Modul Siap UN Matematika SMA Program MIPA

BAB 5

PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT

A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat 0

2 _{  }

c bx

a , a0

B. Akar-akar Penyelesaian Persamaan Kuadrat a. Metode pemfaktoran

0

2_bx_c

ax

0 ) )(

(pxr qxs  gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat 0

 r

px  qxs0

p r x₁ 

q s x₂ 

b. Metode melengkapi kuadrat sempurna Contoh:

3x2 12x210 kedua ruas dibagi 3 2 _4 _7_0

x x

(x2)2 470 (x2)2 110

11 ) 2 ( _ 2 _

x

11 )

2

(x 

11 2

2 ,

1  

x

Jadi x₁ 2 11 atau x₂ 2 11 c. Menggunakan rumus persamaan kuadrat (abc)

0

2 _bx_c

a

Dengan menggunakan metode melengkapi kuadrat sempurna, diperoleh rumus:

a ac b

b x

2 4

2

2 , 1

   

C. Diskriminan Persamaan Kuadrat 0

2_{  }

c bx

ax

ac b

D 2 4

a. Jika D0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil.

b. Jika D0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang berbeda. c. Jika D0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang sama

(kembar).

d. Jika D0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar penyelesaian yang riil (tidak nyata/imajiner).

D. Hasil Jumlah Dan Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat 0

2 _{  }

c bx ax

a b x x₁ ₂ 

a c x x₁. ₂ 

E. Hubungan Antara Koefisien Persamaan Kuadrat a2 bxc0 Dengan Sifat Akar-Akarnya a. Akar-akar penyelesaiannya sama/kembar

ac b2 _4

b. Akar-akar penyelesaiannya berlawanan (salah satu akar-akarnya positif dan yang lain negatif) 0



c. Akar-akar penyelesaiannya berkebalikan (salah satu akar-akarnya q p

dan yang lain p q

)

a c

F. Persamaan Kuadrat Baru

a. Persamaan kuadrat yang akar-akar penyelesaiannya x₁ dan x₂adalah 0

) . ( )

( _{1 2 1 2}

2_{   }

x x x x x x

b. Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n lebihnya atau (x₁n) dan (x₂ n) dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat _ax2 _bxc0 _adalah



xn



2 b



xn



c0 a

c. Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kurangnya atau (x₁n) dan (x₂ n) dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat _ax2 _bx_c0 _adalah



xn



2b



xn



c0 a

d. Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kali akar-akar persamaan kuadrat 0

2 _{  }

c bx

ax adalah

0

2

              

c n x b n x a

e. Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n 1

kali akar-akar persamaan kuadrat

0

2 _{  }

c bx

ax adalah

 

nx 2 b

 

nx c0 a

Contoh:

Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 2_6 _2_0 x

x adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁2x₂2 6.x₁.x₂ adalah ....

Pembahasan: 0 2 6

2 _x 

x

Bentuk umum persamaan kuadrat _ax2_bx_c0_{, sehingga 1}

a , b6, c2. Jika akar-akar penyelesaiannya x₁ dan x₂, maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah

2

1 x

x  = a b



= 1

) 6 (

 = 6

2 1.x

x =

a c

= 1 2

= 2

2 1 2 2 2

1 x 6.x.x

x   = 1 2 1 2

2 2

1 ) 2. . 6. .

(x x  x x  x x

2 1 2 2 2

1 x 6.x.x

x   = (6)2 2(2)6(2) = 36412= 20

Pembahasan Soal-soal:

1. Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat 2x23x50 adalah x₁ dan x₂. Jika x₂ x₁, maka nilai dari 4x₁3x₂ adalah ....

Pembahasan:

0 5 3 2_x2  _x 

0 ) 1 )( 5 2

( x x  0

5

2x   x10

2 5

1

Sehingga: Pembahasan:

0 5 4 3_x2 _x 

Bentuk umum persamaan kuadrat ax2bxc0, sehingga a3, b4, c5. Jika akar-akar penyelesaiannya  dan , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah

 Pembahasan:

0 Jika akar-akar penyelesaiannya x₁ dan x₂, maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah

=

Pembahasan: 0

Jika akar-akar penyelesaiannya  dan  serta  2 , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah



dengan 3

dikalikan silang 0

Pembahasan:

Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya x₁5 dan x₂5, maka setiap x diganti

G. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat 0

2 _bx_c

3 2

 4

---

+++ +++

0

3 7

---

+++ +++

0

0

2 _bx_c

a , a0

0

2 _bx_c

a , a0

0

2 _{  }

c bx

a , a0

H. Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat Contoh 1:

Himpunan penyelesaian dari x2 2x3 > 0 adalah .... Pembahasan:

x2 2x3 = 0 ) 1 )( 3

(x x = 0 (x3)0 V (x1)0 x = 3 x = -1

Jadi Hp =



x|x1atau x3,xR



Contoh 2:

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 3_x2 _10_x8_0 _{adalah ....} Pembahasan:

0 8 10 3_x2 _{ x }

Pembuat nol: 0 8 10 3_x2  _x 

0 ) 4 )( 2 3

( x x  4 2 3x x

3 2

 

x

Uji x diganti dengan 0 pada persamaan kuadratnya. Ternyata bernilai negatif, berarti daerah mulai

3 2

 sampai 4 bernilai negatif, sedangkan daerah lainnya bernilai positif.

Karena soal diminta , berarti daerah penyelesaiannya adalah daerah dengan nilai negatif.

Jadi, HP =

   



 _{   }

R x x

x 4,

3 2 |

Pembahasan Soal-soal:

1. Himpunan penyelesaian dari 2_10 _21_0 x

x adalah ....

Pembahasan:

0 21 10

2 _x 

x

Pembuat nol: 0 21 10

2_{  }

x x

0 ) 3 )( 7

(x x  3

7  

 x

x

Karena >, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif HP =



x|x3atau x7,xR



2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 2x2 11x50 adalah .... Pembahasan:

-1 3

---

+++ +++

2 1

5

+++

--- ---

0

0 5 11 2 2   

 x x

Pembuat nol: 0 5 11 2 2 _{  }

 x x

0 ) 5 )( 1 2

( x x  5 1

2   

 x x

2 1



x

Karena , maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif

Hp =

   



 _{  }

R x x

x 5,

2 1 |

I. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat c bx ax x

f( ) 2   , a0

J. Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah:

a). Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x→ y = 0 c

bx ax x

f( ) 2  

c bx ax

y 2  

c bx ax    2

0

) )( (

0 pxr qxs gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat 0

 r

px  qxs0

p r x₁ 

q s x₂ 

Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah _   

 

 ,0 p r

dan _   

 

 ,0 q s

b). Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0 c

bx ax x

f( ) 2  

c bx ax

y 2  

c b a

y (0)2  (0) c

y

Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah

 

0,c c). Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat

c bx ax x

f( ) 2  

a b x

2

 

d). Menentukan koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat (xp,yp)

c bx ax x

f( ) 2  

a b x_p

2



 yp  f(xp)

Koordinat titik ekstrim/balik/puncak = (xp,yp)

e). Menghubungkan titik-titik yang telah ditemukan sehingga terbentuk kurva parabola fungsi kuadrat

a). Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui dua titik potong dengan sumbu x, yaitu (x₁,0) dan )

0 ,

(x₂ dan satu titik lain, yaitu (x,y) )

)( (x x₁ x x₂ a

y  

Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a.

) )( (

)

(x a x x₁ x x₂

f   

Lalu masukkan a, x₁, dan x₂ (x dan f(x) dibiarkan tetap). Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

b). Diketahui titik balik/puncak/ekstrim



xp,yp



dan satu titik lain, yaitu (x,y)

p

p y

x x a

y (  )2 

Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a.

p

p y

x x a x

f( ) (  )2

Lalu masukkan a, xp, dan yp (x dan f(x) dibiarkan tetap).

Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

Contoh:

Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) adalah ....

Pembahasan:

memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) sehingga: x₁ 1, x₂ 2, x0, dan y6, maka:

y = a(xx₁)(xx₂) y = a(xx₁)(xx₂) – 6 = a(01)(0(2)) – 6 = a(1)(2)

– 6 = 2a

a = 2 6

 

a = 3

Jadi, fungsi kuadratnya f(x) = a(xx₁)(xx₂) )

(x

f = 3(x1)(x(2)) = 3(x1)(x2) = 3(x2 2xx2) = 3(x2 x2) )

(x

f = 3_x2 3_x6

Pembahasan Soal-soal:

1. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y3x2x2 dengan sumbu x dan sumbu y berturut-turut adalah ....

