TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini disampaikan beberapa pengertian dasar yang diperlukan pada bab selanjutnya. Selain definisi, diberikan pula lemma dan teorema dengan atau tanpa bukti. Untuk beberapa teorema yang tidak disertai bukti dapat dilihat pada referensi terkait. Beberapa contoh diberikan untuk memperjelas pengertian atau teorema. Uraian tentang pengertian dasar ini disajikan secara ringkas sesuai dengan tujuan dari penulisan.
2.1. Ruang Barisan
Definisi 2.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan N = {0,1,2,· · · }. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah fungsi x : N → R dengan aturan k 7→ x(k) = xk untuk
setiap k ∈N.
Barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (xk). Karena tulisan
ini membahas tentang barisan bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan saja.
Contoh 2.1.2.
(i) Barisanx= (xk) denganxk= (−1)kadalah barisan 1,−1,· · · ,(−1)k,· · ·.
(ii) Barisan e = (ek) dengan ek = 1 untuk setiap k ∈ N disebut barisan
konstan dengan konstanta 1.
(iii) Barisan e[n] = e[n] k
dengan e[n]k = 1 untuk k = n, dan e [n]
k = 0 untuk
k 6=n.
Definisi 2.1.3. Barisan x= (xk) dikatakan konvergen ke suatu bilangan real
a, jika untuk setiap ǫ >0 terdapatK(ǫ)∈N, sehingga untuk setiap k≥K(ǫ) berlaku|xk−a|< ǫ.
Dalam hal ini ditulis limk→∞xk =a atau xk →a untuk k → ∞, dan a
Selanjutnya, apabila diberikan barisan (xk) dengan xk → a dan xk → b
untukk → ∞, maka untuk setiap bilanganǫ >0 terdapat bilanganK0, K1 ∈N
sehingga untuk setiap k ≥ K0 berlaku |xk−a| < ǫ dan untuk setiap k ≥ K1
berlaku|xk−b|< ǫ. Jika diambilK = sup{K0, K1}, maka untuk setiapk ≥K
diperoleh |a−b| < ǫ. Karena berlaku untuk setiap ǫ > 0, maka |a−b| = 0 atau a=b.
Pernyataan tersebut di atas dapat dinyatakan ke dalam pernyataan dasar berikut.
Lemma 2.1.4. Limit dari suatu barisan bernilai tunggal.
Definisi 2.1.5. Barisan x = (xk) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan
real M > 0 sehingga |xk| ≤M untuk setiapk ∈N.
Lemma 2.1.6. Setiap barisan konvergen bersifat terbatas.
Contoh 2.1.7. Barisan pada contoh 2.1.2 (i) merupakan barisan terbatas tetapi tidak konvergen.
Barisan x = (xk) dengan x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · atau xk ≤ xk+1 untuk
setiap k ∈Ndisebut barisan naik dan ditulis dengan notasi xk ↑. Sebaliknya,
jika x0 ≥ x1 ≥ x2 ≥ · · · atau xk ≥ xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan
x = (xk) disebut barisan turun dan ditulis dengan notasi xk ↓. Adapun
apa-bila xk < xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan x = (xk) disebut barisan
naik kuat, dan apabila xk > xk+1 untuk setiap k ∈N, maka barisan x = (xk)
disebut barisan turun kuat
Definisi 2.1.8. Barisan x = (xk) dikatakan monoton jika (xk) merupakan
barisan naik atau barisan turun.
Definisi 2.1.9. Diberikan barisanx= (xk) dan dibentuksk = sup{xj :j ≥k}
untuk setiapk ∈N. Limit superior dari barisanx= (xk) didefinisikan sebagai
lim sup
k→∞
xk = lim
k→∞sk = limk→∞sup{xj :j ≥k}.
Dalam hal ini, apabila y = lim supk→∞xk, berarti untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ k0 berlaku xk < y +ǫ.
Limit inferior dari barisan x= (xk) didefinisikan sebagai
lim inf
k→∞ xk = limk→∞tk = limk→∞inf{xj :j ≥k}.
Dalam hal ini, apabila z = lim infk→∞xk, berarti untuk sebarang bilangan
ǫ >0 terdapat k0 ∈N, sehingga untuk setiapk ≥k0 berlakuz−ǫ < xk.
