Evaluasi Numerik dari Metode Aproksimasi dalam Program Stokastik

(1)

Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :

Istri tercinta Laila Wanna Hari Rangkuti, S.Pd. dan kedua anak saya Muhammad Herza Ismail dan Muhammad Al Khaliifi Zikri Ismail, ayahanda dan ibunda ter-cinta Suparman dan Siti Aminah, serta kakak terter-cinta Siti Mariyam, abang-abang tersayang Muhammad Ali dan Muhammad Razali dan adik-adik tercinta Muham-mad Zulham, Siti Masitha dan Rahmat Shaleh yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.

Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2012, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.

Medan, Juni 2014 Penulis,

(2)

RIWAYAT HIDUP

Muhammad Ismail, dilahirkan di Suka Damai, Langkat, pada tanggal 29 Ja-nuari 1977, merupakan anak keempat dari enam bersaudara dari ayah Suparman dan Siti Aminah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri di Suka Damai Langkat tahun 1990, Sekolah Lanjutan tingkat Pertama (SLTP) di Madrasah Tsanawiyah Negeri (MTsN) Tanjung Pura tahun 1994,dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di Madrasah Aliyah Negeri 1 (MAN 1) Tanjung Pura pada tahun 1997.

(3)

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

1.5 Metode Penelitian 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5

2.1 Program Stokastik 5

2.2 Metode Aproksimasi 7

2.3 Metode Numerik 13

BAB 3 POHON SKENARIO 15

(4)

3.2 Membangkitkan Pohon Skenario 16

BAB 4 EVALUASI NUMERIK 22

4.1 Model Statistik 22

4.2 Konstruksi Pohon Skenario 23

BAB 5 KESIMPULAN 26

(5)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

4.1 Dimensi input skenario yang disimulasi 23

4.2 Hasil numerik algoritma 3.2 untuk pohon skenario harga permintaan

(6)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

3.1 Ilustrasi konstruksi pohon untuk contoh dengan periode waktu

T = 5 20

4.1 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat reduk-si εrel = 0,4 yang diperoleh dengan Algoritma 3.2 24 4.2 Harga permintaan tahunan pohon skenario dengan tingkat

(7)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam beberapa tahun terakhir, program stokastik memiliki popularitas yang semakin meningkat dalam komunitas pemograman matematika. Model pemogra-man stokastik dapat dilihat sebagai model pemograpemogra-man matematika dengan keti-dakpastian nilai beberapa parameter. Pada nilai tunggal, parameter ini kemudi-an dijelaskkemudi-an dengkemudi-an distribusi (pada kasus periode tunggal), atau dengkemudi-an proses stokastik (pada kasus multi periode). Kesulitan utama dalam masalah program stokastik adalah dalam menghitung nilai dan gradien (atau subgradien) fungsi ma-salah.

Untuk membahas hal seperti ini lebih rinci, anggap bahwa fungsi objektif

F(x) dalam masalah program stokastik didefinisikan sebagai ekspektasi matema-tika fungsi f(x,ξ), dimana x ∈ Rn adalah vektor dari variabel keputusan dan ξ

adalah vektor berdimensimdari parameter random. Secara umum, fungsi objektif dapat dinyatakan sebagai berikut :

F(x) =Ef(x,ξ) =fΩf(x,ξ(w))P(dω) (1.1)

dimana Ω menunjukkan ruang probabilitas abstrak danP adalah ukuran probabi-litas.

Menurut Kall et al., (1984) ada 2 pendekatan utama yang dapat digunakan untuk mengatasi kesulitan ini, yaitu metode aproksimasi dan metode stokastik quasigradien.

(8)

2

metode ini adalah membuat langkah random dalam aturan perhitungan dasar dari beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada setiap langkah. Kebaikan dari metode aproksimasi adalah tidak cenderung untuk mendapat-kan gambaran umum dari F(x), tetapi menggunakan nilai random f(x,ξk) dan penyesuaian gradien (atau subgradien dalam kasus nondiferensiasi) dihitung pada beberapa realisasi sampelξk _dari _ξ_{, k = 0, 1, 2, ... (Kall}_{et al., 1984).}

Kuchler dan Vigerske (2009) menyatakan bahwa ketika membentuk aproksi-masi untuk masalah program stokastik, harus dianalisis hal-hal yang saling terkait berikut.

