BENTUK STANDARD LINEAR PROGRAMMING

(1)

(2)

OUTLINE

BENTUK STANDARD

LINEAR

PROGRAMMING

BENTUK STANDARD

LINEAR

PROGRAMMING

DEFINISI DASAR

BASIS FEASIBLE SOLUTION

DEFINISI DASAR

BASIS FEASIBLE SOLUTION

BASIC FEASIBLE SOLUTION

Tambahan:

Mencari Inverse Matriks

Tambahan:

(3)

TUJUAN

Memahami konsep matriks basis dan

inverse

(4)

BENTUK STANDARD

(5)

5

Linear Programming

dalam bentuk standar

Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁_nx_n= b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂_nx_n = b₂ .

. .

a_m₁x₁ + a_m₂x₂ + … + a_mnx_n = b_m

x₁≥0, x₂≥0,…, x_n≥0

b₁≥0, b₂≥0,…, b_m≥0 dengan pembatas

(6)

6

Ciri-ciri LP dalam bentuk

standar

• _{Fungsi tujuan}



memaksimumkan

atau meminimumkan

• _{Semua pembatas}

_dinyatakan

dalam

persamaan

• _Semua

_{variabel keputusan}

dibatasi sebagai

tak negatif

• _{Konstanta ruas kanan}

_{untuk tiap}

(7)

7

Ciri-ciri LP dalam bentuk

standar

Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁_nx_n= b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂_nx_n = b₂ .

. .

a_m₁x₁ + a_m₂x₂ + … + a_mnx_n = b_m

x₁≥0, x₂≥0,…, x_n≥0

b₁≥0, b₂≥0,…, b_m≥0 dengan pembatas

Memaksimumkan (Meminimumkan)

1

2

3

(8)

8

Notasi matriks-vektor (1)

Z = cx

Maks (Min)

Ax = b x ≥ 0 b ≥ 0

dgn pembatas

A : matriks (m x n)

x : vektor kolom (n x 1)

b : vektor kolom (m x 1)

(9)

9

Notasi matriks-vektor (2)

(10)

10

Reduksi ke bentuk standar

• _{Metode simpleks untuk memecahkan}

masalah LP memerlukan bahwa

masalah dinyatakan dalam bentuk

standar.

• _{Tidak semua masalah LP dalam}

bentuk standar

– _{Pembatas pertidaksamaan (}_inequality

constraint).

– _{Variabel yang tak dibatasi tanda}

(11)

11

Pembatas pertidaksamaan

(1)

• _{Karena bentuk standar memerlukan}

semua pembatas harus dinyatakan

dengan dalam persamaan,

pembatas pertidaksamaan harus

diubah ke persamaan

.

• _{Ini dilakukan dengan}

_penambahan

variabel

baru untuk menunjukkan

slack

antara ruas kiri dan kanan

pada tiap pertidaksamaan.

• _{Variabel baru tersebut disebut}

_slack

(12)

12

Pembatas pertidaksamaan

(2)

2x₁ + 5x₂ ≥ 18 2⇒ x₁ + 5x₂ – x₄ = 18 x₄ ≥ 0

(13)

13

Variabel yang tak dibatasi

tanda (1)

• _{Dalam LP, adakalanya terdapat}

_nilai

variabel yang tak dibatasi tanda

(positif atau negatif)

• _{Karena bentuk standar LP}

memerlukan semua variabel adalah

tak negatif, maka variabel yang tak

dibatasi tanda

diganti dengan

(14)

14

Variabel yang tak dibatasi

tanda (2)

x₁ + x₅ = 50

x₁ ≥ 0

x₅ tak dibatasi tanda/ unrestricted



x₅ = x₆ – x₇



x₁ + x₆ – x₇ = 50

(15)

DEFINISI DASAR

(16)

16

Defnisi dasar (1)

• Suatu solusi layak (

feasible solution

)

adalah suatu vektor tak negatif

x

yang memenuhi persamaan

Ax = b.

• Daerah layak (

feasible region

),

dinyatakan dengan

S

, adalah

himpunan dari semua solusi layak

yang mungkin. Secara matematis,

S

= {

x

|

Ax

=

b

,

x

≥ 0}

Jika himpunan layak

S

adalah

(17)

17

Defnisi dasar (2)

• _{Suatu solusi optimal (}_{optimal solution}₎

adalah suatu vektor x* yang layak dan nilai fungsi tujuannya (cx*) lebih besar dari

semua solusi layak yang lain. Secara matematis,

x* adalah optimal  x*  S dan cx* ≥

cx,  x  S

• _{Nilai optimal (}_{optimal value}_{) dari masalah}

LP adalah nilai fungsi tujuan yang

berkaitan dengan solusi optimal. Jika Z*

(18)

18

Defnisi dasar (3)

• _{Jika suatu LP mempunyai lebih dari satu}

solusi optimal maka LP disebut

mempunyai solusi optimal alternatif (alternate optimal solution).

