KONSEP FREKUENSI SINYAL WAKTU KUNTINYU & WAKTU DISKRIT

KONSEP FREKUENSI

SINYAL WAKTU KUNTINYU

& WAKTU DISKRIT

Sinyal Sinusoidal Waktu Kontinyu



 







A

Ft

X

_a

cos

2











t

 cos A A T=1/F 0 _t Ω = 2πF

adalah frekuensi dalam rad/s F = frekuensi dalam putaran per

detik (Hz)

A= Amplitudo sinusoida θ = fase dalam radian



 





j t

a

Ae

X

Sinyal dasar Eksponensial dng α imajiner

Sinyal Sinusoida Waktu-Diskrit

 

n



A



 

n





X

cos







n





) / (radian cuplikan frekuensi   ) (radian phasa   A 0 _n -A Dimana ω = 2πf

Input filter ADC with sample & hold Digital Prosesor DAC Output filter x(t) x(n) y(n) y(t)

Typical real time

DSP System

Analog to Digital converter

 t x_a x n

 

n x_q

 

n x

Pencuplikan Kuantisasi Pengkodeaan

Sinyal Digital Sinyal Terkuantisasi

Sinyal Waktu Diskrit Sinyal Analog

01011…..

 

t x_a

Proses Analog to Digital Conversion

F

2B _{Logic Circuit}

LPF Sample & Hold Quantizer _Encoder

X(t) Analog input X(n) Digital output code

Tiga tipe identifikasi :

• Sinyal input analog : Sinyal kontinyu dalam fungsi waktu dan amplitudo. • Sinyal di-sample : Amplitudo Sinyal kontinyu didefinisikan sebagai titik

diskrit dalam waktu.

• Sinyal digital : dimana x(n),untuk n=0,1,2,…….Sinyal dalam sumbu titik diskrit dalam waktu dan masing-masing titik akan dihasilkan nilai 2B.

Proses Konversi Analog ke Digital

1. Pencuplikan ( Sampling) : konversi sinyal analog ke

dalam sinyal amplitudo kontinyu waktu diskrit.

2. Kuantisasi : konversi masing-masing amplitudo kontinyu

waktu diskrit dari sinyal sampel dikuantisasi dalam level 2B _{, dimana B adalah jumlah bit yang digunakan dalam}

Analog to Digital Conversion (ADC).

3. Pengkodean : Setiap sinyal amplitudo diskrit yang

dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit.

Pencuplikan Sinyal Analog

Pencuplikan periodik atau seragam:

x(n)=x_a(nT), -~< n< ~ Fs=1/T Sinyal analog X_a(t) X(n)=Xa(nT) Sinyal waktu diskrit Pencuplikan 0 t X_a(t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X(n) n X_a(t) X(n)=X_a(nT) Fs=1/T, t=nT=n/Fs

Sinyal Sinusoida analog : Xa(t) = A Cos (2Ft +  )

Pencuplikan periodik dengan laju Fs=1/T (cuplikan per sekon ) :

 

nT



X

 

n



ACos





FnT







X

_a

2

 

      _   _ Fs nF ACos n X 2

Hubungan frekuensi (F) sinyal analog dan frekuensi (f) untuk sinyal diskrit:

f =F/Fs ekuivalen :  = T

f = Frekuensi relatif atau ternormalisasi

 < F < ~  <  < ~

Hubungan Variabel Frekuensi

Sinyal waktu kontinu Sinyal waktu diskrit

 = 2F  = 2f (Rad/sekon) (Rad/cuplikan)  =T, f = F/Fs - ≤  ≤  -1/2 ≤ f ≤ 1/2  = /T , F = f.Fs  <  <  ~ < F <  - /T ≤  ≤ /T - Fs/2 ≤ F ≤ Fs/2

Pemakaian hubungan-hubungan frekuensi

dicontohkan dengan dua sinyal analog berikut :

X

₁

(t) = cos 20πt

X

₂

(t) = cos 100πt

a.

Tentukan frekuensi kedua sinyal tersebut.

b.

