RANGKUMAN MATERI
KELAS X SMK
Rangkuman Kelas X 1
MATERI 1
OPERASI BILANGAN REAL
Bilangan adalah suatu gagasan, ide, bersifat abstrak yang dapat memberi keterangan tentang banyaknya anggota suatu himpunan.
Macam-Macam Bilangan
1. Bilangan Asli : Himpunan semua bilangan asli A={1,2,3,...}
2. Bilangan Cacah: Himpunan semua bilangan cacah C={0,1,2,3,...}
3. Bilangan Bulat : Himpunan semua bilangan bulat B={...,-3,-2,-1, 0,1,2,3,...}
4. Bilangan Rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a & b bulat dan b 0. Himpunan bilangan rasional
Q={x= , a, b B, b 0}. Maka, bilangan rasional meliputi semua bilangan bulat, pecahan sejati, dan pecahan tidak sejati (campuran).
Jika a > b : , , , ... (pecahan tak sebenarnya)
= 2 , = 1 , = -2 (pecahan campuran) Jika a < b : , , , ... (pecahan murni)
Jika a = b : , , ... (bilangan bulat)
5. Bilangan Irasional : Bilangan yang lambangnya tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan pecahan atau bukan bilangan rasional dengan notasi I = {x|x bilangan irasional} , misalnya √ , √ , √ , ... ; √ , √ , ... ; log 2, log 3, log 12, e =2,7128...,
6. Bilangan Real (nyata) : Gabungan himpunan bilangan rasional dan irasional yang dilambangkan dengan huruf R. Dapat dinyatakan bahwa bilangan real meliputi semua bilangan bulat, pecahan, dan semua bilangan irasional dengan notasi R = {x|x Q I }
7. Bilangan Imaginer (khayal) : Bilangan dari hasil penaksiran akar yang kemungkinan menghasilkan bilangan yang tidak nyata (imaginasi), misal √ , √ , √ , ...dst. dengan notasi i = √ , maka
i2 = (√ )2 = -1 i3 = i2 x i = -1 x i = -i i4 = (√ 4) = 1 ...dst.
8. Bilangan Kompleks : Gabungan bilangan nyata dan bilangan khayal atau semesta dari dari semua bilangan yang dinyatakan dengan x + yi
x = bilangan nyata dan y = bilangan khayal. Notasi bilangan kompleks yaitu
K={ x + yi | x, y R, i = √ }. Contoh bilangan kompleks :
-3 + 2i dengan -3 sebagai bilangan bulat dan 5i sebagai bilangan khayal
9. Himpunan bilangan lainnya :
Himpunan bilangan ganjil (bilangan yang tidak habis dibagi dengan 2) = {1,3,5,...}
Himpunan bilangan genap (bilangan yang habis dibagi dengan 2) = {2,4,6,...}
Himpunan bilangan prima (bilangan yang hanya memiliki 2 faktor, yaitu angka 1 dan bilangan itu sendiri) = {2,3,5,7,...}
Himpunan bilangan tersusun (bilangan asli yang bukan bilangan prima) = {1,4,6,8,9,...}
Rangkuman Kelas X 2 Himpunan bilangan komposit (bilangan yang memiliki lebih dari 2 faktor) =
{4,6,8,9,...}
Himpunan bilangan kuadrat (bilangan hasil dari penguadratan suatu bilangan) = {1,4,9,16,25,...}
Ikhtiar Bilangan
Operasi hitung bilangan bulat
1. Penjumlahan
Jika a dan b bilangan asli, maka : (-a)+(-b) = -(a+b) (-225.136)+(-751.661) = -(225.136+751.661) = -976.797 Kompleks (K) Khayal (IM) Nyata (R) Irasional (I) Rasional (Q) Pecah (P) Murni Campuran Bulat (B) Negatif (B - ) Cacah (C)
Nol Asli (A) Ganjil Prima Genap Komposit Asli Cacah Bulat dan Pecahan Rasional dan Irasional Real Kompleks
Rangkuman Kelas X 3 a+(-b) = a-b, dengan a>b
756.220+(-136.112) = 756.220-136.112 = 620.108
(-a)+b = -(a-b), dengan a>b (-556.785)+57.461 = -(556.785-57.461)
= -499.324
a+(-b) = -(b-a), dengan a<b 76.105+(-89.157) = -(89.157-76.105)
= -13.052
(-a)+b = b-a, dengan a<b (-796.884)+901.844 = 901.844-796.884
= 104.960 Sifat penjumlahan bilangan bulat : Komutatif : a+b = b+a
275.116+(-546.113) = (-546.113)+ 275.116 = -270.997
Asosiatif : (a+b)+c = a+(b+c)
(116.176+717.221)+(-93.110) = 116.176+[717.221+(-93.110)] = 740.287
Unsur Identitas : a+(-a) = 0 54.329+(-54.329) =0
2. Pengurangan
Jika a dan b bilangan asli, maka : a-b = a+(-b) 795.012-656.773 = 795.012+(-656.773) = 138.239 a-b = (a+c)-(b+c) 931.765-87.164 = (931.765+11.074)-( 87.164+11.074) = 844.601 a-(b+c) = (a-b)-c 385.714-(10.213+54.168) = (385.714-10.213)- 54.168 = 321.333 (a+b)-c = a+(b-c) [856.771+(-31.249)]-21.200 = 856.771+[(-31.249)-21.200] = 804.322
Sifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan tidak bisa diterapkan pada pengurangan. Contoh :
Komutatif : a-b b-a
56.738-79.150 79.150-56.738 -22.142 22.142 Asosiatif : (a-b)-c a- (b-c) (99.109-10.001)-35.765 99.109-(10.001-35.765) -53.343 53.343 3. Perkalian
Perkalian merupakan penjumlahan yang berganda, dapat dinyatakan sebagai berikut : axb = b+b+b+... contoh :5x3 = 3+3+3+3+3 = 15. Pada bentuk axb = c ,notasi perkalian (x) atau () dengan a : pengali, b : bilangan yang dikalikan, dan c : hasil kali.
Rangkuman Kelas X
4
axb = bxa 561x957 = 957x561 = 486.877 ax(-b) = -(axb) 732x(-915) = -(732x915) = -669.780 -axb = - (axb) -583x736 = -(583x736) = -429.088 -ax(-b) = +(axb) -287x(-117)= +(287x117) = 33.579 Sifat perkalian bilangan bulat : Komutatif : axb = bxa (-751)x516 = 516x(-751)
= -337.516 Asosiatif : ax(bxc) = (axb)xc
-115x(731x289) = [(-115)x731]x289 = -24.294.785 Distributif : ax(b+c) = (axb)+(axc)
237x(516+714) = (237x516)+( 237x714) = 291.510
Tertutup (anggota perkalian masih dalam satu jenis bilangan) : axb B , contoh : (137)x571 = -78.227
Unsur Identitas : 1xa = ax1 = a dan ax = 1(kebalikan atau invers a terhadap perkalian)
Bentuk perkalian yang perlu diketahui :
1. (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+2ab+b2
2. (a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-2ab+b2
3. (a-b)(a+b) = a2-b2 4. a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) 5. a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) 6. a4-b4 = (a2+b2)(a2-b2) 7. (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 8. (a-b-c)2 = a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc 4. Pembagian
Jika a dan b bilangan bulat dengan b 0, maka :
a:b = m dapat ditulis dalam bentuk pecahan = m , maka a = mxb Sifat pembagian bilangan bulat :
ax(b:c) = (axb):c ax = (axb):(pxq) = (a:p)x(b:q) = x a:(b:c) = ax(c:b) = ax a:b = (axp):(bxp) = , p 0 a:b = (a:p):(b:p) = , p 0 (a:b):p = (a:b)x(1:p) = x
Rangkuman Kelas X 5 (a+b):p = (a:p)+(b:p) = + (a-b):p = (a:p)-(b:p) = - ap:aq = ap-q = ap-q (a:b)p = ap:bp ( )p =
Operasi Hitung Bilangan Pecahan
1. Penjumlahan dan Pengurangan
= + = = = = = =
sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan sama dengan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.
2. Perkalian dan Pembagian
x = x = = : = x = : = x = = = 1
sifat perkalian dan pembagian bilangan pecahan sama dengan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.
Terdapat 3 cara penulisan pecahan, yaitu :
1. Pecahan Biasa (pecahan murni), dengan a>b 2. Pecahan Desimal, dibagi menjadi 3 bentuk :
Terbatas : 0,5
Tidak Terbatas : 0,5876564...
Berulang (Repeten) : 0,555... atau 0,5 Operasi bilangan pecahan desimal :
1. Penjumalahan
0,8945+0,0835+ 0,65 = 1,628 0,8945
0,0835 0,65 +
1,628 lebih baik memakai cara bersusun, karena lebih cermat, jangan lupa disejajarkan pada tanda koma.