• Solusi optimal dari masalah LP dikatakan unik (unique optimum) jika hanya terdapat tepat satu solusi optimal.

• _{Jika suatu masalah LP tidak mempunyai}

optimum tertentu (finite optimum), yaitu maks. Z  +, maka LP dikatakan

(19)

(20)

20

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (1)

• _{Permasalahan matematis utama}

dalam pemrograman linier adalah

mendapatkan solusi dari suatu

sistem persamaaan linier yang

memaksimumkan atau

meminimumkan suatu fungsi tujuan

linier.

• _{Sistem persamaan linier dapat}

diselesaikan dengan menggunakan

prosedur klasik

Gauss-Jordan

(21)

21

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (2)

x₁– 2x₂ + x₃ – 4x₄+ 2x₅ = 2

x₁ – x₂ – x₃ – 3x₄ – x₅ = 4

Sistem dengan dua persamaan dengan lima variabel yang tak diketahui

• _{Karena terdapat lebih banyak jumlah variabel yang tak}

diketahui daripada persamaan, maka sistem mempunyai lebih dari satu solusi.

• _{Himpunan dari semua solusi yang mungkin dari sistem}

(22)

22

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (3)

• _{Sistem ekivalen (}

_equivalent

_system

₎

– _{Dua sistem persamaan dikatakan}

ekivalen jika kedua sistem mempunyai himpunan solusi yang sama.

• _{Metode untuk memecahkan suatu}

sistem persamaan adalah

(23)

23

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (4)

• _{Terdapat dua tipe operasi baris}

elementer untuk mendapatkan

sistem ekivalen

– _{Mengalikan sembarang persamaan}

dalam sistem dengan suatu bilangan positif atau negatif.

– _{Menambahkan ke sembarang}

(24)

24

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (5)

x₁– 2x₂ + x₃ – 4x₄+ 2x₅ = 2

x₂ – 2x₃ + x₄ – 3x₅ = 2

x₁– x₃ – 2x₄– 4x₅ = 6

x₂ – 2x₃ + x₄ – 3x₅ = 2 (S₂)

(S₃)

x₁– 2x₂ + x₃ – 4x₄+ 2x₅ = 2

(25)

25

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (6)

• _Sistem

_S

₁

_,

_S

₂

_dan

_S

₃

_{adalah ekivalen,}

yaitu solusi bagi satu sistem secara

otomatis memberikan solusi bagi

sistem yang lain.

• _{Untuk sistem}

_S

₃

_,

_x

₄

₌

_x

₅

₌

_x

₆

_{= 0}

akan memberikan

x

₁

= 6,

x

₂

= 2.

• _Sistem

_S

₃

_{disebut sistem kanonik}

(

canonical system

).

• _Variabel

_x

₁

_dan

_x

₂

_{dari sistem kanonik}

(26)

26

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (7)

• _{Variabel basis (}_{basic variable}₎

– Variabel x_i dikatakan sebagai variabel basis jika dalam suatu persamaan ia muncul dengan

koefsien satu pada persamaan tersebut, dan nol pada persamaan yang lain.

• _{Variabel non basis (}_{nonbasic variable}₎ – _{Variabel yang bukan variabel basis.}

• _{Operasi pivot}_{(pivot operation}₎

– _{Suatu urutan operasi elementer yang}

(27)

27

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (8)

• _{Solusi basis (}

_{basic solution}

₎

– _{Solusi yang diperoleh dari suatu sistem}

kanonik dengan menetapkan nilai

variabel non basis sama dengan nol dan memecahkan variabel basis.

• _{Solusi basis layak (}

_{basic feasible}

solution

)

– _{Solusi basis dimana nilai variabel}

(28)

28

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (9)

• _Dengan

_m

_{pembatas dan}

_n

_variabel,

jumlah maksimum dari solusi basis

bagi LP dalam bentuk standar adalah

terbatas dan diberikan oleh



!

m

n

m

n

m

n



• Per defnisi, setiap solusi basis layak

adalah solusi basis, maka jumlah

(29)

29

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (10)

• _{Dari kesimpulan dengan metode grafs:} – _{Jika terdapat suatu solusi optimal dari model}

LP, salah satu titik pojok (corner point) dari daerah layak adalah solusi optimal.