Tentukan fungsi sinyal diskrit bila dicuplik

dengan laju Fs = 40 Hz

Note: cos (2π ± a) = cos a sin (2π + a) = sin a sin (2π - a) = -sin a

Hz

40

F

Hz

50

F

]

t

)

50

(

2

cos[

)

t

(

x

Hz

10

F

]

t

)

10

(

2

cos[

)

t

(

x

s 2 2 1 1



















)

n

(

x

)

n

2

cos(

)

n

2

n

2

cos(

n

)

2

2

cos(

)

n

2

5

cos(

]

n

40

50

2

cos[

)

n

(

x

)

n

2

cos(

]

n

40

10

2

cos[

)

n

(

x

1 2 1































































x₂(n) identik dengan x₁(n) _F 2 (50 Hz) = alias dari F1(10 Hz) 90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz

TEOREMA PENCUPLIKAN ( SAMPLING )

Sinyal Analog : Xa(t) dapat diperoleh kembali dari nilai cuplikan dengan fungsi interpolasi :

 

Bt Bt t g   2 2 sin 

 

_             



   _s n _s a a F n t g F n X t X

 

_



_



B n t B B n t B B n X t X n a a 2 / 2 2 / 2 sin 2         



    

dimana :Fmax = B, Laju cuplikan Fs > 2Fmax  (2B),

Jika Xa(n/Fs) = Xa(nT)  X(n), cuplikan minimum Fs = 2B, maka:

untuk menjamin bahwa seluruh komponen sinusoida sinyal analog menjadi sinyal diskrit adalah

Fs ≥ 2 Fmax(analog)

Apabila tidak terpenuhi maka akan terjadi aliasing.

Misal ada 2 sinal analog : x₁(t) = A sin 2 (10) t x₂(t) = A sin 2 (50) t

Kedua sinyal dicuplik dengan laju F_s = 40 Hz, sehingga sinyal digital (waktu-diskrit) masing-masing:

x₁(n) = A sin 2 (10/40)n = sin (/2) n x₂(n) = A sin 2 (50/40)n = sin (5/2) n

Karena :

sin (5/2) n = sin (2n + n/2 ) = sin n/2 Maka :

Sinyal analog pers (a) dan (b) setelah dicuplik dgn frekuensi F_s = 40 Hz akan menghasilkan digital yg sama,

sehingga frekuensi sinyal analog x₂(t) merupakan alias dari x₁(t), jadi frekuensi alias terjadi jika :

F_k = F₀ + k F_s Dengan :

k = ±1,±2, …

F_k = frekuensi sinyal analog ke k

F₀ = frekuensi sinyal analog ke dasar F_s = frekuensi sampling

1 k kF F ) 1 8 1 ( 8 7 F Hz 1 F Hz 8 7 F Hz 8 1 F s 2 1 s 1 2             Ilustrasi Pengaliasan

Dari sinyal analog berikut,

X_a(t)= 3 cos 100πt

a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk

menghindari pengaliasan.

b) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=200Hz.

Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan.

c) Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=75Hz.

Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan.

d) Berdasarkan hasil sinyal diskrit soal c, Berapa frekuensi dan

fungsi dari sinyal sinusoidal berdasar hasil cuplikan Fs=75 Hz.

Penyelesaian:

a) F = 50 Hz dengan F_s minimum = 100 Hz b)

n

2

cos

3

n

200

100

cos

3

)

n

(

x









n n n n n x ) 3 2 cos( 3 ) 3 2 2 cos( 3 3 4 cos 3 75 100 cos 3 ) (           c) d)

x

n

n

)

n

3

1

2

cos(

3

)

3

2

cos(

3

)

(









3 1  f s o

F

F

f



F_o f F_s (75) 25Hz 3 1 _  



,

2

,

1

)

75

(

25















F

kF

k

k

F

_{k o s}

5

,

37

2

75

2

0



F



F

s





F



F

o



25

Hz

Sinyal Analog :

X_a(t) = 3 cos 2000t + 5 sin 6000t + 10 cos 12000t a) Berapa laju Nyquist ?

b) Jika laju pencuplikan Fs = 5000 cuplikan/detik. Berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh setelah pencuplikan? c) Berapa sinyal analog yang dapat dibentuk ulang dengan