2. Pengurangan
1-0,09824-0,524 = 0,37776 1
Rangkuman Kelas X 6 0,90176
0,524 -
0,37776 pada operasi pengurangan bersusun harus dikerjakan per langkah tidak dianjurkan langsung semua untuk memperkecil kesalahan hitung.
3. Perkalian 6,894x7,03 = 48,46482 6,894 7,03 x 20682 0000 48258 +
48,46482 pada operasi perkalian bersusun, tanda koma hasil perkalian diletakan sesuai dengan jumlah bilangan dibelakang koma pada pengali dan bilangan yang dikalikan.
4. Pembagian 86,35 : 0,025 = 3.454 3454 25 86350 75 - 113 100 - 135 125 - 100 100 -
0 pada operasi pembagian bersusun, pembagi harus dalam bentuk bulat, tidak boleh terdapat koma.
Pemfaktoran aljabar Contoh : 1. = = (x-2) x-2 x-3 x2-5x+6 x2-3x - -2x+6 -2x+6 – 0 2. = x 2–7x+28 x2–7x+28 X+4 x3-3x2+0x+112 x3+4x2 - -7x2+0x -7x2-28x - 28x+112 28x+112- 0 Harus ditambah 0x untuk melengkapi urutan pangkat
Rangkuman Kelas X 7 3. Pecahan Prosen adalah bilangan rasional yang berpenyebut 100.
Lambang dari prosen adalah % . Contoh :
=
x 100%= 45% ;
= x100% = % =14 % diusahakan dalam membuat bilangan prosen menggunakan bentuk pecahan.
Konversi pecahan biasa ke desimal ke prosen = 0,125 = 0,125 x 100% =12,5 % 0,125 8 10 8 – 20 16 – 40 40 – 0
Konversi pecahan biasa ke prosen ke desimal = x 100% = 60% = = 0,6
Konversi desimal ke pecahan biasa
0,24 =
0,333... = x = 0,333... 10x = 3,333... x = 0,333...- 9x = 3 x = =
2,3181818... x = 2,3181818... 1000x = 2318,1818... 10x = 23,1818...- 990x = 2295 x = = = 2
Konversi prosen ke pecahan biasa78% =
Perbandingan dan Skala
1. Perbandingan (Rasio)
Adalah membandingkan 2 besaran sejenis pada umumnya dinyatakan dengan bilangan. Misalnya membandingkan ukuran pensil yang masing-masing 20 cm dan 15 cm. Perbandingannya dapat dinyatakan sebagai berikut :
1. 20 cm : 15 cm 2. 20 cm lawan 15 cm
3. 20 cm / 15 cm atau = (baca: 4 banding 3, perbandingan pada umumnya dinyatakan dalam nilai yang terkecil)
Perbandingan ada 2 macam :
a. Perbandingan Senilai: 2 perbandingan yang nilainya sama.
Berulang pada bilangan ke-I , jadi dikali 10
Berulang pada bilangan ke-III , jadi dikali 1000
Rangkuman Kelas X 8 Misal : 3 / 7 senilai dengan 24 / 56
Contoh : perbandingan jarak dan waktu. Semakin jauh jarak, semakin lama pula waktunya.
Jika mobil A dapat menempuh jarak 200 km dengan waktu 120 menit. Berapa waktu yang mobil B yang butuhkan untuk menempuh jarak 100 km? Jawab : = = Waktu B x 200 km = 100 km x 120 menit Waktu B = Waktu B = 60 menit
Berarti rumus perbandingan senilai
:
=
b. Perbandingan Berbalik Nilai : 2 perbandingan yang nilainnya saling berbalikan.
Misal : 2/5 dengan 5/2
Contoh : kecepatan dengan waktu. Semakin tinggi kecepatan, maka semakin singkat waktu.
Jika mobil A dapat menempuh jarak tertentu dengan kecepatan 60km/jam dengan waktu 120 menit. Berapa kecepatan yang mobil B yang butuhkan untuk menempuh jarak yang sama dalam waktu 180 menit ?
Jawab : = =
Kecepatan B x 180 menit = 120 menit x 60 km/jam Kecepatan B =
Kecepatan B = 40 km/jam
Berarti rumus perbandingan berbalik nilai
:
=
Contoh variable perbandingan : Senilai : banyaknya barang yang dibeli & harganya; lama menabung & jumlah tabungan; jarak & waktu; gas, kenaikan temperatur (volume tetap) & tekanannya.
Berbalik Nilai : gerak beraturan, kecepatan, & waktunya; jumlah seluruh cicilan, & sisa hutang; kecepatan & waktu; jumlah pekerja & lama selesai proyek; gas, kenaikan tekanan (suhu tetap) & volumenya.
2. Skala
Adalah perbandingan jarak/panjang pada peta dengan jarak/panjang sebenarnya.
Ada 2 macam skala, yaitu :
1. Skala Diperbesar (biasanya untuk menggambarkan komponen mesin/alat-alat elektronika yang berukuran kecil atau sangat kecil. Misalnya, 20 : 1 artinya 20 satuan mewakili 1 satuan pada ukuran sebenarnya, atau 1 satuan mewakili mewakili ukuran sebenarnya) Contoh soal :
Pada gambar sarang semut yang berskala 100:1 memiliki diameter 50cm pada gambar. Berapa mm diameter sarang semut sesungguhnya!
Rangkuman Kelas X 9 Skala 100:1 artinya 100cm mewakili 1cm ukuran sebenarnya.
Diameter sarang semut sesungguhnya :
=0,5cm=5mm
2. Skala Diperkecil (biasanya untuk menggambarkan peta, luas lahan atau rumah yang berukuran luas. Misalnya, 1 : 1000 artinya 1 cm pada peta mewakili 1000 cm pada ukuran sebenarnya)
Contoh soal :
Pada gambar yang berskala 1:500 akan dibangun sebuah rumah dengan ukuran pada gambar panjang 24cm dan lebar 20cm. Berapa meterkah luas rumah sesungguhnya ?
Jawab :
Skala 1:500 artinya 1cm mewakili 500cm ukuran sebenarnya. Panjang rumah sesungguhnya : 24cmx500 = 12.000cm
Lebar rumah sesungguhnya : 20cmx500 = 10.000cm Luas rumah sesungguhnya : 12.000cmx10.000cm
: 120mx100m : 12.000m2
Operasi bilangan berpangkat
Operasi bilangan berpangkat berdasarkan perkalian berganda.
Misalnya, 43 = 4x4x4. Secara umum : ap =a x a x a x a x ... dengan a=bilangan pokok, p=pangkat (eksponen), dan ap=bilangan berpangkat.
Sifat-sifat bilangan berpangkat : 1. ap x aq = ap+q 22 x 25 = 2x2x2x2x2x2x2 = 22+5 = 27 = 128 2. ap:aq = ap-q = = 37-4 = 33 = 27 3. (ap)q = apq
3(2p5q4r3)5 = 3(25p25q20r15) = 3(32p25q20r15) = 96p25q20r15
= 210 = 1024 4. (axb)n = an x bn (2x5)3 = 23 x 53 = 8 x 125 = 1000 Pangkat 0a0 = 1 dengan a 0 dan 0p=0 dengan p 0 contoh soal :
30 = 1 , 10000 =1 Pangkat Negatif a-n =
contoh soal :
Jika pangkatnya berpangkat, maka pangkatnya dipangkatkan terlebih dahulu
Rangkuman Kelas X 10
(5c-4d5)3 = 53c-12d15 = =
a4b6 x x a3b2 x a-5b x 4b-4 = a4xb6xa-2xb-5xa3xb2xa-5bx4xb-4 = (a4xa-2xa3xa-5)(b6xb-5xb2bxb-4)4 = a4-2+3-5 x b6-5+2+1-4 x4 = a0 x b0 x4 = 1 x 1 x4 = 4Akar dan pangkat pecahan
Akar adalah kebalikan dari pangkat. Mencari akar suatu bilangan
Cara yang lebih cermat adalah menjandikan tiap kelompok 2 angka dibelakang koma, maupun di depan koma.
