RUANG BERNORM-2
3.1 Norm-2 dan Ruang `p
De…nisi 3.1 Misalkan V ruang vektor atas R berdimensi d 2 (dalam hal ini d boleh tak hingga). Sebuah fungsi k:; :k : V V ! R yang memenuhi sifat-sifat berikut;
1. kx; yk = 0 jika dan hanya jika x; y bergantung linear 2. kx; yk = ky; xk
3. k x; yk = j j kx; yk untuk setiap 2 R 4. kx + y; zk kx; zk + ky; zk
disebut norm-2 pada V . Pasangan (V; k:; :k) disebut ruang bernorm-2.
Teori tentang norm-2 pertama kali diperkenalkan oleh Gähler pada pertengahan 1960-an (lihat [1]). Contoh ruang bernorm-2 adalah R2 yang dilengkapi dengan
norm-2 kx; yk = det 2 4 x1 x2 y1 y2 3 5 : Di ruang `p dengan 1 p <
1 ada dua versi norm-2. Yang pertama adalah kx; ykp = sup f;g2(`p)0 kf k;kgk 1 8 < : f (x) f (y) g(x) g(y) 9 = ;:
Norm-2 kx; ykpdiperkenalkan oleh S. Gähler tahun 1969 (lihat [2]). Belum banyak
sifat yang diketahui tentang norm-2 kx; ykp. Versi lain norm-2 untuk ruang `p
dengan 1 p <1 diperkenalkan oleh H. Gunawan tahun 2001 (lihat [3]) yaitu
kx; ykp = 2 41 2 X j X k det 2 4 xj xk yj yk 3 5 p3 5 1 p : 11
Pende…nisian Norm-2 kx; ykp diinspirasi oleh observasi terhadap norm-2 baku 1 di
ruang `2 (lihat [3]), yaitu
kx; yks2 = 2 4 det 2 4 hx; xi hx; yi hx; yi hy; yi 3 5 23 5 1 2 : (3.1)
Pende…nisian tersebut bisa dilakukan karena `2 adalah Ruang Hilbert atau Ruang
Hasil Kali Dalam yang lengkap. Sementara itu, `p
dengan p 6= 2 tidak mem-punyai hasil kali dalam sehingga norm-2 tidak bisa dide…nisikan seperti (??). Gunawan (lihat [3]) membuktikan bahwa norm-2 baku di `2 dapat ditulis sebagai
kx; yk2 = 2 41 2 X j X k det 2 4 xj xk yj yk 3 5 23 5 1 2 :
Pada saat yang sama, norm 2 versi Gähler dapat ditulis sebagai
kx; yk2 = sup z;w2`2 kzk;kwk 1 8 < : 1 2 X j X k xj xk yj yk zj zk wj wk 9 = ;: Ketiga norm-2 di ruang `2 tersebut adalah sama2, yaitu
kx; yks2 =kx; yk2 =kx; yk2
untuk setiap x; y 2 `2.
3.2 Sifat-Sifat Norm-2 k:; :kp
Sifat-sifat norm-2 kx; ykp yang akan digunakan untuk mencari hubungan antara
norm-2 kx; ykp dengan norm-2 kx; ykp adalah sebagai berikut. Buktinya lihat di
[3] :
Lemma 3.2 Untuk setiap x; y 2 `p berlaku ketaksamaan kx; ykp 2
1 1p
kxkpkykp:
1Tanda s kecil di atas hanya untuk menyatakan norm 2 baku dan membedakan dengan
norm 2 versi Gunawan.
Seperti di ruang bernorm k:k ; di ruang V yang dilengkapi dengan norm-2 k:; :k dide…nisikan juga tentang barisan konvergen dan barisan Cauchy. De…nisi kekon-vergenan barisan berikut ekuivalen dengan de…nisi kekonkekon-vergenan yang ada di [3] :
De…nisi 3.3 Barisan xn di (V; k:; :k) dikatakan konvergen ke x 2 V jika untuk
setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap n N dan y 2 V berlaku kxn x; yk < ". Barisan xn di (V; k:; :k) dikatakan Cauchy jika untuk
setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap m; n N dan y2 `p
berlaku kxn xm; yk < ".
Teorema 3.4 Suatu barisan di `p konvergen dalam norm-2 k:; :kp jika dan hanya jika konvergen dalam k:kp. Serupa dengan hal tersebut, suatu barisan di `
p Cauchy
dalam norm-2 k:; :kp jika dan hanya jika Cauchy dalam norm k:kp:
De…nisi 3.5 Ruang (V; k:; :k) dikatakan ruang Banach-2 jika setiap barisan Cau-chy di V konvergen dalam norm-2 k:; :k.
Akhirnya, hasil penting tentang norm-2 k:; :kpdi ruang `
padalah teorema berikut.
