BabVProbabilitasKondisional

~~-_.

BabVProbabilitas

Kondisional

KATA KUNCI

Probabilitas kondisional adalab probabilitas suatu kejadian tertentu yang terjadi bila kejadian lain telab terjadi.

Kejadian bebas adalab dua kejadian yang tidak saling mempengamhi

Kejadian random (acak) tidak dapat kita duga terjadinya. Tetapi kadang-kadang kita mendapat informasi dari suatu kejadian yang akan menjelaskan kepada kita apakab suatu kejadian acak tertentu akan terjadi atau tidak.

Sebagai contoh, misalnya kita ingin mengetahui probabilitas bahwa kita akan mendapatkan mata dadu berjumlab 8 dari pelemparan dua buah mata dadu. Kita tabu babwa probabilitas hal ini terjadi adalah 5/36. Tetapi, bilakita mendapatkan dadu bermata 5 dalam pelemparan dadu pertama, maka untuk mendapatkan mata dadu berjumlab 8 hams mendapatkan dadu berm~ta tiga pada pelemparan dadu kedua. Dan kita juga mengetahui bahwa probabilitas kejadian kedua terjadi adalab 1/6. Pertama-tama kita dihadapkan pada suatu kenyataan bahwa mata dadu yang muncul pada pelemparan pertama adalab bermata 5, maka untuk mendapatkanjumlab mata dadu 8 kita mempunyai kemungkinan antara 5/ 36 sampai 1/6.

Dengan kata lain, bila pada pelemparan pertama kita mendapatkan dadu bermata satu, maka tidak adacara untukmendapatkanmata daduberjumlab 8.Dengan demikianprobabilitas untuk mendapatkan mata dadu berjumlab 8 dimana pada pelemparan dadu yang pertama menghasilkan dadu bermata satu adalah nol (0).

Andaikata kita melakukan pelemparan mata uang sebanyak 4 kali dan kita tertarik pada probabilitas terjadinya sisi H berturut-turut sebanyak 4 kali. Kita tabu babwa probabilitasnya adalab 1/16. Bila kita telab melakukan pelemparan mata uang sebanyak 2 kali dan hasil dari keduanya adalab munculnya sisi H, maka probabilitas untuk mendapatkan 2 sisi H berikutnya adalah 1/4. Di sisi lain bila pada pelemparan pertama kita mendapatkan sisi H dan pada pelemparan kedua kita mendapatkan sisi T, maka tidak ada kesempatan untuk mendapatkan empat sisi H secara berturut-turut.

CONTOH SOAL MENGHITUNG PROBABILIT AS ROY AK FLUSH

;, :_,'__' w__.

PERHITUNGANPROBABILITASKONDISIONAL

Semua situasi disini adalah contoh dari probabilitas kondisional atau probabilitas bersyarat. probabilitas kondisional adalah probabi8litas bahwa suatu kejadian akan terjadi bila kita telah mengetahui kejadian khusus lain telah terjadi. Anggaplah kita mengetahui kejadian B telah terjadi dan kita ingin mengetahui probabilitas kejadian A akan tejadi. Probabilitas kondisional bahwa kejadian A akan terjadi dengan syarat kejadian B telah terjadi dapat ditulis sebagai berikut:

Pr(AIB)

Garis vertikal berarti "dengan syarat"

Sekarangkita telahmendapatgambaranbagaimanamenghitungprobabilitaskondisional. Dalam keadaan normal, probabilitas kejadian A terjadi adalah N (A)/s, dimana s adalah total hasil dan N(A) adalah jumlah kejadian A. Kita tahu tidak semua kemungkinan hasil akan terjadi. Bila kita tahu bahwa kejadian B telah terjadi, maka hanya hasil dalam kejadian B yang harns dipertimbangkan. Dengan demikianjumlah kemungkinannya adalah N(B). Pertanyaan berikutnya adalah: Berapa besarnya kemungkinan kejadian A terjadi? Secara normal ada N(A)jalan untuk terjadinyakejadian A, tetapi tidak semuanyaakan terjadi. Kejadian di dalam A dan tidak di dalam B tidak mungkin terjadi. Jadi jumlah kemungkinan hasil dimana kejadian A terjadi sama denganjumlah hasil kejadian A dan kejadian B. Kita telah memberi nama untuk kejadian ini yaitu:

A dan B

=

A (lB

Kejadian seperti ini disebut A irisan B. Dengan demikian kemungkinan kejadian A terjadi mana kejadian B diketahui telah terjadi adalah :

N(A (I B)

Pr (AIB)

=

N(B)

Kita dapat menulis kembali formula di atas dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan s: 62 N(A (I

B)/s

Pr (AIB)

=

N(B)/s Pr (A (lB)

=

Pr (B)

Dengan kata lain probabilitas kejadian A terjadi dimana Kejadian B diketahui telah terjadi samadengan probablitas terjadinya kejadian A dan B, dibagi dengan probablitas terjadinya kejadian B. (catatan: definisi ini tidak dapat bekerja bila probabilitas terjadinya kejadian B adalah nol).

CONTOH PERHITUNGAN SOAL PROBABILIT AS KONDISIONAL SOAL

A

=

Kejadian untuk mendapatkan mata dadu berjumlah 8 dari sepasang dadu. B

=

Kejadian mendapatkan dadu bermata 5 pada pelemparan dadu pertama.

Hitung Pr (AIB) PENYELESAIAN

A n B

=

Kejadian untuk mendapatkan dadu bermata 5 pada pelemparan dadu pertama

dan mendapatkan mata dadu berjumlah 8.

A n B dapat terjadi bila hasillemparan kita (5,3) jadi Pr (A N B) = 1/36. Sehingga: 1/36

Pr (AIB)

=

6/36

=

1/6 1/6

SOAL

A

=

kejadian untuk mendapatkan 4 sisi H berturut-turut dari 4 kali pelemparan mata uang.

B

=

kejadian mendapatkan 2 sisi H pada dua lemparan pertama. Hitung Pr (AIB) PENYELESAIAN Pr (B) ! Pr (A nB)

=

1/16 1/16 Pr (AIB)

=

-

=

4/16

=

1/4 1/4 SOAL

A

=

kejadian untuk mendapatkan royal flush

B

=

kejadian untuk mendapatkan AH, KH pada pengambilan dua kartu pertama.

Hitung Pr (AIB)! PENYELESAIAN

(53°)

Pr(B)

=

(5;

)

63

-~----19600

=

₌

7.54 x 103

2598960

A n B adalah untuk mendapatkan KH dan AH serta royal flush, jadi ini berarti kejadian untuk mendapatkan AH, KH, QH, JH, WH.

Pr (A

n

B)

=

1/2598960 Dengan demikian: 1/2598960 Pr (AIB)

=

19600/2598960

=

1/19600 SOAL

A

=

kejadian mendapatkan mata dadu berjumlah 8 dari dua buah dadu. B

=

kejadian mendapatkan dadu bermata

J

pada pelemparan pertama.

Hitung PR (AIB)! PENYELESAIAN

Dalam kasus ini kejadian A dan B tidak dapat terjadi bersama-sama. Dengan demikian An B = 0, jadi Pr(A n B) adalah kosong, Pr (AIB)juga kosong. Situasi lain terjadi bila kejadian A adalah himpunan bagian dari kejadian B. Sebagai contoh, Anggaplah A adalah kejadian mendapatkan dadu bermata 1dan B adalah kejadian munculnya dadu denganjumlah mata merupakan bilangan ganjil. Hasil A

=

{I} dan hasil B

= {l,3,5} dan A N B = {l}

kemudianPr (A N B) = Pr (A),jadi Pr (AIB)= Pr (A)/Pr (B). Secara umum A adalah himpunan bagian dari B, kemudian:

Pr (A) Pr (AIB)

=

Pr (B)

YANG HARUS DIINGAT

Probabilitas kondisional adalah bahwa kejadian A akan terjadi bila kejadian B telah terjadi, yaitu:

Pr (A dan B)

Pr (AIB)

=

Pr (B)

Garis vertikal, Iberarti "dengan syarat"

_u u______

KEJADIANBEBAS

Ada beberapa kasus dimana suatu kejadian kita ketahui telah terjadi tetapi tidak memberikan petunjuk atau garnbaran apakah kejadian l~ akan terjadi. Sebagai contoh, anggaplah anda mengetahyui suatu keluarga baru saja mendapatkan seorang bayi perempuan. Berapa probabilitas bahwa pada keluarga yang sarna akan mendapatkan bayi perempaun lagi? Dalarn kasus ini, kelahiran bayi yang terdahuh.ltidak memberikan informasi tentang kelahiran bayi berikutnya.

Atau anggaplah anda mendapatkan dadu bemata 3 pada pelemparan pertama sebuah mata dadu. Berapa probabilitas anda mendapatkan dadu bermata 5 pada pelemparan berikutnya? Ketahuilah bahwa 3 yang kita hasilkan pada lemparan pertama tidak akan membantu kita untuk mengetahui apa yang akan terjadi pada pelemparan berikutnya. Dalarn kasus ini bila A

=

kejadian mendapatkan dadu bermata 3 pada pelemparan pertama dan B

=

kejadian mendapatkan dadu bermata 5 pada pelemparan kedua, maka Pr (A)

=

1/6,Pr (B)=

1/6 dan Pr (AIB) = 1/6, bila kejadian B telah terjadi maka tidak akan mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A.