Contoh soal :
√ = 4,39 √ = 4,39 4x4 = 16 - 327 83x3 = 249 - 7821 869x9 = 7821- 0
√ = 0,0456 √ = 0,0456 0x0 = 0 - 00 00x0 = 00 - 20 04x4 = 16 - 479 85x5 = 425 - 5436 906x6 = 5436 – 0 Sifat-sifat akar pangkat :1. √ = Contoh soal : 1. √ = 2. √ = 4+ 4 83 +3 0+ 0 00 +0 4+ 4 85 +5
Rangkuman Kelas X 11 2. √ = dengan m, n B dan n 0 Contoh soal : 1. (√ )3 = √ = = 2. √ = = 7. . 3. √ = √ x √ Contoh soal : 1. √ x √ x √ = √ = √ = √ x √ = 2√ 2. √ x √ = √ = √ = √ = 3 4. √ = √ √ Contoh soal : √ √ = √ = √ = √ = 3 5. √ = √ Contoh soal : √ = √ = ab2c √ 6. = = √ Contoh soal : = = √ 7. √ = a Contoh soal : √ = = 31 = 3 8. √ √ = √ = Contoh soal : 1. √√ = √ = √ = √ = 2 2. √ √ √ √ = x X2 = 3√ √ √ √ X X2 = 3x X2-3x = 0 X(x-3) = 0 x1 = 0 V x-3= 0 X2 = 3 3. √ √ √ √ = p
Rangkuman Kelas X 12 p2 = 6+√ √ √ √ p p2 = 6+p p2-p-6 = 0 (p-3)(p+2) = 0 (p-3) (p+2) p-3=0 V p+2=0 p1 =3 p2 = -2 Menyederhanakan Bentuk Akar
Menggunakan sifat : √ = √ x √ atau √ = √ x √ dengan a dan b harus dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.
Contoh soal :
1.
√ = √ x √ = 4√2.
√ = √ x √ x √ x √ = 4a√Operasi Aljabar Dalam Bentuk Akar
1.
Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Berlaku aturan :a√ + b√ = (a+b) √
a√ - b√ = (a-b) √ , dengan a,b, c R dan Contoh soal : 1. 3√ +5√ -2√ = (3+5-2)√ = 6√ 2. √ + √ - √ - √ + √ = √ + √ - √ - √ + √ = 3√ + 6√ - 2√ - 5√ + 3√ = 3√ + 6√ - 5√ - 2√ + 3√ = 4√ + √
2.
Perkalian Bentuk Akar Berlaku aturan : √ x √ = a √ x √ = √ c x d√ = cd√ Perlu diingat ! 1. (a+b)(a-b) = a2 – b2 2. (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 3. (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 Contoh soal : 1. 2√ x 4√ = 8√Jadi yang berlaku p = 3 karena termasuk bilang positif bukan negatif
Rangkuman Kelas X 13 = 8√ = 8x3√ = 24√ 2. (3√ -4√ )2 = (3√ )2 – 2(3√ )(4√ ) + (4√ )2 = 9x2 - 24√ + 16x5 = 18 - 24√ + 80 = 62 - 24√ Merarasionalkan Penyebut Pecahan
a. Pecahan berbentuk
√ , jika a dan b B dan b 0 , maka berlaku
√ = √ x √ √ = √ , jadi √=
√
√ = √ x √ √ = √ = √ , jadi √=
√
Contoh soal : √ = √ x √ √ = √ √ = √ x √ √ = √ = √ b. Pecahan berbentuk √Cara penyelesaiannya adalah dengan mengalikan dengan pecahan sekawan dari penyebut.
√=
√x
√ √=
√
√=
√x
√ √=
√ Contoh soal : √ = √ x √ √ = √ = √ c. Pecahan berbentuk √ √Cara penyelesaiannya adalah dengan mengalikan dengan pecahan sekawan dari penyebut.
√ √=
√ √x
√ √ √ √=
√ √
√ √=
√ √x
√ √ √ √=
√ √ Contoh soal : √ √ √ √ = √ √ √ √ x √ √√ √ sekawan dari penyebut soal = ( √ √ ) ( √ √ ) ( √ √ ) ( √ √ ) √ √ = √ √ = √ √ = √ = 2√ - 5 Menarik akar kuadrat
Berlaku aturan :
1. √ √ = √ + √ Contoh soal :
Rangkuman Kelas X 14 √ √ = √ √
= √ √
= √ + √ lebih baik didahulukan akar yang besar dalam penulisan hasil.
2. √ √ = √ - √ Contoh soal :
√ √ = √ √ = √ √ = √ – √
Persamaan Pangkat (Persamaan Eksponen) dan Persamaan Penarikan Akar
Untuk membentuk nilai x yang memenuhi persamaan pangkat (eksponen) dengan bilangan pokok yang sama menggunakan sifat :
Jika a R (a 0) dan berlaku =ap ,maka f(x)=p Contoh soal :
2x-1 = 1 2x-1 = 20 x-1 = 0 x = 1
(x-3)5 = 32 (x-3)5 = 25 x-3 = 2 x = 5
(-5)20 x = (-5)(20-30) = (-5)-10 =
√ = 2√ = 21 = = = X = 8
√ = ( ) 2-x = ( )2-x = 2-5(2-x) = 2-10+5x x+2 = -10+5x -4x = -12 x = 3
Logaritma (Logaritma Biasa = Logaritma Briggs)Jika mencari nilai x pada pangkat, maka disamakan bilangan pokoknya
Jika mencari nilai x pada bilangan pokok , maka disamakan pangkatnya
Karena pangkatnya genap, negatifnya (-) hilang
Rangkuman Kelas X 15 Penarikan Logaritma
Operasi logaritma adalah operasi mencari pangkat eksponen. a... = c dapat ditulis alog c
2... = 8 operasi penarikan logaritma, ditulis 2log8 = 3 Apabila nilai alog c = b ,didapat nilai ekivalen yaitu :
alog c=b <=> ab=c Keterangan :
a : bilangan pokok logaritma a>1 dan a>0, untuk bilangan pokok 10 (a=10) tidak perlu ditulis.
c : hasil numerus (bilangan yang dilogaritmakan, dengan c>0) b : hasil logaritma dengan b R
Perlu diingat !
alog 1=0 (karena a0=1) alog a=1 (karena a1=a) log 1 = 0
log 10=1 Sifat-sifat Logaritma :
1.
untuk ekuivalensi ab=ab <=> alog ab=b2.
untuk ekuivalensi alog b= alog b <=> = b3.
alog pn = n x alog p4.
alog (pxq) = alog p + alog q5.
alog ( ) = alog p - alog q6.
= alog p7.
= alog p8.
alog p x plog q = alog q9.
alog p =10.