Pembahasan:

Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x→ y = 0 2

3 2   x x y

2 3

0 _x2 _x

) 1 )( 2 3 (

0 x x untuk mengecek kebenaran gunakan aturan perkalian aljabar 0

2

3x   x10

3 2

1

x x₂ 1

Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah       ,0

3 2

dan

 

1,0

x y

-3 5

30

2 3 2_{ }

 x x y

2 ) 0 ( ) 0 (

3 2  

y 2   y

Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah



0,2



2. Koordinat titik balik grafik fungsi ( )_ 2 _2 _4

x x x

f adalah ....

Pembahasan:

Koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat (xp.yp)

c bx ax x

f( ) 2   4 2 )

(_x _x2 _x

f

Sehingga: a1, b2, c4

1 2 2 ) 1 ( 2

) 2 (

2  

    

a b

x_p

4 2 )

(x x2 x f

) ( p

p f x

y 

) 1 ( f y_p 

4 ) 1 ( 2 ) 1

( 2 _{ }



p

y

4 2

1 



p

y

4 1

 

p

y

3



p

y

Jadi, koordinat titik ekstrim/balik/puncak = (1 , 3)

3. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya seperti di bawah ini adalah ....

Pembahasan:

Berdasarkan grafik pada soal, diketahui bahwa grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu x di titik (– 3 , 0) dan (5 , 0) dan melalui titik (0 , 30)

sehingga: x₁ 3, x₂ 5, x0, dan y30, maka: y = a(xx₁)(xx₂)

y = a(xx₁)(xx₂) 30 = a(0(3))(05) 30 = a(3)(5)

30 = 15a

a = 15 30



a = 2

Jadi, fungsi kuadratnya f(x) = a(xx₁)(xx₂) )

(x

f = 2(x(3))(x5) = 2(x3)(x5) = _2( 2_5 _3 _15)

x x x )

(x

) (x

f = 2_x2 4_x30

4. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang titik puncaknya (–2 , 6) dan melalui titik (0 , 4) adalah .... Pembahasan:

Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik balik/puncak/ekstrim



xp,yp



, yaitu

(–2 , 6) dan satu titik lain (x,y), yaitu (0 , 4)

p

p y

x x a

y (  )2 

6 )) 2 ( 0 (

4_{  } 2 _

a

6 ) 2 ( 4_a 2

6 ) 4 ( 4a 

a 4 6

4 

a 4 2



4 2

 

a

2 1

 

a

p

p y

x x a

y (  )2 

6 )) 2 ( ( 2

1   2 



 x

y

6 ) 2 ( 2

1 _ 2_



 x

y

6 ) 2 . 2 . 2 ( 2

1 2  2 



 x x

y

6 ) 4 4 ( 2

1 2_{  }



 x x

y

6 2 2 2

1 2 _{  }



 x x

y

4 2 2

1 2 _{ }



 x x

y

Jadi, fungsinya 2 4

2 1 )

(  2  

x x x

f

LATIHAN UN:

1. Persamaan kuadrat x2 5x70 mempunyai akar-akar penyelesaian  dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya (3) dan ( 3) adalah ....

A. _x2 2_x100 B. _x2 _x130 C. x2 11x310 D. _x211_x310 E. _x2 11_x310

2. Jika p dan q adalah akar-akar penyelesaian _x25_x10_{, maka persamaan kuadrat baru yang} akar-akar penyelesaiannya 2p1 dan 2q1 adalah ....

A. _x2_10_x11_0 B. _x210_x70 C. _x210_x110 D. _x2_12_x7_0 E. _x212_x70

3. Grafik fungsi kuadrat _f(_x)_x2 _6_px2_x14_p21

A.

A. f(x)x2 4 B. f(x)x2 4x C. f(x)x2 4 D. f(x)x2 4x E. f(x)x2 4x

10.Fungsi kuadrat dari grafik di samping adalah …. A. f(x)x2 2x3

B. f(x)x2 4x3 C. f(x)2x2 4x6 D. f(x)2x2 4x6 E. f(x)2x2 8x6

x y

– 2 4 P (– 2 , 4)

0 – 4

x y

-3