TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan pem-bahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mem-permudah dalam hal pembahasan hasil utama berikutnya.
2.1 Pemrograman Nonlinier
Menurut Bradley et al (1977), persoalan umum optimisasi adalah memilihn varia-bel keputusanx1, x2, ..., xndari daerah layak yang diberikan untuk mengoptimasi (maksimum atau minimum) fungsi tujuan yang diberikanf(x1, x2, ..., xn) dari va-riabel keputusan.Persoalan ini disebut persoalan nonlinier jika fungsi tujuannya nonlinier dan atau daerah layaknya ditentukan oleh kendala nonlinier. Fokus utama dari pemrograman nonlinier adalah terkait dengan eksistensi dari solusi optimal, karakterisasi dari solusi optimal dan algoritma untuk menghitung solusi optimal.Persoalan nonlinier mempunyai 2 jenis persoalan yaitu persoalan nonlinier berkendala dan nonlinier tidak berkendala.Pada persoalan nonlinier programming berkendala yang memiliki fungsi mulus dengan kata lain dapat diturunkan secara kontinu, yaitu
minf(x), x∈Rn (2.1)
ci(x) = 0, i= 1, ..., me (2.2)
ci(x)≥0, i=me+ 1, ..., m (2.3)
Disini, x adalah parameter vektor berdimensi n, disebut juga vektor varia-bel rancangan, f adalah fungsi objektif atau fungsi harga untuk meminimisasi persamaan nonlinier. Diasumsikan bahwa fungsi nya dapat diturunkan secara kontinu dalamRn. Supaya lebih lengkap lagi maka diasumsikan bahwa batas atas dan batas bawah xu dan xl tidak bisa diberlakukan secara terpisah dengan kata lain bahwa batas-batas tersebut dikategorikan sebagai bentuk umum pertidak-samaan kendala-kendala. Sehingga diperoleh bentuk persoalan umum nonlinier programming.
Walaupun software untuk optimisasi dapat digunakan dalam black box, sa-ngat diperlukan untuk memahami sedikitnya ide dasar dari analisa persoalan ini. Salah satu alasannya adalah bahwa ada banyak kondisi dimana kita da-pat menghindari algoritma dari sebuah solusi pendekatan melalui langkah yang benar.
Menurut Zillober dan Schittkowski (2002) untuk alasan inilah, maka dasar-dasar dari teori optimisasi perlu dipahami sebelum menampilkan algoritma-algoritma pada langkah awal. Pertama, kita perlu memahami beberapa notasi untuk tu-runan pertama dan kedua dari fungsi yang terdiferensiasi.
Gradien fungsi f(x)adalah
∇f(x) = ∂
∂x1f(x), ..., ∂ ∂xn
f(x)T (2.5)
Selanjutnya dari turunan parsial diatas dibentuk sebuah matriks Hessian dari fungsi f(x) yaitu
∇2
f(x) = ∂ 2 ∂xi∂xj
f(x)
Matriks Jacobian dari fungsi vektor value F(x) = (f1(x), ..., fl(x))T adalah
∇f(x) = ∂ ∂xi
fj(x)
i=1,...,n j=1,...,l (2.7) Dapat juga ditulis dalam bentuk∇F(x) = (f1(x), ..., fl(x)
Hal yang paling mendasar untuk memperoleh kondisi optimal dan algoritma op-timasi dinamakan fungsi Lagrange, yaitu
L(x, µ) :=f(x)−
m X
i=1
λici(x) (2.8)
Didefinisikan untuk semua x ∈ Rn dan u = (u1, ..., u
m)T ∈ Rm. Tujuan dari
L(x, u) adalah menghubungkan fungsi objektif f(x) dengan kendala ci(x), i = 1, ..., m. Variabel λi disebut pengali Lagrangian dari persoalan nonlinier. Selan-jutnya, P sebagai daerah layak,yaitu himpunan semua daerah layak.