= Contoh soal : 43 = 64 <=> 4log 64 = 3 2-5 = <=> 2log = -5 log 0,0001 = 10log 10-4 sifat ke-1 = -4 8log 16 = sifat ke-10 = √ = 2√ sifat ke-2 √ = √ sifat ke-3 = (2√ )2 = 4x3 = 12
Rangkuman Kelas X 16 2log4+2log8 = 2log(4x8) sifat ke-4
= 2log 32 = 2log 25 = 5 2log80-2log10 = 2log(
) sifat ke-5
= 2log8 = 2log23 = 3
4log5x5log64 = 4log64 sifat ke-8 = 4log43 = 3 9log64 = sifat ke-6 = 3log2 = 3 3log2 = 3log23 = 3log8 x = x sifat ke-9 = x = 15 4log81 = sifat ke-7 = 2log9
Jika log a=p, log b=q, maka :
o log a3 + log b2 = 3 log a + 2 log b = 3p + 3 q
o log b x a3 = log b + log a3
= log b + 3 log a = q + 3p
o log √ = log √ – log √ = log – log = log a - log b =
o log a2 x b2 = log a2 + log b2
= 2 log a + 2 log b = 2p+2q
o alog b2 =
= Penggunaan Daftar Logaritma
Dengan bilangan pokok 10 (logaritma biasa / logaritma briggs). Dalam buku daftar logaritma memuat 5 daftar yaitu :
1. Daftar I = Daftar Logaritma Biasa (logaritma bil.) 2. Daftar II = Daftar Logaritma Sinus
3. Daftar III = Daftar Sinus 4. Daftar IV = Daftar Bunga
Rangkuman Kelas X 17 Di dalam logaritma biasa, terdapat istilah yaitu :
o Karakteristik = Banyaknya angka bulat di depan koma dikurangi 1
o Mantise = Bilangan desimal dari hasil pengambilan logaritma
Log 5 = 0,6990
Karakteristik Mantise Mencari Hasil Logaritma Contoh soal : Log 50 = 1,6990 Log 0,5 = 0,6990 – 1 = -0,3010 Log 2,345 = 0,3701 Log 23,45 = 1,3701 5 234 3701 Log 0,00564 = 0,7513 – 3 = -2,2487 Mencari Hasil Anti Logaritma Contoh soal : Log x = 0,3786 X = antilog 0,3786 X = 2,391 1 239 3786 Log x = 3,5912 X = antilog 3,5912 = 3901 Log x = 4,3707 X = antilog 4,3707
X = 23.480 jika lebih dari 4 digit ditambah 0
Log x = 0,2391 – 1
X = antilog 0,2390 – 1 dibulatkan ke yang terdekat
X = 0,1734 bilangan negatif merupakan banyaknya 0 di depan bilangan asli
Log x = 0,4792 – 2
X = antilog 0,4793 – 2 dibulatkan ke yang terbesar
X = 0,03015 Log x = -3,1037
X = 0,8963 – 4 X = 0,0007875
Cara mencari log pada daftar log
Jika numerus 0,00... maka hasil log dikurangi banyaknya 0 di depan bilangan asli
Rangkuman Kelas X 18 Penggunaan Daftar Log Untuk Mencari Nilai x
X =
Log x = log 8,476 + log 25,43 – log 124,6 log 8,476 = 0,9282 log 25,43 = 1,4053 + 2,3335 Log 124,6 = 2,0955 + Log x = 0,2380 X = antilog 0,2380 = 1,730 X = √ Log x = Log x = x log 3745 = x 3,8290 = 1,2763 X = antilog 1,2763
= antilog 1,2762 dibulat ke yang terdekat
= 18,89 P = √ P =
Log p = (log 47,32 – log 0,00156) log 47,32 = = 1,6750 log 0,00156 = 0,1913 – 3 = -2,8069 –
4, 4819
Log p = x 4,4819 = 2,24095
= 2,240 dibulatkan ke 3 desimal agar menjadi 4 digit
P = antilog 2,240 = 174,2
Logaritma Napier (Logaritma Alam/Logaritma Naturalis)adalah logaritma dengan bilangan pokok /basis e (epsilon) dengan e=2,7182... elog x = 2,7182 log x = ln x
Rangkuman Kelas X 19 Sifat-sifat Logaritma Napier
1. ln axb = ln a + ln b 2. ln = ln a – ln b 3. ln ap = p x ln 4. ln a = 5. ln e = 1, sebab elog e = 1 6. ln √ = ln = = x ln a
Hubungan Antara Log Biasa Dan Log Napier ln x = elog x = 2,7182log x = = log x = log x ln x = 2,303 log x Contoh soal : ln 89,75 = 2,303 x log 89,75 x = 2,303 x 1,9530
log x = log 2,303 + log 1,9630 log 2,303 = 0,3623 log 1,9530 = 0,2907 + log x = 0,6530 x = antilog 0,6530 = 4,498 ln 4 – ln 9 = 2,303 log 4 – 2,303 log 9 = 2,303(log 4 – log 9) = 2,303(0,6021-0,9542) = 2,303(-0,3521) -x = 2,303 x 0,3521
-log x = log 2,303 + log 0,3521
log 2,303 = 0,3623 log 0,3521 = 0,5467 -1 = -0,4533 + -log x = -0,0910 log x = 0,0910 x = antilog 0,0910 = 1,233 ln3,5460,75 + ln5,6780,75 = (0,75 x ln x log3,546)+( 0,75 x ln x log5,678) = 0,75 x 2,303 x log3,546+ 0,75 x 2,303 x log5,678 = (0,75 x 2,303) (log3,546+log5,678) = (0,75 x 2,303) (0,5497+0,7542) X = 0,75 x 2,303 x 1,3039
Rangkuman Kelas X 20 log x = log 0,75 + log 2,303 + log 1,3039
log 0,75 = 0,8751 – 1 log 2,303 = 0,3623 + 1,2374 -1 log 1,3039 = 0,1153 + log x = 1,3527 -1 log x = 0,3527 x = antilog 0,3527 = antilog 0,3528 = 2,253 Persamaan Logaritma Contoh Soal : 3log(x+1) + 3log(x-1) = 2
3log(x+1) + 3log(x-1) = 3log 9 dijadikan sama bilangan pokoknya 3log(x+1)(x-1) = 3log 9
X2 – 1 = 9
X2 = 10
X = √
= 3,1623 lihat daftar IV logaritma
5log (x+10) - 5log (x-2) = 1 5log (x+10) - 5log (x-2) = 5log 5 5log = 5log 5 = 5 X+10 = 5x-10 -4x = -20 X = 5 xlog (x-3) + = 1
xlog (x-3) + xlog 2 = xlog x xlog (x-3)2 = xlog x
2x – 6 = x
Rangkuman Kelas X 21
MATERI 2
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
PersamaanAdalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan”.
Kalimat matematika terbuka merupakan kalimat matematika yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya.
A. Persamaan Linear
Contoh macam-macam persamaan linear:
1.
4x-4 = 2x-7 persamaan linear dengan 1 variable2.
2x-y = 4 persamaan linear dengan 2 variable3.
3x-5y-2z = 6 persamaan linear dengan 3 variableMacam-macam persamaan linear :
1. Persamaan Linear Dengan 1 Variable
Bentuk umum : Ax + B = 0 , dengan A, B R, A 0 Contoh soal : (5x-7) = (2x+8) X 6 3(5x-7) = 2(2x+8) 15x – 21 = 4x + 16 11x = 37 x = = 3 Hp {3 }
2. Persamaan Linear Dengan 2 Variable Bentuk umum : Ax + By = P Cx + Dy = Q , dengan A, B, C, D, P, Q R Contoh soal : 2x-5y = 16 ... (1) 3x+2y = 5 ... (2) , x, y R
Cara menyelesaikan persamaan linear 2 varible : a. Cara Eliminasi (menghilangkan salah satu variable) Eliminasi x : 2x-5y = 16 x3
3x+2y = 5 x2
Dikali kedua ruas agar membentuk persamaan baru, namun hanya untuk bilangan di depan tanda kurung
Rangkuman Kelas X 22 6x-15y = 48 6x+4y = 10 - -19y = 38 y = -2 Eliminasi x : 2x-5y = 16 x2 3x+2y = 5 x5 4x-10y = 32 15x+10y = 25 - 19x = 57 x = 3 Hp {3,-2}
b. Cara Substitusi (mengganti salah satu varible satu dengan varible lain) Memanipulasi persamaan ke-2 : 3x + 2y = 5
2y = 5-3x y = Substitusikan ke persamaan 1 : 2x - 5y = 16 2x - 5( ) = 16 2x - + = 16 X 2 4x – 25 + 15x = 32 19x = 57 x = 3 y = = = = = -2 Hp {3, -2}
c. Cara Campuran (gabungan cara substitusi dan eliminasi) Eliminasi x : 2x-5y = 16 x3 3x+2y = 5 x2 6x-15y = 48 6x+4y = 10 - -19y = 38 y = -2 Substitusi ke persamaan 2 : 3x + 2y = 5 3x + 2(-2) = 5 3x - 4 = 5 3x = 9 x = 3 d. Cara Determinan Pada persamaan ax + by = p cx + dy = q
Rangkuman Kelas X 23 Bentuk persamaan matriksnya yaitu :
* + * + = * + Determinan (det) = D = = D = | | = (axd)-(bxc) x = Dx = | | = (pxd)-(bxq) y = Dy = | | = (axq)-(pxc) X = , y = 2x-5y = 16 3x+2y = 5 D = = | | (2x2)-(-5x3) = 4 + 15 = 19 Dx = x = | | (16x2)-(-5x5) = 32 + 25 = 57 Dy = y = | | (2x5)-(16x3) = 10 – 48 = -38 X = = = 3 y = = = -2 Hp {3,-2} Contoh soal :
Selisih dua bilangan bulat adalah 6, sedang jumlah kedua bilangan tersebut adala 8. Tentukan bialangan tersebut!
Jawab : a-b = 6 a+b = 8 + 2a = 14 a = 7 a-b = 6 7-b = 6 -b = -1 b = 1 jadi, bilangan tersebut adalah 7 dan 1
Jika menggunakan soal cerita, himpunan penyelesaian dapat menggunakan kalimat
„Jadi, ...‟
Enam tahun lalu umur Doni adalah lima kali umur Dina, sedangkan tiga tahun yang akan datang umur Doni adalah dua kali umur Dina. Berapakah umur Doni sekarang ?
Jawab :
Dimisalkan : x = umur Doni sekarang Y = umur Dina sekarang
Rangkuman Kelas X 24 6 tahun lalu, X – 6 = 5(y - 6) X – 6 = 5y – 30 X – 5y = -24 ...(1) 3 tahun mendatang, X + 3 = 2(y+3) X + 3 = 2y + 6 X – 2y = 3 ...(2) x – 5y = -24 x2 2x – 10y = -48 x – 2y = 3 x5 5x – 10y = 15 - -3x = -63 x = 21
jadi, umur Doni sekarang adalah 21 tahun
- = ...(1) + = ...(2) Eliminasi y : - = x4 - = + = x1 + = + = 6 = 13x = 26 X = 2
Substitusi ke persamaan kedua :
- = - = - = - = y = -6 Hp {2,-6} + = 2 ...(1) - = 1 ...(2) + = 2 x6 2x-2+y+2 = 12 2x+y = 12 ...(1) - = 1 x4 x+4-4y-2 = 4 x-4y+2 = 4 x-4y = 2 ...(2) Eliminasi x : 2x+y = 12 x1 2x+y = 12 x-4y = 2 x2 2x-8y = 4 - 9y = 8 Y =
Substitusi ke persamaan kedua : x-4y = 2
Rangkuman Kelas X 25 x- = 2 x = x = x = 5 Hp {5 , }
3. Persamaan Linear Dengan 3 Variable Bentuk umum :
ax + by + cz = d px + qy + rz = s kx + ly + mz = n
dengan a, b, c, d, p, q, r, s, k, l, m, n R
cara menyelesaikan persamaan linear 3 variable : a. Cara Campuran Contoh soal : 3x+2y-6z = 12 ...(1) 5x-4y+2z = 0 ...(2) 6x+z = 26 ...(3) Eliminasi y : 3x+2y-6z = 12 x2 6x+4y-12z = 24 5x-4y+2z = 0 x1 5x-4y+2z = 0 + 11x-10z = 24 Eliminasi z : 11x-10z = 24 x1 11x-10z = 24 6x+z = 26 x10 60x+10z = 260 + 71x =284 X = 4 Substitusi ke persamaan 3 : 6x+z = 26 64+z = 26 24+z = 26 Z = 2 Substitusi ke persamaan 1 : 3x+2y-6z = 12 34+2y-62 = 12 12+2y-12 = 12 2y = 12 Y = 6 Hp {4,6,2} b. Cara Determinan Pada persamaan : ax + by + cz = d px + qy + rz = s kx + ly + mz = n
bentuk persamaan matriksnya yaitu : | || | = | | D = | | = (aqm+brk+cpl) – (cqk+arl+bpm)
Rangkuman Kelas X 26 Dx = | | = (dqm+brn+csl) – (cqn+drl+bsm) Dy = | | = (asm+drk+cpn) – (csk+arn+dpm) Dz = | | = (aqn+bsk+dpl) – (dqk+asl+dpn) X = Y = Z= Contoh soal : -x+2y+z = 6 3x+3y+2z = 23 4x-y+2z = 10 D = | | = (-6+16-3)–(12+2+12)= 7 – 26 = -19 Dx = | | = (36+40-23) – (30-12+92) =53–110 =-57 Dy = | | = (-46+48+30)–(92-20+36) = 32 – 108 = -76 Dz = | | =(-30+184-18)–(72+23+60)=136-155 = -19 X = = = 3 Y = = = 4 Z = = = 1 Hp {3,4,1} Contoh soal :
Fungsi y = a + bx + c, melalui titik (0,6),(1,4), dan (2,0). Tentukan persamaan fungsi tersebut !
(0,6) -6 = a +b(0)+c -6 = c C = -6 ...(1) (1,4) 4 = a +b(1)+c 4 = a+b+c a+b+c = 4 ...(2) (2,0) 0 = a +b(2)+c 0 = 4a+2b+c 4a+2b+c = 0 ...(3) Eliminasi b : a+b+c = 4 x2 2a+2b+2c = 8 4a+2b+c = 0 x1 4a+2b+c = 0 - -2a+c = 8
Rangkuman Kelas X 27 Substitusi : -2a+c = 8 -2a+(-6) = 8 -2a = 14 a = -7 a+b+c = 4 -7+b+(-6) = 4 b-13 = 4 b = 17 y = ax2 + bx + c f(x) = -7x2 + 17x -6
jadi, persamaan fungsinya adalah f(x) = -7x2 + 17x -6
Tiga bilangan jumlahnya 33. Bilangan pertama adalah dari bilangan ketiga dan bilangan kedua dari bilangan ketiga. Tentukan ketiga bilangan tersebut! Jawab : Misalnya : Bilangan I a Bilangan II b Bilangan III c Persamaan : a+b+c = 33 ...(1) a = c ...(2) b = c ...(3) substitusi : a+b+c = 33 c+ c+c = 33 = 33 11c = 198 c = 18 a = c = x 18 = 6 b = c = x 18 = 9 Jadi, bilangan I = 6 Bilangan II = 9 Bilangan III = 18
Tiga bilangan diketahui bilangan pertama dibanding bilangan kedua adalah 1:5, bilangan kedua dibanding bilangan ketiga adalah 5:7, dan 2 kali bilangan pertama ditambah 3 kali bilangan kedua adalah 130 lebihnya dari bilangan ketiga. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut!
Jawab : Misalnya : Bilangan I x Bilangan II y Bilangan III z Persamaan : x : y = 1 : 5 = 5x = y 5x-y = 0...(1) y : z = 5 : 7 = 7y = 5z 7y-5z = 0...(2) 2x + 3y = 130 + z 2x + 3y – z =130...(3)
Rangkuman Kelas X 28 Substitusi y : 5x-y = 0 5x = y x = 7y-5z = 0 -5z = -7y z = = y 2x + 3y – z = 130 2( )+3y - = 130 = 130 10y = 650 Y = 65 X = = = 13 Z = y = x 65 = 91 X + y + z = 13 + 65 + 91 = 169
Jadi, jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 169
B. Persamaan Kuadrat
Adalah persamaan dimana pangkat tertinggi adalah pangkat 2. Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c R dan a 0. Macam-macam persamaan kuadrat :
1. ax2 + bx + c = 0 (persamaan kuadrat sempurna)
2. jika b=0, maka ax2 + c = 0 (persamaan kuadrat sejati / murni)
3. jika c=0, maka ax2 + bx = 0 (persamaan kuadrat tidak lengkap)
Dasar penyelesaian persamaan kuadrat adalah jika p dan q dua bilangan Real dan pxq = 0, maka ada 2 kemungkinan harga 0, yaitu p=0 atau q=0. Ada 3 cara penyelesaian persamaan kuadrat :
a. memfaktorkan / menguraikan contoh soal :
x2-2x-8 = 0 persamaan kuadrat sempurna pxq = -2 p+q = -8 p = -4 q = 2 hasil faktor (x+p)(x+q)=0 (x-4)(x+2)=0 X – 4 = 0 x + 2 = 0 x1 = 4 x2 = -2 Hp {4,-2} x2 – 9 = 0 persamaan kuadrat sejati / murni
x2 – 32 = 0 ingat sifat a2-b2 = (a+b)(a-b) (x+3)(x-3)
Rangkuman Kelas X 29 X+3 = 0 x-3 = 0 X1 = -3 x2 = 3 Hp {-3,3} Atau x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = √ = 3 Hp {-3,3}
x2+4x = 0 persamaan kuadrat tidak lengkap x(x+4) = 0
x1 = 0 x+4=0
x2 = -4 Hp {0,-4} b. melengkapi kuadrat sempurna
langkah-langkah penyelesaian : 1. jadikan koefisien x2 menjadi 1
2. pindahkan bilangan konstan ke ruas kanan
3. ruas kiri diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna yaitu x2+2px+p2 diubah menjadi (x+p)2 contoh soal : 6x2-x-2 = 0 :6 X2 - x - = 0 ...langkah 1 X2 - x = ...langkah 2 X2 - x + 2 = + 2 ...langkah 3 ( )2 (X - ) 2 = + (X - ) 2 = (X - ) 2 = X - = √ X - = X - = X - = X1 = x2 = = = = = Hp { , }
v
v
v
Rangkuman Kelas X 30 c. menggunakan rumus ABC
jika x1 = √ x2 = √ dengan Diskriminan, D = b 2– 4ac jadi, x1, 2 = √ contoh soal : 4x2 – 5x – 6 = 0 Jika a=4, b=-5, c=-6, maka D = b2 – 4ac = (-5)2 – 4 4 (-6) = 25 + 96 = 121 x1 = √ = √ = = = 2 X2 = √ = √ = = = Hp {2, - }
Jenis dan sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat :
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 ditentukan dengan D=b2-4ac Jika D>0 , maka akar persamaan kuadrat real dan berlainan (x1 x2)
Jika D=0 , maka akar persamaan kuadrat real dan kembar (x1=x2) Jika D<0 , maka akar persamaan kuadrat khayal dan imaginer Sifat-sifat akar persamaan kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0, maka : 1. x1 + x2 =
2. x1 x2 =
3. x1 - x2 = √
4. jika akar berlawanan tanda dengan syarat < 0
5. jika akar bertanda sama dengan syarat > 0
Rangkuman Kelas X 31 Bentuk simetris akar-akar persamaan kuadrat
1. x1 + x2 = , x1 x2 = 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2– 2x1x2 3. + = 4. + = 5. x13 + x23 = (x1 + x2)2– 3x1x2(x1 + x2) contoh soal :
Tentukan p , sehingga x2-px+16=0 memiliki akar kembar, tentukan akar-akar tersebut !
