PERSAMAAN KUBIK AL-KHAYYAM
Sumardyono, M.Pd.
Al-Khayyam yang lahir dan meninggal di dekat Nishapur dikenal Eropa sebagai penyair hebat lewat karya syair empat baris (kwatrin), tetapi sebenarnya ia juga pakar matematika yang ulung. Tokoh yang bernama lengkap Ghiyats Din Abu Fath ‘Umar ibnu Ibrahim al-Nisaburi al-Kayyam di masanya dijuluki “tent maker” ketika ia mencurahkan pikiran serta menunjukkan kemampuannya dalam sains dan sastra. Walaupun berpengetahuan jempolan, ia sangat sedikit menulis bahkan tanggal kelahiran dan wafatnya saja sukar untuk ditelusur sehingga menjadi perdebatan para ahli sejarah.
Dalam bukunya, “Risalah fi al-Barshin ‘ala Masa’il al-Jabr wal-Muqabala”, ia memberi klasifikasi persamaan-persamaan menurut derajat dan faktor-faktornya hingga 25 jenis. Sayang, ilmuwan Barat menghubungkan klasifikasi ini pertama kali pada Simon Stevin (1548-1620 M) yang datang belakangan setelah al-Khayyam. Selain itu, sejarawan B. Boyer mengakui pula bahwa Khayyam-lah yang mula-mula memisahkan antara aljabar dengan geometri di dalam kajiannya.
Seperti juga pendahulu-pendahulunya, ia pun menyelesaikan persamaan pangkat dua baik secara aritmetik maupun geometrik. Untuk persamaan pangkat tiga diselesaikan secara geometrik dengan menggunakan perpotongan konik-konik (irisan kerucut). Walaupun metode yang serupa juga digunakan Menaechmus, Archimedes, juga al-Haitham, namun al-Khayyam dipuji karena mampu menggeneralisasikan metodenya tersebut untuk semua persamaan pangkat tiga (yang berakar positif), yang berbentuk
x
3 + b2x +
a
3=
cx
2. Dari sini, ia menciptakan fenomena absis (x) untuk akar-akarnya, sehingga ada yang menyebut ia-lah sebenarnya peletak dasar geometri analitik, jauh berabad-abad sebelum muncul Rene Descartes (1005- 1060).Untuk persamaan kubik yang umum, ia menduga bahwa solusi secara aritmetika tidaklah mungkin, sehingga ia hanya memberi penyelesaian secara geometris. Sedang untuk persamaan pangkat lebih tinggi, ia tidak tertarik untuk mengkajinya karena ruang yang kita tempati tidak lebih dari tiga dimensi. Sementara pendahulunya, Abu al-Wafa` telah memberikan penyelesaian geometris untuk beberapa persamaan kuartik (pangkat empat). Dikatakan oleh al-Khayaam: “what is called square-square by algebraists in continuous magnitude is, a theoretical fact. It is does not exist in reality in anyway”.
Berikut ini salah satu halaman dari karya al-Khayyam tentang persamaan kubik.
Persamaan kubik al-Khayyam adalah: x3 + b2x + a3 = cx2 , dimana a, b, c, x dipikirkan sebagai panjang beberapa ruas garis. Lukisannya dikerjakan sebagai berikut :
(i). Lukis panjang ruas garis AB = 2
3
b a
, dengan melukis terlebih dahulu z =
b a2
, baru
kemudian AB = b az
Lalu
(ii). Ikutilah beberapa langkah berikut.
Lukis AC = AB + BC, dengan BC = c .
Lukis setengah lingkaran dengan AC diameter dan buat garis tegak lurus AC di B yang memotong setengah lingkaran di D.
Tandai titik E di BD sehingga BE = b.
a a.b
b
z a z
b
Lewat E buat garis EF sejajar AC.
Temukan titik G di BC sedemikian hingga (BG).(ED) = (BE).(AB).
Temukan titik H sedemikian hingga terbentuk persegi panjang BGHD
Melewati titik H, lukis hiperbol ortogonal dengan asimtot EF dan ED (dapat dilukis titik demi titik) yang memotong setengah lingkaran di J.
Sejajar dengan DB, tarik garis melalui J yang memotong EF di K dan BC di L.
Dapat ditunjukkan bahwa panjang ruas garis BL adalah salah satu akar positif dari persamaan kubik tersebut.
Bukti ditunjukkan sebagai berikut:
(1). Menurut sifat Hiperbol ortogonal : (Dengan menganggap garis EF = sumbu x dan garis
BD = sumbu y)
(EK).(KJ) = (EM).(MH) , karena EM = BG dan MH = ED maka
(EK).(KJ) = (BG).(ED) sedang (BG).(ED) = (BE).(AB), sehingga
(EK).(KJ) = (BG).(ED) = (BE).(AB)
(2). (EK).(KJ) = (BE).(AB) , atau luas EKJN = luas ABEP sehingga
(BL).(LJ) = (BE).(AL) …. (i). , luas ALKP = luas BLJN AB BG
ED
BE
P
A B L G C
F x M
K E
D N
y
J
H
b
2 3
b
(3). Pada lingkaran berlaku : (LJ)2 = (AL).(LC). … (ii).
Perlu dicatat di sini bahwa penyelesaian geometris yang diberikan matematikawan Yunani untuk persamaan kubik, koefisien-koefisiennya berupa ruas-ruas garis, sedangkan al-Khayyam telah menulisnya sebagai bilangan-bilangan yang spesifik. Ini merupakan kecenderungan matematikawan muslim untuk menghilangkan perbedaan antara aljabar numerik dan aljabar geometris. Artinya bahwa ada kaitan antara aljabar numerik dan aljabar geometris.
Dalam kajiannya tentang persamaan kubik, sebenarnya ia telah memberikan landasan bagi perkembangan geometri analitik, yang dimunculkan kembali oleh Rene Descartes (1596 – 1650). Dalam mencari penyelesaian persamaan kubik tsb, al-Khayyam telah memunculkan gagasan absis (x) sebagai titik potong antara lingkaran dengan hiperbol ortogonal, untuk menyelesaikan persamaan kubiknya. (perhatikan lagi soal kubik di atas, x = BL). Dengan demikian, al-Khayyam adalah perintis dan peletak dasar gagasan geometri analitik. Hanya di sini al-Khayyam tidak menonjolkan penggunaan sumbu-sumbu koordinat dalam penyelesaian persamaan kubiknya.
Daftar Pustaka/Bacaan
Abdurrahman Khan. 1993. Sumbangan Umat Islam terhadap pengetahuan dan kebudayaan. Bandung: Remaja Rosdakarya
O'Connor, John J. & Robertson, Edmund F. 1999. Omar Khayyam. dari http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Khayyam.html (diakses 4 November 2012)
Sumardyono. 1999. Matematikawan muslim dan kontribusinya (tidak diterbitkan)
Wiki. 2012. Omar Khayyam. http://wiki.cultured.com/people/Omar_Khayyam/ (diakses 4 November 2012)
