3 3_{+ + =} = + + = + + z y x t z y x t z y x

Tentukan nilai dari x + y + z + t Jawab :

(

)

(

)

2000 2 1000 1000 3 . 3 3 ) ( 3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = = + = + + + = → = = + + − + + + = − + + + + + + + = + + = + + ⇔ = + + = + + t t t t z y x t t z y x xyz t xyz t z y x t xyz yz xz xy z y x z y x z y x t xyz yz xz xy t xyz yz xz xy z y x

21.Suatu fungsi dinyatakan sebagai

e e e x f _x x + = ) ( .

Tentukan nilai dari )

2005 2004 ( ... ) 2005 2 ( ) 2005 1 ( f f f + + + Jawab : 1 2 2 ) 1 ( ) ( ₁ 1 1 1 1 1 1 = + + + + = + + + + + + = + + + = − + ₋ − _{− −} − ₋− e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e x f x f _{x x} x x x x x x x x x x x x 1 ) 2005 1003 ( ) 2005 1002 ( ... ... 1 ) 2005 2003 ( ) 2005 2 ( 1 ) 2005 2004 ( ) 2005 1 ( = + = + = + f f f f f f + = 1002

22. Diketahui a dan b adalah bilangan real yang memenuhi syarat : i. _a3₋ 3_ab2 ₌ 44 ii. _b3₋ 3_a2_b= 8 Tentukan nilai _a2 _{+ b}2 _! Jawab :

(

3

)

8 6 9 64 8 3 1936 9 6 44 ) 3 ( 44 3 2 4 4 2 6 2 2 2 3 2 3 4 2 2 4 6 2 2 2 3 2 3 = + − ⇔ = − ⇒ = − = + − ⇔ = − ⇒ = − b a b a b b a b b a b b a b a a ab a ab a +

(

2 2

)

3 2 2 3 3 6 4 2 2 4 6 2 10 2000 2000 2000 3 3 = = + ⇔ = + = + + + b a b a b b a b a a

23. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 digit angka abcd sehingga memenuhi persamaan abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1) !

Jawab :

abcd + 1 = (ac + 1)(bd + 1)

1000a + 100b + 10c + d + 1 = (10a + c + 1)(10b + d + 1)

= 100ab + 10ad + 10a + 10bc + cd + c + 10b + d + 1 990a + 90b + 9c - 100ab - 10ad - 10bc – cd = 0

(900a – 100ab) + (90a – 10ad) + (90b – 10 bc) + 9c – cd = 0 100a (9 – b) + 10a (9 – d) + 10b (9 – c) + c (9 – d) = 0 Jadi : b = d = c = 9

a = 1, 2, 3, …., 9

Sehingga bilangan-bilangan itu : 1999, 2999, 3999, …., 9999

24.Tentukan nilai dari _{1 2 3 2003}

2 2004 2003 2005 .... 2 4 3 5 2 3 2 4 2 2 1 3 x x x x x x x x + + + + Jawab : k k k k k _{k k} a k b a k k kb k a k b k a k k k 2 ). 1 ( ) ( 2 ). 1 ( ) 1 ( ) 1 .( 2 . 2 2 ). 1 .( 2 + + − = + − + = + − = + +

jadi a – b = 1 karena a = 2 maka b = 1

∑

= _{= −}       ₋ + +       ₋ +       ₋ = + − 2003 1 2003 2003 2003 2 2 1 1 2004 . 2 1 1 2004 . 2 1 2003 . 2 2 .... 3 . 2 1 2 . 2 2 2 . 2 1 1 . 2 2 ) 1 .( 2 1 . 2 2 ( k k k_{k k}

25.Jika x dan y bilangan asli yang memenuhi persamaan xy + x + y = 71 dan _x2_{y+ xy}2 ₌ 880 _maka tentukan nilai x2 + y2 !

Jawab :

Misal xy = a dan x + y = b maka :

xy + x + y = 71 ⇔ a + b = 71 ⇔ a = 71 – b ….. (1) 880

2 2_{y+ xy =}

x ⇔ xy(x + y) = 880 ⇔ ab = 880 …. (2)

Dari (1) dan (2) didapat :

i. b = 55 dan a = 16 maka x2 + y2 =

(

_{x+ y}

)

2₋ 2_{xy =} 552 ₋ 2.16₌ 2993 ii. b = 16 dan a = 55 maka x2 + y2 =

(

_{x+ y}

)

2₋ 2_{xy =} 162 ₋ 2.55₌ 146

26.Tentukan nilai _{A dimana A adalah jumlah dari nilai mutlak semua akar-akar persamaan :}2

x x 9 19 91 19 91 19 91 19 + + + + =

Jawab : 383 383 2 19 383 2 383 19 2 383 19 2 383 19 2 383 19 0 91 19 91 19 2 2 . 1 2 = = − + + = − + + = ± = = − − ⇔ + = A A x x x x x 27. Didefinisikan _{3 2 3 2 3 2} 1 2 1 1 2 1 ) ( + − + − + + + = n n n n n n

f _{untuk semua n bilangan asli. Tentukan}

nilai dari f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999) ! Jawab :

(

)

(

)

x_{x y}y y xy x y xy x y x y x y x − − = + + ⇔ + + − = − = − 3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 1 Misal : 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 1 ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = ⇒ − = − + = − = ⇒ − = + − = + = ⇒ + = + + = n xy n n n xy n x n n n y n x n n n x 2 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) ( 1 ) ( 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 2 − − + = − − + − − + = − − = + + = n n n n n n n f y x y x y xy x n f f(1) + f(3) + f(5) + …. + f(999999) =

(

) (

) (

) (

)

(

)

2 999999 1000000 .... 6 8 4 6 2 4 0 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 _{− + − + − + − + + −} = 50 2 100 0 = +

28.Carilah 3 bilangan asli x, y, z dimana z< y< x< 2004 dan memenuhi persamaan x3+ y4 = z5 ! Jawab : 3 8 24 24 25 3 6 5 4 5 3 1 ) 1 ( − ⇔ = − = − = = = − = a a x a a a a x maka a y dan a z Misal y z x

a –1 harus bilangan pangkat 3 seperti 1, 8, 27 dsb. Misal a = 2 maka _{x =} 28 3 2₋ 1₌ 256 64 2 32 2 6 5 = = = = y z

29.Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 121n − 25n + 1900n − (−4)n selalu habis digai 2000 !

