TINJAUAN PUSTAKA
Rancangan Fractional Factorial (FF)
Rancangan FF dengan dua taraf yang dinotasikan dengan 2n−p merupakan rancangan yang mencobakan hanya 2n−p kombinasi perlakuan dari selu ruh 2n
kombinasi perlakuan lengkap . Seberapa besar proporsi total kombinasi perlakuan yang akan dicobakan dalam rancangan FF disebut dengan fraksi percobaan (Box & Hunter 1961). Fraksi percobaan yang sering digunakan adalah :
Ø Fraksi setengah, mencobakan hanya setengah bagian dari kombinasi perlakuan lengkap. Bentuk rancangan dari percobaan setengah fraksi ini adalah 2n−1.
Contoh : percobaan 25−1 melakukan 16 kombinasi perlakuan dari 32 kombinasi perlakuan lengkap.
Ø Fraksi seperempat, percobaan fraksi seperempat mencobakan hanya seperempat bagian dari kombinasi perlakuan lengkap dan bentuk rancangan nya adalah 2n−2.
Contoh : percobaan 25−2 melakukan 8 dari 32 kombinasi perlakuan lengkap.
Secara umum percobaan FF dengan fraksi 1 2p mencobakan 1 2p bagian dari jumlah kombinasi perlakuan lengkap . Bentuk umum dari rancangan ini adalah
p n−
2 . Penentuan fraksi percobaan yang digunakan harus menyeimbangkan antara informasi yang ingin diperoleh dengan biaya yang tersedia (Hines & Montgomery 1996).
Struktur rancangan FF ditentukan oleh banyaknya faktor yang dicobakan dan fraksi percobaan yang digunakan. Dengan jumlah faktor dan fraksi tertentu, dapat dibentuk beberapa struktur rancangan FF yang berbeda. Perbedaan struktur rancangan tersebut ditentukan oleh struktur generator, defining relation, alias, dan resolusi yang digunakan.
Sebuah ilustrasi rancangan FF yang mencobakan 5 faktor dengan fraksi setengah diberikan untuk memberi gambaran tentang rancangan FF.
Ilustrasi : Sebuah percobaan fraksi setengah yang mencobakan 5 faktor (A, B, C, D, dan E) masing-masing dengan dua taraf yaitu taraf tinggi (1) dan taraf rendah (-1) dilakukan dengan 16 kombinasi perlakuan. Defining relation yang digunakan adalah I=ABCDE. Struktur rancangan dengan I=ABCDE pada ilustrasi ini merupakan salah satu dari beberapa struktu r rancangan yang dapat dibentuk, matriks rancangan pada ilustrasi ini seperti pada Tabel 1.
.
Tabel 1. Matriks rancangan 25V1 −
dengan defining relation I=ABCDE
Run A B C D E = ABCD Kombinasi
perlakuan 1 1 1 1 1 1 a1b1c1d1e1 2 -1 1 1 1 -1 a0b1c1d1e0 3 1 -1 1 1 -1 a1b0c1d1e0 4 -1 -1 1 1 1 a0b0c1d1e1 5 1 1 -1 1 -1 a1b1c0d1e0 6 -1 1 -1 1 1 a0b1c0d1e1 7 1 -1 -1 1 1 a1b0c0d1e1 8 -1 -1 -1 1 -1 a0b0c0d1e0 9 1 1 1 -1 -1 a1b1c1d0e0 10 -1 1 1 -1 1 a0b1c1d0e1 11 1 -1 1 -1 1 a1b0c1d0e1 12 -1 -1 1 -1 -1 a0b0c1d0e0 13 1 1 -1 -1 1 a1b1c0d0e1 14 -1 1 -1 -1 -1 a0b1c0d0e0 15 1 -1 -1 -1 -1 a1b0c0d0e0 16 -1 -1 -1 -1 1 a0b0c0d0e1
Taraf faktor E ditentukan oleh kombinasi taraf dari faktor A, B, C, dan D melalui persamaan E=ABCD. Jika kedua ruas dikalikan dengan E akan didapat persamaan :
ABCDE
E2 = menjadi I=ABCDE
Hubungan I=ABCDE disebut dengan defining relation dan interaksi ABCDE disebut sebagai generator. Cochran (1957) meny ebut defining relation dengan defining contrast. Jika terdapat lebih dari satu defining relation yang digunakan, misalnya pada rancangan dengan fraksi seperempat yang menggunakan dua generator, maka akan ada generalized defining relation yang merupakan perkalian antar defining relation. Sebagai defining relation alternatif dapat diambil defining
relation yang bertanda negatif. Struktur generator dan defining relation menentukan struktur alias yang berkaitan dengan pengaruh faktor yang dianalisis.
Alias merupakan hubungan pendugaan pengaruh yang saling terpaut (confounded), hubungan tersebut didapatkan dari generalized interaction yang merupakan perkalian antara pengaruh faktor dengan defining relation yang digunakan. Pada ilustrasi diatas, dari defining relation yang digunakan
ABCDE
I= dapat ditentukan hubungan alias pengaruh faktor tertentu. Sebagai contoh, generalized interaction pengaruh utama faktor A dengan defining relation sebagai berikut :
ABCDE
I= ; kedua ruas dikali dengan A
BCDE A
IA= 2 ; menjadi A=BCDE
Dengan demikian, pengaruh utama faktor A terpaut dengan pengaruh interaksi BCDE. Begitu juga dengan pengaruh interaksi AB yang terpaut dengan pengaruh interaksi CDE. Hubungan alias pengaruh yang lain dapat diperoleh dengan cara yang sama.
Hubungan alias A =BCDE menunjukkan bahwa kombinasi pengaruh perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh utama faktor A sama dengan kombinasi pengaruh perlakuan yang digunakan untuk menduga pengaruh interaksi faktor BCDE. Menduga pengaruh utama A sebenarnya adalah menduga pengaruh faktor A+BCDE. Pengaruh utama faktor A tidak dapat diduga kecuali jika pengaruh interaksi faktor BCDE dianggap bernilai nol atau diabaikan. Sama halnya dengan pengaruh interaksi faktor AB yang tidak dapat diduga kecuali pengaruh interaksi faktor CDE diabaikan.
Rancangan 2n-p memiliki p generator bebas yang membentuk defining relation. Struktur generator yang berbeda akan menghasilkan struktur alias yang berbeda, hal ini akan berpengaruh pada struktur pengaruh faktor tertentu yang dianalisis. Perlu dipilih struktur p generator yang tepat dan resolusi untuk dapat memenuhi pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis (Box & Hunter 1961).
Sebuah rancangan dikatakan memiliki resolusi R jika tidak ada pengaruh i faktor yang ber-alias dengan pengaruh lain yang mengandung kurang dari R-i faktor (Box et al. 1978). Beberapa resolusi yang biasa digunakan dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Resolusi dan maknanya
Resolusi Keterangan
Resolusi III Pengaruh faktor utama tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi.
Resolusi IV Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh faktor utama tetapi ber-alias dengan pengaruh interaksi dua faktor dan yang lebih tinggi .
Resolusi V Pengaruh interaksi dua faktor tidak ber-alias dengan pengaruh utama dan pengaruh interaksi dua faktor, tetapi ber-alias dengan interaksi tiga faktor dan yang lebih tinggi .
Secara umum resolusi dari rancangan FF sama dengan jumlah huruf terkecil pada defining relation yang digunakan. Pada contoh sebelumnya, rancangan 25−1
dengan defining relation I=ABCDE memiliki resolusi V.
Pemilihan tingkat resolusi tergantung pada interaksi tingkat berapa yang akan diabaikan dan tergantung dari banyaknya generator yang digunakan (p). Menurut Fries & Hunter (1980), tingkat resolusi maksimum yang dapat dicapai untuk p =1 dan p =2 adalah sebagai berikut:
• Untuk p=1 maka resolusi maksimum = n • Untuk p=2 maka resolusi maksimum = [2 n/3]
Dengan n adalah banyaknya faktor yang dicobakan dan [x] adalah nilai bilangan bulat terbesar yang lebih besar dari x.
Kriteria resolusi tertinggi kadangkala tidak cukup karena beberapa rancangan berbeda dapat memiliki resolusi yang sama. Sebagai contoh, pada rancangan 27IV−2 yang menggunakan 7 faktor, 2 generator dan memiliki resolusi IV terdapat tiga alternatif rancangan dengan generator yang berbeda. Ketiga alternatif rancangan tersebut dapat disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Tiga alternatif rancangan 27IV−2 dengan defining relation berbeda.
Kode Generator Defining relation
(D1) F=ABC dan G=BCD I=ABCF=BCDG =ADFG
(D2) F=ABC dan G=ADE I=ABCF =ADEG = BCDEFG
(D3) F=ABCD dan G=ABDE I=ABCDF=ABDEG =CEFG
Panjang huruf terkecil dari ketiga defining relation adalah 4, dengan begitu ketiga rancangan tersebut sama-sama memiliki resolusi IV. Pola panjang huruf dari defining relation disebut dengan Word Length Pattern (WLP). WLP untuk rancangan D1={4,4,4}, rancangan D2={4,4,6}, dan rancangan D3 ={4,5,5}. Rancangan D1 memiliki panjang huruf 4 sebanyak 3, rancangan D2 sebanyak 2
dan rancangan D3 hanya 1. Rancangan D3 memiliki panjang huruf terkecil
minimum, dan dikatakan rancangan D3 merupakan rancangan yang memiliki
minimum-aberration. Rancangan minimum -aberration (MA) adalah rancangan yang meminimalkan banyaknya kata dalam defin ing relation yang panjangnya minimum (Fries & Hunter 1980).
Rancangan minimum aberration meminimalkan banyaknya interaksi tingkat rendah (dua faktor) yang saling ber -confounded . Pada ilustrasi tiga rancangan di atas, rancangan D1 menyebabkan 15 pasang interaksi dua faktor
saling ber -confounded, rancangan D2 12 pasang, dan rancangan D3 hanya 6
pasang, hal ini dapat dilihat pada Lampiran 1.
Rancangan FF yang memenuhi kriteria resolusi maksimum dan minimum aberration dipilih sebagai rancangan terbaik. Pemilihan rancangan terbaik kadangkala tidak hanya didasarkan pada kriteria di atas, jika diinginkan untuk mengetahui pengaruh faktor tertentu yang spesifik, maka pemilihan rancangan dilakukan berdasarkan kemampuan rancangan untuk menduga pengaruh spesifik yang diinginkan.
Rancangan Fractional Factori al Split-Plot (FFSP)
Huang et al. (1998) menotasikan rancangan FFSP dua taraf dengan )
( ) ( 1 2 1 2
2 n+n − p+p . Rancangan ini dibentuk dengan mengkombinasikan rancangan petak utama (2n1−p1) yang memiliki n
1 faktor dan p1 generator dengan rancangan
anak petak ( 2 2
2n−p ) yang memiliki n2 faktor dan p2 generator. Ada 21 1
p n− kombinasi perlakuan yang dilakukan pada rancangan petak utama, sedangkan pada rancangan anak petak ada sebanyak 2(n1+n2)−(p1+p2) kombinasi perlakuan yang
dilakukan.
Pembentukan generator dalam rancangan FFSP dilakukan dengan memperhatikan dua hal, yaitu : (Bingham & Sitter 1999).
1. Generator anak petak boleh mengandung beberapa faktor petak utama. 2. Generator petak utama harus bebas dari faktor anak petak dan generator
anak petak harus mengandung sedikitnya dua faktor anak petak .
Jika generator petak utama mengandung faktor anak petak maka sama halnya dengan melibatkan taraf faktor anak petak ke dalam penentuan taraf faktor petak utama. Sama dengan apa yang berlaku pada rancangan FF, generator yang dibentuk akan menentukan defining relation yang digunakan. Defining relation pada rancangan FFSP disebut dengan defining contrast subgroup (DCS).
Nembehard et al. (2006) menjelaskan bahwa ada dua kemungkinan proses pembauran yang dapat terjadi pada rancangan FFSP, yaitu : pembauran dalam anak petak (confounding within sub -plots) dan pembauran split-plot (confounding plot). Penggunaan dari pembauran dalam anak petak dan pembauran split-plot tergantung tujuan dari percobaan yang dilakukan. Pembauran dalam anak petak lebih mampu untuk menduga pengaruh interaksi antara faktor petak utama dan faktor anak petak, sedangkan pembauran split -plot lebih mampu untuk menduga pengaruh utama faktor petak utama dan pengaruh utama faktor anaka petak. Ilustrasi rancangan yang digunakan adalah sebuah rancangan FFSP dengan A dan B sebagai faktor petak utama dan P, Q, R, S, T, U sebagai faktor anak petak.
Tabel 4. Karakteristik dua jenis proses pembauran pada rancangan FFSP Pembauran dalam anak petak
(confounding within sub-plots)
Pembauran split-plot (confounding split-plot) • Generator anak petak tidak
mengandung faktor petak utama
• Generator anak petak mengandung faktor petak utama
• Contoh : PQ S = , T =QR dan U = PR • Contoh : APQ S = , T =BQR, dan U = APR DCS : PRST PRU QRT PQS I = = = = =PQTU=QRSU DCS : APRU BQRT APQS I = = =
=ABPRST=QRSU=ABPQTU
Resolusi III Resolusi IV
* Pengaruh utama faktor petak utama dan faktor anak petak
ber-confounded dengan interaksi dua
faktor.
* Interaksi antara petak utama dan anak petak bebas dari pembauran (dengan asumsi interaksi tiga faktor atau lebih diabaikan)
* Pengaruh utama faktor anak petak bebas dari pembauran.
* Interaksi dua faktor saling
ber-confounded .
• Tepat digunakan pada percobaan yang ingin mengetahui pen garuh interaksi antara faktor petak utama dan faktor anak petak
• Tepat digunakan pada percobaan yang ingin mengetahui pengaruh utama dari faktor petak utama dan faktor anak petak
• Meningkatkan resolusi parsial dari petak utama.
Generator dibangun dari beberapa huruf (letter) yang membentuk satu kata (word). Banyaknya kata yang memiliki panjang i dapat dituliskan dalam suatu pola yang disebut dengan word length pattern .
Misal Ai(D) merupakan banyaknya kata yang panjangnya i, yang
didefinisikan d alam defining contrast subgroup rancangan D, dan misal :
(
( ), ( ), ( ),..., ( ))
2 1 5 4 3 D A D A D A D A WLP= n+nadalah word length pattern (panjang kata 1 dan 2 tidak digunakan). A3(D)
merupakan banyaknya kata dalam defining contrast subgroup rancangan D yang panjangnya 3 huruf, A4(D) dengan panjang 4 huruf, A5(D) dengan panjang 5
huruf, dan seterusnya sampai ( ) 2
1 D
Resolusi merupakan panjang kata terpendek yang didefinisikan dalam defining contrast subgroup . Sebagai contoh rancangan 2(5+3)−(1+1) dengan huruf kapital A, B, C, D dan E merupakan faktor-faktor petak utama dan huruf kecil p, q, r adalah faktor-faktor anak petak. Defining contrast subgroup yang dibentuk :
ABCDEpqr ABCDE
pqr
I = = =
memiliki WLP=(1,0,1,0,0,1)dan memiliki resolusi tingkat III karena panjang kata terpendek adalah 3 (Bingham & Sitter 2001).
Sebuah rancangan FFSP 2(n1+n2)−(p1+p2)
dikatakan memiliki resolusi maksimum jika tidak ada rancangan FFSP lain 2(n1+n2)−(p1+p2) yang memiliki resolusi lebih besar. Rancangan dengan resolusi yang sama bisa memiliki WLP yang berbeda. Dalam kondisi demikian, Fries & Hunter (1980) memperkenalkan minimum-aberration sebagai kriteria untuk pemilihan rancangan terbaik.
Pertanyaan yang kemudian muncul adalah, yang mana dari banyak kemungkinan rancangan FFSP yang sebaiknya digunakan? Penentuan ini mempertimbangkan seberapa banyak unit percobaan yang digunakan, dan faktor-faktor mana saja yang masuk sebagai petak utama dan faktor-faktor-faktor-faktor mana yang masuk sebagai anak petak. Kebutuhan untuk mendapatkan informasi yang luas harus diimbangi keinginan untuk mereduksi biaya percobaan. Bingham & Sitter (2001) memberikan beberapa petunjuk yang bisa digunakan untuk melakukan rancangan FFSP :
1. Menempatkan hard-to-change factors sebagai faktor petak utama dan menempatkan faktor-faktor sisanya sebagai faktor anak petak.
2. Memilih WLP terbaik, pada umumnya yaitu WLP yang menghasilkan resolusi tertinggi. Misalkan ada dua rancangan FFSP, yaitu :
BCpqr Apqr ABC I D1: = = = BCqr ACpr ABpq I D2 : = = = ) 0 , 1 , 1 , 1 ( ) (D1 =
WLP dan WLP(D2)=(0,3,0,0) sehingga D1 memiliki resolusi
3. Memilih rancangan minimum aberration. 4. Pertimbangan biaya dan run-size
Hal lain yang perlu dipertimbangkan selain minimum-aberration adalah pemilihan rancangan yang paling ekonomis. Perhitungan biaya dilakukan pada unit percobaan yang digunakan.
Pertimbangan-pertimbangan tersebut di atas diselaraskan untuk mendapatkan rancangan yang terbaik dengan tidak menentukan pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis.
Huang et al. (1998) menggunakan generating matrix yang merupakan matriks dari generator-generator yang digunakan. Generating matrix untuk rancangan FF 2n−p dapat dituliskan secara umum dalam bentuk matriks :
GFF =
(
I C)
……… ..……….. (1)dengan I adalah matriks identitas p×p dan C adalah matriks p×(n− p) yang elemennya sama dengan 0 atau 1 dan setiap baris harus mengandung paling sedikit satu elemen tak nol. Sebagai contoh rancangan 27−3 dengan generating relation I =ADEF =BDEG =CDFG bisa dijelaskan dengan:
= 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 G F E D C B A FF G
Berdasarkan bentuk umum generating matrix untuk rancangan FF, dapat dibentuk generating matrix untuk rancangan FFSP dengan rancangan petak utama
) ( 1 1
2 n−p dan rancangan anak petak 2(n2−p2) sebagai berikut:
(
1 1)
1 I C
G = adalah generating matrix petak utama, dan
(
2 2)
2 I C
G = adalah generating matrix anak petak.
dengan I1 merupakan matriks identitas berukuran p1× p1 dan C1 merupakan
matriks berukuran p1×(n1−p1), begitu juga dengan I2 merupakan matriks
)
( 2 2
2 n p
p × − . Jika generator anak petak tidak mengandung faktor petak utama,
maka generating matri x untuk rancangan FFSP berbentuk sebagai berikut:
2 1 = G O O G GFFSP 2 1 2 2 2 1 4 1 3 1 p p p n p p n p1 1 2 2 2 − − = C O I O O C O I ….……….. (2)
Generating matrix untuk rancangan FFSP dengan generator anak petak yang mengandung faktor petak utama adalah :
2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 p p p n p p n p1 1 2 2 2 FFSP − − = C O I O B C B I G ...……….. (3)
dengan B1 dan B2 adalah matriks dengan element 0 atau 1; (I1 C1) dinotasikan
dengan G1 menjelaskan generating matrix dari petak utama, dan
(
B1 B2 I2 C2)
dinotasikan dengan G2 merupakan generating matrix darianak petak .
Jika pada awal percobaan telah ditentukan pengaruh faktor tertentu yang ingin dianalisis, maka struktur rancangan FFSP dipilih berdasarkan kriteria struktur rancangan yang dapat menduga pengaruh faktor yang diinginkan tersebut.
Plot kuantil Half-Normal
Plot kuantil half-normal merupakan plot antara nilai mutlak pengaruh faktor yang telah diurutkan dengan nilai kuantil half-normal dari masing-masing pengaruh faktor. Pengaruh faktor ke-i dapat diduga dengan persamaan :
) 2 ( kontras ) kontras ( 2 N N i i i = = λ
Kontrasi didapatkan dari penjumlahan respon menurut tanda plus dan minus pada
pengaruh faktor ke-i dan N =2k−p (Montgomery 2001). Angka 2 muncul karena taraf yang digunakan pada masing -masing faktor adalah dua.
Menurut Aunuddin (1989), pengertian dari kuantil serupa dengan pengertian persentil. Sebagai contoh adalah nilai kuantil 0.67 berarti bahwa ada 0.67 bagian data yang nilainya lebih kecil dari nilai kuantil dan 0.33 bagian lainnya memiliki nilai yang lebih tinggi.
Penetapan nilai kuantil dilakukan dengan mengurutkan terlebih dahulu data yang dimiliki dari data yang terkecil sampai dengan data yang terbesar. Kumpulan data yang telah diurutkan tersebut membentuk suatu kumpulan data baru yi dengan i adalah nomor urut besarnya data tersebut. Kuantil empirik
didefinisikan sebagai berikut :
i p y Q i = ∗ ) ( untuk i = 1,2,...,n dan pi =(i−0.5)/n
Secara umum dapat dirumuskan bahwa :
i p p Q F i }= { ( ) dan 1( ) ) (p F pi Q i − = Dengan −1
F adalah kebalikan fungsi F yang merupakan fungsi sebaran kumulatif yang digunakan, dan pi =(i−0.5)/n.
Prosedur pembuatan plot kuantil-kuantil ini dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
• Urutkan data menjadi y1,...,yi,...,yn
Dengan y1 adalah nilai y terkecil, yi adalah nilai y urutan ke-i, dan yn
adalah nilai y terbesar.
• Untuk setiap yi, tetapkan pi =(i−0.5)/n • Untuk setiap pi, tetapkan ( ) ( )
1
i i Q p p
F− = . Nilai Q(pi) adalah kuantil berdasarkan sebaran hipotetik.
• Plotkan antara yi dengan Q(pi).
Plot kuantil half-normal dapat digunakan untuk mendeteksi pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar. Pengaruh faktor yang berada diluar pola garis lurus yang terbentuk, dideteksi sebagai pengaruh faktor yang memiliki
pengaruh besar terhadap respon. Hal ini karena nilai mutlak dari pendugaan pengaruh faktor tersebut relatif lebih besar dibandingkan dengan pengaruh faktor lain.
Jika peubah x menyebar menurut sebaran normal dengan nilai tengah = 0 dan ragam σ2, maka |x| akan menyebar menurut sebaran half-normal dengan nilai tengah = 2 πσ dan ragam σ2. Fungsi sebaran half-normal dengan nilai tengah = 2 πσ dan ragam σ adalah sebagai berikut : 2
0 untuk , 2 2 ) (x = e− 22 2 x≥ f x σ σ π =0 untuk x<0
dengan demikian fungsi sebaran half-normal kumulatifnya adalah:
dx e x F x x
∫
− = 0 2 2 2 2 2 ) ( σ σ π − =∫
∫
∞ − −∞ − − x x x dx e dx e 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 σ σ σ π σ π − Φ =2 0.5 σ xDengan Φ(x) adalah sebaran normal baku yang dapat dengan mudah didapatkan dengan bantuan tabel sebaran normal baku. Nilai kuantil half-normal merupakan nilai fungsi kebalikan dari fungsi half-normal kumulatif di atas.
Pengujian terhadap penentuan pengaruh faktor yang memiliki pengaruh besar digunakan statistik uji modulus-ratio (Daniel 1959, Birnbaum 1959). Uji tersebut dapat diberikan sebagai berikut :
a n n y y t = dengan yn : nilai mutlak pengaruh terbesar
a
jika nilai n=15 maka ya merupakan nilai mulak pengaruh pada urutan 11. dengan n=31, ya merupakan nilai mutlak pengaruh pada urutan 22. Nilai tn kemudian dibandingkan dengan nilai kritik k(n,α) yang didapat dengan persamaan berikut : + − Φ = − 2 ) 1 ( 2 1 ) , ( / 1 1 n n k α α
Batas signifikan pengaruh faktor :
) , (nα k tn > ) , (n α k y y a n > a n k n y y > ( ,α)
Pengaruh faktor yang bernilai lebih besar dari k(n,α)ya diputuskan sebagai pengaruh faktor yang signifikan.
Analisis Regresi dengan Metode Forward Selection
Analisis regresi merupakan hubungan antara peubah bebas dan peubah tak bebas. Peubah bebas yang diamati tidak semuanya memiliki kontribusi yang besar terhadap peubah tak bebas. Jika terdapat banyak peubah bebas yang diamati maka perlu dilakukan penyeleksian untuk mendapatkan peubah bebas yang memiliki kontribusi besar dalam menjelaskan keragaman yang terdapat pada peubah tak bebas.
Penyeleksian peubah bebas dengan metode forward selection (seleksi maju) dilakukan dengan tahap pertama adalah memasukkan satu peubah bebas yang memiliki nilai R2 terbesar diantara peubah bebas yang lain, misal peubah tersebut adalah x1. Tahap kedua adalah memilih peubah bebas kedua yang
memberi kenaikan terbesar terhadap nilai R2 pada saat sudah ada x1 di dalam
dengan memilih peubah bebas yang memiliki nilai F parsial terbesar. Pada tahap kedua di atas, nilai F parsial dirumuskan dengan :
) , ( ) | ( 2 1 2 1 2 x x s x x R F =
Dimana R(x2 |x1) adalah jumlah kuadrat regresi parsial x2 pada saat x1
sudah ada di dalam model dan s2(x1,x2)
adalah kuadrat tengah galat dari model regresi yang peubah bebasnya terdiri dari x1 dan x2. Nilai R(x2 |x1) dirumuskan
dengan persamaan berikut :
) ( ) , ( ) | (x2 x1 R x2 x1 R x1 R = − ) , (x2 x1
R adalah jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x1 dan x2, dan
) (x1
R merupakan jumlah kuadrat regresi dengan peubah bebas x1 (Myers 1990).
Proses pemilihan peubah bebas di atas sama juga halnya dengan memilih peubah bebas dengan P-value terkecil. Proses pemilihan terus berlanjut sampai tidak ada peubah bebas x yang memiliki P-value lebih kecil dari nilai alpha yang telah ditentukan. Jika tidak dibatasi pada sebuah nilai tertentu maka proses di atas akan berlanjut sampai semua peubah bebas masuk ke dalam model.
Analisis Ragam pada Rancangan FF dan FFSP
Analisis ragam yang dilakukan pada rancangan FF dan FFSP sedikit berbeda dengan analisis ragam yang dilakukan pada rancangan faktorial lengkap dan rancangan split-plot lengkap. Pada percobaan FF dan FFSP, analisis ragam dilakukan hanya terhadap pengaruh faktor dan interaksi tertentu yang dianalisis, tidak untuk semua pengaruh faktor dan interaksi. (Montgomery 2001, Nembhard et al. 2006).
Model matematis yang digunakan dalam rancangan FF ini adalah sebagai berikut :
ε + = f(x) y
Dengan y adalah respon, f(x) merupakan fungsi dari faktor pengaruh perlakuan yang signifikan dan ε adalah komponen galat yang diasumsikan merupakan variabel acak yang saling bebas dan ε ∼N(0,σ2).
Berbeda dengan analisis ragam pada rancangan FF, analisis ragam pada rancangan FFSP memiliki dua jenis galat yang dihasilkan dalam rancangan FFSP, yaitu galat petak utama dan galat anak petak. Hal ini sama seperti pada rancangan split-p lot lengkap. Perbedaannya adalah pada pengujian pengaruh faktor yang ber-alias.
Model yang digunakan pada rancangan FFSP adalah : ε
δ + +
+
= f(x) g(x) y
dimana δ adalah galat petak utama dan ε adalah galat dari anak petak. f( x)dan )
( x
g merupakan fungsi parameter dari rancangan petak utama dan fungsi parameter dari rancangan anak petak. Diasumsikan bahwa δ dan ε merupakan variabel acak yang saling bebas , δ ∼N(0,σPU2 )dan ε∼N(0,σAP2 ). Keragaman
antar plot (σPU2 ) diharapkan lebih besar daripada keragaman dalam plot ( )
2 AP
σ , atau σPU2 >σ2AP (Bingham & Sitter 2001, Loeppky & Sitter 2002).
Nembhard et a.l (2006) melakukan pendekatan analisis ragam pada rancangan FFSP dengan menggunakan pengaruh -pengaruh faktor tertentu sebagai komponen ragam model dan pengaruh faktor yang diabaikan sebagai komponen galat.
Ada beberapa aturan untuk pengujian pengaruh faktor pada rancangan FFSP (Bingham & Sitter 2001):
1. Pengaruh petak utama dan interaksi antara faktor-faktor petak utama dibandingkan dengan galat petak utama.
2. Pengaruh anak petak dan interaksi yang beralias dengan pengaruh petak utama atau ber -alias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama dibandingkan dengan galat petak utama.
3. Pengaruh anak petak dan interaksi yang melibatkan paling tidak satu faktor anak petak yang tidak beralias dengan pengaruh petak utama atau tidak beralias dengan interaksi antara faktor-faktor petak utama dibandingkan dengan galat anak petak.
Dalam rancangan ini galat petak utama lebih besar daripada galat anak petak, oleh karena itu titik berat pengujian pada rancangan ini lebih kepada anak petak.