1. Harus menemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random sebe-narnya ξ dengan sesuatu yang diskrit.

2. Mempelajari hubungan antara masalah sebenarnya dan masalah aproksimasi dan memperkirakan aproksimasi yang tepat.

3. Membutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, dengan memben-tuk aproksimasi yang lebih baik unmemben-tuk ξ.

Metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk mendapatkan dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aproksimasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario. Teknik ini mengikuti prinsip-prinsip yang berbeda seperti Random Sampling, Ukuran Probabilitas, Quasi Monte-Carlo Sampling (Kuchler dan Vigerske, 2009).

(9)

3

Tesis ini akan fokus pada evaluasi numerik dari metode aproksimasi dalam program stokastik yang diberikan. Pendekatan ini tidak menghasilkan metode yang terbaik, tetapi mencoba menemukan cara yang netral dalam mengevaluasi metode yang disarankan.

1.2 Perumusan Masalah

Dengan melakukan evaluasi numerik dari metode aproksimasi, persoalan pada tesis ini adalah bagaimana penggunaan pohon skenario untuk mempelajari perilaku dari metode aproksimasi untuk program stokastik.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan evaluasi menggunakan pohon skenario untuk program stokastik yang diilustrasikan dengan evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen.

1.4 Manfaat Penelitian

Hasil penelitian ini penting untuk menunjukkan bahwa terdapat persyaratan-persyaratan minimal yang harus dikenakan pada metode pohon skenario sebelum dapat digunakan untuk menyelesaikan program stokastik.

1.5 Metode Penelitian

Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengum-pulkan informasi dari berbagai jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut :

(10)

4

(a) Ukuran kualitas pohon skenario; (b) Pengujian metode pohon skenario.

4. Membuat evaluasi numerik pada kasus portfolio manajemen;

(11)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Program Stokastik

Persoalan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program sto-kastik dengan tujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Tujuan dan kendala dari sebuah program stokastik adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data yang berasal dari permasalahan yang sebenarnya.

Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x1, x2, ..., xn). Sebagai contoh

xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematika adalah :

Min f(x1, x2, x3, ..., xn) Kendala :g1(x1, x2, x3, ..., xn)≤0

g2(x1, x2, x3, ..., xn)≤0

.

gn(x1, x2, x3, ..., xn)≤0 (x1, x2, x3, ..., xn)∈X

dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif serta g1, g2, ...gn adalah kendala yang dihadapi dalam program stokastik.

(12)

6

Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa:

1. Program stokastik deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu);

2. Program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.

Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian. Keti-dakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan bebe-rapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemenw∈W. Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak (Kall dan Wallace, 1994).

Model pemograman stokastik periode tunggal dapat dirumuskan sebagai

z∗

dimana ξ˜adalah vektor random, dan distribusi G harus independen dari vektor keputusan x. Diasumsikan bahwa daerah layak X independen dari ξ˜, yaitu dia-sumsikan secara relatif merupakan jalan yang komplit.

Notasi topi digunakan untuk membedakan antara masalah sebenarnya dan masalah berbasis skenario, sehingga ˆG, ˆF, dan ˆx∗ _{masing-masing digunakan untuk}

fungsi distribusi, fungsi objektif, dan solusi optimal berbasis skenario. Selain itu, huruf tebal menunjukkan vektor, sehinggaξˆmenyatakan vektor stokastik. Sehing-ga, versi berbasis skenario dari masalah optimisasi adalah

(13)

7

2.2 Metode Aproksimasi

Dalam kasus tertentu, jika ξ pada (1.1) adalah vektor random diskrit yang hanya mencapai nilai terbatas dari nilai-nilaiξ1

,ξ2

jadi bentuk integral Riemann

F(x) =

Untuk mengevaluasi fungsi objektif F pada titik x tertentu perlu menghi-tung integral ganda yang berhubungan dengan mengukur gambaran ξ. Jika tidak mungkin melakukan integrasi analitis, maka harus digunakan metode numerik, yang biasanya membutuhkan banyak usaha komputasi, yang meningkat pesat de-ngan dimensiξ dan dengan akurasi yang dibutuhkan.