Jawab :

2000 = 125 x 16

Gunakan teori _an _{− b}n _{habis dibagi a – b} n

n n

n _{25 1900 ( 4)}

121 − + − − = 1900n − 25n+ 121n − (−4)n

habis dibagi 16 habis dibagi 16 habis dibagi 125 habis dibagi 125 Jadi 121n− 25n +1900n − (−4)n habis dibagi 125 x 16 = 2000

30.Buktikan bahwa 1998 + 1999 x ₂2004 _{habis dibagi 7 !}

Bukti :

1998 + 1999 x ₂2004 _{= (7n + 3) + (7n + 4) x (7 + 1)}668

Kita lihat satuannya : 3 + 4 x 1668 _{= 3 + 4 = 7}

Jadi 1998 + 1999 x ₂2004 _{habis dibagi 7}

31.Tentukan 3 bilangan asli x, y, z sehingga

2005 2006 3 3 3 3 = + + z x y x Jawab :

(

)

(

)

(

)

(

2 2

)

2 2 3 3 3 3 z xz x z x y xy x y x z x y x + − + + − + = + +

Karena 2006 dan 2005 relatif prima, maka diantara faktor-faktor pembilang dan penyebut harus ada yang sama.

x + y = x + z tidak mungkin, karena y = z.

1337 668 669 2005 2 2006 2 2005 2006 2005 2006 ) ( ) )( ( 2 2 2 2 2 2 = + = = = ⇒    = + = + = + + + + ⇒ = + + + = − = + − − = − + − = + − z y x sehingga z dan y y z z y z z y y z y z x y x z y x z y x z y z y xz xy z y z xz x y xy x

32.Tentukan rumus untuk (1x1!)+ (2x2!)+ (3x3!)+ ...+ (nxn!) ! Jawab :

(

)

[

]

(

)

[

]

1 )! 1 ( ! 1 )! 1 ( )! 1 ( ! 1 ) ! )! 1 (( ... ) ! 3 ! 4 ( ) ! 2 ! 3 ( ) ! 1 ! 2 ( ) ! ( .... ) ! 3 3 ( ) ! 2 2 ( ) ! 1 1 ( ! 3 ! 4 ! 3 3 ! 2 ! 3 ) ! 2 1 ( ) ! 2 3 ( ) ! 2 1 ( ! 2 1 2 ! 2 2 ! 1 ! 2 ) ! 1 1 ( ) ! 1 2 ( ) ! 1 1 ( ! 1 1 1 ! 1 1 − + = − + = + + − = − + + + − + − + − = + + + + − = − = − = − + = − = − = − + = n n n n n n x n x x x dst x x x x x x x x x x x 33.Diketahui 1336 1 .... 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1− + − + − + − = b a

dimana a relatif prima dengan b. Tunjukkan bahwa a adalah kelipatan dari 2005 !

Jawab : ) 1003 . 1002 1 .... 1335 . 670 1 1336 . 669 1 ( 2005 1003 . 1002 2005 .... 1335 . 670 2005 1336 . 669 2005 1003 . 1002 1002 1003 .... 1335 . 670 670 1335 1336 . 669 669 1336 1003 1 1002 1 .... 1335 1 670 1 ) 1336 1 669 1 1336 1 .... 670 1 669 1 ) 668 1 ... 3 1 2 1 1 ( ) 1336 1 ... 3 1 2 1 1 ( ) 1336 1 ... 3 1 2 1 ( 2 ) 1336 1 ... 3 1 2 1 1 ( 1336 1 .... 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 + + + = + + + = + + + + + + =       ₊ + +       ₊ +     ₊ = + + + = + + + + − + + + + = + + + − + + + + = − + − + − + − Jadi kelipatan 2005.

34. Jika x x 3 2 3 2 3 2 3 2 + + + + =

maka tentukan nilai x !

Jawab :

(

3

)(

1

)

0 3 0 3 2 3 2_{+ ⇔} 2_{− − = ⇔ − + = ⇒ =} = x x x x x x x yang memenuhi. 35.Diketahui 2005 1002 .... 7 3 5 2 3 1 2003 1002 .... 5 3 3 2 1 12 2 2 2 2 2 2 2 + + + + = + + + + = dan b a

Tunjukkan bilangan bulat terdekat dari a – b ! Jawab : 501 2005 1003 . 1002 2005 ) 1002 2005 ( 1002 2005 1002 1002 ) 1 ... 1 1 1 ( 2005 1002 1 2005 1002 2003 1001 2003 1002 .... 5 2 5 3 3 1 3 2 1 1 ) 2005 1002 .... 7 3 5 2 3 1 ( ) 2003 1002 .... 5 3 3 2 1 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≈ = − = − = + + + + + − = −     ₋ + +     ₋ +     ₋ + = + + + + − + + + + = − b a

36.Diketahui a, b, c, d, e dan f adalah bilangan real. Jika = = = 64

f e d c b a maka tentukan 3 2 2 3 2 2 4 5 4 5 f f d d b e e c c a + − + − Jawab : 512 64 4 5 ) 4 5 ( 64 4 5 ) 64 ( 64 . ) 64 ( 4 64 . ) 64 ( 5 4 5 4 5 64 64 64 64 64 64 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 = = + − + − = + − + − = + − + − = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = f f d d b f f d d b f f d d b f f d d b f f d d b e e c c a f e f e d c d c b a b a 37.Diketahui

∑

=       + + + + = 2004 1 1 2 3 ... 1 k k A . Tentukan nilai A ! Jawab : 2005 4008 2005 2 2 2005 2 2004 2 ... 4 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ) 1 ( 2 ... 3 2 1 1 2 ) 1 ( .... 3 2 1 2004 1 2004 1 2004 1 = − =       ₋ + +       − +       − +       − = + − = + = + + + + + = + + + +

∑

∑

∑

= = = k k k k k k k k k k k

38.Jika ( ) 2 1 = 3 ≠ 0      + x dan x x f x

f maka tentukan penyelesaian untuk f(x) = f(-x) !