• _{Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa}

setiap titik pojok dari daerah layak

berkaitan dengan suatu solusi basis layak dari persamaan pembatas.

• _{Ini berarti bahwa suatu solusi optimal dari}

(30)

30

Pemecahan Sistem

Persamaan Linier (11)

• _{Pendekatan naif (}_{naïve approach}_{) untuk}

memecahkan masalah LP (yang

mempunyai solusi optimal) dilakukan dengan membangkitkan semua solusi

basis layak yang mungkin dengan sistem kanonik dan menentukan solusi basis

layak mana yang memberikan nilai fungsi tujuan terbaik.

• _{Dengan metode simpleks (}_simplex

(31)

(32)

BASIC SOLUTION OF

SYSTEM

• _{Jika fungsi pembatas adalah}

_A

_{x =}

_B

_,

maka solusinya adalah

dengan



XN XB

x

dan

₀

XN 

(33)

• Jika x

_B

≥ 0, maka x disebut

BASIC

FEASIBLE SOLUTION

dari sistem

tersebut.

• _B

₌

_basic

_{matrix (basis)}

• _{N =}

_nonbasic

_matrix

• Komponen x

_B

disebut variabel basis/

variabel

dependent

• Komponen x

_N

disebut variabel

(34)

Contoh Kasus (1)

• _{Fungsi pembatas sebagai berikut:}

x

₁

+ x

₂

≤ 6

x

₂

≤ 3

(35)

Contoh Kasus (2)

• _{Bentuk standard:}

(36)

Contoh Kasus (3)

• Matriks Pembatas

A

= [a

₁

, a

₂

, a

₃

, a

₄

]



1

0

1

0

1

(37)

• _{Basis yang mungkin:}

Contoh Kasus (3)

(38)

(39)

• _{Poin 1, 2, 3, dan 5 merupakan}

_basic

feasible solution

• _{Poin 4 merupakan solusi basis yang}

tidak

feasible

(40)

(41)

Tambahan:

(42)

Matrik Invers

Suatu bilangan jika dikalikan dengan

kebalikannya, maka hasilnya adalah 1.

Misalkan 5.5-1 atau 5-1.5 = 1, Demikian juga

halnya dengan matrik A.A-1 = A-1.A = I

Maka :

Jika tidak ditemukan matrik A-1, maka A

disebut matrik tunggal (singular)

-1

2 -5

3 5

A

-1 3

1 2



_



_



-1 -1

1 0

AA

A A

0 1

(43)

 _{Invers matrik 2 x 2 :}

Maka , A-1 diperoleh dengan rumus :

1. A.A-1 = I

2. 3.

Jika ad – bc = 0, maka matrik A non-invertibel

a b

A

dapat di invers jika ad - bc

0 c d



_



_{A I I A}



OBE



-1



-1 1

A adj(A)

A



(44)

1) Mencari invers dengan defnisi

Langkah-langkahnya :

 _{Dibuat suatu matrik invers dengan}

elemen-elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu

persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya.

 _{Perkalian matrik dengan matrik}

inversnya menghasilkan matrik identitas

 _{Dilakukan penyelesaian persamaan}

melalui eliminasi ataupun substitusi sehingga diperoleh nilai

elemen-elemen matrik invers.

(45)

2) Mencari invers dengan OBE (Operasi Baris Elementer)

Langkah-langkah :

_{Dilakukan OBE pada hingga}

diperoleh

dengan memperhatikan defnisi operasi berikut:



_{A I I A}



OBE



-1



A I



I A-1



ij

i

ij i j

b menukar baris ke i dengan baris ke j b (p) mengalikan baris ke i dengan p 0 b (p) b pb

ganti baris ke i dengan baris baru yang merupakan baris ke i ditambah dengan



 



(46)

Matriks Elementer: (E)

Matriks A(nxn) disebut elementer bila dengan sekali melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks identitas I_n.

(47)

A = EA

= . A

Contoh :

E = matrik elementer, maka EA = matrik baru yang terjadi bila OBE tersebut

dilakukan pada matrik A. OBE

Notasi sebagai

(48)

Tunjukkan bahwa matrik adalah perkalian

matrik elementer ! Jawab :

Dari penyelesaian dengan OBE yang

menghasilkan matrik identitas, maka matrik A adalah matrik invertible

Dengan demikian, matrik A dapat dituliskan sebagai hasil kali dari matrik elementer.

2 3 A

1 3

 

  

 

2

2 3 1 3 1 3

1 3 2 3 0 -3

1 0 1 0

I

0 -3 0 1

     

   



   

B₁₂ _B

21(-2) B12(1)

(49)

Kita memiliki E₄E₃E₂E₁A = I dengan :

Matrik elementer ini menyatakan operasi

baris elementer untuk membentuk matrik A menjadi matrik identitas.

Dengan demikian :

(50)

3) Mencari Invers dengan Matrik Adjoint

Langkah-langkah :

 _Hitung

 _{Cari matrik adjoint dengan terlebih}

dahulu menentukan matrik kofaktor.

 _{Matrik adjoint}_{merupakan matrik}

transpose dari matrik kofaktor.

 _{Matrik invers diperoleh dengan}

mengkalikan matrik adjoint dengan seper-determinan

|A| ≠ 0 -1 1

A adj(A)

A

(51)

Matrik kofaktor dan matrik adjoint

11 12

21 22

a a

A

a a



 



Jika baris ke i dan kolom j dibuang, maka disebut minor ke ij dari matrik A.

Kofaktor ke ij dari matrik A adalah :

i j

A

ij ij

M

_

A

i+j

ij ij

(52)

11 12

Matrik kofaktor dari A adalah :

(53)

Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor.

22 21

12 11

a -a

K

-a a



 



Sehingga diperoleh matrik kofaktor A :

T

22 21 22 12

T

12 11 21 11

a -a

adj (A) K

-a a



_



_

(54)

Matrik Adj (A) dari A_2x2=

(55)

Contoh soal :

1. Carilah matrik invers dari :

Jawab : Cara 1) Misalkan :

(56)

3a 7c 3b 7d

1 0

2a 5c 2b 5d

0 1



 



_

 



 



3a 7c 1 3b 7d

0 2a 5c

0 2b 5d 1



3a 7c 1 x 2 6a 14c 2

2a 5c 0 x 3 6a 15c 0

-c 2

c -2

    

(57)

2a 5c 0

2a 5c 10

a 5

 

   

3b 7d 0 x2 6b 14d 0 2b 5d 1 x3 6b 15d 3 d 3 d 3

    

   

2b 5d_ _{ }1 b _{ }7

1

a b

5 7

A

c d

2 3



 



_

_{ }



_



(58)

(59)

Cara 3) :

-1

1 A

adj(A)

A

a b

d -b

Untuk matrik A

, maka adj(A)

c d

-c a

5 7

1 A

2 3

1 



_



_



 



_

_{ }



_



(60)

2. Cari matrik invers dengan OBE dari matrik berikut :

(61)

3. Tentukan A-1 dan B-1 pada matrik berikut

ini :

1 2 12 15

A dan B

3 4 4 5



   

 _ _  _ _



   

A _ 1(4) _ 2(3) _{  }2 0, m aka A m em iliki invers

-1 1

A a d j ( A )

A

2 1

4 2

1

₃ ₁

3 1 2

2 2



 



  _ _

 _ _ 

 



 _ _ 

 

(62)

 _{Invers matrik 3 x 3}

Sama seperti mencari invers matrik 2 x 2, hanya diperlukan ketelitian yang lebih

dibandingkan mencari invers matrik 2 x 2.

a b c

A

d e f

g h i



 



(63)

(64)

Contoh soal :

0 1 2 Tentukan invers matrik A 1 0 3

4 -3 8

 

-1

1 1 1 2 1 3

Jawab:

1 A

(0( 1) (0 ( 9)) 1( 1) (8 12) 2( 1) ( 3 0))  



         

(0 9) (8 6) (3 0)

x (8 12) (0 8) (0 2)

( 3 0) (0 4) (0 1)

   

 

_{ } _ _ _ 

 

      

(65)

-1

9 14 3

1 x 4

8 2

( 2)

3 4 1

9 ₇

3

2

2 A

2 4 1

3 ₂

1

2

2 



_



_



_



_



 



(66)

Carilah invers dari A =

  

 

  

 

1 2 3

2 3

1

4 4

2

Jawab :C₁₁ = M₁₁ = - 5 C₁₂ = - M₁₂ = 1

C₁₃ = M₁₃ = 1 C₂₁ = - M₂₁ = 4 C₂₂ = M₂₂ = - 2 C₂₃ = - M₂₃ = 0

C₃₁ = M₃₁ = - 4 C₃₂ = - M₃₂ = 0

(67)

(68)

Carilah invers dari B =

(69)

(70)

(71)

Cari matrik invers dari

Jawab :



_{A I I A}



OBE



-1



B₂₁ (-2)

B₃₁(1)

B₃₂(1) Karena elemen baris

ke 3 pada matrik kiri semua nol, maka

matrik A tidak punya invers

(72)