Menurut Bazaraa dan Shetty (1979), aplikasi dari metode umum pemogra-man nonlinier untuk masalah pemograpemogra-man stokastik akan memerlukan perhitung-an integral dari bentuk (1.1) pada setiap titik xk_{, k} _{= 0}_,₁_,₂_{, ...}_{, yang dihasilkan} dari algoritma optimisasi. Kesulitan meningkat jika teknik yang dihasilkan dari algoritma optimisasi juga memerlukan gradien∇F(xk₎_{, k} _{= 0}_,₁_,₂_{, ...}_{, yang dalam} kasus ini menjadi lebih sulit untuk evaluasi secara objektif. Fungsi f(x,ξ) pada (1.1) secara terus-menerus dideferensialkan terhadap x untuk setiap ξ, kemudian, di bawah kondisi tambahan yang wajarF(x) secara terus-menerus dideferensialkan dan

∇F(x) =

Z

Ω

∇xf(x,ξ(ω))P(dω) (2.5)

dimana ∇xf(x,ξ) menunjukkan gradien dari f terhadap x. Dalam dua kasus tertentu di atas diperoleh

∇F(x) = L

X

l=1

(14)

8

dan

∇F(x) =

Z Z

· · ·

Z

Rm

∇xf(x,ξ)ϕ(ξ)dξ1dξ2...dξ_m (2.7)

Karena metode pemrograman nonlinier biasanya memerlukan banyak peru-langan untuk mencapai daerah hasil, upaya perhitungan total diperlukan di luar biaya yang dapat diberikan.

Ada dua pendekatan pokok dalam mengatasi kesulitan di atas : teknik aprok-simasi dan metode stokastik quasigradient.

Pada teknik aproksimasi masalah sebenarnya diganti dengan hal sederhana melalui mengaproksimasi vektor random ξ dengan vektor random lain ξ˜agar in-tegral pada (1.1) lebih mudah digunakan. Secara khusus, dipilih ξ˜sebagai vektor random diskrit dan digunakan pada (2.1).

Metode stokastik quasigradient tidak menggunakan perhitungan integral pa-da (1.1). Ide pokok pa-dari metode ini apa-dalah membuat langkah-langkah random dalam perhitungan berdasarkan beberapa informasi statistik tentang masalah yang diperoleh pada tiap langkah. Kebalikan dari teknik aproksimasi, metode ini cen-derung tidak mendapatkan gambaran umum dari F(x), tetapi menggunakan nilai random f(x,ξk) dan menyesuaikan gradien ∇xf(x,ξk) (atau subgradien pada ka-sus nondiferensial) dihitung pada beberapa realisasi sampelξk_dari_{ξ, k}_{= 0}_,₁_,₂_{, ...}_.

Beberapa jenis metode self-learning dibangun, dimana setiap langkah tertentu mungkin tidak efisien, tetapi nilai yang besar menunjukkan sifat umum statistik yang berarti konvergen dengan satu solusi aproksimasi.

Ketika membentuk aproksimasi untuk masalah pemorgraman stokastik harus dianalisis pertanyaan yang saling terkait berikut.

1. Harus ditemukan cara yang tepat untuk menggantikan vektor random asli ξ

dengan yang diskrit;

(15)

9

3. Dibutuhkan suatu metode untuk meningkatkan akurasi, jika tidak cukup, dengan membangun aproksimasi yang lebih baik untukξ.

Sebelum menyelidiki masalah ini secara detil, berikut beberapa ide dasar dan bentuk matematika dari pendekatan ini.

Misalkan Ξ⊂Rm _{menjadi pendukung dari vektor random}_ξ_{(yaitu himpunan} terkecil tertutup diRm _sehingga_P_{_ξε_Ξ}_{= 1), dan misalkan}_SL_{adalah koleksi} ter-batas dari himpunan bagian Ξl, l= 1,2, ..., L, dimana Ξ memenuhi kondisi berikut:

Dinyatakan bahwa SL _{adalah partisi dari Ξ.}

Untuk setiap partisi dapat menggunakan integral (1.1) sebagai berikut

F(x) =

dimana integrasi melalui dukungan Ξ⊂ Rm _{dan menggunakan deskripsi dari} dis-tribusiξ pada rentang nilai-nilainya.

Pada kasus tertentu (2.2), yang secara khusus berguna, (2.8) menjadi

F(x) =

Metode yang paling sederhana untuk menghitung integral pada perkiraan masing-masing integral melalui Ξl sebagai berikut

(16)

10

dimana ξl dipilih mewakili subset Ξl. Dengan kata lain, diaproksimasi fungsi

f(x,ξ) dengan fungsi berikutnya pada ξ, yang bernilai konstan pada setiap him-punan Ξl, l = 1,2, ..., L. Dengan demikian diperoleh aproksimasi F(x):

Dari (2.6) dan (2.7) diperoleh PL_l=1pl = 1, aproksimasi ini dapat diinter-pretasikan secara ekuivalen sebagai aproksimasi ξ dengan sebuah vektor random diskritξ˜mencapai nilaiξl_{dengan probabilitas}_p

l, l= 1,2, ..., L, dan formula aprok-simasi (2.11) tepat berbentuk (2.1).