Definisi 2.1.10. Barisan x = (xk) disebut barisan Cauchy jika untuk
se-tiap ǫ > 0 terdapat H(ǫ) ∈ N sehingga untuk setiap m ≥ n ≥ H(ǫ) berlaku |xm−xn|< ǫ.
Cukup mudah diperlihatkan bahwa setiap barisan konvergen merupakan barisan Cauchy.
Teorema 2.1.11. Barisan x = (xk) di sistem bilangan real, konvergen jika
dan hanya jika (xk) merupakan barisan Cauchy.
Contoh 2.1.12. (i) Barisan k+11
merupakan barisan Cauchy.
(ii) Barisan (1 + (−1)k) bukan merupakan barisan Cauchy.
Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω, yaitu
ω =
x= (xk) :xk ∈R, ∀k ∈N
.
Operasi penjumlahan dan perkalian skalar untuk setiapx= (xk), y = (yk)∈ω
dan α∈R didefinisikan dengan aturan
x+y= (xk) + (yk) = (xk+yk), dan
αx=α(xk) = (αxk)
untuk setiapk ∈N. Dalam hal ini,ωmerupakan ruang linier (Maddox, 1970).
Definisi 2.1.13. Sebarang ruang linier bagian X ⊂ω disebutruang barisan.
(i) Koleksi dari semua barisan terbatas yang ditulis dengan notasiℓ∞; yaitu
ℓ∞=
x= (xk)∈ω: sup k∈N
|xk|<∞
.
Dalam hal ini, ℓ∞ disebut ruang barisan terbatas.
(ii) Koleksi dari semua barisan konvergen yang ditulis dengan notasic; yaitu
c=
x= (xk)∈ω : (∃a ∈R) xk →a, k→ ∞
.
Dalam hal ini, cdisebut ruang barisan konvergen.
(iii) Koleksi dari semua barisan konvergen ke nol yang ditulis dengan notasi c0; yaitu
c0 =
x= (xk)∈ω:xk →0, k→ ∞
.
Dalam hal ini, c0 disebut ruang barisan konvergen ke nol.
(iv) Koleksi dari semua barisan berhingga ditulis dengan notasi Φ; yaitu
Φ =
xN = (x
0, x1, x2,· · · , xN,0,0,· · ·) :N ∈N
.
Dalam hal ini, Φ disebut ruang barisan berhingga.
2.2. Ruang Banach
Definisi 2.2.1. Diberikan ruang linier X. Fungsik · k:X →Rdisebutnorma apabila untuk setiap x, y ∈X dan α∈R, memenuhi sifat-sifat :
(N1) kxk ≥0,kxk= 0 jika dan hanya jika x= 0,
(N2) kαxk=|α|kxk, dan
(N3) kx+yk ≤ kxk+kyk.
Ruang linier X yang dilengkapi dengan norma k · k disebut ruang bernorma dan ditulis dengan notasi (X,k · k) atau X saja.
Contoh 2.2.2.
(i) Rn merupakan ruang bernorma terhadap normak · kp untuk 1≤p≤ ∞,
(a) Jika p=∞, didefinisikan kxk∞ = sup
k∈N
|xk|, dan
(b) Jika 1≤p < ∞, didefinisikan kxkp = n
X
k=1
|xk|p
!1p
untuk setiap x∈Rn denganx= (x
1, x2,· · · , xn).
(ii) Diberikan ruang linierC[0,1] yang memuat semua fungsi kontinu bernilai real yang didefinisikan pada [0,1] (Maddox, 1970), yaitu
C[0,1] =
f
f : [0,1]→R dan f kontinu
.
Dapat diperlihatkan bahwa fungsi k · k:C[0,1]→R dengan aturan
kfk= Z 1
0
|f(x)| dx
merupakan suatu norma. Untuk itu, diambil sebarang f ∈ C[0,1]. Diperoleh,
kfk= Z 1
0
|f(x)|dx≥0. (N1)
Selanjutnya, diasumsikan kfk = 0, maka R1
0 |f(x)| dx = 0. Kemudian,
apabila |f(x)| > 0, maka R1
0 |f(x)| dx > 0. Oleh karena itu, apabila
kfk = R1
0 |f(x)| dx = 0, maka |f(x)| = 0 untuk setiap x ∈ [0,1].
