BAB 3 RUANG BERNORM-2

RUANG BERNORM-2

3.1 Norm-2 dan Ruang `p

De…nisi 3.1 _{Misalkan V ruang vektor atas R berdimensi d} 2 (dalam hal ini d _{boleh tak hingga). Sebuah fungsi k:; :k : V} V _{! R yang memenuhi sifat-sifat} berikut;

1. kx; yk = 0 jika dan hanya jika x; y bergantung linear 2. kx; yk = ky; xk

3. k x; yk = j j kx; yk untuk setiap 2 R 4. kx + y; zk kx; zk + ky; zk

disebut norm-2 pada V . Pasangan (V; k:; :k) disebut ruang bernorm-2.

Teori tentang norm-2 pertama kali diperkenalkan oleh Gähler pada pertengahan 1960-an (lihat [1]). Contoh ruang bernorm-2 adalah R2 _{yang dilengkapi dengan}

norm-2 kx; yk = det 2 4 x1 x2 y1 y2 3 5 : Di ruang `p _{dengan 1 p <}

1 ada dua versi norm-2. Yang pertama adalah kx; ykp = sup f;g2(`p₎0 kf k;kgk 1 8 < : f (x) f (y) g(x) g(y) 9 = ;:

Norm-2 kx; ykpdiperkenalkan oleh S. Gähler tahun 1969 (lihat [2]). Belum banyak

sifat yang diketahui tentang norm-2 kx; ykp. Versi lain norm-2 untuk ruang `p

dengan 1 p <_{1 diperkenalkan oleh H. Gunawan tahun 2001 (lihat [3]) yaitu}

kx; ykp = 2 41 2 X j X k det 2 4 xj xk yj yk 3 5 p3 5 1 p : 11

Pende…nisian Norm-2 kx; ykp diinspirasi oleh observasi terhadap norm-2 baku 1 _di

ruang `2 _{(lihat [3]), yaitu}

kx; yks2 = 2 4 det 2 4 hx; xi hx; yi hx; yi hy; yi 3 5 23 5 1 2 : (3.1)

Pende…nisian tersebut bisa dilakukan karena `2 _{adalah Ruang Hilbert atau Ruang}

Hasil Kali Dalam yang lengkap. Sementara itu, `p

dengan p 6= 2 tidak mem-punyai hasil kali dalam sehingga norm-2 tidak bisa dide…nisikan seperti (??). Gunawan (lihat [3]) membuktikan bahwa norm-2 baku di `2 _{dapat ditulis sebagai}

kx; yk2 = 2 41 2 X j X k det 2 4 xj xk yj yk 3 5 23 5 1 2 :

Pada saat yang sama, norm 2 versi Gähler dapat ditulis sebagai

kx; yk2 = sup z;w2`2 kzk;kwk 1 8 < : 1 2 X j X k xj xk yj yk zj zk wj wk 9 = ;: Ketiga norm-2 di ruang `2 _{tersebut adalah sama}2_{, yaitu}

kx; yks2 =kx; yk2 =kx; yk2

untuk setiap x; y 2 `2_.

3.2 Sifat-Sifat Norm-2 _{k:; :kp}

Sifat-sifat norm-2 kx; ykp yang akan digunakan untuk mencari hubungan antara

norm-2 kx; ykp dengan norm-2 kx; ykp adalah sebagai berikut. Buktinya lihat di

[3] :

Lemma 3.2 _{Untuk setiap x; y 2 `}p berlaku ketaksamaan kx; ykp 2

1 1_p

kxkpkykp:

1_{Tanda s kecil di atas hanya untuk menyatakan norm 2 baku dan membedakan dengan}

norm 2 versi Gunawan.

Seperti di ruang bernorm k:k ; di ruang V yang dilengkapi dengan norm-2 k:; :k dide…nisikan juga tentang barisan konvergen dan barisan Cauchy. De…nisi kekon-vergenan barisan berikut ekuivalen dengan de…nisi kekonkekon-vergenan yang ada di [3] :

De…nisi 3.3 Barisan xn di (V; k:; :k) dikatakan konvergen ke x 2 V jika untuk

setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap n N _{dan y 2 V} berlaku kxn x; yk < ". Barisan xn di (V; k:; :k) dikatakan Cauchy jika untuk

setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap m; n N dan y_{2 `}p

berlaku kxn xm; yk < ".

Teorema 3.4 Suatu barisan di `p <sub>konvergen dalam norm-2 k:; :kp</sub> jika dan hanya jika konvergen dalam k:kp. Serupa dengan hal tersebut, suatu barisan di `

p _Cauchy

dalam norm-2 k:; :kp jika dan hanya jika Cauchy dalam norm k:kp:

De…nisi 3.5 _{Ruang (V; k:; :k) dikatakan ruang Banach-2 jika setiap barisan} Cau-chy di V konvergen dalam norm-2 k:; :k.