Jawab :
x2-px+16=0 , a=1, b=-p, c=16
syarat D=0 untuk akar kembar
D : b2 – 4ac = 0 (-p)2 – 4(1)(16) = 0 P2 – 64 = 0 P2 = 64 P = √ P = 8 Hp {8, -8}
Lalu dimasukan dalam persamaan x2-px+16=0 :
P=8 x2-8x+16 = 0 (x-4)(x-4) = 0 x-4=0 x-4=0 x1,2 = 4 Hp {4} P=-8 x2+8x+16 = 0 (x+4)(x+4) = 0 x+4=0 x+4=0 x1,2 =-4 Hp {-4}
Tentukan nilai m sehingga persamaan 2x2-5x+m=0 saling berkebalikan ! Jawab : 2x2-5x+m=0, a=2, b=-5, c=m Syarat a=c 2=m 2x2-5x+2 = 0 (2x-1)(x-2) = 0 2x-1 = 0 x - 2 = 0 2x = 1 x2 = 2 X1 = Hp { ,2} saling berkebalikan
Salah satu akar 3x2-(p+1)x+p=2 adalah 0, tentukan nilai p dan akar yang kedua!
X1 = 0 3x2 - (p+1)x+p = 2 3(0)2 – (p+1)0+p = 2 0 – 0 + p = 2
P = 2
Lalu dimasukan dalam persamaan 3x2-(p+1)x+p=2 :
P=2
3x2 - (2+1)x+2 = 2
v
v
Rangkuman Kelas X 32 3x2 - 3x = 0 x
x2 – x = 0
x(x-1) = 0
x1 = 0 x-1 = 0
x2 = 1 , jadi akar yang kedua adalah x2 = 1 Jika x dan y akar-akar persamaan 2x2-3x+4=0, tentukan :
a. x + y , x y , x – y b. x2 + y2 c. x2 – y2 d. + e. + dengan a=2 ,b=-3 ,c=4, dan D : b2-4ac = (-3)2 – 4(2)(4) = -23 Jawab : a. x + y = = x y = = = 2 x – y = √ = √ b. x2 + y2 = (x+y)2 – 2xy
= ( )2 – 2(2) dimasukkan dari hasil perhitungan bagian a = – 4 = = -c. x2 – y2 = (x+y)(x-y) = ( )(√ ) = √ d. + = = = e. + = = = = -
Menyusun persamaan kuadrat baru
Jika persamaan kuadrat diketahui akar-akarnya x1 dan x2 , maka persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus :
1. (x-x1)(x-x2) = 0 2. x2 – (x
1+x2)x + (x1x2) = 0
v
Rangkuman Kelas X 33 contoh soal :
Tentukan persamaan kuadrat baru, jika akar-akarnya -2 dan ! Jawab : Cara 1 (x-x1)(x-x2) = 0 , dengan x1 = -2 dan x2 = (x-2)(x- ) = 0 x2 - x – 2x + = 0 x4 4x2 – x + 8x – 2 = 0
4x2 + 7x – 2 = 0 hasil persamaan kuadrat baru Cara 2
x2 – (x
1+x2)x + (x1x2) = 0, dengan x1 = -2 dan x2 = , x1 + x2 = -2 + = -1
x1x2 = (-2)( ) = -
lalu dimasukan dalam rumus :
x2 – (x 1+x2)x + (x1x2) = 0 x2 – (-1 )x + (- ) = 0 x2 + 1 x - = 0 x4 4x2 + 7x – 2 = 0
Jadi, persamaan kuadratnya adalah 4x2 + 7x – 2 = 0
Akar persamaan 2x2-3x-4=0 adalah p dan q, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3p dan 3q !
Jawab : 2x2-3x-4=0
a=2 , b=-3 , c=-4 p+q = =
p q = = - = -2 menggunakan sifat akar persamaan kuadrat
y1 = 3p dan y2 = 3q y1 + y2 = 3p+3q = 3 (p+q) = 3 ( ) = y1 y2 = 3p 3q = 9 pq = 9 (-2) = -18
lalu dimasukan dalam rumus :
y2 – (y
1+y2)y + (y1y2) = 0 y2 – ( )y + (-18) = 0
x2 2y2 – 9y -36 = 0
Rangkuman Kelas X 34 Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar
persamaan 5x2-3x-6=0 Jawab :
a=5 , b=-3 , c=-6 p + q = = p q = =
y1 = dan y2 = karena berkebalikan y1 + y2 = + = = = - y1 y2 = = = = y2 – (y 1+y2)y + (y1y2) = 0 y2 – (- )y + ( ) = 0 x6 6y2 + 3y – 5 = 0
Jadi, persamaan kuadratnya adalah 6y2 + 3y – 5 = 0
Jika diketahui p dan q akar-akar persamaan 3-4x-x2=0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (4+p) dan (4+q) !
a=-1 , b=-4 , c=3 p + q = = = -4 p q = = = -3 y1 = (4+p) dan y2 = (4+q) y1 + y2 = (4+p)+(4+q) = 8 + p + q = 8 + (-4) = 4 y1 + y2 = (4+p)(4+q) = 16 + 4q + 4p + pq = 16 + 4(p+q) + pq = 16 + 4(-4) + (-3) = -3 y2 – (y 1+y2)y + (y1y2) = 0 y2 – (4)y + (-3) = 0 y2 – 4y -3 = 0
jadi persamaan kuadratnya adalah y2 – 4y -3 = 0
# Sistem persamaan dengan 2 peubah satu linear dan satu persamaan kuadrat
Bentuk umum 1. ax + by + c = 0
Rangkuman Kelas X 35 Dengan a, b, c, p, q, r, s, t, u R dengan p dan q 0
Cara menyelesaikannya adalah dengan substitusi Contoh soal : 2x – y + 3 = 0 dan x2 + y2 -2x -4 =0 jawab : 2x–y+3 = 0 ...(1) -y = -2x -3 x -1 y = 2x + 3 ...(3) substitusi ke persamaan (2) x2 + y2 -2x -4 = 0 ...(2) x2 + (2x + 3)2 -2x -4 = 0 x2 + 4x2 + 12x + 9 -2x -4 = 0 5x2 + 10x + 5 = 0 (5x+5)(x+5) = 0 5x + 5 = 0 x + 5 = 0 5x = -5 x2 = -5 x1 = -1 substitusi ke persamaan 3 x1 = -1 y1 = 2x + 3 = 2(-1) + 3 = 1 x2 = -5 y2 = 2x + 3 = 2(-5) + 3 = -7 Hp {(x1,y1),(x2,y2)} Hp {(-1,1),(-5,-7)}
PertidaksamaanAdalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan pertidakasamaan. Hubungan tidak sama diberi notasi : , > , < , ,
Sifat – sifat pertidaksamaan :
1. Jika kedua ruas ditambah atau dikalikan dengan bilangan positif, tanda persamaan tidak berubah.
(+) dan (x) bilangan positif tanda tidak berubah
2. Jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan berubah.
(x) dan ( ) bilangan negatif tanda berubah
A. Pertidaksamaan Linear Bentuk umum : ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b 0 ax + b 0 , dengan a, b R dan a 0 contoh soal : 5 – 3x < 17 -3x < 12
X > -4 tanda berubah karena dibagi dengan bilangan negatif
Hp {x|x > -4 , x R}
Hasil dari himpunan dibuat garis bilangan
arah panah menunjuk ke kanan karena x > -4
Bulatan tidak penuh karena tandanya hanya >
-4
Rangkuman Kelas X 36 2x – 5
12x – 30 4x – 6
8x 24
X 3 Hp {x|x 3 , x R}
Bulatan penuh karena tandanya
3 B. Pertidaksamaan Kuadrat Bentuk umum : ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 , dengan a, b, c R dan a 0
langkah penyelesaiannya adalah :
1. Tentukan dahulu pembuat nol (0) dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat
2. Gambar pembuat nol pada garis bilangan
3. Tentukan tanda pada garis bilangan dengan menggunakan titik uji Contoh soal :
6 – x – x2 0 -x2 – x + 6 0 x -1
X2 + x – 6 0 tanda berubah karena dikali bilangan negatif X2 + x – 6 = 0 (x+3)(x-2) = 0 X + 3 = 0 x – 2 = 0 X1 = -3 x2 = 2 Hp {x|-3 x 2, x R} + -3 - 2 + - - - - + + + + + + +
- - - - - - - + + + bagian yang diarsir adalah daerah hasil
2x2 + x 6 2x2 + x – 6 0 2x2 + x – 6 = 0 (2x-3)(x+2) = 0 2x – 3 = 0 x + 2 = 0 2x = 3 x2 = -2 X1 = Hp {x| x -2 V x , x R} + -2 - + - - - - + + + + + + + - - - - - - - + + + - 0
v
v
x
-2
x
4
Rangkuman Kelas X 37 0 0 0 x (x+2)2(4-x)2 (-8x+2)(x+2)(4-x) 0 (-8x+2)(x+2)(4-x) = 0 -8x+2 = 0 x+2 = 0 4 – x = 0 -8x = -2 x2 = -2 -x = -4 X1 = x3 = 4 Hp {x|x <-2 V x < 4, x R} - -2 + - 4 + - - - - + + + + + + + + + + + - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - - - + + + +
v
v
Rangkuman Kelas X 38
MATERI 3
MATRIKS
A. Pengertian : susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang yang diletakkan dalam suatu kurung biasa atau kurung siku.
