METODE-METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA

(1)

METODE-METODE

PEMBUKTIAN MATEMATIKA

Arini Soesatyo Putri

[DATE]

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG JL. AH. NASUTION

(2)

METODE-METODE PEMBUKTIAN MATEMATIKA ARINI SP

1. Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung adalah pembuktian suatu kalimat atau sifat matematika tanpa mengubah susunan kalimat tersebut. Dengan kata lain untuk membuktikan kebenaran pernyataan implikasi p → q . Kita berangkat dengan memisalkan p benar, maka harus dibuktikan bahwa q juga benar.

Contoh :

a. Buktikan bahwa jika n bilangan bulat ganjil, maka 𝑛² bilangan bulat ganjil.

Pembahasan :

Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q, dengan : p : Jika n bilangan bulat ganjil

q : 𝑛² bilangan bulat ganjil

Mula-mula kita misalkan bahwa p benar, yaitu n merupakan bilangan bulat ganjil, akan dibuktikan bahwa 𝑛² bilangan bulat ganjil. Karena n bilangan bulat ganjil, maka kita bisa tuliskan sebagai n = 2k + 1, untuk semua bilangan bulat k.

Selanjutnya kita perhatikan 𝑛² = (2𝑘 + 1)² = 4𝑘²+ 4k + 1 = 2(2𝑘² + k) + 1.

Kita misalkan m = 2𝑘² + k , sehingga menjadi :

𝑛² = 2m + 1 (ini merupakan bentuk dari bilangan bulat ganjil).

Jadi pernyataan tersebut terbukti. ∎

b. Buktikan bahwa jika a bilangan ganjil dan b bilangan genap, maka 3𝑎² – b + 1 adalah bilangan genap.

Pembahasan :

Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q, dengan : p : a bilangan ganjil dan b bilangan genap

q : 3𝑎²– b + 1 adalah bilangan genap

Mula mula kita misalkan p benar, yaitu a bilangan ganjil dan b bilangan genap, akan dibuktikan bahwa 3𝑎² – b + 1 adalah bilangan genap. Karena a bilangan ganjil, dapat dituliskan sebagai a = 2k + 1 , dan karena b bilangan genap, dapat dituliskan sebagai b = 2p , Dimana k dan p bilangan bulat.

Selanjutnya perhatikan 3𝑎²– b + 1 = 3(2𝑘 + 1)²– 2s + 1 = 3(4𝑘² + 4k +1) -2s + 1

= 12𝑘² + 12k + 4 – 2s = 2(6𝑘²+ 6k – s) . Kita misalkan r = 6𝑘²+ 6k – s sehingga 3𝑎²– b + 1 = 2r (ini merupakan bentuk dari bilangan genap).

Jadi pernyataan tersebut terbukti. ∎

(3)

2. Pembuktian Tidak Langsung Dengan Kontraposisi

Adakalanya untuk membuktikan suatu pernyataan matematis, pembuktian langsung terasa sulit. Jika hal ini terjadi, maka kita bisa gunakan cara lain yakni pembuktian secara tidak langsung. Pembuktian tidak langsung adalah pembuktian suatu kalimat atau sifat matematika dengan mengubah susunan kalimat tersebut. Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai pembuktian tidak langsung dengan kontraposisi.

Kita tahu bahwa pernyataan implikasi p → q akan ekuivalen dengan kontraposisinya yakni ~𝑞 → ~𝑝, atau bisa kita tulis p → q ≡ ~𝑞 → ~𝑝 . Konsep inilah yang menjadi dasar untuk pembuktian tidak langsung dengan kontraposisi. Disini kita berawal dengan mengasumsikan ~𝑞 benar, maka harus dibuktikan bahwa ~𝑝 benar. Jika pernyataan kontraposisinya benar, maka pernyataan semula juga pasti benar.

Contoh :

a. Buktikan bahwa jika 3n + 2 bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil.

Pembahasan :

Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan : p : 3n + 2 bilangan ganjil

q : n bilangan ganjil

Sepintas, pembuktian ini terasa sulit jika dibuktikan secara langsung. Maka kita ubah pernyataan ini menjadi kontraposisinya, yaitu, “ Jika n bilangan genap, maka 3n+2 bilangan genap”.

~𝑞 : n bilangan genap

~𝑝 : 3n + 2 bilangan genap

Mula−mula kita misalkan ~𝑞 benar, yakni n bilangan genap, akan dibuktikan bahwa ~𝑝 benar, yakni 3n + 2 bilangan genap.

Karena n bilangan genap, maka bisa kita tuliskan sebagai n = 2k, untuk semua k bilangan bulat. Selanjutnya kita perhatikan :

3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k+1). Misalkan m = 3k + 1, sehingga 3n + 2 = 2m

Jadi 3n+2 merupakan bilangan genap. Jadi telah terbukti bahwa kontraposisi pernyataan ini benar, sehingga pernyataan semula juga terbukti benar. ∎

b. Buktikan bahwa jika 𝑛³ bilangan irasional, maka n bilangan irasional.

(4)

Pembahasan :

Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah “ Jika n bilangan rasional, maka 𝑛³ bilangan rasional.”

Misalkan benar bahwa n bilangan rasional, selanjutnya akan kita buktikan bahwa 𝑛³ bilangan rasional.

Karena n bilangan rasional, maka kita bisa tulis n = ^𝑝

𝑞 , dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0. Selanjutnya kita perhatikan :

𝑛³ = (^𝑝_𝑞)³ = ^𝑝³

𝑞³ . Kita misalkan s = 𝑝³ dan t = 𝑞³ , sehingga : 𝑛³ = ^𝑠

𝑡 , dimana s dan t bilangan bulat dan t ≠ 0

Jadi 𝑛³ merupakan bilangan rasional. Jadi terbukti bahwa kontraposisi dari pernyataan tersebut benar sehingga pernyataan semula juga terbukti benar. ∎

3. Pembuktian Tidak Langsung Dengan Kontradiksi

Suatu pernyataan pasti memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran ingkarannya. Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dimulai dengan membuktikan bahwa ingkaran dari pernyataan implikasi tersebut salah.

Dengan terbuktinya bahwa ingkaran tersebut salah, maka pernyataan implikasi tersebut pasti benar. Kesalahan yang diperoleh tersebut ditunjukkan oleh suatu kontradiksi. Suatu kontradiksi terjadi jika ada suatu atau lebih pernyataan yang bertentangan. Kita bisa tuliskan sebagai :

~ (𝑝 → 𝑞) ≡ p ∩ ~ 𝑞

Dalam proses ini, kita berangkat dengan mengasumsikan p ∩ ~ 𝑞. Dari sini kita harus menemukan r ∩ ~r, yaitu pernyataan yang selalu salah (kontradiksi). Maka p ∩

~ 𝑞 salah, dan sebaliknya 𝑝 → 𝑞 pastilah benar.

Contoh :

a. Buktikan bahwa jika 5n+4 bilangan bulat ganjil maka n bilangan bulat ganjil.

Pembahasan :

Kita akan membuktikan pernyataan implikasi 𝑝 → 𝑞, dengan : p : 5n+4 bilangan bulat ganjil

q : n bilangan bulat ganjil

(5)

kita berawal dengan mengasumsikan ingkarannya benar, yaitu bahwa “5n+4 bilangan bulat ganjil dan n bilangan bulat genap”

karena n bilangan genap, kita dapat tuliskan n = 2k, dengan k bilangan bulat.

Akibatnya 5n+4 = 5(2k) + 4 = 10k + 4 = 2(5k+2).

Misalkan m = 5k+2, maka 5n+4 = 2m , yang merupakan bilangan bulat genap.

Kontradiksi dengan asumsi bahwa 5n+4 bilangan bulat ganjil.

Jadi asumsi salah. Maka pernyataan semula pastilah benar.

Jadi terbukti bahwa Buktikan bahwa jika 5n+4 bilangan bulat ganjil maka n bilangan bulat ganjil. ∎

(6)

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan metode pembuktian untuk suatu pernyataan apakah berlaku untuk setiap bilangan asli atau tidak. Induksi matematika tidak dapat digunakan untuk menentukan hasil, tetapi induksi digunakan untuk membuktikan suatu hasil yang diperoleh dengan cara lain.

Pembuktian dengan induksi matematika harus membuktikan pernyataan implikasi berikut : Jika P(k) benar, maka P(k+1) juga harus benar. Dengan terbuktinya pernyataan ini maka kita dapat menjamin bahwa pernyataan P(n) tersebut selalu benar untuk setiap n bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika :

Misalkan S adalah himpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:

(1) S memiliki anggota bilangan 1; dan

(2) Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S. Maka diperoleh S = N.

Induksi matematika terbagi ke dalam 3 macam, yakni induksi matematika sederhana, induksi matematika umum, dan induksi matematika kuat. Untuk selanjutnya saya hanya akan memfokuskan untuk induksi matematika sederhana saja.

Induksi Matematika Sederhana

Dari analogi di atas dapat disimpulkan bahwa langkah-langkah pembuktian suatu pernyataan P(n) dengan induksi matematika sederhana adalah sebagai berikut:

1. Langkah basis (dasar), buktikan kebenaran P(n) untuk n = 1

2. Langkah hipotesis, asumsikan P(k) benar. Berangkat dari asumsi tersebut, harus buktikan P(k+1) juga benar.

Contoh :

Buktikanlah bahwa :

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = 𝑛² , untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

Kita gunakan induksi matematika, dengan :

(7)

P(n) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = 𝑛²

1. Pertama, kita akan buktikan P(n) benar untuk n = 1.

P(1) = (2(1) – 1) = 1 =1². (Benar)

2. Selanjutnya kita asumsikan bahwa P(k) benar.

Asumsikan P(k) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = 𝑘²

Berangkat dari asumsi ini, kita harus membuktikan bahwa : P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = (𝑘 + 1)² Buktinya sebagai berikut :

P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1)

= 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2k+1).

Karena menurut asumsi 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = 𝑘², kita dapat tuliskan : P(k+1) = 𝑘² + (2k+1)

= 𝑘² + 2k + 1 = (𝑘 + 1)²

Sehingga terbukti P(k+1) benar.

Jadi pernyataan tersebut benar untuk setiap n bilangan asli. ∎ Contoh lain :

Buktikanlah bahwa n(𝑛²+2) habis dibagi 3 untuk setiap bilangan bulat positif n.

Pembahasan :

Kita gunakan induksi matematika, dengan : P(n) = n(𝑛²+2) habis dibagi 3

1. Pertama, kita akan membuktikan P(n) benar untuk n = 1 P(1) = 1(1² + 2) = 3. Benar bahwa d habis dibagi 3 2. Selanjutnya, kita asumsikan P(k) benar.

Asumsikan P(k) = k(𝑘²+1) habis dibagi 3

(8)

Berangkat dari asumsi ini, kita harus membuktikan bahwa P(k+1) = (k+1)[((𝑘 + 1)² + 1)] habis dibagi 3.

Buktinya sebagai berikut : P(k+1) = (k+1)[((𝑘 + 1)² + 1)]

= (k+1) (𝑘 + 1)²+(k+1) = 𝑘³+ 3𝑘² + 3k + 1 + 2k + 2 = (𝑘³+2k) + 3𝑘² + 3k + 3 = k(𝑘² + 2) + 3𝑘² + 3k + 3 = k(𝑘² + 2) + 3(𝑘²+k + 1)

Kita misalkan q = 𝑘²+k + 1 , sehingga : P(k+1) = k(𝑘² + 2) + 3q

Karena asumsi kita k(𝑘²+1) habis dibagi tiga, dan sudah pasti 3q juga habis dibagi tiga, Maka k(𝑘² + 2) + 3q atau k(𝑘² + 2) + 3(𝑘²+k + 1) juga akan habis dibagi tiga.

Sehingga terbukti bahwa P(k+1) benar habis dibagi 3. ∎

Untuk pembahasan Induksi matematika umum dan induksi matematika kuat, akan saya posting di “Catatan Matematika Diskrit: Metode-Metode Pembuktian Bagian 2”. Coming soon :D

Semoga catatan ini dapat membantu teman-teman dalam membuktikan pernyataan matematika.