Jawab : 2 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 1 ( ) 2 ....( 3 ) ( 2 ) 1 ( ) 1 ...( 3 ) 1 ( 2 ) ( 2 2 2 ± = ⇒ − − = − ⇒ − = − = = + ⇒ = + x x x x x x f x f x x x f maka n dihilangka x f Jika x x f x f x x f x f

39.Tentukan nilai dari x3 + y3 jika diketahui 19 60

2 = + = + + y xy x dan y x y x ! Jawab : Misal x + y = a dan b y x ₌ maka : ⇒ = + + 19 y x y x _{a + b = 19 atau a = 19 – b …… (1)} ) 2 ...( 60 60 ) ( 60 2 = ⇒ = + ⇔ = + ab y x y x y xy x

Dari (1) dan (2) didapat :

i. b = 4 dan a = 15 maka x + y = 15 dan x = 4y sehingga x = 12 dan y = 3 jadi _x3 _{+ y}3 ₌ 1755 ii. b=15 dan a = 4 maka x + y = 4 dan x = 15y sehingga x = 15/4 dan y = ¼ jadi

64 3376

3 3_{+ y =}

x

40. Tentukan penyelesaian (x,y,z) dari sistem persamaan :     = + + = + + = + + 19 14 11 zx x z yz z y xy y x Jawab : 6 , 4 5 4 , 2 3 0 15 2 14 1 19 1 11 1 19 1 11 14 1 19 19 1 11 11 2 − = − = ⇒ − = = = ⇒ = = − + ⇔ =       + −       + − + + − + + − ⇒ = + + + − = ⇔ = + + + − = ⇔ = + + z y x z y x x x x x x x x x x x yz z y x x z zx x z x x y xy y x

41. Jika x, y, z adalah bilangan real yang memenuhi persamaan :

3 2 1 3 3 3 2 2 2 = + + = + + = + + z y x z y x z y x

Maka tentukan nilai x4 + y4+ z4 ! Jawab :

(

)

2 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 − = + + + + + = ⇔ + + + + + = + + yz xz xy yz xz xy yz xz xy z y x z y x

(

)

(

)

( )

[

]

(

)

[

]

6 1 4 1 . 6 1 . 2 2 1 2 2 ) ( 2 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 6 1 3 1 ). 2 1 ( 3 3 1 3 ) )( ( 3 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 3 3 3 3 3 = + +       ₋       − + + + = + + − + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + = ⇔ − − + = − + + + + + + + = + + z y x z y x z y x xyz yz xz xy z y x yz xz xy z y x z y z x y x z y x z y x xyz xyz xyz z y x yz xz xy z y x z y x

42.Diketahui _f(_x)₌

(

_x+ 3

)

4₋ 12(_x+ 3)3₊ 54(_x+ 3)2₋ 108(_x+ 3)₊ 81_{. Tulislah f(x) dalam bentuk} yang paling sederhana dan tentukan f(2005) !

Jawab :

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4 4 2 3 4 4 3 2 2 3 4 4 4 2005 ) 2005 ( 81 ) 3 ( 108 ) 3 ( 54 ) 3 ( 12 3 3 3 . 3 4 3 . 3 6 3 . 3 4 3 3 3 = = + + − + + + − + = + + − + + + − + = − + = f x x x x x x x x x x x

43.Tentukan nilai x, y, z yang memenuhi persamaan

7 1 , 3 1 , 2 1 ₌ + = + = + z x zx z y yz y x xy Jawab : 4 1 1 4 1 1 1 3 1 1 3 : ) 3 ( ) 2 ( ), 1 ( ) 3 ....( 7 7 1 1 7 7 1 ) 2 ....( 3 3 1 1 3 3 1 ) 1 ....( 2 2 1 1 2 2 1 = ⇔ = = − = ⇔ = − = = ⇔ = = = + ⇒ = + ⇔ = + ⇔ = + = + ⇒ = + ⇔ = + ⇔ = + = + ⇒ = + ⇔ = + ⇔ = + z z c y y b x x a didapat dan Dari c a z x zx x z x z zx c b z y yz z y z y yz b a y x xy y x y x xy

44.Tentukanlah nilai dari 

     −       −       −       − 2004 1 1 .... 4 1 1 3 1 1 2 1 1 ! Jawab : 2004 1 2004 2003 . 2003 2002 ... 4 3 . 3 2 . 2 1 = 45.Tentukan nilai dari

2005 . 2004 1 ... 4 . 3 1 3 . 2 1 2 . 1 1 _{+ + + +} ! Jawab : 1 1 1 ) 1 ( 1 + − = + k k k k

2005 . 2004 1 ... 4 . 3 1 3 . 2 1 2 . 1 1 _{+ + + +} =       ₋ + +       − + − +       − 2005 1 2004 1 ... 4 1 3 1 ) 3 1 2 1 ( 2 1 1 1 2005 2004 2005 1 1− = =

46.Tentukan nilai dari

10000 9999 1 .... 4 3 1 3 2 1 2 1 1 + + + + + + + + ! Jawab : 10000 9999 1 .... 4 3 1 3 2 1 2 1 1 + + + + + + + + =

(

− 1+ 2

) (

+ − 2+ 3

) (

+ − 3+ 4

)

+ ...+

(

− 9999+ 10000

)

= − 1+ 10000 = 99 47. Jika 1 1 1 1 17 57 + + + + = d c b a

maka tentukan nilai a x b x c x d !

