PEMBUKTIAN MATEMATIKA
Karya Tulis
Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Pengantar Dasar Matematika yang di ampu oleh :
Dr. H. Beni Yusepa G. P, S.Pd., M.Pd / Agus Dede Anggiana, M.Pd
Disusun oleh : BAYINA AS-SYIFA
(195050065)
Kelas B (Pendidikan Matematika)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (FKIP) UNIVERSITAS PASUNDAN
BANDUNG 2019
i
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur disampaikan kepada Allah Swt., karena rahmat dan bimbingannya penulis dapat menyelesaikan karya tulis ilmiah yang berjudul
"Pembuktian Matematika”. Ini adalah karya tulis yang ditulis untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Pengantar Dasar Matematika .
Tak ada gading yang tak retak. Penulis menyadari bahwa dalam karya tulis ilmiah ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun dari siapa pun diharapkan oleh penulis untuk perbaikan di masa depan. Penulis juga berharap karya tulis ini dapat bermanfaat khususnya bagi penulis dan umumnya bagi kita semua. Semoga karya tulis ini dapat menjadi panduan dan inspirasi bagi banyak orang.
Kita menyerah kepada Allah dalam segala urusan dan kepadanya kita kembali. Hasbunallah wa ni'mal wakil, ni'mal maula wa ni'man nashir.
Baleendah, Desember 2019
Penulis
ii DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ... i
DAFTAR ISI ... ii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 1
1.3 Tujuan Penulisan ... 2
1.4 Manfaat Penulisan... 2
BAB II PENJELASAN MATERI ... 3
2.1 Pembuktian Langsung ... 3
2.2 Induksi Matematik ... 3
2.3 Pembuktian Tidak Langsung ... 9
2.4 Proposisi Perihal Himpunan ... 11
BAB III HASL ANALISIS ... 15
BAB IV PENUTUP ... 16
4.1 Kesimpulan ... 16
DAFTAR PUSTAKA ... 17
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Suatu pola bilangan atau rumus matematika diperlukan pembuktian berdasarkan definisi, teorema, maupun hukum-hukum yang sudah pernah dibuktikan. Hamper semua rumus dan hukum yang berlaku tidak terbentuk begitu saja sehingga diragukan kebenarannya. Ada banyak cara untuk membuktikan suatu teorema dan kadang suatu teorema dapat dibuktikan dengan beberapa cara yang berbeda, yaitu dengan metode pembuktian langsung dan metide pembuktian tidak langsung. Saat akan membuktikan teorema terdapat banyak kesulitan. Bagi yang tidak terbiasa melakukan pembuktian maka kesulitan muncul pada langkah pertama yaitu pada menentukan darimana pembuktian harus dimulai.
Teknik pembuktian yang baku dalam matematika pada bilangan bulat adalah induksi matematika. Pembuktian dengan induksi matematika berguna untuk mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.
1.2 RUMUSAN MASALAH
1. Apa yang dimaksud dengan pembuktian langsung?
2. Apa yang dimaksud dengan induksi matematik?
3. Apa saja jenis induksi matematik?
4. Apa yang dimaksud dengan pembuktian tidak langsung?
5. Bagaimana pembuktian proposisi perihal himpunan?
1.3 TUJUAN PENULISAN
1. Untuk mengetahui yang dimaksud dengan pembuktian langsung.
2. Untuk mengetahui yang dimaksud dengan induksi matematik.
3. Untuk mengetahui jenis-jenis induksi matematik.
4. Untuk mengetahui yang dimaksud dengan pembuktian tidak langsung.
5. Untuk mengetahui pembuktian proposisi perihal himpunan.
1.4 MANFAAT PENULISAN 1. Bagi penulis
Menambah wawasan dan pengetahuan mengenai pembuktian matematika.
2. Bagi siswa
Mempermudah belajar dan menambah wawasan mengenai pembuktian matematika.
.