( ) atau * +
B. Notasi matriks dilambangkan dengan huruf besar (kapital) Contoh : A . / atau B [ ]
Setiap kolom dalam suatu susunan disebut elemen / unsur / entri yang ditunjuk untuk menyebutkan nomor baris dan nomor kolom.
Contoh : A [
]
C. Ordo Matriks
Merupakan pernyataan baris kemudian diikuti kolom pada matriks. Misal :
A * + memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka A2x3 =2x3=6 unsur / ordo
D. Macam-macam Matriks
1. Matriks Nol (semua unsur adalah nol)
A2x3 * + B3x2 [ ]
2. Matriks Satu (semua unsur adalah bilangan 1)
A3x1 [ ] B3x3 [
]
3. Matriks Baris (hanya memiliki 1 baris)
P1x4[ ] Q1x2[ ]
4. Matriks Kolom (hanya memiliki 1 kolom)
A4x1 * + B3x1 0 1
5. Matriks Persegi(memiliki banyak baris dan kolom yang sama)
A *
+ A2x2 = Matriks berordo 2 B [
]
B3x3 = Matriks berordo 3
6. Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks persegi yang memiliki kriteria : Aij , untuk i j 0 , untuk i > j Baris 1 Baris 2 Baris 3 -5 baris 2 kolom 2 -1 baris 2 kolom 1
Rangkuman Kelas X 39 i j A [ ] A [ ] 0 karena i > j B *
+ membentuk segitiga di atas
7. Matriks Segitiga Bawah
Adalah matriks persegi yang memenuhi kriteria : Aij , untuk i j
0 , untuk i < j P [
]
membentuk segitiga di bawah
8. Matriks Diagonal
Adalah matriks persegi yang memenuhi kriteria : Aij , untuk i < j dan i > j
0 , untuk i = j A [
] membentuk diagonal utama
9. Matriks Satuan (Identitas)
1 , untuk i < j dan i > j 0 , untuk i = j I * + II [ ] III * +
Cara penamaan matriks satuan harus menggunakan angka romawi.
Matriks satuan pasti matriks diagonal, matriks diagonal belum tentu matriks satuan.
E. Kesamaan Matriks
Dua matriks dikatakan sama, hanya jika ordo sama dan elemen-elemennya seletak sama. Contoh : 1. A * + sama dengan B * + 2. C [ ] sama dengan D [ ] 3. Tentukan nilai x dan y, jika diketahui :
E [ ] = F * + Jawab : Persamaan : 3x + 2y = 12 x1 3x + 2y = 12 x – y = 4 x2 2x – 2y = 8 + 5x = 20 x = 4
Rangkuman Kelas X 40 x – y = 4 4 – y = 4 -y = 0 y = 0 jadi, x = 4 dan y = 0 F. Matriks Transpose
Jika matriks Amxn , transpose matriksnya At = Anxm (dibalik antara baris dan kolomnya) Contoh : 1. A2x3 * + At3x2[ ]
Baris A menjadi kolom At dan kolom A menjadi baris At
2. Tentukan matriks C, jika diketahui : A * + , B [ ] , C [ ] , dan A = B t Jawab : A * + = Bt[ ] Persamaan : 2x – 4 = 6 2 – 3y = -1 2x = 10 -3y = -3 x = 5 y = 1 masukkan ke matriks C : C [ ] C * + = C [ ] G. Penjumlahan Matriks
Matriks dapat dijumlahkan jika memiliki kesamaan matriks (ordo sama dan elemen-elemen seletak sama).
Misal : A * + B [ ] A + B = * + + [ ] = [ ] Contoh soal: 1. Jika P [ ] dan Q [ ] Maka, P + Q = [ ] + [ ] = [ ] Q + P = [
] + [ ] = [ ] P+Q = Q+P , berlaku sifat komutatif
2. Jika A * + , B * + , dan C * + Maka, (A+B)+C = ,* + * +- + * + = * + + * + = * + A+(B+C) = * + + ,* + * +
-Rangkuman Kelas X 41 = *
+ + * + = *
+ (A+B)+C = A+(B+C) , berlaku sifat asosiatif 3. Jika S * + dan T * + Maka, S + T = * + + * + = * + T + S = * + + * + = * + S + T = T + S = 0
T adalah lawan dari S dapat ditulis –S
S + (-S) = (-S) + S = 0 memiliki unsur identitas yaitu matriks nol
H. Pengurangan Matriks
Matriks dapat dikurangkan jika memiliki kesamaan matriks. Contoh soal : 1. Jika P * + dan Q * + Maka, P – Q = * + - * + = * + P + (-Q) = * + + * += * +
dapat dijumlahkan dengan lawannya {A-B = A+(-B)}
dalam pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif A-B B-A
2. Tentukan nilai x ! x + * + = * + x = * + - * + = * + Jadi, x = * + I. Perkalian Matriks 1. Perkalian Skalar
Perkalian matriks dengan bilangan skalar. Misal A * + maka, p A = p * + = [ ] Contoh soal :
Jika A * + maka, - A = - * +
= 0
1
2. Perkalian Matriks Dengan Matriks
Matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks kiri sama dengan jumlah baris matriks kanan.
Misal : [ ] * + = [ ] (3x2) (2x1) Ordo 3x1 harus sama
Rangkuman Kelas X 42 contoh soal : Jika P * + dan Q [ ] Maka, P2x3 x Q3x2 = * + [ ] = * + = * + Q3x2 x P2x3 = [ ] * + = [ ] = [ ]
PxQ QxP , tidak berlaku sifat komutatif
A *
+ x B [ ] = A2x2 x B1x2tidak sama, jadi tidak dapat dikali 3. Perkalian Matriks Satuan
Jika suatu matriks dikalikan dengan matriks satuan, maka hasilnya adalah matriks itu sendiri.
Contoh : Jika I * + dan A * + Maka, I x A = * + * + = * + A x I = * + * + = * + I x A = A x I = A 4. Pemangkatan Matriks persegi
Jika A * + , tentukan A2 dan A3 !
A2 = A x A = * + * + = * + A3 = A x A2 = * + *
+ = * +
J. Invers Matriks
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang ordonya sama, maka AxB = BxA = I Contoh : Jika A * + dan B * + , A x B = * + * + = * + B x A = * + * + = * +
Jadi, matriks A dan B saling berkebalikan / invers. Menentukan invers matrik ordo 2
Secara umum, jika matriks A * + det A = |
| = (a x d) – (b x c) Notasi invers adalah A-1 =
*
+
Rangkuman Kelas X 43 Jika det A 0 , maka matriks A matriks non singular (memiliki invers)
Contoh soal :
Tentukan invers dari A * + dan B * + ! det A = | | = (3x4) – (5x2) = 12 – 10 = 2 A-1 = * + = [ ] det B = | | = (-4x6) – (8x-3) = -24 + 24 = 0
det B = 0 termasuk matriks singular, jadi tidak memiliki invers.
