PEMBUKTIAN ALJABAR DASAR DARI BILANGAN REAL (Proofs Of Basic Algebraic Of The Real Number)
Achmad Dhany Fachrudin~
Abstrac Algebra atau aljabar abstrak merupakan salah satu mata kuliah yang harus saya tempuh selama mengikuti perkuliahan S2 pendidikan matematika Universitas Sriwjaya kali
ini walaupun mata kuliah ini sebenarnya sudah pernah saya dapatkan dulu waktu S1. Tetapi
aljabar abstrak yang saya dapat kali ini sepertinya cukup berbada dari absatrak sebelumnya.
Pak Dharma atau teman-teman sering menyebutnya pak Darmo adalah dosen pengajar untuk
mata kuliah ini. Beliau sangat sibuk, karena juga menjabat sebagai dekan di salah satu
fakultas unsri (saya lupa nama fakultasnya, hehe) sehingga kami pun juga jarang dapat kuliah
alias kuliah mandiri. Literatur atau buku yang kami gunakan adalah karangan Randall B.
Maddox yang berjudul Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics. Bagi yang ingin mendapatkan file buku tersebut silahkan klik download di bawah ini.
Kali ini saya akan menuliskan beberapa pembuktian dasar pada aljabar dan urutan
(ordering) –akan saya bahas pada tulisan yang lain- pada bilangan Real yang terdapat pada buku Maddox pada bab Beginner level proof. Sebelum itu, berikut adalah properties atau sifat-sifat dari bilangan Real yang perlu kita ketahui.
(A1) Properties of equality:
(a) For everya∈R, a= a (Reflexive property); (b) Ifa= b, then b= a (Symmetric property);
(c) Ifa= b and b= c, then a= c (Transitive property).
(A2) Addition is well defined: That is, if a,b,c,d∈R,where a= b and c= d, then a+ c= b+ d.
(A3) Closure property of addition: For every a,b∈R, a+ b∈R.
(A4) Associative property of addition: For every a,b,c∈R, (a+ b)+ c= a+ (b+ c)
(A5) Commutative property of addition: For everya,b∈R, a+ b= b+ a.
(A6) Existence of an additive identity: There exists an element 0∈R with the property that a+ 0= a for everya∈R.
That a+ b= 0. Such an element bis called anadditive inverseofa, and is typically Denoted −a to show its relationship to a.We do not assume that only one such b exists.
(A8) Multiplication is well defined: That is, ifa,b,c,d∈R,wherea = band c= d, thenac= bd.
(A9) Closure property of multiplication: For all a,b∈R,a·b∈R. The closure property of multiplication also holds forN,W,Z, andQ.
(A10) Associative property of multiplication: For everya,b,c∈R, (a·b)·c=
a·(b·c)or(ab)c= a (bc).
(A11) Commutative property of multiplication: For everya,b∈R,ab= ba.
(A12) Existence of a multiplicative identity: There exists an element 1∈R with the property that a·1= a for everya∈R.
(A13) Existence of multiplicative inverses: For everya∈Rexcepta= 0, there exists some b∈R such that ab= 1. Such an element b is called a multiplicative inverse of a and is typically denoted a-1 to show its relationship to a. As with additive inverses, we do not assume that only one such b exists. Furthermore, the assumption that a-1 exists for all a≠0 does not assume that zero doesnothave a multiplicative inverse. It says nothing about zero at all.
(A14) Distributive property of multiplication over addition: For every a,b, c∈R,a(b+ c)= (ab)+ (ac)= ab+ ac,where the multiplication is assumed to be done before addition in the absence of parentheses.
Setalah mengetahui sifat-sifat di atas, sekarang saya akan membahas pembuktian
beberapa teorema yang terdapat pada sub bab ini dengan menggunakan sifat-sifat bilangan
Real di atas. Tetapi pada langkah-pembuktian di bawah, saya tidak akan membahas terlalu
mendetail tentang sifat atau teorema yang saya gunakan dalam ppembuktian tersebut.