P :={x∈Rn :ci(x) = 0, i= 1, ..., me, ci(x)≥0, i=me+ 1, ..., m} (2.9)
Pertidaksamaan kendala aktif yang mengacu pada nilaix∈P ditunjukkan dalam bentuk I(x) := {i:ci(x) = 0, me < i≤m
2.2 Optimisasi Nonlinier dengan kendala pertidaksamaan
Menurut Forsgren et al (2002) Bentuk umum persoalan nonlinier dengan pertidaksamaan berkendala adalah
minx∈ℜnf(x) kendala ci(x)≥0 (2.10)
dengan c(x) adalah m-buah vektor dari fungsi {ci(x)}, i = 1, ..., m dan diasum-sikan f dan {ci} kontinu dan dapat diturunkan dua kali. Gradien fungsi f dino-tasikan ∇f(x) atau g(x) dan ∇2
turunan kedua f. Gradien dan Hessian yaitu ci(x) dan ∇2ci(x). Matriks Jaco-bian m x n yaituc′(x) dari c(x) memiliki barisan{∇ci(x)T}
Syarat kondisi optimal untuk optimisasi nonlinier berkendala adalah sebagai be-rikut :
2.2.1 Kondisi Karush Kuhn Tucker (KKT)
Kondisi KKT adalah kondisi yang diperlukan bagi penyelesaian permasala-han optimasi nonlinier. Jaminan akan diperoleh solusi optimal jika kondisi KKT terpenuhi.
Menurut Forsgren et al(2002) ada beberapa definisi untuk menyatakan suatu kon-disi KKT, antara lain
Definisi 1 (Operator · sebagai komponen pengali) Diberikan dua buah vektor x
dan y dari r - dimensi, x·y adalah sebuah r - vektor dimana komponen ke - i
adalah xiyi.
Definisi 2 (Daerah layak) Diberikan kendala c(x) ≥ 0,maka daerah layaknya adalah F , {x∈Rn: c(x)≥0}
Definisi 3 (first order titik KKT) First-Order dari kondisi KKT untuk persoalan pertidaksamaan berkendala diperoleh dari (2.11) dipenuhi pada titikx∗ atau setara dengan, x∗ adalah kondisi first order KKT, jika terdapat sebuah m-vektor λ∗ maka disebut vektor pengali Lagrange,sedemikian sehingga
c(x∗)≥0(kelayakan) (2.11)
g(x∗) =J(x∗)Tλ∗
λ∗ ≥0(P engaliyangnonnegatif) (2.13) c(x∗
)·λ∗ = 0(kelengkapan) (2.14)
Definisi 4 (kendala aktif, tidak aktif dan terlarang) Himpunan kendala-kendala
c(x) ≥ 0,kendala ke - i dikatakan kendala aktif pada titik x¯ jika ci(¯x) = 0 dan
tidak aktif jika ci(¯x) > 0. Himpunan kendala aktifA(¯x)adalah himpunan yang
mengindikasi kendala-kendala aktif pada x¯, yakni A(¯x) = {i : ci(¯x) = 0};
argu-men A akan dihilangkan jika sudah terlihat jelas. Kendala ci(x) ≥ 0 dikatakan
terlarang pada x¯ jika ci(x)<0.
Untuk memenuhi kondisi kelengkapan c(x∗ )·λ∗
= 0 (2.15),komponen λ∗ diga-bungkan dengan kendala tidak aktif akan sama dengan nol yang berarti gradien dari f pada titik KKTx∗
harus merupakan kombinasi linier dari gradien kendala aktif yaitu
g(x∗
) =JA(x∗ )Tλ∗
A, (2.15)
dimanaJA menyatakan kendala aktif dari Jacobian danλ∗
A vektkor pengali untuk kendala yang aktif.
Definisi 5 (Pengali Lagrange yang diterima) Diberikan titik KKTx∗ dari (2.11), maka himpunan pengali yang diterima didefinisikan sebagai
Mλ(x ∗
),{λ∈Rm :g(x∗) =J(x∗)Tλ, λ ≥0, dan c(x∗)·λ = 0} (2.16)
Dalam hal ini syarat kelengkapan c(x∗
Definisi 6 (strict complementary) strict complementary dipenuhi pada titik KKT
x∗
jika terdapat λ∗
∈ Mλ sedemikian sehingga λ∗i >0 untuk semua i∈ A(x ∗
)
2.2.2 Konveksitas dan Kualifikasi kendala
Menurut Forsgren et al (2002) untuk persoalan dengan kendala linier, kondisi
first order KKT adalah penting untuk kondisi optimal, tetapi ciri ini tidak dapat di aplikasikan pada persoalan dengan kendala nonlinier. Untuk spesifikasi kon-disi penting first order pada kendala yang nonlinier dibutuhkan bahwa kendala-kendala tersebut harus memenuhi kualifikasi pada titik (x∗
), jika hal ini tidak dipenuhi maka kemungkinanx∗
tidak memenuhi titik KKT.
