Gelombang Elektromagnetik

Gelombang Elektromagnetik

Gelombang elektromagnetik (em) terdiri dari gelombang medan listrik E dan medan magnit B yang menjalar bersama dengan kecepatan sama dengan kecepatan cahaya. Ditinjau gelombang em yang menjalar kea rah z, dapat dinyatakan dalam gelombang sinus dan cosinus. Bila gelombangnya berbentuk sinus, dapat dituliskan,

(

kz t

)

E E = 0sin −

ω

(2.1a)

(

kz t

)

B B = 0sin −

ω

(2.1b) , 2πν ω = k =2

π

λ

, ν =λν (2.1c) 0

E dan B adalah amplitude medan listrik dan 0 magnit, berupa besaran vektor. Arah vektor E dan B tidaklah bebas, tetapi harus mengikuti hukum-hukum yang berlaku dalam teori penjalaran gelombang em umum yang biasa disebut persamaan Maxwell. Arah E harus tegak lurus B Bila medan E dan B masing-masing .

menjalar pada bidang yang tetap dan saling tegak lurus, ini disebut gelombang bidang atau

terpolarisasi bidang.

Apabila persamaan gelombang di atas didiferensialkan dua kali masing ke t dan z , akan diperoleh persamaan umum gelombang berjalan, 2 2 2 2 2 1 t E v z E ∂ ∂ = ∂ ∂ (2.2) dengan v=

ω

k.

Demikian pula untuk medan B bentuknya serupa.

Dari persamaan gelombang (2.2) dapat dituliskan lebih lanjut persamaan gelombang dalam 3 dimensi, dituliskan,

2 2 2 2 1 t E v E ∂ ∂ = ∇ (2.3)

Penyelesaian umum persamaan ini dapat dituliskan dengan (kr t) i e E E = ⋅ −ω r r 0 (2.4)

Untuk medan magnit B juga dapat dituliskan degan cara yang sama. Medan E dan B ini juga harus tetap memenuhi persamaan hukum Maxwell.

2.1 Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell merupakan persamaan matematik yang merepresentasikan kelakuan

umum medan elektromagnit dalam suatu medium dengan sumber medannya yaitu muatan listrik q dan arus .j Apabila medium tersebut mempunyai tetapan dielektrik

ε

dan tetapan permeabilitas magnetik µ, persamaan Maxwell secara umum dituliskan sebagai berikut:

ε ρ = ⋅ ∇ E r r (2.5a) 0 = ⋅ ∇ B r r (2.5b) t B E ∂ ∂ − = × ∇ r r r (2.5c) t E j B ∂ ∂ + = × ∇ r r r r

εµ

µ

(2.5d)

Tetapan

ε

dan µ dapat dinyatakan dalam tetapan

ε

0 dan

µ

0 untuk medium hampa,

0

ε

ε

ε

= r 0

µ

µ

µ

= r dengan 12 0 8,854 10 − × = ε C2_/Nm2 _dan 7 0 4 10 − × = π µ

Tm/Amp.

ε

_r dan

µ

_r adalah tetapan dielektrik relatip dan permeabilitas relatip yang besarnya bergantung pada jenis medium.

Dari persamaan Maxwell di atas, bila diberikan harga q dan j tertentu, bentuk medan E dan B nya dapat diturunkan.

2.2 Penyeleseaian Persamaan Maxwell Sederhana

Ditinjau keadaan sistem yang sederhana, yaitu gelombang e.m diluar sumber dengan q = 0 dan j = 0.

Persamaan Maxwell tanpa sumber menjadi, 0 = ⋅ ∇ E r (2.6a) 0 = ⋅ ∇ B r (2.6b) t B E ∂ ∂ − = × ∇ r r r (2.6c) t E B ∂ ∂ = × ∇ r r r

εµ

(2.6d)

Dengan analisa vektor, dapat diturunkan medan

E dan B.

Bila persamaan (6c) dikenakan operasi ∇×,

r maka, t B E ∂ × ∇ ∂ − = × ∇ × ∇ r r r r r (2.7)

Substitusikan pers. (2.6d) ke pers. (2.7),

2 2 t E E ∂ ∂ − = × ∇ × ∇ r r r r

εµ

(2.8)

Dari analisa vektor, bentuk suku kiri dapat dituliskan,

( )

E E E E r r r r r r r r 2 2 =−∇ ∇ − ⋅ ∇ ∇ = × ∇ × ∇ (2.9) Persamaan (2.8) menjadi, 2 2 2 t E E ∂ ∂ = ∇ r r

εµ

(2.10)

Ternyata persamaan ini bentuknya sama dengan pers. (2.3), yaitu sebagai persamaan deferensial gelombang e.m.

Dari kedua persamaan itu dapat dituliskan kecepatan gelombang e.m.

εµ

1

2 =

v (2.11)

Untuk gelombang yang hanya menjalar ke arah z saja, pers. (2.10), dituliskan,

2 2 2 2 t E z E ∂ ∂ = ∂ ∂

_εµ

(2.12)

Penyelesaian umumnya dapat dituliskan,

(kz t) i _z e E E = ₀ −ω (2.13) dengan

ω

=k_zv dan v=1

εµ

.

Dari bentuk pers. (2.13), dapat diambil gelombang sinusnya yang bergerak pada bidang x

– z,

(

k z t

)

E

E_x = _0xsin _z −

ω

(2.14) Medan magnet B dapat diturunkan dari pers. (2.6c), untuk komponen yang mengandung E x,

t B t B z E y Ex x _z y ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ − (2.15)

Substitusi pers. (2.14) ke dalam pers. (2.15), diperoleh,

(

)

t B t z k E kz x z y ∂ ∂ − = −

ω

cos 0 (2.16)

Bila pers. (2.16) diintegralkan ke t , maka

(

k z t

)

E k

B z _{x z}

y = ω × 0 sin −ω (2.17) Dari bentuk ini tampak arah medan B⊥E dan dapat dituliskan,

(

k z t

)

B

Dapat pula dituliskan besaran skalarnya, v E E k B z x x y = = ω . (2.19)

Bentuk yang lebih umum dapat dituliskan,

v E

B= . (2.20)

Penjalaran medan magnet dan listrik ke arah z tersebut dilukiskan pada gambar 2.1. Gelombang tersebut tampak terpolarisasi bidang. Gelombang ini dinamakan terpolarisasi ke bidang x – z, dimana medan listriknya berada pada bidang x –

z. Bila nedan listrik berada pada bidang y – z,

dinamakan terpolarisasi ke bidng y – z.

Gambar 2.1 Penjalaran gelombang bidang medan E dan B ke arah z.

Gelombang mikro atau gelombang elektromagnet lainnya bisa tidak terpolarisasi bidang, misalnya bergerak melingkar dala ruang koordinat bola, akan sangat sulit dilukiskan penjalarannya. Jenis penjalaran gelombang bergantung pada sumbernya dan sistem ruang penjalarannya. Pada bab kemudian akan dibicarakan lebih lanjut penjalaran gelombang mikro dalam koordinat kartesian dan koordinat silinder yang dikaitkan dengan pengarahan gelombang atau pandu gelombang.

2.3 Tenaga Gelombang Mikro

Gelombang mikro sebagai gelombang elektromagnit, mempunyai besaran tenaga gelombang ataupun daya gelombang. Tenaga gelombang e.m. secara umum dapat diturunkan sama dengan gelombang medan listrik E dan medan magnit B dalam teori listrik dan magenit. Dari teori listrik tentang kapasitor, besarnya rapat tenaga medan listrik yang tersimpan dalam kapasitor sebanding dengan kuadrat medan listriknya dituliskan,

2 2 1 _E

u_E = ε (2.21)

Dari teori magnet tentang kumparan, besarnya rapat tenaga medan magnet yang tersimpan

dalam kumparan sebanding dengan kuadrat medan magnetnya, 0 2 2 1

µ

B u_M = (2.22)

Bila dalam ruang ada medan listrik dan medan magnet bersama, rapat tenaga medan listrik dan magnetnya merupakan jumlahannya,

µ

ε

2 2 2 1 2 1 B E u = + (2.23)

Persamaan tenaga ini masih tetap berlaku untuk gelombang medan e.m. tetapi fungsi waktu. Disamping itu ada pergantungan medan listrik dan medan magnet seperti dinyatakan oleh pers.(2.20). Persamaan rapat tenaga e.m. (2.23) bila dimasukkan ke pers. (2.20)

2 2 2 2 1 2 1 v E E u

µ

ε

+ = (2.24a)

Bila kecepatan gelombang dinyatakan dalam µ dan ,ε 2 2 2 2 1 2 1 E E E u = ε + ε =ε atau

µ

2 B u= (2.24b)

Untuk gelombang mikro terpolarisasi bidang x – z yang menjalar ke z seperti di atas, besarnya rapat tenaga gelombang adalah,

(

k z t

)

E u=ε ₀2_xsin2 _z −ω (2.25a) Atau

(

k z t

)

B u y _z

ω

µ

− = 2 2 0 sin (2.25b)

Satuan rapat tenaga ini dalam satuan SI adalah Joule/m3_{dt. Dari pers.(2.25), dapat diturunkan}

persamaan rapat tenaga rata-ratanya, karena rata-rata dari sin2

(

−

)

=12,

t z k_z

ω

maka . 2 2 ₀2 2 0

µ

ε

E x B y u = = (2.26)

Secara umum rapat tenaga rata-rata gelombang mikro, dapat ditunjukkan

µ

ε

2 2 2 2

B E

u = = (2.27)

Dari rapat tenaga, dapat diturunkan besaran daya gelombang e.m.

Dari pengertian daya gelombang yaitu besarnya tenaga yang mengalir persatuan waktu, persatuan luas; untuk gelombang yang menjalar ke arah z di atas,

) . /(

.vol luaswaktu u P= uv Adt Adz u = = (2.28a) v E2 ε = (2.28b) uv v B ₌ =

µ

2 (2.28c)

Untuk gelombang sinus atau cosinus, daya rata-ratanya, 2 2 v E P =

ε

(2.29a) . 2 2

µ

v B = (2.29b) Satuan dari daya adalah watt.

Contoh.

Suatu gelombang mikro di udara yang menjalar ke arah z dalam ruang xyz, mempunyai daya gelombang = 100 watt dan panjang gelombangnya = 10 cm. Tuliskan komponen medan listrik dan magnetnya.

Penyelesaian:

Di udara gelombang e.m. kecepatannya = kecepatan cahaya = c, dapat diambil 8

10 3×

= c m/s. Gunakan satuan SI,

( )

0,1 62,8 2 2 = = =

π

λ

π

k rad/m.

λ

π

πν

ω

=2 =2 c =2

π

3×108 0,1=6

π

×109 rad/s. Dari persamaan daya (2.29a), dapat dituliskan,

2 2 1 8 12 0 0 8 10 10 3 10 8 , 9 100 2 2 × =       × ⋅ × × = = ₋ c P E

ε

V/m. 6 8 2 0 0 2,7 10 10 3 10 8 ₋ × = × × = = c E B T.

(

z t

)

Ey 9 2 10 6 8 , 62 sin 10 8× − × =

π

V/m

(

z t

)

B_z 6 9 10 6 8 , 62 sin 10 7 , 2 × − × = −

_π

_T.