Fs=5000cuplikan/detik

Penyelesaian:

kHz F kHz F kHz F₁ 1 ₂  3 ₃  6 kHz F B  _maks  6 a) kHz B F_N  2 12 b) n n n n n n n x ) 5 6 2 cos( 10 ) 5 3 2 sin( 5 ) 5 1 2 cos( 3 5000 12000 cos 10 5000 6000 sin 5 5000 2000 cos 3 ) (             ] ) 5 1 1 ( 2 cos[ 10 ] ) 5 2 1 ( 2 sin[ 5 ] ) 5 1 ( 2 cos[ 3 ) (n n n n x         ] ) 5 1 ( 2 cos[ 10 ] ) 5 2 ( 2 sin[ 5 ] ) 5 1 ( 2 cos[ 3 ) (n n n n x        ] ) 5 1 ( 2 cos[ 10 ] ) 5 2 ( 2 sin[ 5 ] ) 5 1 ( 2 cos[ 3 ) (n n n n x        ] ) 5 2 ( 2 sin[ 5 ] ) 5 1 ( 2 cos[ 13 ) (n n n x     c) ya(t) 13cos(2000 t) 5sin(4000t)

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinyu

KUANTISASI :

Proses pengkonversian suatu sinyal amplitudo-kontinu waktu diskrit menjadi sinyal digital dengan menyatakan setiap nilai cuplikan sebagai suatu angka digit, dinyatakan dengan :

X(n) merupakan hasil pencuplikan, Q[X(n)] merupakan proses kuantisasi

X_q( n) merupakan deret cuplikan terkuantisasi

 

n

Q



X

 

n



X

_q



 Pada sinyal digital, sinyal diskrit hasil proses sampling diolah lebih lanjut. Sinyal hasil sampling

dibandingkan dengan beberapa nilai threshold tertentu sesuai dengan level-level digital yang dikehendaki.

 Apabila suatu nilai sampel yang

didapatkan memiliki nilai yang lebih tinggi dari sebuah threshold, maka nilai digitalnya ditetapkan mengikuti nilai integer diatasnya, tetapi

apabila nilainya lebih rendah dari threshold ditetapkan nilainya

mengikuti nilai integer dibawahnya. Proses ini dikenal sebagai

 Diperoleh dari kesalahan yang ditampilkan oleh sinyal bernilai kontinu dengan himpunan tingkat nilai diskrit berhingga.

 Secara matematis, merupakan deret dari selisih nilai terkuantisasi dengan nilai cuplikan yang sebenarnya.

e_q(n) = X_q (n) – X (n)

KESALAHAN KUANTISASI

(Error Kuantisasi eq(n) )

KUANTISASI SINYAL SINUSOIDA 0  2 3 4 - -2 -3 -4 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T t A m p li tu d o Cuplikan Terkuantisasi X_q(nT) Sampel Terkuantisasi Sampel analog Aslinya Xa(t) Tingkat kuantisasi Diskritsasi amplitudo Diskritsasi waktu Langkah_kuantisasi Interval Pengkuanti sasi

X(n)=0,9n Xa(t)=0,9t n 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 T T=1s 1 2 3 4 5 6 7 8 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 n Tingk. Kuantisasi L=jml tingkatan kuantisasi  Langkah kuantisasi X_q(n) X_a(t)=0,9t 1 min max     L X X

n X(n) Sinyal diskrit Xq(n) (bulat ke bawah) Xq(n) (bulat ke atas) eq(n)=Xq(n)-X(n) (bulat ke atas) 0 1 1.0 1.0 0.0 1 0.9 0.9 0.9 0.0 2 0.81 0.8 0.8 -0.01 3 0.729 0.7 0.7 -0.029 4 0.6561 0.6 0.7 0.439 5 0.59049 0.5 0.6 0.00951 6 0.531441 0.5 0.5 -0.031441 7 0.4782969 0.4 0.5 0.021031 8 0.43046721 0.4 0.4 -0.03046721 9 0.387420489 0.3 0.4 0.012579511