Theorem 2.3.1 (Cancellation of addition). For all a,b,c∈R, if a+c=b+c, then a=b. Bukti: a+c = b+c
a+c+ (-c) = b+c(-c)
a+0=b+0
a=b (terbukti)
Bukti: a.0= a.(0+0)
a.0=a.0+a.0
0+a.0=a.0+a.0 (kita gunakan teorema 2.3.1)
0=a.0 (terbukti)
Theorem 2.3.3. The additive inverse of a real number is unique.
Bukti: andaikan suatu invers penjumlahan tidak tunggal.
Ambil a∈R, bararti terdapat b dan c (merupakan invers jumlah dari a) sedemikian
hingga a+b=0 dan a+c=0,
Berdasarkan (A1a) kita dapatkan a+b=a+c, (kita gunakan teorema 2.3.1) maka b=c
(terbukti).
Theorem 2.3.4. For everya∈R, −(−a)=a.
Bukti: ambil (–a)∈R, berarti terdapat –(-a), sedemikian hingga (-a)+ (-(-a))=0
(-a)+ (-(-a)) = (-a) + a
a+(-a)+ (-(-a)) = a+(-a) + a
0+(-(-a)) = 0 +a
(-(-a)) = a (terbukti)
Untuk selanjutnya saya akan membahas exercise atau latihan soal yang terdapat pada halaman selanjutnya.
Theorem 2.3.6: If a,b∈R, then:
(a) (−a)b=−(ab). (b) (−a)(−b)=ab.
(a) Bukti: (-a)b= (-a)b + 0
= (-a)b + ab + (-(ab))
= b(a +(-a)) + (-(ab))
=b.0 + (-(ab))
(-a)b= -(ab) (terbukti)
(b) Bukti: (-a)(-b)= ab
= -(a(-b)) (berdasar teorema 2.3.6 a)
= -((-b)a)
= -(-b) a (teorema 2.3.4)
2. Prove Theorem 2.3.9: If ac=bc and c=0, then a=b.
Bukti: ac=bc
acc-1=bc c-1
a=c ( terbukti)
3. Prove Theorem 2.3.10: The multiplicative inverse of a ≠0 is unique (tunggal).
Bukti: ambil sebarang a∈R, a ≠0, andaikan invers bilangan real tidak tunggal, maka akan
terdapat b dan c, b≠c, sedemikian hingga ab=1 dan ac= 1,
Maka kita peroleh ab=ac (sifat transitif)
b=c (cancellation)
maka pengandaian salah, jadi invers perkalian pada setiap a ∈R, a ≠0, adalah tunggal.
(terbukti)
4. Using reasoning similar to the argument for Theorem 2.3.4, prove Theorem 2.3.11: For all
a≠0,(a-1)-1=a.
Bukti: ambil a-1∈R, berarti terdapat (a-1)-1
sedemikian hingga a-1.(a-1)-1=1
a.a-1.(a-1)-1=a.1
1.(a-1)-1=a
(a-1)-1=a (terbukti)
5. Prove Theorem 2.3.12: For all nonzero a,b∈R,(ab)-1=a-1b-1
Bukti: ,(ab)-1=(ab)-1.1.1
(ab)-1= (ab)-1. a.a-1 b.b-1
(ab)-1= (ab)-1. a.b.a-1.b-1
(ab)-1=(ab)-1. (ab) a-1.b-1
(ab)-1= 1.a-1.b-1
(ab)-1= a-1 .b-1 (terbukti)
6. Prove the principle of zero products: If ab=0, then either a=0 or b=0.
Bukti: ambil a∈R, a ≠0, a.b=0
a-1 .a.b=a-10
b=0 (terbukti)
7. Prove (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd, for all a,b,c,d∈R.
Bukti: ambil a,b,c,d∈R.
a(c+d)=ac+ad ..(1)
b(c+d)=bc+bd…(2)
dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2) kita dapat
a(c+d)+ b(c+d)= ac+ad+ bc+bd
(a+b) (c+d)= ac+ad+ bc+bd (distributif) (terbukti)
8. Suppose we replace assumption A15 with the assumption that 1=0. Show that, with this
assumption, there are no nonzero real numbers
Bukti: ambil sebarang a∈R, a= a.1
a = a.0
a=0,
karena kita mengambil sebarang a, maka berlaku untuk semua bilangan Real, sehingga semua
bilangan Real adalah nol.(terbukti)
