2015 feb Sigma fshod

1

Notasi Sigma

Fadjar Shadiq, M.App.Sc

(fadjar_p3g@yahoo.com & www.fadjarp3g.wordpress.com)

Notasi sigma memang jarang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, tetapi

notasi tersebut akan banyak dijumpai pada bagian matematika yang lain,

paling sering ditemui di Statistika. Jika Anda mempelajari Statistika maka

Anda akan menjumpai banyak rumus-rumus yang digunakan memakai

lambang notasi sigma; misalnya rumus mean, simpangan baku, ragam,

korelasi, dan lain-lain. Di Kalkulus, pada waktu membicarakan luas daerah

yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat, Anda akan menemui

Jumlahan Riemann yang menggunakan notasi sigma untuk menyingkat

penjumlahan yang relatif banyak. Ketika mempelajari Kombinatorik, Anda

akan menemui bentuk notasi sigma dalam koefisien binomial.

Notasi Sigma “”

Matematikawan akan mencari cara untuk menyingkat atau menyederhanakan

penulisan. Daripada menulis 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 matematikawan lalu

mengenalkan notasi 6  5 yang lebih singkat. Daripada menulis 5  5  5  5 

5  5 matematikawan lalu mengenalkan notasi yang lebih singkat.

Daripada menulis 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 matematikawan lalu mengenalkan

notasi

∑

(2i 1).

6 n

1 i





 yang lebih singkat. Jelaslah bahwa notasi sigma “”

digunakan untuk menyingkat penjumlahan berulang yang memiliki beberapa

kesamaan dan panjang.

Simbol “” (dibaca “sigma”) adalah notasi yang

awal kata “sum” yang berarti “_jumlah”. Dengan demikian, jelas kiranya bahwa

1). Sehingga jika disajikan dalam formula matematika menjadi

1)

Meskipun demikian banyak siswa yang lalu mengalami kesulitan ketika

mempelajari matematika. Salah satunya karena proses penyederhanaan tadi.

Contohnya, para guru dan siswa akan mengalami kesulitan bahwa:

Tiga Teorema Dasar

Berdasar penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa:

= 5





n i i

X 1

∑

n

1 i

5



= 5 + 5 + 5 + 5 + … + 5 ….. sebanyak n suku

= 5n

Berdasar dua hal di atas, akan mudah difahami pembuktian yang berkait

dengan notasi sigma berikut ini, paling tidak ada tiga teorema penting yang

harus dikuasai Bapak dan Ibu Guru Matematika, yaitu:

1.

∑

cX c

∑

X

n

1 i

i n

1 i

i

 



Bukti: cX n

1 i

i





 cX1 + cX2 + cX3 + … + cXn

= c (X1 + X2 + X3 + … + Xn)

= c





N

i i

X 1

Teorema 1 di atas menunjukkan bahwa bilangan konstan c dapat

dikeluarkan dari tanda sigma.

2.

∑

c nc

n

1 i



Bukti:





n

1 i

c

= c + c + c + c + … + c ….. sebanyak n suku

= nc

Teorema 2 di atas menunjukkan bahwa jumlah (sigma) dari suatu

konstanta sama dengan konstanta tersebut dikalikan n.

3.

∑

(X Y)

∑

X

∑

Y

n n

n

 

Bukti:

Teorema 3 di atas menunjukkan bahwa penjumlahan (sigma) dari jumlah

dua peubah atau lebih sama dengan penjumlahan dari sigma

masing-masing peubahnya.

Beberapa contoh di atas menunjukkan bahwa pembelajaran matematika

hendaknya dimulai dari hal-hal yang mudah, ke hal-hal yang sedang, dan

diakhiri dengan hal-hal yang sulit. Di samping itu, pembelajan matematika

hendaknya dimulai dari hal-hal yang sederhana, ke hal-hal yang menengah,

dan diakhiri dengan hal-hal yang kompleks. Untuk melatih keterampilan

Bapak dan Ibu Guru Matematika, berikut ini adalah beberapa soal yang

berkait dengan notasi sigma. Cobalah untuk memecahkannya secara mandiri

lebih dahulu. Jika mengalami kesulitan, cobalah untuk menanyakannya ke

teman guru lain di sekolah maupun MGMP, Dosen, maupun Widyaiswara.

Untuk memperkuat pemahaman, beberapa latihan berikut dapat

dikerjakan

1. Buktikan.

2.Tentukan pernyataan yang benar dan pernyataan yang salah di bawah ini.

Petunjuk

Jika Anda mengalami kesulitan, untuk memecahkan masalah di atas, cobalah

untuk menggunakan beberapa petunjuk ini.

1. Mulai dari yang mudah. Daripada menggunakan notasi

 , mulailah dengan mempelajari notasi yang

lebih mudah seperti

∑

(X Y)(X -Y)

∑

X -

∑

Y

2. Mulai dari yang sederhana. Daripada menggunakan notasi

yang lebih sederhana seperti

∑

n

1 i

2 i

i Y)

(X 

 Misalnya dengan mempelajari

atau mengutak atik bentuk

∑

n

1 i

2 i

i Y)

(X 