Definisi 7 (Kualifikasi kendala bebas linier) Misalkan sebuah persoalan pertidak-samaan kendala dengan kendalac(x)≥0. Kualifikasi kendala bebas linier dipenuhi pada titik layak x¯ jika x¯ strictly feasible(berarti tidak ada kendala aktif) atau jika Jacobian dari kendala aktif pada x¯ memiliki full row rank, yaitu jika gradien dari kendala aktif adalah bebas linier.
Definisi 8 (Kualifikasi kendala Mangasarian-Fromovitz) Misalkan sebuah per-soalan dengna pertidaksamaan kendala c(x)≥0. Kualifikasi kendala Mangasarian Fromovitz dipenuhi pada titik x¯ jika x¯ srtictly feasible atau jika terdapat sebuah vektor p sedemikian sehingga ∇ci(¯x)Tp > 0 untuk semua i ∈ A(¯x) yaitu jika
JA(¯x)p >0
vektor p sedemikian sehingga ∇ci(¯x)Tp > 0 untuk semua i ∈ A(¯x) dengan kata lain jikaJA(¯x)p >0.
2.3 Metode Titik Interior
Zillober dan Schittkowski (2002) mengatakan pengembangan dari program linier salah satunya adalah variasi dari bentuk metode barrier modern yang di-turunkan sehingga disebut dengan metode titik interior. Berdasarkan kondisi tersebut, himpunan fungsi minima barrier tak berkendala membentuk kurva mu-lusx(µ) untukµ ∈(0;∞)pada persoalan optimisasi konveks, yang disebutcentral path. Sebuah arah pencarian dk pada iterasi xk dihitung dengan eksplorasi linier sepanjang garis singgung central path. Untuk mendukung hal ini, abaikan per-samaan kendala untuk masalah yang sederhana, dan memperkenalkan variabel slack untuk pertidaksamaan tanpa batas dengan kata lain, diproses dari sebuah perluasan persoalan
minf(x),x∈Rn, y∈Rm g(x)−y= 0
y≥0
dimana g(x) = (g1(x), ..., gm(x))T menunjukkan hubungan kondisi Karush Kuhn Tucker terhadap fungsi Lagrange.
L(x, y, u, v) =f(x)−(g(x)−y)Tu−vTy (2.17)
dengan
∇f(x)− ∇g(x)u= 0, g(x)−y= 0,
vjyj = 0, j = 1, ..., m
dimana u = (u1, ..., um)T adalah vektor-vektor pengali.Tetapi, aplikasi metode Newton dalam penyelesaiannya pada persoalan nonlinier secara langsung sangat dihalangi oleh kondisi pada saatvjyj = 0,yang menyatakan bahwa slack variabel haruslah bernilai 0. Oleh karena itu, dengan mengganti kondisi tersebut menjadi bentuk vjyj = µ, dengan parameter µ sebagai parameter positif yang sesuai dan kemudian mengalikan ketiga persamaan dengan (-1). Dengan mengasumsikan
strict feasibility dari v dan y, yakniv >0 dan y >0,maka diperoleh persamaan
∇f(x)− ∇g(x)u= 0, (2.18)
y−g(x) = 0, vjyj =µ, j= 1, ..., m
Pada kondisi yang lain,dapat diperoleh persamaan yang sama mewakili sebuah solusi optimal, jika dimasukkan titik stasioner pada fungsi logaritma barrier yaitu
L(x, y, v, r) =f(x)−(g(x)−y)Tv− 1
{µk} himpunan barisan parameter positif yang mendekati nilai 0.Oleh karena itu digunakan Metode Newton kedalam persamaan (2.19), ketiga persamaan diatas ditulis dalam bentuk µk −v1kymk = 0 menghasilkan
persamaan sebelah kanan didefinisikan sebagai
ak :=−(∇f(xk)− ∇g(xk)vk) (2.21)
dan
bk := (µkV −1
c−g(xk)), c ∈ ℜm (2.22)
adalah sebuah vektor yang mengandung nilai satu pada masing-masing komponen. Jika dk dan pk menotasikan solusi dari sistem linier, iterasi baru diperoleh yakni
xk+1 =xk +dk, vk+1 =vk +pk (2.23)
Hubungan variabel slack dihitung dariyk+1 =−V −1
k (Ykpk −µkc) dengan menga-sumsikan bahwa ∇2
xL −1
ada, maka dapat direduksi menjadi
(∇g(xk)T∇ 2 xL
−1
(xk, vk)∇g(xk) +V −1
k Yk)p=−∇g(xk)T∇ 2 xL
−1