Pada umumnya, jika bentuk Ξ terbatas dan jika max

1≤l≤LP{ξεΞl} →0 sampai

L → ∞, kemudian untuk setiap x, berdasarkan asumsi yang tepat pada f(x,ξ) diperoleh titik konvergen dari nilai fungsi : FL₍_x₎_→_F₍_x_{) sampai}_L_{→ ∞. Hal ini} menjadi dasar dan sangat diperlukan, akan tetapi, tidak cukup, karena terdapat konvergensi dari urutan solusi ˆxL dari masalah aproksimasi, atau paling tidak bagian urutan konvergen untuk solusi yang sebenarnya dari masalah optimisasi. Beberapa kondisi tambahan, misalnya kepadatan dari himpunan yang mungkin dari x dengan konvergensi seragam dari FL _ke _F_{, dibutuhkan untuk kepastian} jenis konvergensi. Hal yang sering terjadi, yaitu bahwa dalam prakteknya nilai ˜x

memuaskan, dimana nilai objektif terletak antara nilai toleransi tertentu dengan tujuan ke nilai minimum, dan hal ini mungkin tercapai pada masalah yang lebih luas.

Akan tetapi, masih sangat sulit untuk menentukan terlebih dahulu bagai-mana sebaiknya partisi dapat memastikan keakuratan aproksimasi. Pembagian Ξ ke dalam beberapa bentuk kecil Ξl, l = 1,2, ..., L, tanpa strategi apapun se-cara langsung dapat meningkatkan kompleksitas komputasi dari masalah aprok-simasi. Untuk mengilustrasikan kesulitan yang mungkin timbul, andaikan bahwa terdapat 10 variabel acak skalar bebas dalam masalah yang sebenarnya, sehingga

(17)

11

10 subinterval, diperoleh 1010himpunan bagian Ξldari dukungan Ξ padaξ, jumlah yang nyata di luar kemampuan komputasi.

Untuk menghindari jumlah berlebihan dari subset Ξlharus digunakan partisi yang tidak seragam yang sesuai untuk sifat darif(x,ξ) sebagai fungsi ξ. Masalah membentuk beberapa partisi berkaitan erat dengan cara memilih titik-titikξlεΞl. Dari segi konvergensi, ini dapat menjadi titik bebas; namun, jika lebih berhati-hati dalam memilih, dinamakan ekspektasi bersyarat

ξl =E{ξ(ω)/ξ(ω)εΞl} (2.15)

dengan probabilitas

pl =P{ξ(ω)εΞl} (2.16)

maka dapat meningkatkan akurasi aproksimasi pada banyak kasus, tetapi juga memperoleh informasi yang dapat membantu untuk memperbaiki partisi yang be-nar jika akurasi tidak mencukupi.

Memang, jika fungsi f(x,ξ) linier terhadap ξ pada himpunan Ξl, maka de-nganξl _{didefinisikan oleh (2.13) diperoleh kesetaraan pada (2.10),}

Z

Ξl

f(x,ξ)P(dξ) =f(x,ξl)P{ξεΞl} (2.17)

Ini berarti bahwa pembagian selanjutnya dari subset Ξl tidak menggunakan peningkatan akurasi dari aproksimasi pada x. Di sisi lain, jika f(x, .) nonlinier pada Ξl, aproksimasi pada Ξldapat agak kasar dan partisi halus dari Ξldiinginkan. Oleh karena itu, kepadatan partisi pada berbagai sub-wilayah dari bentuk Ξlharus terkait dengan sifat nonlinier dari f(x, .).

Umumnya, tidak diketahui sifat rinci fungsif(x,ξ), beberapa informasi dapat diperoleh dalam memecahkan masalah aproksimasi yang pasti. Selain itu, sifat dari fungsi f(x, .) berubah ketika x berubah, dan perlu untuk memiliki partisi yang baikmdarix mendekati solusi masalah.

(18)

12

1. Pilih partisi awal Ξl, l= 1,2, ..., Lyang memenuhi (2.6) dan (2.7); 2. Pilih titik ξl_ε_{Ξ dan probabilitas} _p

l, l = 1,2, ..., L sesuai dengan (2.13) dan (2.14);

3. Memecahkan masalah aproksimasi;

4. Pada solusi ˜xL dianalisis akurasi aproksimasi dengan menyelidiki sifat fungsi

f(˜xL,ξ) pada masing-masing subset Ξl, l = 1,2, ..., L, memilih hal-hal yang harus dibagi lagi, jika akurasi tidak cukup, dan ulangi langkah 3.