Jawab : 1 4 1 1 1 2 1 3 5 1 1 1 2 1 3 5 6 1 2 1 3 6 5 2 1 3 6 17 1 3 17 6 3 17 57 + + + + = + + + = + + = + + = + = + = Jadi a = 3, b = 2, c = 1 dan d = 4 Sehingga a x b x c x d = 3.2.1.4 = 24 47.Jika 8 3 10 3 2 6 2y y z z x x+ ₌ + ₌ +

maka tentukan nilai dari 2 2 2

2005 2005 2005 z y x xy zx yz + + + + ! Jawab : ) 3 ...( 0 3 8 5 10 30 24 16 ) 2 ...( 0 9 8 6 18 16 8 ) 1 ...( 0 9 4 5 18 12 20 10 = + − ⇔ + = + = − + ⇔ + = + = − + ⇔ + = + z y x x z z y z y x x z y x z y x z y y x

dari (1), (2) dan (3) didapat x = y = z

2 2 2 2005 2005 2005 z y x xy zx yz + + + + = 2005₂

(

_{2 2}

)

2005 2 2 2 = + + + + x x x x x x 48. Diketahui : 2004 1 ... 1005 1 1004 1 1003 1 2004 1 2003 1 ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1 + + + + = − + − + − + − = B A

Maka hitunglah nilai dari _A2 _{− B}2 _!

Jawab : 2004 1 ... 1004 1 1003 1 1002 1 .... 3 1 2 1 1 2004 1 .... 3 1 2 1 1 2004 1 ... 6 1 4 1 2 1 2 2004 1 .... 3 1 2 1 1 2004 1 2003 1 ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1 + + + =       _{+ + + +} −       _{+ + + +} =       _{+ + + +} −       _{+ + + +} = − + − + − + − = A Jadi A = B maka _A2_{− B}2 ₌ 0

50. Buktikan bahwa 2 ! 2005 1 ... ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 < + + + + ! Jawab : 2 1 1 ! 2005 1 ... ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 2 1 1 0 2 1 2 1 1 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 2 1 .... 2 1 2 1 2 1 ! 2005 1 ... ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 2004 2004 2004 2004 2004 3 2 1 = + < + + + + <       − >             − = −       − = + + + + < + + + + Jadi maka Karena

51. Tentukan nilai dari

1 1 1 1 .... 2 1 .... 1 1 1 1 2005 2004 2004 2005₊ + − ₊ + + + + ₊ + ₊ − _{e e e} e Jawab : 1 2 2 1 1 1 1 ₌ + + + + = + + + − − − x x x x x x _{e e} e e e e 2 1 2005 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .... 2 1 .... 1 1 1 1 0 2004 2004 2005 2005 2005 2004 2004 2005 = + + + + + + = + + +       + + + +       + + + = + + + + + + + + + + − − − − e e e e e e e e e

52. Diketahui a, b, c, d adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan : a + 4b + 9c + 16d = 52 …………. (1)

4a + 9b + 16c + 25d = 150 ………..(2) 9a + 16b + 25c + 36d = 800 ………(3) Tentukan nilai dari 16a + 25b + 36c + 49d ! Jawab :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

450 75 48 27 12 3 ) 2 .( 2400 108 75 48 27 3 ) 3 .( 25 4 27 48 . 2 1 2 3 2 2 3 3 2 16 12 27 . 1 1 1 3 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 0 1 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + ⇒ = + + + ⇒ = + − ⇔ + + − + = + = + − ⇔ + + − + = + + + − + = + = − + + + − + d c b a x Pers d c b a x Pers b b b b b b b b a a a a a a a a n n n n n n n n - 15a + 21b + 27c + 33d = 1950 Persa.(1)x1⇒ a + 4b + 9c + 16d = 52 + 16a + 25b + 36c + 49d = 2002 53.Jika 2 2004 1+ =

x maka tentukan nilai dari :

2003 2004 2005 3 2003 4 4 ) 2000 2007 4 ) x x x b x x a − − − −

Jawab : 0 2003 4 4 . 0 2003 4 4 2004 1 4 4 ) 3 2000 4 2003 4 2000 4 4 2000 2007 2003 4 2000 2007 4 2003 4 4 2003 4 4 2 2004 1 ) 2003 2004 2005 2003 2 2 2 2 3 2 3 2 = − − = − − ⇔ = + − = − − + = − − = − − + = − − + = ⇒ + = ⇔ + = x x x x x x x x b x x x x x x x x x x x x x x x a

54.Jika a dan b adalah bilangan real yang memenuhi persamaan :

(

)

61 1 11 1 2 2 2 2 2 _{+ = −} = + + b a b a b a b a ab

Tentukan nilai dari

b a 1 1 ₊ ! Jawab : Misal x dan a b y ab = + = 1 30 5 1 6 1 1 6 5 1 1 5 ) 30 6 1 5 1 1 5 6 1 1 6 ) : ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ...( 61 61 . 1 1 61 ) ( ) 1 ...( 11 11 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = + = + + = = = ⇔ = = = = + = + + = = = ⇔ = = − = ⇔ − = ⇒ − = + = + ⇒ = + + ab b a b a b a y ab ab x ii ab b a b a b a y ab ab x i didapat dan Dari x y x x x y x b a b a b a y x b a ab

55. Buktikan bahwa jika suatu bilangan kelipatan 9 maka jumlah angka-angkanya pasti kelipatan 9 ! Jawab :

abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + a + 9b + b + 9c + c + d = 999a + 99b + 9c + (a+ b + c + d) = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)

a + b + c + d = abcd – 9(111a + 11b + c)

Karena abcd kelipatan 9 maka a + b + c + d kelipatan 9.

56. Diketahui bilangan asli berurutan a, b, c , d. buktikan bahwa ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1 habis dibagi 12

Jawab :

Hasil kali 2 bilangan asli berurutan pasti bilangan genap (kelipatan 2) Misal a = x, b = x + 1, c = x + 2 dan d = x + 3

ab + ac + ad + bc + bd + cd + 1

=x(x+1)+x(x+2)+x(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)+(x+2)(x+3)+1 =_{x +x+}2 _{x +2x+}2 _{x +3x+}2 _{x +3x+2+}2 _{x +4x+3+}2 _{x +5x+6+1}2

=6x(x+1) + 12(x+1)

Karena x(x+1) kelipatan 2 maka 6x(x+1) kelipatan 12 Jadi soal kelipatan 12.