Aki-batnya, f = 0. Sebaliknya, diasumsikan f = 0. Berarti, f(x) = 0 untuk setiap x ∈ [0,1]. Oleh karena itu, diperoleh kfk = R1
0 |f(x)| dx = 0.
Jadi,
kfk= 0 jika dan hanya jika f = 0. (N2)
Selanjutnya, diambil sebarang skalar α∈R. Diperoleh
kαfk= Z 1
0
|αf(x)|dx = Z 1
0
|α||f(x)|dx (N3)
=|α| Z 1
0
Kemudian, diambil sebarangg ∈C[0,1]. Diperoleh
kf+gk= Z 1
0
|f(x) +g(x)| dx (N4)
≤ Z 1
0
|f(x)| dx+|g(x)|
dx
= Z 1
0
|f(x)|+ Z 1
0
|g(x)| dx
=kfk+kgk.
Dari hasil (N1), (N2), (N3), dan (N4), diperoleh bahwa C[0,1] meru-pakan ruang bernorma terhadap norma kfk=R1
0 |f(x)|dx.
Definisi 2.2.3. Barisanx= (xk) di dalam ruang bernormaX disebutbarisan
Cauchy atau barisan fundamental jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N
sehingga untuk setiap j ≥k ≥k0 berlakukxj −xkk< ǫ.
Teorema 2.2.4. Setiap barisan konvergen di dalam ruang bernormaX meru-pakan barisan Cauchy.
Kebalikan dari Teorema 2.2.4 belum tentu berlaku (Royden, 2010). Hal ini ditunjukkan oleh contoh berikut:
Contoh 2.2.5. Dari Contoh 2.2.2 (ii), diperoleh bahwa ruang C[0,1] meru-pakan ruang bernorma terhadap norma kfk = R1
0 |f(x)| dx untuk setiap
f ∈C[0,1]. Selanjutnya, didefinisikan (fk)∞k=0 ⊂C[0,1] dengan aturan
fk(x) =
(
kx ; untuk 0 ≤x < 1 k
1 ; untuk 1
k ≤x≤1
untuk setiap k ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa (fk)∞k=0 merupakan barisan
dengan j ≥k. Diperoleh
Dengan menggunakan proses pengintegralan biasa, diperoleh
(j−k)
Selanjutnya, untuk sebarang bilanganǫ >0, terdapatk0 ∈Nsehinggak0 >
1
Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa (fk)∞k=0 tidak konvergen di dalam ruang
bernormaC[0,1]. Untuk itu, didefinisikan fungsif : [0,1]→R dengan aturan
f(x) = (
Oleh karena itu, diperoleh
Dengan menggunakan proses pengintegralan biasa, diperoleh
Z 1k
Selanjutnya, diambil x = 0. Kemudian, apabila diberikan sebarang bilangan ǫ >0, berarti terdapatδ >0 sehingga untuk setiapx0 ∈(0,1] dengan|x0−x|<
δ, diperoleh
|f(x0)−f(x)|=|1−0|= 1≮ǫ.
Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f tidak kontinu di x = 0. Jadi, f tidak kontinu di [0,1]. Dengan kata lain, f /∈ C[0,1]. Jadi, barisan (fk)∞k=0 tidak
konvergen di dalam ruang bernorma C[0,1].
Definisi 2.2.6. Ruang bernorma dikatakan bersifatlengkap jika untuk setiap barisan Cauchy di dalam ruang tersebut bersifat konvergen. Ruang bernorma yang bersifat lengkap disebut ruang Banach.
X untuk setiapx= (xk)∈X dan setiap k ∈N.
Contoh 2.2.8.
Ruang barisan ℓ∞, c, dan c0 masing-masing merupakan ruang BK terhadap
norma supremumk·k∞; yaitukxk∞= supk∈N|xk|(Kamthan dan Gupta, 1981).
Definisi 2.2.9. Ruang barisan X denganX ⊃Φ, dikatakan mempunyai sifat AK(Abschnittskonvergenz) jika X merupakan ruangBK dan kx−x[n]k →0
untuk n → ∞ dan untuk setiap x ∈ X. Dalam hal ini, untuk setiap n ∈ N, x[n] didefinisikan dengan aturan
x[n]=
n
X
k=0
xke[k].
Ruang barisanX yang mempunyai sifat AK disebut ruang AK.
Contoh 2.2.10.
Ruang barisan c0 merupakan ruang AK, sedangkan ruang barisan c dan ℓ∞ merupakan ruang BK dan bukan ruang AK (Wilansky, 1984).
2.3. Domain Matriks
Definisi 2.3.1. Diberikan ruang barisan X, Y, dan matriks tak hingga A = (ank) dengan ank ∈ R untuk setiap n, k ∈ N. Fungsi T : X → Y dengan
aturan x 7→ T x = Ax disebut transformasi matriks. Dalam hal ini, barisan Ax= (An(x))∞n=0 ∈Y, dengan
An(x) =
∞ X
k=0
ankxk
merupakan deret konvergen untuk setiap n ∈ N. Barisan ke-n dari matriks tak hinggaAditulis dengan notasiAn; yaituAn= (ank)∞k=0untuk setiapn ∈N.
Koleksi semua transformasi matriks yang memetakan X keY ditulis de-ngan notasi (X, Y). Oleh karena itu, A ∈ (X, Y) jika dan hanya jika An(x)
konvergen untuk setiap n ∈ N dan untuk setiap x ∈ X, dan Ax ∈ Y untuk setiap x∈X.
membentuk syarat perlu dan cukup dari entri-entri sebuah matriks untuk memetakan ruang barisan X ke ruang barisan Y.
Penelitian tentang transformasi matriks pada ruang-ruang barisan klasik telah cukup lengkap dilakukan para peneliti (Maddox 1970; Wilansky 1984). Oleh karena itu, para peneliti mengalihkan perhatian mereka ke ruang barisan lain dengan membentuk ruang barisan baru. Salah satunya dengan meman-faatkan ruang barisan X dan matriks tak hingga A yang diberikan. Ruang barisan seperti ini disebut domain matriks.
Definisi 2.3.2. Diberikan ruang barisan X dan matriks tak hingga A. Him-punan yang didefinisikan oleh
XA=
x= (xk)∈ω :Ax∈X, ∀x∈X
disebut domain matriks dari A.
2.4. Ruang Barisan Orlicz
Definisi 2.4.1. Fungsi Orlicz merupakan sebuah fungsi M : [0,∞)→[0,∞) yang kontinu, naik, dan konveks, dengan M(0) = 0, M(x) > 0 untuk x > 0, dan M(x)→ ∞untuk x→ ∞.
Fungsi M : [0,∞) →[0,∞) dikatakan kontinu di suatu titik c∈[0,∞), jika untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ [0,∞) dengan |x−c| < δ, berlaku |f(x)−f(c)|< ǫ. Selanjutnya, fungsi M dikatakan kontinu pada [0,∞) jika M kontinu di setiap c∈[0,∞).
FungsiM : [0,∞)→[0,∞) dikatakannaik pada [0,∞), jika untuk setiap x1, x2 ∈[0,∞) dengan x1 ≤x2 berlakuM(x1)≤M(x2).
Fungsi M : [0,∞) → [0,∞) dikatakan konveks pada [0,∞), jika untuk setiap t∈[0,∞] danx1, x2 ∈[0,∞) berlaku
M
(1−t)x1+tx2
≤(1−t)M(x1) +tM(x2).
Apabila sifat konveks dari fungsi OrliczM diganti denganM(x+y)≤M(x) + M(y), maka fungsi Orlicz M disebut fungsi modulus (Ruckle 1973; Maddox 1986).
Fungsi OrliczM dikatakan memenuhikondisi-∆2 untuk setiapx∈[0,∞)
Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) memperkenalkan ruang barisan yang ditulis dengan notasi ℓM; yaitu
ℓM =
(
x= (xk)∈ω: (∃ ρ >0)
∞ X
k=1
M
|xk|
ρ
<∞ )
.
Ruang barisanℓM dengan norma berikut, yaitu
kxk= inf (
ρ >0 : ∞ X
k=1
M
|xk|
ρ
≤1 )
merupakan ruang Banach dan disebut ruang barisan Orlicz.