Realisasi rinci dari prosedur ini tergantung pada sifat dari kelas masalah yang diterapkan.

Pendekatan untuk evaluasi aproksimasi dan metode solusi untuk multi stage linier program stokastik dengan mengukur kinerja solusi yang diperoleh pada su-atu himpunan skenario out-of-sample. Titik utama dari pendekatan adalah un-tuk mengembalikan kelayakan solusi unun-tuk masalah aproksimasi sepanjang snario out-of-sample. Untuk tujuan ini, dipertimbangkan dan dibandingkan ke-layakan yang berbeda dan mengoptimalkan berdasarkan metode proyeksi. De-ngan demikian, dipelajari bahwa kualitas solusi untuk tes model berdasarkan pada keklasikkan serta mengkombinasikan pohon skenario.

Secara umum, metode solusi numerik untuk masalah optimisasi stokastik memerlukan dasar ukuran probabilitas untuk memiliki dukungan terbatas. Dengan demikian, teknik yang berbeda telah dikembangkan untuk variabel random aprok-simasi atau proses stokastik dengan dibatasi beberapa skenario atau pohon ske-nario terbatas. Teknik ini mengikuti prinsip-prinsip yang berbeda seperti random sampling, momen pencocokan, ukuran probabilitas, Quasi Monte-Carlo sampling. Konvergensi nilai optimal dan/atau himpunan solusi telah terbukti untuk teknik tertentu dan sifat perkiraan statistik dan berbatas telah ditetapkan. Analisis sta-bilitas program stokastik menghasilkan petunjuk lanjutan bagaimana aproksimasi akan terlibat.

(19)

ter-13

praktis. Di sisi lain, kuantitatif batas kesalahan dan sifat statistik tidak tersedia untuk semua kelas masalah. Selanjutnya, karena kompleksitas numerik dari model program stokastik. kadang-kadang perlu menggunakan aproksimasi yang terlalu kasar untuk mendapatkan batas kesalahan yang berarti atau interval kepercayaan melalui hasil asimtotik.

Dalam kasus tersebut, harus menggunakan metode numerik untuk mengukur kinerja dan kualitas dari metode aproksimsi dan solusi. Karena tugas utama pro-gram stokastik adalah untuk memberikan strategi keputusan yang cukup kuat yang dapat diterapkan dalam skenario kehidupan nyata, hal itu menunjukkan program tersebut untuk mengukur kualitas suatu metode aproksimsi dengan mengevaluasi solusi (optimal) diperoleh dari pemecahan masalah aproksimasi. Hal ini dapat di-lakukan, misalnya, dengan mengevaluasi solusi ini bersama metode pohon skenario.

2.3 Metode Numerik

Menurut Ralston dan Rabinowitz (1978) metode numerik adalah teknik di-mana masalah matematika diformulasikan sedemikian sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian Aritmetika. Atau bisa dikatakan bahwa metode numerik adalah cara penyelesaian matematis yang dikembangkan dari cara analitis, dan memasuki wilayah simulasi. Salah satu metode numerik yang sering digunakan adalah metode Deret Taylor.

Aproksimasi orde ke-0 dilakukan dengan mengambil 1 suku pertama, yaitu nilai sebelumnya.

f(xi+1)≈f(xi) (2.18)

Aproksimasi orde ke-1 dilakukan dengan menambahi suku lainnya.

f(xi+1)≈f(xi) +f′

(xi)(xi+1−xi) → f′(xi) adalah kemiringan/slope (2.19)

Aproksimasi orde ke-2 dilakukan dengan menambahi lagi suku lainnya.

f(xi+1)≈f(xi) +f′

(xi)(xi+1−xi) +

f′′₍_x_i)

2! (xi+1−xi)

(20)

14

Sehingga Deret Taylor selengkapnya adalah sebagai berikut:

f(xi+1) = f(xi) +f′

Seringkali ada baiknya untuk memudahkan Deret Taylor dengan mendefinisikan suatu ukuran langkahh =xi+1−xi dan menyatakan persamaan (2.4) sebagai :

f(xi+1) =f(xi) +f′(xi)h+f

Dimana suku sisa sekarang adalah

Rn=

fn+1₍_ξ₎ (n+ 1)!h