Merkle-Hellman Knapsack Cryptosystem.

Merkle-Hellman

Knapsack

Crypt osyst em

AKIK HIDAYAT

Kript osist em Merkle Hellman

Knapsack

• Merkle Hell man Knapsack pert ama kal i

dideskripsikan ol eh Merkle dan Hell man

pada t ahun 1978

• Didasarkan pada masal ah NP complet e

(Non Det erminist ic Polynomial )

Bent uk umum

_  1 1 j i si sj

• Ambil s = (s1 , s2,…, sn) se mbarang bilangan int eger superincreasing, ambil

• bilangan prima, dan ambil 1 a  P

• unt uk 1 i  n.

• Didefinisikan t i = asi mod P, dan dinyat akan dalam t = ( t 1, t 2, t 3, . . . t n ). Ambil P = {0, 1)n , C = {0 , 1, . . . , n(P-1)}dan ambil K = {(s, P, a, t)} , dimana s, P, a, t dikont ruksi sepert i diat as, t se bagai Public, dan P, a dan s adalah

secret (rahasia). Unt uk K = {(s, P, a, t )}, didefinisikan

• eK (x1 , x2, x3 , …. , xn) = .

• Unt uk 0  y  n(P-1), Definisikan Z = a-1y mod P, dK (y) = (x1, x2 , x3, …. , xn )

_  n i i s p 1 _  n i i s p 1



_  n i i s p 1

_n i

i it

x

Knapsack Problem

T s x n i i i 

_1

}

all

for

}

1

,

0

{

{

2 / 1 :

1

x

a

x

j

S

j n j j j









Probl em Inst ance

I = (s

₁

, …, s

_n

, T), dimana s

₁

, …, s

_n

dan T adal ah

bil angan bul at posit i f . S

_i

adal ah

si zes dan T

adal ah

Tar get Sum.

Quest ion

Apakah 0-1 vekt or x = (x1, …, xn) merupakan

?

T

s

x

n i i i



Public Key

:

t

Privat e Key

: s

_i

, p, a,

Algorit ma Merkle-Hellman Knapsack

_  1 1 j i si sj

What we need

• S = ( s₁, …, s_n) bi langan i nt eger superi ncreasi ng

• bi langan pri ma

• a, 1

≤

a

≤

p-1

• t = a s_i mod p

Encode

:

e_s(x₁, …, x_n) =

Decode

:

z = a

-1

y mod p

• penyelesai an masalah subset (s₁, …, s_n, Z)

di berlakukan unt uk d_K(y) = (x₁, …, x_n).

Algorit ma Merkle-Hellman Knapsack



_{i }n

x

i

t

i

Privat e key :

s = (1, 2, 5, 11, 32, 87, 141)

a = 200

p = 307

Pl aint ext (x) : SYANE MARANNU T HANA

Chipert ext : ?????

Perhit ungan Publ ic Key (t ) :

t

_i

= a* s

_i

mod p

Didapat kan

Subset -sum Pr oblem

5

8

4

11

6

20

Plai nt ext :

syane marannu t hana

Di masukkan dalam kode ASCII

x = 83 89 65 78 69 77 65 82 65 78 78 85 84 72 65 78 65

Masi ng – masi ng kode ASCII t ersebut di konversi ke bi ner s



83 : 1010011

y



89 : 1011001

a



65 : 1000001

n



78 : 1001110

Plai nt ext di bagi dalam block sesuai dengan banyaknya s, pada cont oh i ni banyaknya s adalah 7 di gi t .

1010011



y = 200 + 79 + 208 + 263 = 750

1011001



y = 200 + 79 + 51 + 263 = 593

dst …

Ci phert ext :

Dekripsi :

Hitung Z

Z = a

-1

y mod p

200

-1

=????



dengan algoritma extended euclidian

200

-1

= 1171

Untuk y = 750:

Z = 241*750 mod 307

= 180750 mod 307

= 234

234 = 1*1 + 0*2 + 1*5 + 0*11 + 0*32 + 1*87 + 1*141

Alice Bob

Private Key

s = (1,2,5,11,32,87,141) a = 200

p = 307

Public Key t = (200,93,79,51,

260,208,263)

Creates

Cryptosystem Plaintext: P= 1010011

Encryption: Using Public Key

y = 200 + 79 + 208 + 263 = 750

Ciphertext: 750 Decryption:

Z = 241*750mod 307 = 234

234 = 1*1 + 0*2 + 1*5 + 0*11 + 0*32 + 1*87 + 1*141

Decrypts Ciphertext