21 Dian Anggun Trisnadi, 2013
Studi Aliran Daya Optimal Dengan Optimasi Primal Dual Bernasis Metode Newton
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan metode studi literature, observasi lapangan dan studi comparative, berujuan untuk mengetahui akurasi hasil dan waktu konvergensi analisis aliran daya optimal menggunakan metode Newton yang dimodifikasi dengan metode optimasi primal-dual dibandingkan dengan Genetic Algorithm (GA). Data pembebanan dan transmisi yang digunakan dalam penelitian ini adalah data standar IEEE 30 bus. Data tersebut sudah umum digunakan untuk menguji ketepatan dan keakuratan dari berbagai metode lain. Selain itu digunakan pula data sistem interkoneksi 500KV Jawa Bali (Pernbebanan tanggal 2 Januari 2013 Pukul 00.30 W1B) sebagai aplikasi pada kelistrikan Indonesia pada saat beban rendah.
3.1. Sistem Interkoneksi Jawa-Bali
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan pernbebanan tanggal 2 Januari 2013 Pukul 00.30 W1B. data ini menggambarkan beban terendah sistem dimana jam ini sudah masuk jam tidur. Data ini didapat dari hasil observasi di lapangan yaitu di PLN GITET Bandung Selatan dan ditambah beberapa data tambahan yang mengacu pada penelitian Baskoro (2009:59) dan Krisida (2011:48).
Sistem interkoneksi 500 kV Jawa Bali terdiri atas 25 bus dengan 33 saluran dan 8 pembangkit. Pembangkit-pembangkit yang terpasang pada sistem interkoneksi 500 kV Jawa Bali antara lain pembangkit Suralaya. pembangkit Muaratawar, pembangkit Cirata, pembangkit Saguling, pembangkit Tanjungjati, pembangkit Gresik, pembangkit Paiton, dan Pembangkit Grati. Diantara 8 pembangkit tersebut pembangkit Cirata dan pembangkit Saguling merupakan pembangkit yang menggunakan tenaga air, sedangkan pembangkit yang lainnya merupakan pembangkit dengan tenaga uap dengan bahan bakar batubara, adapun pembangkit Suralaya bertindak sebagai pembangkit slack atau referensi.
Jenis-jenis bus pada sistem interkoneksi 500 kV Jawa Bali diberikan sebagai berikut.
Satu buah slack bus, yaitu bus pembangkit Suralaya.
Tujuh buah generator bus, yaitu antara lain bus pembangkit Cirata, pembangkit Saguling, pembangkit Tanjungjati, pembangkit Gresik, pembangkit Paiton, dan Pembangkit Grati.
Tujuh belas buah load bus, yaitu bus Balaraja, bus Kembangan, bus Gandul, bus Cibinong, bus Cilegon, bus Depok, bus Cawang, bus Bekasi, bus Bandung Selatan, bus Cibatu, bus Madirancan, bus Tasikmalaya, bus Pedan, bus Ungaran, bus Kediri, bus Surabaya Barat dan bus Ngimbang
Gambaran sistem interkoneksi jawa bali dapat dilihat pada gambar 3.1 sebagai berikut
Gambar 3.1. Gambar Sistem Interkoneksi 500KV Jawa Bali 2013
Dalam gambar 3.1 transmisi 500KV digambarkan dalam garis berwarna biru. Garis ini melintang dari sisi baling barat pulau Jawa yaitu Suralaya sampai ke sisi paling timur pulau Jawa Surabaya Barat. Untuk lebih mempermudah pembacaan sistem transmisi 500KV dapat digambarkan dalam single line diagram sebagai berikut.
1 Suralaya 6 Cilegon 3 Kembangan 5 Cibinong 4 Gandul 12 Cirata 15 Saguling 11 Cibatu 10 Bandung Selatan 9 Bekasi 8 Cawang 14 Muaratawar 7 Depok 16 Tasikmalaya 17 Pedan 13 Mandiracan 19 Ungaran 22 Kediri 24 Surabaya Barat 18 Tanjung Jati 23 Paiton 21 Grati 20 Gresik 2 Balaraja 22 Ngimbang
3.2. Definisi Operasional
Analisis aliran daya merupakan analisis yang menggambarkan keadaan operasi dari sistem listrik secara keseluruhan, dimana didalamnya terdapat jaringan generator, jaringan transmisi, dan beban yang bisa mewakili daerah kecil seperti kota atau daerah besar seperti negara. Analisis aliran daya atau di industri biasa disebut analisis aliran beban, memproses data daya yang dikirim dan dari sumbernya untuk memberitahu kita bagaimana daya mengalir ke tujuannya.
Analisis aliran daya optimal adalah perhitungan untuk meminimalkan suatu fungsi tujuan biaya pembangkitan tenaga listrik atau rugi-rugi pada saluran transmisi dengan mengatur pembangkitan daya aktif dan daya reaktif setiap pembangkit yang terinterkoneksi dengan memperhatikan batas-batas tertentu. Batas yang umum dinyatakan dalam perhitungan analisis aliran daya optimal berupa batas minimum dan maksimum untuk pembangkitan daya aktif dan reaktif pada pembangkit.
Optimasi Primal-Dual adalah metode penyelesaian optimasi persamaan kuadrat linear dan non-linear. Penyelesaian persamaan kuadrat dilakukan dengan memotong fungsi pembatas sehingga waktu perhitungan relative lebih cepat dari metode biasa. Aplikasi Optimasi Primal-Dual untuk penyelesaian masalah aliran daya optimal pertama kali diperkenalkan pada tahun 1997 oleh G.R.M. da Costa dalam jurnal berjudul Optimal Reactive Dispatch Through Primal-Dual Method.
Metode Newton adalah suatu metode yang menggunakan uraian deret Taylor untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan dua variabel atau lebih. Metode Newton sudah lama digunakan untuk menyelesaikan masalah aliran daya dan aliran saya optimal. Penggunaan metode newton dalam penyelesaian masalah aliran daya optimal pertama dilakukan oleh Hermann W. Dommel dan William F. Tinney pada tahun 1968 dalam jurnal mereka yang berjudul “Optimal Power Flow Solution”.
Metode yang digunakan dalam penelitian ini sangat rumit jika perhitungannya dilakukan secara manual, namun dengan bantuan komputer metode di atas dapat terselesaikan dengan relatif cepat. Dalam penelitian ini agar dapat menginteraksikan analisis dengan sistem komputasi dibutuhkan bahasa pemrograman yang mendukung perhitungan berbasis matriks. Bicara soal matriks maka bahasa pemrograman yang paling cocok dengan penelitian ini adalah Matlab. Matlab singkatan dari MATrix LABolatory, merupakan bahasa pemrograman yang dikembangkan oleh Mathwork .Inc. Bahasa pemrograman ini banyak digunakan untuk perhitungan numerik keteknikan, komputasi simbolik, visualisasi grafis, analisis data matematis, statistika, simulasi, pemodelan dan desain GUI (Hartanto, 2003).
Matlab memiliki beberapa toolbox khusus yang dibuat oleh lembaga non profit untuk edukasi dan penelitian non profit. Toolbox Matlab adalah kumpulan M-file yang mempunyai satu kesatuan fungsi untuk memecahkan masalah tertentu. Untuk pemecahan masalah simulasi sistem tenaga listrik seperti optimal power flow, Matlab memiliki beberapa Toolbox yang paling dikenal diantaranya MatPower Toolbox (MPT), Power System Analysis Toolbox (PSAT) dan Voltage Stability Toolbox (VST) (Cartina, 2007).
3.4. MatPower Toolbox
MatPower adalah paket M-file Matlab untuk memecahkan masalah aliran daya dan aliran daya optimal. Hal ini dimaksudkan sebagai alat simulasi bagi para peneliti dan pendidik yang mudah digunakan dan dimodifikasi. MatPower dirancang untuk memberikan kinerja terbaik sambil menjaga kode tetap sederhana untuk dipahami dan dimodifikasi.