K. Persamaan Perkalian Matriks
Bentuk umum : A x = B A-1 A x = A-1 B 1 x = A-1 B x = A-1 B x A = B x = B A-1
dengan A dan B adalah matriks persegi Contoh soal : tentukan nilai x ! * + x = * + X = * +-1* + X = * +* + X = 1 * +* + X = * + Jika A *
+ dan B * + , tentukan {(AB)-1}t ! (,* + * + ) = {* + } = , * +-= , * +-= [ ] = [ ]
Sistem Persamaan Linear Menggunakan matriks Bentuk umum : ax + by = p cx + dy = q persamaan matriks : * +* + = * + * + = * + * + Contoh soal :
Rangkuman Kelas X 44 X + y = 3 ...(1) 2x – y = 0 ...( 2) Bentuk matriks : * +* + = * + * + = * + * + * + = * +* + * + = * + * + = * + * + = * +
Rangkuman Kelas X 45
MATERI 4
APROKSIMASI
Aproksimasi merupakan operasi pendekatan atau pembulatan. Macam-macam pembulatan :
1. Pembulatan ke satuan terdekat Contoh soal :
No. Hasil Pengukuran Pembulatan ke Hasil Pembulatan 1. 42,5002 m Persepuluhan meter terdekat 42,5
2. 0,00789 gram Gram terdekat 0
3. 734 Puluhan terdekat 700
4. 648 Perratusan terdekat 648,00
5. 4.556.856 Ribuan terdekat 4.557.000 2. Pembulatan ke banyaknya tempat desimal
Jika bilangan yang akan dibulatkan 5 , maka nilainya ditambah 1 tempat di depan bilangan tersebut.
Contoh soal :
No. Hasil Pengukuran Pembulatan ke Hasil Pembulatan 1. 89,078565 3 tempat desimal 89,079
2. 0,0925 1 tempat desimal 0,1
3. 0,6863 2 tempat desimal 0,69
3. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan
Angka signifikan dalah banyaknya angka yang bermakna dalam suatu bilangan. Tabel contoh banyaknya angka signifikan
No. Bilangan Banyaknya Angka Signifikan keterangan
1. 3,4569 5 Semua angka adalah signifikan
2. 50,043 5 Semua angka adalah signifikan
3. 0783 3 Angka pertama bukan signifikan
4. 0,00628 3 Tiga angka pertama bukan signifikan
5. 0,086070 5 Dua angka pertama bukan signifikan
6. 2800 2 Dua angka terakhir bukan signifikan
7. 8670000 5 Dua angka terakhir bukan signifikan
Aturan pembulatan ke banyaknya angka signifikan :
1. Setiap angka bukan 0 (nol) adalah signifikan
2. Setiap angka 0 diantara dua angka signifikan adalah signifikan
3. Angka 0 terletak di depan angka bukan 0 pada suatu bilangan bukan signifikan 4. Angka 0 di belakang tanda desimal apabila di dahului angka bukan 0 adalah signifikan 5. Angka 0 di depan angka bukan 0 pada suatu bilangan meski di belakang tanda koma
desimal bukan signifikan
6. Angka 0 di belakang angka bukan 0 adalah bukan signifikan, kecuali diberi tanda seperti garis bawah (_), dll.
Contoh soal :
No. Hasil Pengukuran Pembulatan ke Hasil Pembulatan 1. 72,071 3 angka signifikan 72,1
2. 23,4005 2 angka signifikan 23
3. 0,460 1 angka signifikan 0,5
4. 47778 3 angka signifikan 47700 5. 4508000 6 angka signifikan 4508000
Rangkuman Kelas X 46
# Galat (Salah)
Adalah selisih antara nilai yang tepat (eksak) dengan nilai dengan nilai hampiran (hasil pengukuran yang tidak tepat) atau,
Besarnya kesalahan / penyimpangan / error dalam pengukuran. Sumber galat :
1. Alat ukur yang digunakan kurang standar 2. Alat hitung yang kurang teliti
3. Kesalahan manusia (human error) dalam menggunakan alat ukur
4. Penggunaan operasi aritmatika pada hasil pengukuran (pembulatan, dsb.)
Operasi Bilangan Pada Aproksimasi : 1. SUK (Satuan Ukur terKecil)
Adalah satuan ukur atau pembanding terkecil dalam yang dipakai oleh pengukur.
Tabel contoh satuan ukuran terkecil No. Hasil Pengukuran Satuan Ukuran Terkecil
1. 42 cm 1 cm
2. 43,4 km 0,1 km atau 1 hm 3. 218,394 kg 0,001 kg atau 1 gram 4. 67,70000 ton 0,00001 ton atau 1 dag 5. 63000 km 1000 km atau 1 m
2. SM (Salah Mutlak)
Adalah jumlah kesalahan terbesar dalam pengukuran. SM = x SUK
3. SR (Salah Relatif)
Adalah jumlah kesalahan dari pengukuran yang dilihat dari besarnya hasil pengukuran.
SR =
...tanpa menggunakan satuan
4. Presentase Kesalahan
Adalah banyaknya salah relatif yang dinyatakan dalam prosen. % kesalahan = SR x 100%
5. Batas Atas dan Batas Bawah
Batas atas (BA) adalah batas tertinggi dalam suatu pengukuran yang dapat diterima.
BA = Hasil pengukuran + SM
Batas bawah (BB) adalah batas terendah dalam suatu pengukuran yang dapat diterima.
BB = Hasil pengukuran – SM
6. Toleransi
Adalah selisih antara batas atas dan batas bawah yang dapat diterima. Toleransi = BA – BB
= 2 x SM
7. Jangkauan
Adalah rentan bilangan yang dapat diterima dalam suatu pengukuran. Jangkauan = SM
Rangkuman Kelas X 47 = toleransi
Contoh soal :
Jika diketahui hasil pengukuran sebuah pensil adalah 25 cm, maka HP (Hasil Pengukuran) = 25 cm SUK = 1 cm SM = x SUK = x 1 cm = 0,5 cm SR = = = 0,02 % kesalahan = SR x 100 % = 0,02 x 100 % = 2 % BA = HP + SM = 25 cm + 0,5 cm = 25,5 cm BB = HP – SM = 25 cm – 0,5 cm = 24,5 cm Toleransi = BA – BB = 25,5 cm – 24,5 cm = 1 cm atau Toleransi = 2 x SM = 2 x 0,5 = 1 cm Jangkauan = SM = ( 0,5) cm = (25 0,5) cm
8. Batas – Batas Jumlah dan Selisih Hasil Pengukuran
Batas – batas jumlah pengukuran : Jumlah maksimum = BA1 + BA2 Jumlah minimum = BB1 + BB2 atau P1 (Hp1 SM1) P2 (Hp2 SM2) + P1+P2 {Hp1+Hp2 (SM1+SM2)}
Batas – batas selisih pengukuran : Selisih maksimum = BA1 – BB2 Selisih minimum = BA2 – BB1 P1 (Hp1 SM1) P2 (Hp2 SM2) + P1-P2 {Hp1-Hp2 (SM1+SM2)}
Rangkuman Kelas X 48
9. Batas Hasil Kali Pengukuran
Hasil kali maksimum adalah hasil kali kedua batas atas dari hasil pengukuran. Hasil kali maksimum = BA1 x BA2
Hasil kali minimum adalah hasil kali kedua batas bawah dari hasil pengukuran. Hasil kali minimum = BB1 x BB2
Contoh soal :
Tentukan batas-batas jumlah, batas-batas selisih, dan hasil kali dari hasil pengukuran dua buah tiang yaitu 5,6 m dan 6,4 m !
Jawab : SUK = 0,1 m SM = x 0,1 m = 0,05 m HP1 = 5,6 m BA1 = 5,6 m + 0,05 m = 5,65 m BB1 = 5,6 m - 0,05 m = 5,55 m HP2 = 6,4 m BA2 = 6,4 m + 0,05 m = 6,45 m BB2 = 6,4 m - 0,05 m = 6,35 m
Batas-batas jumlah pengukuran :
Jumlah maksimum = BA1 + BA2 = 5,65 m + 6,45 m = 12,10 m Jumlah minimum = BB1 + BB2 = 5,55 m + 6,35 m = 11,90 m atau P1 (Hp1 SM1) P2 (Hp2 SM2) + P1+P2{Hp1+Hp2 (SM1+SM2)} P1 (5,6 0,05)m P2 (6,4 0,05)m + P1+P2 (12,0 0,10)m Jumlah maksimum = 12,0 + 0,10 = 12,10 m Jumlah minimum = 12,0 – 0,10 = 11,90 m
Batas-batas selisih pengukuran :
Selisih maksimum = BA2 - BB1 = 6,45 m – 5,55 m = 0,90 m Selisih minimum = BA1 – BB2 = 5,65 m - 6,35 m = 0,70 m atau P1 (Hp1 SM1) P2 (Hp2 SM2) - P1-P2{Hp1-Hp2 (SM1+SM2)} P1 (6,4 0,05)m P2 (5,6 0,05)m - P1+P2 (0,8 0,10)m
Rangkuman Kelas X 49 Selisih maksimum = 0,8 + 0,10 = 0,90 m
Selisih minimum = 0,8 – 0,10 = 0,70 m
Hasil kali maksimum = BA1 x BA2
= 5,65 m x 6,45 m
= 36,4425 m2
Hasil kali minimum = BB1 x BB2
= 5,55 m x 6,35 m