Kejadian seperti kasus di atas kita narnakan kejadian bebas. Dua kejadian dikatakan sebagai kejadian bebas bila kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Kejadian ini dapat didefmisikan sebagai berikut:

Kejadian A dan kejadian B adalah kejadian bebas jika Pr (AIB)

=

Pr (A)

Berikut ini adalah contoh kejadian bebas:

·

Probabilitas bahwa anda mendapatkan dua pasang kartu dalarn permainan kartu tidak dipengaruhi oleh kenyataan bahwa anda telah mengarnbil dua pasang kartu pada permainan kartu kemarin.

·

Probabilitas bahwa anda mendapatkan dadu bermata 4 pada suatu pelemparan dadu tidak dipengaruhi oleh kenyataan bahwa anda baru saja melemparan mata uang dan dari pelemparan itu muncul sisi H.

Dari formula-formula di atas yaitu: Pr (A nB) Pr (AIB)

=

Pr (B)

Bila A dan B adalah kejadian bebas, maka: Pr (AIB) = Pr (A)

Dengan demikian jika A dan B adalah kejadian bebas, maka kita dapat menulis: Pr(ANB)

Pr (A)

=

Pr(B)

-Jadi: Pr (A f1 B)

=

Pr (A) Pr (B) atau Pr (A dan B)

=

Pr (A) Pr (B)

YANG HARUS DIINGAT

Dua kejadian A dan B adalah kejadian bebasjika probabilitas bahwa N akan terjadi tidak dipengaruhi oleh terjadi-atau tidaknya kejadian B, dan sebaliknya. Sehingga:

Pr (AIB)

=

Pr (A)

Pr (A dan B)

=

Pr (A) x Pr (B)

Dengan kata lain untuk menghitung probabilitas bahwa dua kejadian bebas akan terjadi, hanya dengan mengalikan masing-masing probabilitas dari dua kejadian tersebut.

HUKUM SA YES

Andaikan ikan tuna dikemas dalam dua warna kaleng: kaleng hijau dan kaleng ungu. Suatu studi telah menunjukkan bahwa 5 persen dari keseluruhan ikan tuna telah rusak pada waktu dijual. Penelitian berikutnya menunjukkan bahwa 35 persen dari tuna yang rusak berasal dari tuna dalam kaleng ungu dan 60 persen dari tuna yang baik berasal dari tuna dalam kaleng ungu. Jika anda membeli tuna dalam kaleng ungu, berapa probabilitas bahwa yang anda dapatkan telah rusak?

Untuk memeeahkan masalah ini kita harus mengetahui bagaimana membalik probabilitas kondisional. Dengan kata lain jika kita mengetahui Pr (AIB), kemudian kita ingin mengetahui Pr (BIA). Anggaplah P adalah kejadian mendapatkan tuna dalam kaleng ungu, S adalah kejadian mendapatkan tuna kaleng yang rusak, dan G adalah kejadian mendapatkan tuna kaleng yang baik. Kemudian kita mengetahui bahwa:

Pr (PIS)

=

0.35

(jika diketahui bahwa dari tuna yang rusak 35% berasas dari kaleng ungu) Pr (S)

=

0.05

Pr (G)

=

Pr (S)

=

0.95

Untuk menurunkan Pr (SIP) kita harus menggunakan formula yang disebut hukum Bayes. Hukum Bayes menyatakan:

Pr (AIB) Pr (B)

Pr (BIA)

=

Ingatlah huruf e di atas berarti komplemen. Be adalah semua kemungkinan hasil yang tidak termasuk dalam kejadianB.

Penggunaan hukum Bayes dalam kasus ikan tuna adalah sebagai berikut: Pr (PIS) Pr (S) Pr (SIP)

=

Pr (PIS) Pr (S) + Pr (PIG) Pr (G)

=

(0.35) (0.05) (.35) (0.05) + (0.6) (0.95)

=

0.030

YANG BARDS DIINGAT

Bayes Bayes mengatakan bahwa untuk menemukan probabilitas kondisional Pr (BIA) jika diketahui Pr (AIB)

Pr (AIB) Pr (B)

Pr (BIA)

=

Pr (AIB) Pr (B) + Pr (AIBC) Pr (BC)