3 BAB II
PENJELASAN MATERI
2.1 PEMBUKTIAN LANGSUNG
Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar.
Contoh : “Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap”
Misalnya ada bilangan genap sembarang m dan n. Dari definisi bilangan genap, m dan n dapat ditulis
m = 2k, dengan k adalah suatu bilangan bulat n = 2i, dengan I adalah suatu bilangan bulat m + n = 2k + 2i
= 2 (k + i), dengan (k + i) juga bilangan bulat
m + n dapat ditulis jadi 2 kali suatu bilangan bulat. Sesuai definisi bilangan genap, maka m+n bilangan genap juga. Maka terbukti bahwa jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap.
2.2 INDUKSI MATEMATIK
Induksi matematika adalah Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat. Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.
Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.
1. Prinsip Induksi Sederhana
Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukan bahwa :
1. p(1) benar, dan
2. jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat positif n 1.
Langkah 1 dinamakan Basis Induksi, sedangkan langkah 2 dinamakan Langkah Induksi. Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi. Bila kedua langkah tersebut benar, maka sudah dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan tersebut benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil.
Langkah induksi harus memperlihatkan bahwa p(n) p(n+1) benar untuk semua bilangan bulat positif.
Contoh :
Tunjukkan bahwa untuk n 1, 1+2+3+…+ n = n(n+1)/2 melalui induksi matematika
(i) Basis induksi : p(1) benar, karena untuk n = 1 kita peroleh 1 = 1(1+1)/2
= 1(2)/2 1 = 1
Langkah induksi :andaikan untuk n 1, kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,
5
1+2+3+…+ n = n(n+1)/2
1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2 1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1) [(n+1) +1] /2 1+2+3+…+n+(n+1) = (1+2+3+…+n) + (n+1)
= [n(n+1)/2] + (n+1) = [(n2 +n)/2] + (n+1)
= [(n2 +n)/2] + [(2n+2)/2]
= (n2 + 3n + 2)/2 = (n+1)(n+2)/2 = (n+1) [(n+1)+1] /2
Karena langkah (i) dan (ii) telah dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, terbukti bahwa untuk semua n 1, 1+2+3+…+n
= n(n+1)/2
2. Prinsip Induksi yang Dirampatkan
Jika ingin membuktikan bahwa pernyataan p(n) benar untuk semua bilangan bulat n0 , prinsip induksi sederhana dapat dirampatkan untuk menunjukkannya, dengan cara sebagai berikut :
1. p (n0) benar, dan
2. jika p(n) benar maka p(n+1) juga benar, untuk semua bilangan bulat n n0
Contoh:
Untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan induksi matematika bahwa 20+21+22+…+2n = 2n+1-1
Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, 20+21+22+…+2n = 2n+1-1
(i) Basis induksi : p(0) benar, karena untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita peroleh :
20 = 1 = 20+1 – 1 = 21 – 1 = 2 – 1 = 1
(ii) Langkah induksi : misalkan p(n) benar, yaitu proposisi
20+21+22+…+2n = 2n+1-1
Diasumsikan benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu 20+21+22+…+2n + 2n+1 = 2(n+1)+1-1
Hal ini ditunjukkan sebagai berikut :
20+21+22+…+2n + 2n+1 = (20+21+22+…+2n ) + 2n+1
=2n+1-1 + 2n+1
= (2n+1 + 2n+1) – 1 = (2. 2n+1) – 1 = 2(n+1)+1 – 1
Karena langkah (i) dan (ii) telah dibuktikan benar, maka terbukti bahwa untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, 20+21+22+…+2n = 2n+1-1
3. Prinsip Induksi Kuat
Misalkan proposisi P(n) dengan semesta bagi n adalah bilangan asli dengan n ≥ n0. Untuk membuktikan n P(n), cukup dibuktikan :
1. P(n0) benar
2. jika p(n0), p(n0+1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat n n0
7
Versi induksi yang lebih kuat, mirip dengan induksi sederhana, kecuali langkah 2 kita mengambil hipotesis induksi yang lebih kuat bahwa semua pernyataan p(1), p(2), … , p(n) adalah benar daripada hipotesis yang menyatakan bahwa p(n) benar pada induksi sederhana. Prinsip induksi kuat memungkinkan kita mencapai kesimpulan yang sama meskipun pemberlakukan andaian yang lebih banyak.
Contoh :
Buktikan bahwa 2n ≥ 2n+1 dimana n ≥ 3, n N.
(i) Basis induksi (untuk n= 3) 23 ≥ 2(3)+1
8 ≥ 6+1 8 ≥ 7 (benar) Hipotesis induksi
2n ≥ 2n +1(dianggap benar) (ii) Langkah Induksi
Akan dibuktikan 2n + 1 ≥ 2(n+1)+1 Berdasarkan hipotesis induksi 2n +1 = 2.2n ≥ 2(2n+1)
= (2n+1) + (2n+1) = (2n+2) + 2n
= 2(n+1) + 2n karena 2n > 1 untuk n ≥ 3 ≥ 2(n+1) + 1
Contoh :
Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
Buktikan dengan prinsip induksi kuat.
Penyelesaian:
(i) Basis induksi.
Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.
(ii) Langkah induksi.
Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi).
Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima.
Ada dua kemungkinan nilai n + 1:
(a) Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.
(b) Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa.
Dengan kata lain, (n + 1)/ a = b atau (n + 1) = ab yang dalam hal ini, 2
a b n. Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena n + 1 = ab.
Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n (n 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.
4. Prinsip Induksi Secara Umum
Prinsip induksi secara umum dibuat supaya dpat diterapkan tidak hanya untuk pembuktian yang menyangkut himpunan bilangan bulat positif, tetapi juga pembuktian yang menyangkut himpunan objek yang lebih umum. Syaratnya himpunan objek itu harus memiliki keterurutan dan mempunyai elemen terkecil.
Definisi :
Relasi biner “<” pada himpuna x dikatakan terurut dengan baik bila memiliki property berikut :
9
Diberikan x, y, z € X, jika x < y dan y < z, maka x < z
Diberikan x, y € X, salah satu dari kemungkinan ini benar: x < y dan y < x, atau x = y
Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X, terdapat elemen x € A sedemikian sehingga x y untuk semua y € A
Dengan kata lain, setiap himpunan bagian tidak kosong dari X mengandung elemen terkecil.
Misalkan X terurut baik oleh “<“ dan p(x) adalah pernyataan perihal elemen x dari X. Pembuktian bahwa p(x) benar untuk semua x € X. Untuk pembuktiannya hanya perlu menunjukkan bahwa : p(x0) benar, yang dalam hal ini x0 adalah elemen terkecil di dalam X. Jika p(y) benar untuk y < x, maka p(x) juga benar untuk setiap x > x0 di dalam X Sehingga p(x) benar untuk semua x € X
2.3 PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG
Pembuktian tidak langsung adalah pembuktian suatu kalimat atau sifat matematika dengan mengubah susunan kalimat tersebut.
1. Kontraposisi/kontrapositif
Kita tahu bahwa pernyataan implikasi p q akan ekuivalen dengan kontraposisinya yakni ~q ~p, atau bisa kita tulis p q ~q ~p.
konsep inilah yang menjadi dasar untuk pembuktian tidak langsung dengan kontraposisi. Disini kita berwal dengan mengasumsikan ~q benar, maka harus dibuktikan bahwa ~p benar. Jika pernyataan kontraposisinya benar, maka pernyataan semula juga benar.
Contoh :
Buktikan bahwa jika 3n+2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil.
Penyelesaian :
Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p q dengan p : 3n+2 bilangan ganjil
q : n bilangan ganjil
Sepintas pembuktian ini terasa sulit dibuktikan secara langsung. Maka kita ubah pernyataan ini menjadi kontraposisinya, yaitu : “Jika n bilangan genap, maka 3n+2 bilangan genap”
~ q : n bilangan genap
~p : 3n+2 bilangan genap
Mula-mula kita misalkan ~q benar, yakni n bilangan genap, akan dibuktikan bahwa ~p benar, yakni 3n+2 bilangan genap.
Karena n bilangan genap , maka bisa kita tuliskan sebagai n = 2k, untuk semua k bilangan bulat. Selanjutnya kita perhatikan :
3n + 2 = 3(2k) +2 = 6k + 2 = 2(3k+1). Misalkan m = 3k +1, sehingga 3n + 2 = 2m.
Jadi 3n +2 merupakan bilangan genap. Jadi telah terbukti bahwa kontraposisi pernyataan ini benar, sehingga pernyataan semula juga terbukti benar.
2. Kontradiksi
Suatu pernyataan pasti memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran ingkarannya. Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dimulai dengan membuktikan bahwa ingkaran dari pernyataan implikasi tersebut salah. Dengan terbuktinya bahwa ingkaran tersebut salah, maka pernyataan implikasi tersebut pasti benar. Kesalahan yang diperoleh tersebut ditunjukkan oleh suatu kontradiksi. Suatu kontradiksi terjadi jika ada suatu atau lebih pernyataan yang bertentangan. Kita bisa tuliskan sebagai :
~ (p q) p ~q
Dalam proses ini, kita berangkat dengan mengasumsikan p ~q. dari sini kita harus menemukan r ~r, yaitu pernyataan yang selalu salah (kontradiksi). Maka p ~q salah, dan sebaliknya p q pastilah benar.
11
Contoh :
Buktikan bahwa jika 5n + 4 bilangan bulat ganjil maka n bilangan bulat ganjil
Penyelesaian :
Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p q, dengan : p : 5n + 4 bilangan bulat ganjil
q : n bilangan bulat ganjil
kita berawal dengan mengasumsikan ingkarannya benar, yaitu bahwa
“5n + 4 bilangan bulat ganjil dan n bilangan bulat genap” karena n bilangan genap, kita dapat tuliskan n = 2k, dengan k bilangan bulat.
Akibatnya 5n + 4 = 5 (2k) + 4 = 10k + 4 = 2 (5k + 2). Misalkan m = 5k + 2, maka 5n + 4 = 2m, yang merupakan bilangan bulat genap. Kontradiksi dengan asumsi bahwa 5n + 4 bilangan bulat ganjil.
Jadi, asumsi salah. Maka pernyataan semula pastilah benar.
Jadi terbukti bahwa jika 5n + 4 bilangan bulat ganjil maka n bilangan bulat ganjil.
2.4 PROPOSISI PERIHAL HIMPUNAN
Proposisi himpunan adalah argument yang menggunakan notasi himpunan. Proposisi dapat berupa :
(i) Kesamaan (identity)
Contoh : Buktikan “A (B C) = (A B) (A B)”
(ii) Implikasi
Contoh : Buktikan bahwa “Jika A B = dan A (B C) maka selalu berlaku bahwa A C
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Contoh :
Misalkan A, B dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A B) dengan diagram Venn.
Bukti :
Kedua Diagram Venn membuktikan area arsiran sama.
Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A B)
Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2. Pembuktian dengan menggunakan Tabel Kebenaran Contoh :
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A B)
Bukti :
Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A B) sama, maka A (B C) = (A B) (A B)
13
3. Pembuktian dengan menggunakan Aljabar Himpunan Contoh :
Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A B) (A B ) Bukti :
(A B) (A B ) = A (B B ) (Hukum distributif) = A U (Hukum Komplemen) = A (Hukum Identitas) Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B – A) = A B Bukti :
A (B – A) = A (B A ) (Definisi operasi selisih) = (A B) (A A) (Hukum distributif) = (A B) U (Hukum komplemen) = A B (Hukum Identitas) Buktikan bahwa untuk sembarang A dan B, bahwa
(i) A (A B) = A B (ii) A (A B) = A B Bukti :
1. A (A B) = (A A) (A B) (H.distributif)
= U (A B) (H.komplemen)
= A B (H.identitas)
2. A (A B) = (A A) (A B) (H.distributif)
= (A B) (H.komplemen)
= A B (H.identitas)
4. Pembuktian dengan menggunakan Definisi
Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( atau )
Contoh :
Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A (B C) maka A C. Buktikan.
Bukti :
(i) Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika setiap x
P juga Q. misalkan x A, karena A (B C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga (B C). Dari definisi operasi gabungan, x (B C) berarti x B atau x C.
(ii) Karena x A dan A B = , maka x B.
Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga berlaku x C,
maka dapat disimpulkan A C.
15 BAB III HASIL ANALISIS
APA YANG SALAH DARI PEMBUKTIAN INDUKI INI?
Tunjukkan apa yang salah dari pembuktian di bawah ini yang menyimpulkan bahwa semua kuda berwarna sama?
Misalkan p(n) adalah pernyataan bahwa semua kuda di dalam sebuah himpunan berwarna sama.
(i) Basis induksi: jika kuda di dalam himpunan hanya seekor, jelaslah p(1) benar. 31
(ii) Langkah induksi: Misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa semua kuda di dalam himpunan n ekor kuda berwarna sama. Tinjau untuk himpunan dengan n + 1 kuda; nomori kuda-kuda tersebut dengan 1, 2, 3,
…, n, n+1. Tinjau dua himpunan, yaitu n ekor kuda yang pertama (1, 2,
…n) harus berwarna sama, dan n ekor kuda yang terakhir (2, 3, …, n, n+1) juga harus berwarna sama. Karena himpunan n kuda pertama dan himpunan n kuda terakhir beririsan, maka semua n+1 kuda harus berwarna sama. Ini membuktikan bahwa P(n+1) benar.
Penyelesaian: langkah induksi tidak benar jika n + 1 = 2, sebab dua himpunan (yang masing-masing beranggotakan n = 1 elemen) tidak beririsan.
16 BAB IV PENUTUP
4.1 KESIMPULAN
1. Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar.
2. Induksi matematika adalah Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat. Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika.
3. Induksi matematik meliputi :
Prinsip induksi sederhana
Prinsip induksi yang dirampatkan
Prinsip induksi kuat
Prinsip induksi secara umum
4. Pembuktian tidak langsung adalah pembuktian suatu kalimat atau sifat matematika dengan mengubah susunan kalimat tersebut.
5. Proposisi himpunan adalah argument yang menggunakan notasi himpunan.
1) Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn 2) Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran 3) Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan 4) Pembuktian dengan menggunakan definisi
17
DAFTAR PUSTAKA
Altien Jonathan Rindengan , S.Si, M.Kom (2019) Prinsip Induksi Kuat : https://www.academia.edu/7139685/PRINSIP_INDUKSI_KUAT
Arini Soesatyo Puti (2019) METODE-METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA : https://www.academia.edu/18108359/Metode-Metode_Pembuktian_Matematika
Dr. Muniri (2007) Teori Bilangan : https://www.slideshare.net/1724143052/teori- bilangan-induksi-matematika-48242877
Irma Matematika Diskrit Induksi Matematik :
http://irma.lecturer.pens.ac.id/Matematika%20Diskrit/Induksi%20Matematik.pdf
Dede Sulistyo Induksi Matematik :
https://www.academia.edu/7070397/INDUKSI_MATEMATIK
Wahyu D Dwi Lesmono Prinsip Induksi Kuat dan Bentuk Induksi Secara Umum : https://www.academia.edu/8875389/Prinsip_Induksi_Kuat_dan_Bentuk_Induksi_
Secara_Umum
Kuliahkita (2014) Matematika Diskrit - Pembuktian Proposisi Himpunan https://www.slideshare.net/KuliahKita/03-himpunan-2013-05