Daya Kesalahan Kuadrat Rata-rata P_q

 

t dt e P_q 



q   ₀ 2 1

  

t   



t ana   t  e_q / 2 ,dim 12 2 1 2 ₂ 2 0          



t dt P_q   

 

t A t X_a  cos₀ Karena : _{, maka :}

Persamaan Sinyal Sinusoida analog :

menunjukkan waktu X_a(t) berada dalam tingkatan kuantisasi Jika Pengkuantisasian b bit dan interval keseluruhan 2A,

maka langkah kuantisasi :  = 2A/2b.

b q A P ₂ 2 2 3 / 

• Daya rata-rata sinyal Xa(t) : 











p T x A dt t A T P 0 2 2 0 2 cos 1



Signal Quantitation to Noise Ratio ( SQNR ) : nilai kualitas keluaran ADC yang ditentukan oleh Rasio daya sinyal terhadap daya

kebisingan (noise). b q x

P

P

SQNR

.

2

2

2

3





 

dB

SQNR

b

SQNR



10

log

₁₀



1

,

76



6

.

02

 /2 - 0  t 0  - t /2 -/2 e_q(t)



Rumus SQNR(dB) menunjukkan bahwa nilai

ini bertambah kira-kira 6dB untuk setiap bit

yang ditambahkan kepada panjang kata.



Contoh pada proses CD recorder

menggunakan Fs = 44,1 Khz dan resolusi

sampling 16 bit, yang menyatakan SQNR

lebih dari 96 dB.



_{Semakin tinggi nilai SQNR --- semakin baik}

Pengkodean

 Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi

direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit.

 Sinyal digital yang dihasilkan ADC berupa bilangan

basis 2 (0 dan 1). Idealnya output sinyal tersebut harus dapat merepresentasikan kuantitas sinyal analog yang diterjemahkannya.

 Representasi ini akan semakin baik ketika ADC

semakin sensitif terhadap perubahan nilai sinyal analog yang masuk.

 Jika nilai 0-15 volt dapat diubah menjadi digital dengan

skala 1 volt, artinya rentang nilai digital yang diperoleh berupa 16 tahap (dari 0 bertahap naik 1 volt hingga

nilai 15 atau setara dengan 0000 atau 1111). Tahapan sejumlah ini dapat diperoleh dengan

membuat rangkaian ADC 4bit (karena jumlah bit (n) merepresentasikan 2n _{nilai skala,}

sehingga 24 =16 skala).

 Misal kita ingin menaikan jumlah bit menjadi 8, maka

nilai 0-15 volt dapat di representasikan oleh 28 ₍₂₅₆₎

skala atau setara dengan skala 62.5mV, Hasilnya

rangkaian semakin sensitif terhadap perubahan sinyal analog yang terbaca.

Jadi, dapat disimpulkan semakin besar jumlah bit ,maka semakin sensitif atau semakin tinggi resolusi rangkaian ADC.

 Adalah jumlah bit output pada ADC. Sebuah rentang sinyal analog dapat dinyatakan dalam kode bilangan digital.

 Sebuah sinyal analog dalam rentang 16 skala (4 bit) adalah lebih baik resolusinya dibanding membaginya dalam rentang 8 skala (3 bit).

 Besar resolusi sebanding 2n _.

 Semakin besar jumlah bit , resolusi akan semakin bagus.

Contoh pada ADC 0804

 Untuk operasi normal, menggunakan Vcc = +5 Volt

sebagai tegangan referensi.

Dalam hal ini jangkauan masukan analog mulai dari 0 Volt sampai 5 Volt (skala penuh), karena IC ini adalah SAC 8-bit, resolusinya akan sama dengan :

Artinya : setiap kenaikan 1 bit, kenaikan tegangan yang dikonversi sebesar 19,6 mVolt

34

mVolt

6

,

19

255

Volt

5

1

2

penuh

skala

tegangan

Resolusi

_n





















TUGAS

Diketahui sebuah sinyal analog

x_a(t) = 3 cos (50 t) + 10 sin(300 t) - cos (100 t)

a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan

b) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 100

pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan

c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 200

pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan