A B
C D
E
F
G H
cm 5
GEOMETRI RUANG
A. Beberapa Benda Ruang
(1) Kubus
H G
Unsur-unsur pada kubus
(1) Rusuk (12 buah) (2) Bidang sisi (6 buah) (3) Titik sudut (8 buah) (4) Diagonal sisi (12 buah) (5) Diagonal ruang (4 buah) (6) Bidang diagonal ( 6 buah)
Rumus-rumus yang berlaku pada kubus : (1) Volume : V = r3 (2) Luas Permukaan : L = 6 r2 (3) Panjang diagonal sisi : ds = r 2 (4) Panjang diagonal ruang : dr = r 3 (5) Luas bidang diagonal : L = r2 2
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukanlah (a) Panjang diagonal bidang (b) Panjang diagonal ruang
(c) Luas bidang diagonal (d) Volume kubus (e) Luas permukaan kubus
Jawab
(a) Diagonal bidang ds = r 2 = 5 2 cm
(b) Diagonal ruang dr = r 3 = 5 3 cm
(c) Luas bidang diagonal L = r2 2 = 25 2 cm2 (d) Volume kubus V = r3 = 53 = 125 cm3
(e) Luas Permukaan L = 6 r2 = 6(52) = 150 cm2
A B
C D
6
02. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan ukuran diagonal ruang 5 6 cm. Tentukanlah volume kubus
Jawab
Unsur-unsur pada balok
(1) Rusuk (12 buah) (2) Bidang sisi (6 buah) (3) Titik sudut (8 buah) (4) Diagonal sisi (12 buah) (5) Diagonal ruang (4 buah) (6) Bidang diagonal ( 6 buah) Rumus-rumus yang berlaku pada balok :
(1) Volume : V = p . l .t
(2) Luas Permukaan : L = 2 ( p.l + p.t + l.t )
(3) Panjang diagonal ruang : dr = p2 l2t2 Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
03. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk AB = 5 cm, AD = 4 cm dan AE = 3 cm. Tentukanlah
(a) Volume balok (b) Luas permukaan balok (c) Panjang diagonal bidang BG (d) Panjang diagonal ruang (e) Luas bidang diagonal BDHF
Jawab Balok adalah bangun ruang
sehingga
(a) Volume balok V = p . l .t V = (5)(4)(3) V = 60 cm3
(b) Luas permukaan balok L = 2(pl + pt + lt)
L = 2{ (5)(4) + (5)(3) + (4)(3) } L = 2{20 + 15 + 12}
L = 2{47} L = 94 cm2
(c) Panjang diagonal bidang BG BG2 = BC2 + CG2
BG2 = (4)2 + (3)2 BG2 = 25
BG = 5 cm
(d) Panjang diagonal ruang dr = p2 l2 t2 dr = (5)2 (4)2 (3)2 dr = 50
dr = 5 2 cm
(e) Luas bidang diagonal BDHF : L = BD . DH
L = ( (5)2 (4)2 )(3)
L = 3 41 cm
04. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk AB = 8 cm, AD = 5 cm dan AE = 4 cm. Tentukanlah luas segitiga EBC
Jawab
Perhatikan segiempat BCHE
LBCHE = BC . CH
LBCHE = (5)( 82 42 )
LBCHE = 5 80
LBCHE = 5(4 5)
LBCHE = 20 5cm2
A B
C D
E F
G H
8 5
Perhatikan segitiga EBC
LEBC =
2 1
LBCHE
LEBC =
2 1
(20 5)
LEBC = 10 5 cm2
(3) Prisma
Rumus-rumus pada prisma
(1) Luas permukaan = 2.(Luas alas) + (keliling alas x tinggi) (2) Volume = Luas alas x tinggi
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
05. Diketahui prisma teratur segitiga ABC.DEF dengan ukuran rusuk alas 4 cm dan rusuk tegak 5 3 cm. Tentukanlah :
(a) Volume prisma
(b) Luas permukaan prisma (c) Panjang diagonal bidang AF Jawab
(a) Volume prisma
LABC =
2 1
(4)(4).sin600
LABC =
2 1
(4)(4). 3 2 1
LABC = 4 3 cm2 Jadi V = LABC . t
V = (4 3)(5 3) cm2 V = 60 cm2
Prisma adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang sejajar dan kongruen dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis yang sejajar
Memberi nama prisma disesuaikan dengan bentuk alas/atasnya
Prisma disamping adalah prisma segitiga
A
B
C D
E
(b) Luas permukaan prisma = 2(LABC) + (keliling alas).t = 2(4 3) + (4 + 4 + 4). 5 3
= 8 3 + 60 3
= 68 3 cm2
(c) Panjang diagonal bidang AF AF2 = AC2 + CF2
AF2 = (4)2 + (5 3)2 AF2 = 16 + 75 AF2 = 91
Jadi AF = 91 cm
06. Suatu prisma teratur segi empat dengan ukuran rusuk alas a cm dan rusuk tegak 5a cm. Jika luas permukaan prisma 88 cm maka tentukanlah volume prisma
Jawab
Prisma tersebut berbentuk balok
L = 2.Lalas + Kelliling alas x tinggi
88 = 2.(a x a) + (a + a + a + a). 5a
88 = 2a2 + (4a)(5a)
88 = 2a2 + 20a2
88 = 22a2
a2 = 4
Jadi a = 2
Sehingga
V = p x l x t
V = a x a x 5a = 5a3 = 5(23) = 5(8) = 40 cm3
(4) Limas
Limas adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh segitiga-segitiga yang bertemu pada satu titik (atas) dan oleh alas suatu segi banyak
Memberi nama limas disesuaikan dengan bentuk alasnya
Limas disamping adalah limas segiempat
a
Suatu limas dikatakan limas teratur, jika : (1) Bidang alasnya berupa segi-n beraturan
(2) Proyeksi puncak pada bidang alas berimpit dengan pusat lingkaran luar bidang alasnya.
Rumus rumus pada limas
(1) Luas permukaan = Luas alas + Luas segitiga dinding-dindingnya
(2) Volume =
3 1
Luas alas x tinggi
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
08. Suatu limas segi empat T.ABCD dengan panjang rusuk alas AB = 4 2 cm dan BC = 4 cm. Jika volume limas 32 2 cm3 maka tentukanlah panjang AT
Jawab
AC2 = AB2 + BC2 AC2 = (4 2)2 + 42 AC2 = 32 + 16 AC2 = 48
Maka AC = 48 = 4 3 cm
AP =
2 1
(4 3) = 2 3 cm
Volum limas V =
3 1
Lalas x tinggi
32 2 = 3 1
(4 2 x 4)(PT)
96 2 = 16 2 PT
Jadi PT = 6 cm
Pada segitiga APT berlaku AT2 = AP2 + PT2 AT2 = (2 3)2 + (6)2 AT2 = 12 + 36 AT2 = 48
Jadi AT = 48 = 4 3cm
A B
C D
T
P
2 4