Akhirnya, hasil penting tentang norm-2 k:; :kpdi ruang `

p_{adalah teorema berikut.}

Teorema 3.6 Ruang `p_;

kx; ykp adalah ruang Banach 2:

3.3 Sifat-Sifat Norm-2 _{k:; :kp}

Teorema lain yang diperlukan untuk mengekplorasi sifat-sifat norm-2 k:; :kp dan

mencari hubungan antara norm-2 kx; ykp dengan norm-2 kx; ykp adalah

ketak-samaan Hölder untuk deret ganda.

Teorema 3.7 _{Untuk setiap x; y 2 `</sub>p <sub>dan z; w 2 `}q dengan 1_p +1_q = 1; berlaku 1 2 P j P k det 2 4 xj xk yj yk 3 5 det 2 4 zj zk wj wk 3 5 _{kx; ykp}:_{kz; wkq}:

Bukti. Untuk x; y bergantung linear atau z; w bergantung linear, maka ruas kiri dan ruas kanan sama dengan 0. Jadi, pernyataan benar. Selanjutnya untuk x; y

bebas linear dan z; w bebas linear, pilih deret 1 2 P j P k det 2 4 aj ak bj bk 3 5 dan 1 2 P j P k det 2 4 cj ck dj dk 3 5 sedemikian sehingga 1 2 P j P k det 2 4 aj ak bj bk 3 5 p 1 dan 1 2 P j P k det 2 4 cj ck dj dk 3 5 q 1:

Berdasarkan ketaksamaan bantu 1_p p+ 1_q q, maka

det 2 4 aj ak bj bk 3 5 det 2 4 cj ck dj dk 3 5 1 p det 2 4 aj ak bj bk 3 5 p +1 q det 2 4 cj ck dj dk 3 5 q : Kemudian didapat 1 2 P j P k det 2 4 aj ak bj bk 3 5 det 2 4 cj ck dj dk 3 5 1: Pilih det 2 4 aj ak bj bk 3 5 = det 2 4 xj xk yj yk 3 5 kx; ykp ; untuk setiap j; k = 1; 2; ::: dan det 2 4 zj zk wj wk 3 5 = det 2 4 zj zk wj wk 3 5 kz; wkq ; untuk setiap j; k = 1; 2; ::: , maka 1 2 P j P k det 2 4 aj ak bj bk 3 5 kx; ykp det 2 4 zj zk wj wk 3 5 kz; wkq 1 atau 1 2 P j P k det 2 4 xj xk yj yk 3 5 det 2 4 zj zk wj wk 3 5 _{kx; ykpkz; wkq}:

Teorema 3.8 _{Untuk setiap x; y 2 `}p _{berlaku kx; ykp} 21pkx; yk

p:

Bukti. _{Berdasarkan Teorema Representasi Riesz, terdapat z; w 2 `}q _dengan

kzkq=kfk dan kwkq=kgk sehingga f (x) f (y) g(x) g(y) = P j xjzj P j yjzj P j xjwj P j yjwj =X j X k zjwk xj yj xk yk : (3.2)

Dengan cara yang sama didapat, f (x) f (y) g(x) g(y) =X j X k zkwj xk yk xj yj =X j X k zkwj xj yj xk yk : (3.3)

Kemudian (??) dan (??) dijumlahkan, maka di dapat 2 f (x) f (y) g(x) g(y) = X j X k (zjwk zkwj) xj yj xk yk = X j X k zj wj zk wk xj yj xk yk : Jadi, f (x) f (y) g(x) g(y) = 1 2 X j X k zj zk wj wk xj xk yj yk : (3.4)

Kita gunakan ketaksamaan Holder untuk deret ganda, maka f (x) f (y)

g(x) g(y) kz; wkqkx; ykp :

Berdasarkan Lemma 3.2, kzkq =kfk 1 dan kwkq =kgk 1, maka didapat

kz; wkq 2 1 1_q kzkqkwkq 2 1 1_q = 21p sehingga f (x) f (y) g(x) g(y) 21p 2 41 2 X j X k det 2 4 xj yj xk yk 3 5 p3 5 1 p : Akibatnya, sup f;g2(`p₎0 kf k;kgk 1 8 < : f (x) f (y) g(x) g(y) 9 = ; 2 1 p 2 41 2 X j X k det 2 4 xj yj xk yk 3 5 p3 5 1 p

atau

kx; ykp 2

1

pkx; yk

p:

Berdasarkan (??), norm-2 versi Gähler dapat juga ditulis sebagai

kx; ykp = sup z;w2`q kzk;kwk 1 8 < : 1 2 X j X k zj zk wj wk xj xk yj yk 9 = ;: Akibat 3.9 <sub>Untuk setiap x; y 2 `</sub>p berlaku ketaksamaan

kx; ykp 2kxkpkykp:

Bukti. Berdasarkan Teorema 3.8 dan Lemma 3.2, maka didapat kx; ykp 2 1 pkx; yk p 2 1 p:21 1 pkxk pkykp = 2kxkpkykp:

Akibat 3.10 Suatu barisan di `p

konvergen dalam norm-2 k:; :kp jika konvergen

dalam norm k:kp: Serupa dengan hal tersebut, suatu barisan di `

p _{Cauchy dalam}

norm-2 k:; :kp jika Cauchy dalam norm k:kp:

Teorema 3.11 Suatu barisan di `p

konvergen dalam norm k:kp jika konvergen

dalam norm-2 k:; :kp:

Bukti. Misalkan x (n) konvergen ke x 2 `p dalam norm-2 k:; :kp, maka untuk

setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap n N _{dan y 2 `}p

berlaku kx (n) x; y_kp < " atau sup z;w2`q kzk;kwk 1 8 < : 1 2 X j X k xj(n) xj xk(n) xk yj yk zj zk wj wk 9 = ;< ": Ini berarti 1 2 X j X k xj(n) xj xk(n) xk yj yk zj zk wj wk < ",

untuk setiap z; w 2 `q

yang memenuhi kzk ; kwk 1: _{Pilih y = (1; 0; 0; :::) 2 `}p_,

z = (z1; z2; :::)2 `q, dengan zj = sgn(xj(n) xj)jxj(n) xjjp 1 kx(n) xkp 1 dan w = (1; 0; 0; :::) 2 ` q_, maka 1 X j=2 jxj(n) xjj p kx (n) x_kp 1 < : (3.5)

Jika kita pilih y = (0; 1; 0; :::) 2 `p, z = (sgn(x1(n) x1)jx1(n) x1jp 1

kx(n) xkpp 1

; 0; 0; :::) dan w = (0; 1; 0; 0; :::), maka

jx1(n) x1jp

kx (n) x_kp 1_p < ": (3.6)

Kemudian (??) dan (??) dijumlahkan, maka didapat

1 X j=1 jxj(n) xjj p kx (n) x_kp 1_p < 2" kx (n) x_kp < 2":

Ini menunjukkan bahwa x (n) konvergen ke x dalam norm k:kp:

Diagram berikut merupakan rangkuman dari hasil-hasil di atas.

Kekonvergenan di k:; :kp Kekonvergenan di k:; :kp

& %

Kekonvergenan di k:kp

Teorema 3.12 Suatu barisan di `p

Cauchy dalam norm k:kp jika Cauchy dalam

norm-2 k:; :kp:

Bukti. Serupa dengan Teorema 3.11, hanya mengganti kalimat ’konvergen ke x’ dengan ’Cauchy’dan ’x (n) x’dengan ’x (n) x (m)’.

Hasil utama pada bagian ini adalah teorema berikut. Teorema 3.13 Ruang (`p_;

k:; :kp) adalah ruang Banach-2.

Bukti. Misalkan x (n) barisan Cauchy di `p

terhadap norm-2 k:; :kp. Berdasarkan

Teorema 3.12, x (n) barisan Cauchy dalam norm k:kp. Karena `p adalah lengkap

terhadap norm k:kp; maka x (n) konvergen ke suatu x 2 ` p

dalam norm k:kp.

Kita gunakan Akibat 3.10, maka x (n) konvergen ke suatu x 2 `p _{dalam norm}

k:; :kp. Ini membuktikan bahwa (` p_;

3.4 Hubungan Norm-2 _{k:; :kp} dengan Norm-2 _{k:; :kp}

Hubungan Norm-2 k:; :kp dengan Norm-2 k:; :kp di ruang `p dapat diketahui

de-ngan mende…nisikan ekuivalensi norm n di suatu ruang vektor. Seperti di Bab 2, de…nisi dua buah norm-2 ekuivalen pada suatu ruang vektor diberikan sebagai berikut.

De…nisi 3.14 _{Dua buah norm-2 k:; :kadan k:; :kb}pada ruang bernorm-2 V adalah ekuivalen jika dan hanya jika terdapat ; > 0 sehingga _{kx; yka kx; ykb}

kx; yka untuk setiap x; y 2 V:

Akibat 3.15 _{Jika k:; :kadan k:; :kb} dua buah norm 2 yang ekuivalen di V , maka suatu barisan xn di V konvergen dalam norm 2 k:; :ka jika dan hanya jika xn

konvergen dalam norm 2 k:; :kb:

Dua buah norm 2 di suatu ruang vektor yang memberikan kekonvergenan yang sama disebut ’ekuivalensi lemah’. Berdasarkan Teorema 3.8, kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp mengakibatkan kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp. Selain itu,

berdasarkan diagram, kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp mengakibatkan

kekon-vergenan dalam norm 2 k:; :kp:Hal ini berarti norm 2 k:; :kp ’ekuivalen lemah’

dengan norm 2 k:; :kp. Pertanyaan apakah norm-2 k:; :kpekuivalen dengan