Teorema 3.6 Ruang `p;
kx; ykp adalah ruang Banach 2:
3.3 Sifat-Sifat Norm-2 k:; :kp
Teorema lain yang diperlukan untuk mengekplorasi sifat-sifat norm-2 k:; :kp dan
mencari hubungan antara norm-2 kx; ykp dengan norm-2 kx; ykp adalah
ketak-samaan Hölder untuk deret ganda.
Teorema 3.7 Untuk setiap x; y 2 `p dan z; w 2 `q dengan 1p +1q = 1; berlaku 1 2 P j P k det 2 4 xj xk yj yk 3 5 det 2 4 zj zk wj wk 3 5 kx; ykp:kz; wkq:
Bukti. Untuk x; y bergantung linear atau z; w bergantung linear, maka ruas kiri dan ruas kanan sama dengan 0. Jadi, pernyataan benar. Selanjutnya untuk x; y
bebas linear dan z; w bebas linear, pilih deret 1 2 P j P k det 2 4 aj ak bj bk 3 5 dan 1 2 P j P k det 2 4 cj ck dj dk 3 5 sedemikian sehingga 1 2 P j P k det 2 4 aj ak bj bk 3 5 p 1 dan 1 2 P j P k det 2 4 cj ck dj dk 3 5 q 1:
Berdasarkan ketaksamaan bantu 1p p+ 1q q, maka
det 2 4 aj ak bj bk 3 5 det 2 4 cj ck dj dk 3 5 1 p det 2 4 aj ak bj bk 3 5 p +1 q det 2 4 cj ck dj dk 3 5 q : Kemudian didapat 1 2 P j P k det 2 4 aj ak bj bk 3 5 det 2 4 cj ck dj dk 3 5 1: Pilih det 2 4 aj ak bj bk 3 5 = det 2 4 xj xk yj yk 3 5 kx; ykp ; untuk setiap j; k = 1; 2; ::: dan det 2 4 zj zk wj wk 3 5 = det 2 4 zj zk wj wk 3 5 kz; wkq ; untuk setiap j; k = 1; 2; ::: , maka 1 2 P j P k det 2 4 aj ak bj bk 3 5 kx; ykp det 2 4 zj zk wj wk 3 5 kz; wkq 1 atau 1 2 P j P k det 2 4 xj xk yj yk 3 5 det 2 4 zj zk wj wk 3 5 kx; ykpkz; wkq:
Teorema 3.8 Untuk setiap x; y 2 `p berlaku kx; ykp 21pkx; yk
p:
Bukti. Berdasarkan Teorema Representasi Riesz, terdapat z; w 2 `q dengan
kzkq=kfk dan kwkq=kgk sehingga f (x) f (y) g(x) g(y) = P j xjzj P j yjzj P j xjwj P j yjwj =X j X k zjwk xj yj xk yk : (3.2)
Dengan cara yang sama didapat, f (x) f (y) g(x) g(y) =X j X k zkwj xk yk xj yj =X j X k zkwj xj yj xk yk : (3.3)
Kemudian (??) dan (??) dijumlahkan, maka di dapat 2 f (x) f (y) g(x) g(y) = X j X k (zjwk zkwj) xj yj xk yk = X j X k zj wj zk wk xj yj xk yk : Jadi, f (x) f (y) g(x) g(y) = 1 2 X j X k zj zk wj wk xj xk yj yk : (3.4)
Kita gunakan ketaksamaan Holder untuk deret ganda, maka f (x) f (y)
g(x) g(y) kz; wkqkx; ykp :
Berdasarkan Lemma 3.2, kzkq =kfk 1 dan kwkq =kgk 1, maka didapat
kz; wkq 2 1 1q kzkqkwkq 2 1 1q = 21p sehingga f (x) f (y) g(x) g(y) 21p 2 41 2 X j X k det 2 4 xj yj xk yk 3 5 p3 5 1 p : Akibatnya, sup f;g2(`p)0 kf k;kgk 1 8 < : f (x) f (y) g(x) g(y) 9 = ; 2 1 p 2 41 2 X j X k det 2 4 xj yj xk yk 3 5 p3 5 1 p
atau
kx; ykp 2
1
pkx; yk
p:
Berdasarkan (??), norm-2 versi Gähler dapat juga ditulis sebagai
kx; ykp = sup z;w2`q kzk;kwk 1 8 < : 1 2 X j X k zj zk wj wk xj xk yj yk 9 = ;: Akibat 3.9 Untuk setiap x; y 2 `p berlaku ketaksamaan
kx; ykp 2kxkpkykp:
Bukti. Berdasarkan Teorema 3.8 dan Lemma 3.2, maka didapat kx; ykp 2 1 pkx; yk p 2 1 p:21 1 pkxk pkykp = 2kxkpkykp:
Akibat 3.10 Suatu barisan di `p
konvergen dalam norm-2 k:; :kp jika konvergen
dalam norm k:kp: Serupa dengan hal tersebut, suatu barisan di `
p Cauchy dalam
norm-2 k:; :kp jika Cauchy dalam norm k:kp:
Teorema 3.11 Suatu barisan di `p
konvergen dalam norm k:kp jika konvergen
dalam norm-2 k:; :kp:
Bukti. Misalkan x (n) konvergen ke x 2 `p dalam norm-2 k:; :kp, maka untuk
setiap " > 0 terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk setiap n N dan y 2 `p
berlaku kx (n) x; ykp < " atau sup z;w2`q kzk;kwk 1 8 < : 1 2 X j X k xj(n) xj xk(n) xk yj yk zj zk wj wk 9 = ;< ": Ini berarti 1 2 X j X k xj(n) xj xk(n) xk yj yk zj zk wj wk < ",
untuk setiap z; w 2 `q
yang memenuhi kzk ; kwk 1: Pilih y = (1; 0; 0; :::) 2 `p,
z = (z1; z2; :::)2 `q, dengan zj = sgn(xj(n) xj)jxj(n) xjjp 1 kx(n) xkp 1 dan w = (1; 0; 0; :::) 2 ` q, maka 1 X j=2 jxj(n) xjj p kx (n) xkp 1 < : (3.5)
Jika kita pilih y = (0; 1; 0; :::) 2 `p, z = (sgn(x1(n) x1)jx1(n) x1jp 1
kx(n) xkpp 1
; 0; 0; :::) dan w = (0; 1; 0; 0; :::), maka
jx1(n) x1jp
kx (n) xkp 1p < ": (3.6)
Kemudian (??) dan (??) dijumlahkan, maka didapat
1 X j=1 jxj(n) xjj p kx (n) xkp 1p < 2" kx (n) xkp < 2":
Ini menunjukkan bahwa x (n) konvergen ke x dalam norm k:kp:
Diagram berikut merupakan rangkuman dari hasil-hasil di atas.
Kekonvergenan di k:; :kp Kekonvergenan di k:; :kp
& %
Kekonvergenan di k:kp
Teorema 3.12 Suatu barisan di `p
Cauchy dalam norm k:kp jika Cauchy dalam
norm-2 k:; :kp:
Bukti. Serupa dengan Teorema 3.11, hanya mengganti kalimat ’konvergen ke x’ dengan ’Cauchy’dan ’x (n) x’dengan ’x (n) x (m)’.
Hasil utama pada bagian ini adalah teorema berikut. Teorema 3.13 Ruang (`p;
k:; :kp) adalah ruang Banach-2.
Bukti. Misalkan x (n) barisan Cauchy di `p
terhadap norm-2 k:; :kp. Berdasarkan
Teorema 3.12, x (n) barisan Cauchy dalam norm k:kp. Karena `p adalah lengkap
terhadap norm k:kp; maka x (n) konvergen ke suatu x 2 ` p
dalam norm k:kp.
Kita gunakan Akibat 3.10, maka x (n) konvergen ke suatu x 2 `p dalam norm
k:; :kp. Ini membuktikan bahwa (` p;
3.4 Hubungan Norm-2 k:; :kp dengan Norm-2 k:; :kp
Hubungan Norm-2 k:; :kp dengan Norm-2 k:; :kp di ruang `p dapat diketahui
de-ngan mende…nisikan ekuivalensi norm n di suatu ruang vektor. Seperti di Bab 2, de…nisi dua buah norm-2 ekuivalen pada suatu ruang vektor diberikan sebagai berikut.
De…nisi 3.14 Dua buah norm-2 k:; :kadan k:; :kbpada ruang bernorm-2 V adalah ekuivalen jika dan hanya jika terdapat ; > 0 sehingga kx; yka kx; ykb
kx; yka untuk setiap x; y 2 V:
Akibat 3.15 Jika k:; :kadan k:; :kb dua buah norm 2 yang ekuivalen di V , maka suatu barisan xn di V konvergen dalam norm 2 k:; :ka jika dan hanya jika xn
konvergen dalam norm 2 k:; :kb:
Dua buah norm 2 di suatu ruang vektor yang memberikan kekonvergenan yang sama disebut ’ekuivalensi lemah’. Berdasarkan Teorema 3.8, kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp mengakibatkan kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp. Selain itu,
berdasarkan diagram, kekonvergenan dalam norm 2 k:; :kp mengakibatkan
kekon-vergenan dalam norm 2 k:; :kp:Hal ini berarti norm 2 k:; :kp ’ekuivalen lemah’
dengan norm 2 k:; :kp. Pertanyaan apakah norm-2 k:; :kpekuivalen dengan