57. Buktikan bahwa semua bilangan asli yang terdiri dari 6 digit angka berbentuk abcabc selalu habis dibagi 91 !

Bukti :

abcabc = 100.000a + 10.000b + 1.000c + 100a + 10b + c = 100100a + 10010b + 1001c

= 1001 x 100a + 1001 x 10b + 1001c

= (91 x 11) x 100a + (91 x 11) x 10b + (91 x 11)c Jadi abcabc habis dibagi 91.

58. Jika a, b, c bilangan real positif dan a + b + c = 1, buktikan bahwa (1 - a)(1 – b)(1 – c)≥ 8 abc ! Jawab :

(

)(

)(

)

(

a

)

b c abc c b a c a c b b a maka x x Jika ac c a bc c b ab b a b c a a c b c b a c b a 8 ) 1 )( 1 ( 1 8 : ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ....( 2 ) 2 ....( 2 ) 1 ....( 2 1 1 1 1 2 2 2 ≥ − − − ≥ + + + ≥ + ≥ + ≥ + − = + − = + − = + = + +

59. Jika A = 1 + (1+2) + (1+2+4) + (1+2+4+8) + …..+(1+2+4+…..+2 )n−1 maka tentukan rumus untuk nilai A ! Jawab : 1 + (1+2) + (1+2+4) + (1+2+4+8) + …..+(1+2+4+…..+2 )n−1 =

∑ ∑

= = − _      n i i k k 1 1 1 2 Karena 1+2+4+……. 2 1 1 2 ) 1 2 ( 1 _{= −} − − = ⇒ i i i S maka : 1 + (1+2) + (1+2+4) + (1+2+4+8) + …..+(1+2+4+…..+2 )n−1 =

∑

∑

∑

∑

= = = = − = − = − n i n i n i i n i i i _n 1 1 1 1 2 1 2 1 2

∑

∑

= + + = + + − = − − = − − = − − = + + + = n i n n i n i n n i n n 1 1 1 1 1 ) 2 ( 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ) 1 2 ( 2 ... 8 4 2 2

60. Jika a, b dan c bilangan real positif, buktikan bahwa a2b₊ ab2₊ b2c₊ bc2 ₊ a2c₊ ac2 _≥ 6abc _!

Jawab : abc ac c a bc c b ab b a maka Jika abc c b c a c ab b a abc ac ab a bc c b abc bc b a b ac c a 6 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ....( 2 . 2 ) 2 ....( 2 . 2 ) 1 ....( 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ + + + + + + + ≥ + ⇒ ≥ + ≥ + ⇒ ≥ + ≥ + ⇒ ≥ +

61. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut jika diketahui a, b, c, d bilangan real. abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1 …. (1) bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 …. (2) cda + cd + da + ac + c + d + a = 9 …. (3) dab + da + ab + bd + d + a + b = 9 …. (4) Jawab :

Jika pers (1), (2), (3) dan (4) semua masing-masing ruas di tambah 1, maka didapat : (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 2 (b + 1)(c + 1)(d + 1) = 10 (a + 1)(c + 1)(d + 1) = 10 (a + 1)(b + 1)(d + 1) = 10 x

(

)

[

]

(

)

1 2 2 10 ) 1 ( 10 1 2 2 10 ) 1 ( 10 1 2 2 10 ) 1 ( 10 1 2 5 2 10 ) 1 ( 2 2 10 ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 2000 ) 1 )( 1 )( 1 ( 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 − = ⇔ = + − = ⇔ = + − = ⇔ = + − = ⇔ = + = + + + + = + + + + c c b b a a d d d c b a d c b a

62. Jika a dan b bilangan real dan 2

10 10 ₌ + + + a b b a b a

maka tentukan nilai

b a ! Jawab : 1 5 4 0 ) 1 ( 4 5 0 4 9 5 2 10 1 10 2 10 10 2 = = ⇒ = −       ₋ ⇔ = +       −       ⇔ = + + + ⇔ = + + + b a atau b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a b a

63. Jika a, b, c dan d real positif dan berlaku

d c b a _<

maka buktikan bahwa

d c d b c a b a _< + + < Jawab : d c d b c a b a dan Dari d c d b c a d b c a b a d b c c a d c a b d b a cd bc cd ad bc ab ad ab < + + < < + + + + < + < + + < + + < + + < + : ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ...( ) 1 ...( ) ( ) ( ) ( ) (

64. Buktikan bahwa untuk n bilangan bulat maka n3₊ 2n _{selalu habis dibagi 3 !}

Jawab : n n n n n n n n n n n n n3₊ 2 ₌ ( 2₊ 2)₌ ( 2₋1₊ 3₌ ( 2₋ 1)₊ 3 ₌ ( ₋1) ( ₊ 1)₊ 3

Karena (n-1)n(n+1) merupakan 3 bilangan berurutan maka (n-1)n(n+1) habis dibagi 3, jadi n3₊ 2n

habis dibagi 3.

65. Tentukan nilai x, y, z bilangan real yang memenuhi persamaan :

) 3 ....( 2 ) 2 ....( 2 ) 1 ....( 2 2 2 2 z xy z y zx y x yz x = + = + = +

Jawab :

Jika pers (1) kali x, pers (2) kali y dan pers (3) kali z maka didapat :

2 3 2 3 2 3 2 2 2 z xyz z y xyz y x xyz x = + = + = +

Dengan mengeliminasi 2xyz maka didapat x = y = z

z y x x x x x x yz x + = ⇒ + = ⇒ = = = 3 1 . 2 2 2 2

66. Jika a, b, c real positif sedemikian sehingga

d c c b b a =

= tentukan nilai dari

c b a c b a + + + + 2 3 2005 2004 2003 Jawab : d c c b b a = = maka a = b = c c b a c b a + + + + 2 3 2005 2004 2003 1002 2 3 2005 2004 2003 ₌ + + + + ⇒ a a a a a a

67. Buktikan bahwa untuk n bilangan asli yang lebih dari 1 maka n5 − n _{habis dibagi 30 !}

Jawab : 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 5_{− n= n− n n+ n +} n (n-1)n(n+1) habis dibagi 6.