MatPower awalnya dikembangkan oleh Ray D. Zimmerman, Carlos E. Murillo-Sanchez dan Deqiang Gan dari Power Systems Engineering Research Center (PSERC) Cornell University di bawah arahan Robert J. Thomas. Awalnya kode aliran daya dan aliran daya optimal berbasis Matlab ini lahir dari kebutuhan komputasi untuk proyek PowerWeb. Banyak orang lain telah memberikan
kontribusi untuk MatPower selama bertahun-tahun dan terus dikembangkan dan dipelihara di bawah arahan Ray Zimmerman (Zimmerman, 2011)
Fungsi utama MatPower adalah untuk memecahkan masalah aliran daya dan aliran daya optimal baik AC maupun DC. MatPower sangat mudah digunakan, kita hanya harus menuliskan kode simulasi apa yang ingin kita jalankan pada command window Matlab. Contoh, jika kita tuliskan runpf('case14'); maka Matlab akan memanggil pemecahan aliran daya tegangan AC dengan data standar IEEE 14 bus, jika kita tuliskan runopf('case14'); maka Matlab akan memanggil pemecahan aliran daya optimal tegangan AC dengan data standar IEEE 14 bus.
Cara kerja MatPower untuk masalah OPF secara singkat adalah sebagai berikut.
1. Memuat data ke struktur data mpc
2. Mengonversi data ke penomoran internal dan menghapus bagian data yang tidak akan digunakan
3. Membangun matriks dan vektor yang diperlukan untuk merumuskan masalah OPF (Ybus, batas variabel, biaya, dll)
4. Membangun objek model OPF dengan semua variabel dan indeks informasi kendala
5. Memanggil program pemecah terpilih seperti Matlab Interior Point Solver (MIPS), Knitro, dll. (Masing-masing memiliki algoritma sendiri)
6. Mengemas hasil pemecahan masalah ke dalam struktur hasil
7. Mengonversi hasil pemecahan masalah kembali ke format penomoran eksternal dan menambahkan kembali bagian data yang tidak digunakan
8. Mencetak dan atau menyimpan hasil simulasi. 3.5. Matlab Interior Point Solver (MIPS)
Mulai dari versi 4, MatPower menyediakan solver baru yaitu primal-dual interior point disebut juga MIPS, untuk Solver Interior Point pada Matlab. Hal ini
diimplementasikan dalam pengkodean yang murni Matlab. Ide ini berasal dari penerapan algoritma Matlab EXtension (MEX) dijelaskan dalam (H. Wang, 2007).
Solver tersebut jika diterapkan dengan fungsi MIPS, dapat dipanggil sebagai berikut.
dimana input dan output argumen masing-masing dijelaskan dalam Tabel 1 dan 2. Sebagai alternatif, argumen input dapat dikemas sebagai bidang dalam struktur masalah dan disahkan sebagai argumen tunggal, di mana semua bidang kecuali f_fcn dan x0 adalah opsional.
Syntax yg dipanggil hampir identik dengan yang digunakan oleh fmincon dari Toolbox Optimasi Matlab. Perbedaan utama adalah kendala linier yang ditentukan dalam hal fungsi linear tunggal terbatasi ganda ( ) sebagai lawan kesetaraan terpisah dibatasi ( ) dan ( ) dibatasi atas fungsi. Secara internal, kendala kesetaraan ditangani secara eksplisit dan ditentukan pada saat bekerja berdasarkan pada nilai-nilai l dan u.
Tabel 3.1. Input argumen untuk MIPS
Nama Deskripsi
f_fcn Menangani fungsi yang mengevaluasi fungsi tujuan, gradien dan
Hessian untuk nilai tertentu dari x. Syntax untuk memanggil fungsi ini: [f, df, d2f] = f_fcn(x)
x0 Nilai awal optimasi vektor x.
A, l, u Mendefinisikan kendala linear opsional . Masing-masing
nilai default untuk elemen l dan u adalah -Inf dan Inf
xmin, xmax Batas bawah dan atas opsional pada variabel . Nilai defaultnya adalah -Inf dan -Inf
gh-fcn Menangani fungsi yang mengevaluasi kendala nonlinier opsional dan
gradien untuk nilai tertentu. Syntax untuk memanggil fungsi ini: [h, g, dh, dg] = gh_fcn(x)
hess_fcn Menangani ke fungsi yang menghitung Hessian dari Lagrangian untuk nilai yang diberikan , dan , di mana dan adalah pengganda pada kendala kesetaraan dan ketidaksetaraan dan . Syntax untuk
[x, f, exitflag, output, lamda] = mips(problem);
[x, f, exitflag, output, lamda] = …
memanggil fungsi ini:
Lxx = hess_fcn(x, lam, cost mult),
Dimana = lam.eqnolin, = lam.ineqnolin dan cost_mult adalah parameter yang digunakan untuk skala fungsi tujuan
opt struktur options pilihan dengan bidang-bidang tertentu, yang semuanya
merupakan pilihan (nilai default yang ditunjukkan dalam tanda kurung).
Nama Deskripsi
verbose (0) Control level untuk tampilan output proses 0 - print tanpa proses info
1 - print dengan sedikit proses info 2 - print dengan banyak proses info
3 - print dengan semua proses info yang ada feastol (1e-6) Toleransi penghentian untuk kondisi kelayakan gradtol (1e-6) Toleransi penghentian untuk kondisi gradien comptol (1e-6) Toleransi penghentian untuk kondisi pelengkap costtol (1e-6) Toleransi penghentian untuk kondisi biaya max_it (150) Jumlah iterasi maksimal
step_control (0) Ganti ke variable 1 untuk mengaktifkan step control
max_red (20) jumlah maksimum dari ukuran langkah pengurangan
jika step control aktif.
cost_mult (1) pengganda biaya yang digunakan untuk
meningkatkan pengkondisian skala fungsi tujuan. Catatan: Nilai ini juga harus melebihi nilai argumentasi ke-3 untuk fungsi evaluasi Hessian sehingga dengan tepat dapat meningkatkan fungsi obyektif dalam Hessian dari Lagrangian tersebut. problem struktur masukan argumen tunggal alternative dengan bidang yang
sesuai untuk argumen di atas.
Tabel 3.2. Output argumen untuk MIPS
Nama Deskripsi
x Vector solusi
f Nilai akhir fungsi tujuan
exitflag Tanda keluar
1 Kondisi urutan pertama optimalitas memuaskan
0 jumlah maksimum iterasi mencapai
-1 gagal secara numerik
output keluaran output struktur dengan bidang
iterations jumlah iterasi dilakukan
Hist Struktur array dengan lintasan sebagai berikut:
feascond, gradcond, compcond, costcond, gamma, stepsize, obj, alphap, alphad
message pesan keluar
lambda Struktur yang berisi pengali Lagrange dan Kuhn-Tucker pada kendala,
dengan bidang:
ineqnonlin Batasan ketidaksamaan nonlinear
mu_l Batas terendah (kiri) kendala linear
mu_u Batas tertinggu (kanan) kendala linear
lower Nilai terikat terendah pada variabel optimasi
upper Nilai terikat tertinggi pada variabel optimasi
3.5.1. Contoh Penggunaan MIPS
Kode berikut menunjukkan contoh sederhana menggunakan MIPS untuk memecahkan optimasi 2 dimensi tak terbatas Rosenbrock "banana" dari fungsi berikut ini.
(3.1)
Pertama, buat fungsi Matlab yang akan mengevaluasi fungsi tujuan, gradien dan Hessian, untuk nilai tertentu. Dalam kasus ini, koefisien dari suku pertama didefinisikan sebagai sebuah parameter .
Kemudian, penanganan fungsi mendefinisikan nilai dari parameter menjadi 100, atur nilai awal x, dan panggil fungsi MIPS untuk menyelesaikannya.
>> f_fcn = @(x)banana(x,100); >> x0 = [-1.9; 2]; >> [x, f] = mips(f_fcn, x0) x = 1 1 f = 0 function [f, df, d2f] = banana(x,a) f = a*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;
if nargout > 1 %% gradient is required df = [ 4*a*(x(1)^3 – x(1)*x(2)) + 2*x(1)-2;
2*a*(x(2) – x(1)^2) ]; if nargout > 2 %% hessian is required
d2f = 4*a*[3*x(1)^2 - x(2) + 1/(2*a), -x(1); -x(1) ½ ]; end
3.6. Quadratic Programming Solver
Sebuah kumpulan fungsi yang disebut qps_mips disediakan untuk memudahkan dalam mengatur dan memecahkan masalah pemrograman linear (LP) dan kuadratik pemrograman (QP) dengan bentuk berikut:
(3.2)
Tergantung pada
(3.3)
(3.4)
Alih-alih menangani fungsi, fungsi tujuan ditetapkan pada paramter H dan c dari koefisien biaya kuadratis. Secara internal, qps_mips melalui MIPS menangani fungsi yang menggunakan parameter untuk mengevaluasi fungsi tujuan, gradien dan Hessian.
Syntax untuk memanggil qps_mips mirip dengan yang digunakan oleh quadprog dari Toolbox Optimasi Matlab.
Atau, argumen input dapat dikemas sebagai bidang dalam struktur masalah dan dilewatkan sebagai argumen tunggal, di mana semua bidang kecuali , dan
adalah opsional.
Selain H dan c, semua argumen input dan output sama persis dengan argumen yang sama untuk MIPS seperti yang dijelaskan dalam Tabel 1 dan 2.
3.7. Algoritma dari Primal-Dual Interior Point
Bagian ini memberikan beberapa rincian tentang algoritma dari Primal Dual Interior Point yang digunakan oleh MIPS dan dijelaskan dalam (Da Costa, 1997).
[x, f, exitflag, output, lamda] = qps_mips(problem); [x, f, exitflag, output, lamda] = qps_mips(H, c, A, l, …
3.7.1. Perumusan Masalah dan Lagrangian
Metode Primal Dual Interior Point yang digunakan oleh MIPS memecahkan masalah dalam bentuk:
(3.5) Tergantung pada :
(3.6) (3.7) Pendekatan yang diambil melibatkan mengonversi kendala ketimpangan menjadi kendala kesetaraan menggunakan fungsi penghalang dan vektor dari slack positif variabel .
Tergantung pada :
(3.9) (3.10) (3.11) Untuk nilai tertentu, persamaan Lagrangian untuk masalah kesetaraan dibatasi di atas adalah
Jika dilakukan panurunan parsial pada tiap variable di atas, maka Hessian dari Lagrangian sehubungan dengan diberikan oleh
(3.13)
3.7.2. Uruta
Optimalitas urutan pertama (Karush-Kuhn-Tucker) persyaratan untuk masalah ini terpenuhi ketika turunan parsial dari Lagrangian di atas semua set ke nol, maka :
(3.14)
3.7.3. Langk
ah-Langkah Newton
Kondisi optimalitas urutan pertama diselesaikan menggunakan metode Newton. Hasil pembaruan langkah metode Newton dapat ditulis sebagai berikut:
(3.15)
(3.16)
Himpunan persamaan ini dapat disederhanakan dan direduksi menjadi satu set yang lebih kecil dari persamaan dengan memecahkan secara eksplisit untuk dalam hal dan untuk dalam hal . Mengambil baris ke-2 (3.16) dan memecahkan untuk kita mendapatkan
(3.17) Memecahkan baris ke-4 (3.16) untuk menghasilkan ΔZ
(3.18) Kemudian, substitusi (3.17) dan (3.18) ke baris 1 dari (3.16) menghasilkan
(3.19) Dimana (3.20) (3.21) Dan (3.22) (3.23) Menggabungkan (3.19) dan baris ke-3 (3.16) menghasilkan sistem persamaan dengan ukuran yang berkurang:
(3.24) Dengan metode Newton yg telah diupdate kemudian dapat dihitung 3 langkah berikut:
1. Mengh
itung dan dari (3.24).
2. Mengh
itung dari (3.18).
3. Mengh
itung dari (3.17)
Dalam rangka mempertahankan kelayakan yang ketat dari solusi percobaan, masing-masing algoritma ini memotong langkah Newton dengan skala dual
primal dan variabel dengan dan , di mana faktor-faktor skala dihitung sebagai berikut:
Sehingga menghasilkan update variabel di bawah ini.
(3.27) (3.28) (3.29) (3.30) Parameter adalah skalar konstan dengan nilai sedikit kurang dari satu. Pada MIPS, diatur ke 0,99995.
Dalam metode ini, selama iterasi seperti Newton, parameter gangguan harus konvergen ke nol dalam rangka untuk memenuhi kondisi optimalitas urutan pertama dari masalah asli. MIPS menggunakan aturan berikut untuk memperbarui pada setiap iterasi, setelah memperbarui Z dan µ:
