5
BAB II
MEDAN LISTRIK DI SEKITAR KONDUKTOR SILINDER
II. 1 Hukum Coulomb
Charles Augustin Coulomb (1736-1806), adalah orang yang pertama kali yang melakukan percobaan tentang muatan listrik statis. Dari hasil percobaannya, Coulomb menyatakan bahwa gaya F antara dua muatan Q1 dan Q2, berbanding lurus dengan besar muatan, dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak R antara dua muatan tersebut. Secara matematis persamaannya dapat ditulis :
2 2 1 R Q Q k F (Newton) (2.1)
Dimana k adalah suatu nilai konstanta. Dalam Sistem Internasional (SI), nilai konstanta k diberikan oleh:
4 1
k (2.2)
dimana ε merupakan permitivitas medium di sekitar muatan. Satuan SI untuk permitivitas adalah Farad per meter (Fm-1). Permitivitas ruang hampa adalah:
1 1 12 0 8.85 10 8.85 Fm pFm 9 1 1 36 1 10 36 1 Fm nFm
Permitivitas udara nilainya mendekati permitivitas ruang hampa.
Gaya merupakan besaran vektor, oleh sebab itu, gaya memiliki besar dan arah. Jika Persamaan (2.1) ditulis sebagai persamaan vektor dengan mensubstitusikan nilai k, maka diperoleh:
6 4 . ˆ 21 2 r Q Q r F (2.3)
Dimana : F = gaya (Newton)
= vektor satuan yang searah dengan garis yang menghubungkan kedua muatan
Q1 = muatan 1 (Coulomb) Q2 = muatan 2 (Coulomb)
ε = permitivitas medium di sekitar muatan (Fm-1 ) r = jarak di antara kedua muatan (m)
Rumus di atas merupakan rumus vektoris Hukum Coulomb secara lengkap dalam satuan SI. Arah gaya yang timbul pada muatan listrik mengikuti arah garis yang menghubungkan kedua muatan tersebut dan juga di tentukan oleh kedua jenis muatan tersebut, seperti yang tergambar pada gambar 2.1. Pada gambar 2.1(a), gaya mengarah ke luar (gaya tolak) jika kedua muatan sejenis, gambar 2.1(b), gaya mengarah ke dalam (gaya tarik) jika kedua muatan berbeda jenis.
(a)
(b)
Gambar 2. 1 Arah gaya pada muatan listrik yang saling berdekatan
+
+
F
21Q
1Q
2R
F
12F
21_
Q
1R
Q
2+
F
127
II. 2 Intensitas Medan Listrik
Misalkan sebuah muatan positif titik Q1 ditempatkan pada pusat sebuah sistem koordinat. Apabila sebuah muatan uji positif Q2 ditempatkan di daerah muatan Q1, maka muatan Q2 ini akan mengalami gaya. Gaya ini akan semakin besar ketika muatan Q2 bergerak mendekati muatan Q1. Dapat dikatakan bahwa Q1 memiliki medan disekelilingnya yang menimbulkan gaya bagi muatan lain. Jadi, medan listrik adalah suatu daerah dimana masih dipengaruhi oleh gaya.
Medan listrik pada muatan titik diilustrasikan oleh gambar 2.2 di bawah ini:
Gambar 2. 2 Vektor medan gaya suatu muatan titik
Besarnya gaya yang dialami oleh muatan Q2 akibat Q1, diberikan oleh Persamaan (2.3), yaitu: 4 . ˆ 21 2 r Q Q r F
Dari persamaan di atas, diperoleh gaya per satuan muatan yang didefinisikan sebagai intensitas medan listrik, yaitu:
4 ˆ 2 1 2 r Q r Q F E (2.4) + Q1 Q2 + F E
8 Dimana Q2 merupakan muatan uji positif.
Satuan SI untuk intensitas medan listrik adalah Newton per Coulomb (NC-1). Satuan lain yang sering digunakan untuk menyatakan intensitas medan listrik adalah Volt per meter (Vm-1).
Berdasarkan Persamaan (2.4), muatan titik Q1 dikelilingi oleh suatu medan listrik dengan intensitas sebesar E yang sebanding dengan besar Q1 dan berbanding terbalik terhadap kuadrat jarak (r2). Intensitas medan listrik E merupakan sebuah vektor yang memiliki arah yang sama dengan arah gaya F tetapi berbeda dimensi dan besarnya (magnitude).
II. 3 Prinsip Superposisi Medan Listrik
Untuk mencari intensitas medan listrik E yang dihasilkan oleh sekumpulan muatan titik: (a) Hitunglah En yang dihasilkan oleh setiap muatan pada titik yang diberikan dengan menganggap seakan-akan tiap muatan tersebut adalah satu-satunya muatan yang hadir. (b) Tambahkanlah secara vektor medan-medan yang dihitung secara terpisah ini untuk mencari resultan medan E pada titik tersebut. Di dalam bentuk persamaan:
E E E En E 1 2 3 ... (2.5) Dimana n = 1, 2, 3, ...Persamaan di atas merupakan rumusan aplikasi prinsip superposisi dalam medan listrik yang dapat dinyatakan sebagai berikut: total atau resultan medan pada suatu titik adalah penjumlahan vektoris dari tiap-tiap komponen medan pada titik tersebut. Maka, berdasarkan Gambar 2. 3, intensitas medan listrik pada titik P akibat muatan Q1 adalah E1 dan akibat muatan Q2 adalah E2. Total medan listrik pada titik P akibat kedua muatan titik merupakan penjumlahan vektoris dari E1 dan E2, atau E.
9
Gambar 2. 3 Prinsip superposisi pada medan listrik
Jika distribusi muatan tersebut adalah suatu distribusi yang kontinu, maka medan yang ditimbulkannya pada titik P dapat dihitung dengan membagi muatan menjadi elemen-elemen yang sangat kecil dq. Medan dE yang ditimbulkan oleh setiap elemen pada titik di mana akan dicari kemudian dihitung, dengan memperlakukan elemen-elemen sebagai muatan-muatan titik. Besarnya dE diberikan oleh:
4 2 r dq E d (2.6)
dimana r adalah jarak dari elemen muatan dq ke titik P. Resultan medan pada P kemudian dicari dari prinsip-prinsip superposisi dengan menambahkan (yakni, dengan mengintegralkan) kontribusi-kontribusi medan yang ditimbulkan oleh semua elemen muatan, atau:
E
dE (2.7)Integrasi tersebut adalah sebuah operasi vektor.
Q2 _ E1 E2 P Q1 + E
10
II. 4 Potensial Listrik
Apabila sebuah muatan uji Q di tempatkan pada suatu medan listrik E, maka muatan uji tersebut akan mengalami gaya sebesar F. Jika muatan uji Q tersebut di gerakkan melawan arah medan listrik E, maka diperlukan usaha W untuk menggerakkannya.
Gambar 2. 4 Lintasan muatan Q sejajar terhadap medan listrik E yang uniform
Jika arah medan listrik E kearah +x dan uniform, dan muatan uji Q di gerakkan sejauh ∆x melawan arah E, maka usaha per satuan muatan adalah :
E x Q x F Q W . . (2.8) Dimensinya adalah : tan tan tan mua energi panjang mua gaya mua panjang gaya Q T ML Q L T ML 2 2 2
Atau dalam satuan SI:
Coulomb Joule meter
Coulomb
Newton
Dimensi dari energi per satuan muatan sama dengan dimensi dari potensial listrik. Jadi usaha per satuan muatan yang diperlukan untuk memindahkan muatan uji Q sejauh ∆x disebut beda potensial listrik ∆V diantara dua titik sejauh ∆x. Satuan dari
Q
E ∆x
11 potensial listrik adalah volt (V) dan setara dengan 1 joule/coulomb. Jadi potensial listrik V dapat dinyatakan dalam joule/coulomb atau dalam volt.
Volt Coulomb Joule meter Coulomb Newton
Jika persamaan di atas dibagi dengan satuan meter, diperoleh:
meter Volt Coulomb Newton
Intensitas Medan Listrik
Jadi, intensitas medan listrik E dapat dinyatakan baik dalam satuan Newton per Coulomb maupun Volt per meter.
Pada kasus diatas, lintasan muatan Q adalah sejajar dengan arah medan listrik E. Apabila lintasan muatan Q berpotongan dengan arah medan listrik E dan membentuk sudut sebesar θ (gambar 2.5), maka besar beda potensial antara dua titik pada lintasan ∆x adalah sebesar V x.Ecos.
Gambar 2. 5 Lintasan muatan Q berpotongan dengan medan listrik E yang uniform dan membentuk sudut θ
Jika muatan uji digerakkan tegak lurus terhadap arah medan (θ=900), tidak ada energi yang diperlukan sehingga jalur perpindahan ini disebut garis ekipotensial. Salah satu sifat penting dari medan adalah bahwa garis medan dan garis ekipotensial saling tegak lurus.
Kasus berikutnya adalah jika lintasan perpindahan dari muatan uji Q berbentuk kurva dan berada di medan listrik E yang uniform (gambar 2.6). Misalkan
θ ∆x
12 titik awal dan titik akhir kurva adalah a dan b, maka lintasan kurva tersebut dapat dibagi menjadi elemen lintasan terkecil dL. Beda potensial antara kedua titik dengan jarak dL adalah dV. Maka besar dV adalah :
dL E dV dL E dV . . cos (2.9)
dimana θ merupakan sudut antara elemen jalur dengan medan. Kenaikan tegangan (beda potensial dV bernilai positif) mengharuskan komponen perpindahan yang paralel dengan E haruslah berlawanan arah dengan medan. Maka Persamaan (2. 9) di atas memiliki tanda negatif.
Gambar 2. 6 Lintasan perpindahan berbentuk kurva dalam medan listrik yang uniform
Untuk mencari beda potensial pada lintasan kurva antara titik a dan b, maka persamaan (2.9) diintegrasikan dengan batas integrasi titik a dan b, dan akan diperoleh kenaikan tegangan Vab antara titik a dengan b.
b a b a a b a b ab dV V V E dL EdL V cos. . (2.10) E a b dL θ13 Integral yang melibatkan unsur dl seperti pada Persamaan (2. 10) di atas disebut integral garis. Maka, dapat disimpulkan bahwa kenaikan tegangan antara a dan b sama dengan integral garis dari E sepanjang jalur melengkung dari a menuju b.
II. 5 Perhitungan Medan Listrik Di Sekitar Konduktor Silinder
Untuk menghitung besar kuat medan listrik yang timbul di sekitar konduktor, terlebih dahulu diperhitungkan kuat medan yang dihasilkan oleh suatu muatan garis. Misalkan suatu muatan sebesar Q terdistribusi secara merata di garis tipis sepanjang 2a dengan titik tengahnya berada di titik pusat, seperti tergambar pada Gambar 2. 7.
Gambar 2. 7 Muatan garis sepanjang 2a
θ θ r l P dEr dEz dE dz +a -a 0 muatan garis sumbu r sumbu z
14 Kerapatan muatan ρL (muatan per satuan panjang) dirumuskan dengan:
a Q L 2 (2.11)
dimana ρL dalam satuan Coulomb per meter ketika Q dalam Coulomb dan a dalam meter.
Pada titik P di sumbu r, medan listrik dE akibat sebagian kecil dari muatan garis dz dirumuskan dengan:
4 . ˆ 2 l dz I dE L (2.12)
dimana dan Î merupakan vektor satuan ke arah l.
Karena sumbu z pada Gambar 2. 7 merupakan sumbu simetri, medan hanya memiliki komponen z dan r. Sehingga:
l r dE dE dEr cos (2.13) dan l z dE dE dEz sin (2.14)
Resultan atau total komponen Er pada sumbu r diperoleh dengan cara mengintegrasikan Persamaan (2. 13) sepanjang keseluruhan garis. Yaitu:
a a L a a L r z r dz r l dz r E 3 2 2 3 4 4 (2.15)15 2 2 . 2 r r a a E L r (2.16)
Secara simetri, resultan dari komponen Ez pada suatu titik di sumbu r nilainya nol. Maka, total medan E pada titik di sumbu r arahnya radial dan besarnya:
2 2 . 2 r r a a E E L r (2.17)
Persamaan ini menyatakan medan sebagai fungsi r pada suatu titik di sumbu r untuk muatan garis sepanjang 2a dan kerapatan medan ρL yang uniform.
Kasus berikutnya adalah jika muatan garis pada Gambar 2. 7 diperpanjang sampai tak terhingga ke arah positif dan negatif dari sumbu z. Jika pembilang dan penyebut dibagi dengan a dan nilai tak berhingga disubstitusikan ke a, maka diperoleh intensitas medan listrik akibat muatan garis yang panjangnya tak berhingga, yaitu: r E E L r . 2 (2.18)
Beda potensial V21 antara dua titik pada jarak r2 dan r1 dari muatan garis tak
berhingga ini merupakan energi yang diperlukan per satuan muatan untuk memindahkan sebuah muatan uji dari r2 menuju r1. Misalkan r2 > r1, maka beda
potensial ini merupakan integral garis Er dari r2 menuju r1. Potensial di r1 akan lebih
tinggi daripada potensial di r2, jika muatan garisnya positif. Maka:
2 1 1 2 2 . 21 r r L r r r r dr dr E V Atau:
1 2 21ln
2
ln
2
2 1r
r
r
V
r L r L
(2.19)16 Selanjutnya, jika muatan terdistribusi secara merata di sepanjang silinder dengan radius r1 seperti terlihat pada Gambar 2. 8 (misalkan pada konduktor
silinder), maka medan listrik di luar silinder diberikan oleh Persamaan (2. 18) untuk r2 > r1.
Gambar 2. 8 Medan listrik pada konduktor silinder
Beda potensial antara silinder dengan sebuah titik di luar silinder dapat dihitung menggunakan Persamaan (2.19), dimana r2 > r1 dan ρL adalah muatan per satuan
panjang dari silinder. Di dalam silinder, potensialnya sama dengan potensial pada permukaan (r = r1).
Untuk memperoleh persamaan yang menyatakan hubungan antara kuat medan listrik dengan tegangan pada konduktor silinder, maka Persamaan (2.18) dan (2.19) disubstitusikan. Persamaan (2.18) menyatakan bahwa:
2 . r E L r
17 maka: r Er L . 2
Misalkan titik uji berada pada jarak x dari pusat lingkaran, maka persamaan di atas menjadi: x Ex L . 2 (2.20)
Persamaan (2.20) ini kemudian disubstitusikan ke Persamaan (2.19), sehingga diperoleh: 1 2 21 . ln r r x E V x 1 2 21 ln r r x V Ex (2.21)
Persamaan (2.21) inilah yang akan digunakan untuk menghitung kuat medan listrik di sekitar konduktor silinder.