Bilangan yang habis dibagi 5 sellau berujung 5 atau 0.

(

2

)

( 2 1)

5_{− n= n n − n n +}

n

Untuk n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 selalu berujung 0 atau 5, jadi habis dibagi 5. Sehingga n5 − n _{habis dibagi 6 x 5 = 30}

68. Buktikan bahwa 1110₋ 1 _{habis dibagi 100 !} Bukti : 1 1 10 . 10 10 . 45 10 . 120 10 . 210 10 . 252 10 . 210 10 . 120 10 . 45 10 . 10 10 1 ) 1 10 ( 1 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 − + + + + + + + + + + = − + = − Habis dibagi 100.

69. Tentukan nilai positif x, y, z dari persamaan :

) 3 ....( 2 log log log ) 2 ....( 2 log log log ) 1 ....( 2 log log log 16 16 4 9 9 3 4 4 2 = + + = + + = + + y x z x z y z y x Jawab :

( )

3 32 256 24 . 256 . 256 8 27 81 24 . 81 . 81 3 2 16 24 . 16 . 16 24 256 . 81 . 16 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 ...( 256 256 log log log log 2 log log log ) 2 ...( 81 81 log log log log 2 log log log ) 1 ...( 16 16 log log log log 2 log log log 2 2 2 4 2 16 16 16 2 16 16 16 4 2 9 9 9 2 9 9 9 3 2 4 4 4 2 4 4 4 2 = ⇔ = ⇒ = ⇔ = = ⇔ = ⇒ = ⇔ = = ⇔ = ⇒ = ⇔ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = + + ⇔ = + + = ⇒ = + + ⇔ = + + = ⇒ = + + ⇔ = + + z z xyz z xy z y y xyz y zx y x x xyz x yz x xyz xyz x x xy z y x z y x z zx y x z y x z y yz x z y x z y x

70. Diketahui a+b+c+d=0 dan a.b.c.d≠ 0. Buktikan bahwa :

(

_a3_{+ b}3_{+ c}3_{+ d}3

)

2_{= 9}

(

_{abc+ abd + acd + bcd}

)

2

Bukti : 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ) ( 9 ) ( ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 0 abd abc bcd acd d c b a abd abc bcd acd abd abc b a cd d c b a abd abc d c cd d c b a d c ab d c b a ab b a b a d c b a d c b a + + + = + + + + + + = + + + = + + + + + + − − − = + + + + − = + − + = + + − = + ⇔ = + + +

71. Diketahui x dan y adalah bilangan real dengan ketentuan 1< y< 2dan x− y+ 1= 0. Tentukan nilai dari 4_x2 ₊ 4_y− 3₊ 2 _y2₋ 6_x− 2_y+ 10

Jawab :

x = y – 1 disubstitusikan ke 4_x2₊ 4_y− 3₊ 2 _y2 ₋ 6_x− 2_y+ 10 _{maka akan didapat :}

(

2_y−1

)

2 ₊ 2

(

_y− 4

)

2 ₌ 2_y−1₊ 2_y− 4 Karena 1< y< 2 maka : 7 ) 4 ( 2 1 2 ) 4 ( 4 1 2 1 2 = − − − − − = − − = − y y Jadi y y y y

72. Sebuah bilangan terdiri dari 3 digit. Bilangan itu habis dibagi 12 dan hasil baginya adalah jumlah angka-angkanya. Tentukan bilangan itu !

Jawab : 100a+10b+c=12(a+b+c) ⇔ a= c+ b 2 1 5 44

c yang mungkin adalah bilangan genap yaitu 8 44a = .8+

2 1

5 b atau b = 44a – 44 maka a = 1 dan b = 0 Jadi bilangan itu adalah 108

73. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa

8 1 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin A B C ≤ ! Bukti : 8 1 64 2 1 sin . 2 1 sin . 2 1 sin 4 . 4 . 4 2 1 sin . 2 1 sin . 2 1 sin 4 2 1 sin 4 2 1 sin 4 2 1 sin . ) ( 0 ) ( 4 ) ( 2 2 1 2 cos 1 2 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − − ≥ − − − = − + − = − = c b a c b a C B A ab c ac b bc a C B A ab c C dan ac b B akibatnya bc a A Sehingga a c b a maka c b Karena bc c b a bc a c b A A

74. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa 8 1 cos cos cosA B C ≤ ! Bukti : Karena

(

_b2_{− c}2

)

2_≥ 0 _{maka a}4 _{− (b}2_{− c}2₎2_{≤ a}4

[

][

]

(

)

8 1 64 cos cos cos 4 . 4 . 4 cos cos . cos cos . cos cos 4 cos cos 4 cos cos 4 cos cos ) cos 2 ( cos 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − − − + c b a c b a C B A bc a ac b ab c C B C A B A ac b C A dan ab c B A akibatnya bc a C B a B ac C ab a c b a c b a

75. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa 3

2 3 sin sin sinA+ B+ C ≤ ! Bukti : 3 2 3 3 2 1 3 2 1 . 4 sin sin sin ) 60 180 ( 4 1 sin 4 3 2 1 sin sin sin : 1 ) 60 ( 4 1 cos )) 60 ( 4 1 cos ) 60 ( 4 1 sin 2 ( 2 3 2 1 sin sin sin 30 2 1 sin ) 2 1 2 1 sin( 2 3 2 1 sin sin sin : ) 2 ( ) 1 .( ) 2 ...( ) 60 ( 2 1 sin 2 60 sin sin ) 1 ...( ) ( 2 1 sin 2 sin sin 1 ) ( 2 1 cos ) ( 2 1 cos ) ( 2 1 sin 2 sin sin = − ≤ + + + ≤ + + + ≤ − − + − − + + + + ≤ + + +           ₊ + + ≤ + + + + + ≤ + + ≤ + ≤ − − + = + C B A C B A maka C B A Karena C B A C B A C B A C B A C B A maka pers Jika C C Sehingga B A B A maka B A Karena B A B A B A        

76. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa 1

2 1 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 1 tan A B+ A C+ B C = Bukti : C B A A C B C B A C B A A C B B C A C B A C B C B C A C A B A B A 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin ) 2 1 2 1 sin( 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin + + = + + = + +

(

)

(

)

1 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin ) ( 180 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 180 2 1 sin 2 1 sin = + − = +       ₊ = + + − = + = + = + − = C B C B C B C B C B C B C B C B C B C B C B C B A C B A A C B A A C B A A C B A A  

77. Jika A, B, C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, buktikan bahwa :

3 5 8 2 1 tan 2 1 tan 8 2 1 tan 2 1 tan 8 2 1 tan 2 1 tan A B+ + B C+ + A C+ ≤ Bukti :

(

)

(

)

3 5 ) 24 1 ( 3 24 2 1 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 1 tan 2 1 tan 3 8 2 1 tan 2 1 tan 8 2 1 tan 2 1 tan 8 2 1 tan 2 1 tan 3 ) ( 3 ) ( 2 2 2 2 2 = + =       _{+ + +} ≤ + + + + + + + ≤ + + + + = + + + + + + + + ≤ + + + + + + + = + + C B C A B A C A C B B A c b a c b a c b a c b c a b a c b a c b a bc ac ab c b a c b a 78. Buktikan bahwa 2 1 2005 2003 cos ... 2005 5 cos 2005 3 cos 2005 cos π + π + π + + π = Bukti : 2005 2002 sin 2005 2004 sin 2005 sin 2005 2003 cos 2 ... 2005 4 sin 2005 6 sin 2005 sin 2005 5 cos 2 2005 2 sin 2005 4 sin 2005 sin 2005 3 cos 2 0 2005 2 sin 2005 sin 2005 cos 2 π π π π π π π π π π π π π π π − = − = − = − = +

2 1 2005 sin 2005 sin 2 1 2005 sin 2005 2004 sin 2 1 2005 2003 cos ... 2005 5 cos 2005 3 cos 2005 cos 2005 2004 sin ) 2005 2003 cos ... 2005 5 cos 2005 3 cos 2005 (cos 2005 sin 2 =       − = = + + + + = + + + + π π π π π π π π π π π π π π π

79. Buktikan bahwa cos_ec10 + cos_ec50− cos_ec70 = 6 Bukti : = − +    _{cos 50 cos 70} 10 cosec ec ec _{  } 70 sin 1 50 sin 1 10 sin 1 − + 6 4 1 2 3 10 sin 2 1 4 1 10 sin 2 1 20 cos 20 cos 60 cos 2 2 3 ) 10 sin 30 (sin 2 1 10 sin 2 1 20 cos 40 cos 80 cos 2 3 10 sin ) 20 cos 120 (cos 2 1 40 cos 60 cos 60 cos 80 cos 20 cos 120 (cos 2 1 10 sin 50 sin 70 sin 10 sin 50 sin 10 sin 70 sin 50 sin 70 sin = − − = + − − − + − = − − − − + + − = − − + − − + − − = − + =                             

80. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa tanA+ tanB+ tanC = tanAtanBtanC ! Bukti : C B A C B A C B A C B A B A B A B A C C B A B A B A C C B A B A C C C B A B A C C c C B A B A C B A C C B A B A C B A B A C C B A B A C C A B C B A C C B B A A tan tan tan cos cos cos sin sin sin cos cos cos ) sin sin cos cos cos (cos sin cos cos cos )) cos( cos (cos sin cos cos cos ) cos cos (cos sin cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin ) sin( cos cos cos cos cos cos sin ) sin cos cos (sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin = = + − = + − = + = + = + + = + + = + + = + +

81. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa tanAtanBtanC ≥ 3 3 ! Bukti : 3 3 tan tan tan 27 ) tan tan (tan tan tan tan 27 ) tan tan (tan tan tan tan 3 tan tan tan tan tan tan 3 tan tan tan 3 2 3 3 3 3 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ + + ≥ + + C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A abc c b a

82. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa A B C A B C

2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 4 sin sin sin + + = ! Bukti :

(

) (

)

C B A C B A C B A B A B A B A C C B A B A B A C C B A B A B A C C B A C B A C C B A C C B A C C B A C C B A B A C C C B A B A C C C B A B A C B A 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos cos cos 4 cos cos cos 2 cos cos cos 2 ) sin sin cos cos sin (sin cos 2 cos cos cos 2 )) cos( sin (sin cos 2 cos cos cos 2 )) ( 180 ( sin sin (sin cos 2 cos cos cos 2 ) sin sin (sin cos 2 cos cos cos 2 cos sin 2 ) sin sin cos 2 cos cos cos 2 cos sin 2 ) sin sin cos (cos cos 2 cos sin 2 ) sin sin cos )(cos 180 ( sin 2 cos sin 2 cos sin 2 sin sin sin = + = − + + = + + + = + − + + = + + = + + = + + = + + − = + − + = + +  

83. Jika A, B, C sudut-sudut pada segitiga ABC, buktikan bahwa

C B A ecC ecB ecA ₂1 2 1 2 1 4

9_{sec sec sec}

cos cos

cos + + ≥

Bukti :

Arithmetic Mean ≥ Harmonik Mean

(

)

C B A C ec B ec A ec C B A C ec B ec A ec C B A C ec B ec A ec C ec B ec A ec C B A c b a c b a c b a c b a 2 1 2 1 2 1 4 9 2 1 2 1 2 1 sec sec sec cos cos cos cos cos cos 4 9 cos cos cos sin sin sin 9 cos cos cos 9 ) cos cos )(cos sin sin (sin 9 1 1 1 1 1 1 3 3 ≥ + + ≥ + + + + ≥ + + ≥ + + + + ≥       _{+ +} + + ⇔ + + ≥ + +

84. Buktikan bahwa

(

a+ b− c

)

(b+ c− a)(c+ a− b)≤ abc

Bukti :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

( )

(

a b c

)

b c a c a b abc abc b a c b a c a c b a c b c b a c b a c b a b a c a c b c b a c b a c maka b a Karena b a c b maka a c Karena a c b a maka c b Karena ≤ − + − + − + ≤ + − − + + − − + + − − + ≤ − − − − − − ≤ − − ≥ − ≤ − − ≥ − ≤ − − ≥ − ) )( ( ) )( )( )( )( ( 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

85. Jika a, b, c sisi-sisi segitiga ABC, buktikan bahwa

(

a+ b+ c

)

(ab+ bc+ ca)≥ 9abc ! Bukti :

(

)(

)

(

) (

) (

)

abc abc abc abc abc ab ac c a c b bc b a abc ab ac c a c b bc b a abc ac bc abc abc c b ab c a abc b a ca bc ab c b a 9 ) ( 2 3 . 2 . 2 . 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + = + + + ≥ + + + + + + = + + + + + + + + = + + + +

86. Jika x bilangan real positif, buktikan bahwa 2003+ 2001+ 1999+ ...+ ₁₉₉₉1 + ₂₀₀₁1 + ₂₀₀₃1 ≥ 2004

x x x x x x Bukti : 2004 1002 . 2 2 ... 2 2 1 .... 1 1 2 1 . 2 1 1 1 2001 2001 2003 2003 2003 2003 2003 2003 = = + + + ≥       + + +       ₊ +       ₊ = ≥ + x x x x x x x x x x

87. Dalam segitiga ABC jika a2 = b2+ c2+ bc _{maka tentukan} β + γ _!

Jawab :    60 180 120 cos cos 2 ₂1 2 2 2 2 2 = − = + = ⇔ − = ⇒ − + = + + = α γ β α α α bc c b bc c b a

88. Dalam segitiga ABC berlaku _c2 ₌

(

_acos_{α − b}sin_α

) (

2_{+ a}sin_{α + b}cos_α

)

2. _{Tentukan besarnya sudut} C ! Jawab :  90 ) sin (cos ) sin (cos cos cos sin 2 sin sin cos sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∠ ⇒ + = + + + = + + + + − = C b a c b a c b ab a b ab a c α α α α α α α α α α α α

89. Tentukan nilai sin215₊ sin215cos215 ₊ sin215cos415 ₊ sin215cos615₊ ... Jawab : 1 15 cos 1 1 . 15 sin ...) 15 cos 15 cos 15 cos 1 ( 15 sin2 2 4 6 2 _{2 =} − = + + + +     _ 

90. Sebuah balok luas alasnya 96 _{cm , luas sisi depannya 72} 2 _{cm dan luas sisi sampingnya 48} 2 _{cm .} 2

Tentukan volume balok ! Jawab : pl = 96 dan pt = 72 maka l = 72 96t lt = 48 atau . 48 6 8 12 72 96 _{= ⇒ = ⇒ = =} p dan l t t t V = p l t = 12.8.6=576

91. Sebuah balok mempunyai perbandingan ukuran p : l : t = 6 : 3 : 2. Jika panjang diagonal ruangnya 28 cm, tentukan volume balok !

Jawab :

Misal p =6x, l = 3x dan l = 2x maka 282 ₌

( )

6_x 2₊ (3_x)2 ₊ (2_x)2 _{⇒ x=} 4 Jadi V = p l t = 24.12.8 = 2304 _cm2

92.

C Tentukan luas segitiga ABC ! 4x+5 x+2 A B 4x+4 Jawab :

(

) (

)

84 ) 2 5 )( 4 5 . 4 ( 2 1 5 ) 2 ( 4 4 5 4 2 2 2 = + + = = ⇒ + + + = + L x x x x

93. Tentukan jumlah angka-angka dari 1025₋ 25 _! Jawab : 25 000 ... 1000 25 1025_{− = − = 999 …. 99975} 25 angka 23 angka Jadi jumlah angka-angkanya = 9.23+7+5 = 219 94. Jika f(1) = 5 dan f(x+1) = 2f(x) maka tentukan f(7) !

Jawab : f(1) = 5 f(2) = 2f(1) = 10 f(3) = 2f(2) = 20 f(4) = 2f(3) = 40 ….

Jadi 5, 10, 20, 40, …. Berupa barisan geometri dengan rasio = 2. Sehingga f(7) = 5.27−1 ₌ 320

95. Empat bola berjari-jari sama yaitu 10 cm terletak di atas meja sedemikian sehingga pusat dari keempat bola membentuk bujur sangkar bersisi 20 cm. Bola kelima berjari-jari 10 cm diletakkan diatasnya sehingga bola tersebut menyinggung keempat bola pertama. Tinggi pusat bola kelima dari meja adalah …. Jawab : 20 t 20 10 10 Dari atas dari samping

h = t + 10 = 400− 100+ 10= 10

(

3+1

)

96.Pada lomba maraton tiap peserta diberi nomor urut 1, 2, 3, 4, …… dst. Banyaknya angka yang dipakai untuk menulis nomor seluruh peserta adalah 1998 buah. Berapa banyak peserta maraton tersebut ? Jawab :

Nomor 1 angka : 9 x 1 = 9 yaitu 1 – 9 Nomor 2 angka : 90 x 2 = 180 yaitu 10 – 99 Nomor 3 angka : 1998 – 189 = 1809

Banyaknya bilangan dengan 3 angka : 1809 : 3 = 603 Jadi banyak peserta = 603 + 9 + 90 = 702 peserta