BAB 9
TABLO SEMANTIK
1.
Pendahuluan
Tabel kebenaran sangat baik untuk menjelaskan dasar logika dan mudah dipahami.
Kesulitan yang timbul adalahbanyaknya jumlah baris yang diperlukanjika variabel
proposisionalyang harus ditangani cukup banyak. Ukuran tersebut yakni 2n (n = jumlah variabel proposisional). Jadi, misalnya ada 8 variabel proposisional, maka ada 28 = 256 baris.
Dari ukuran 2n ini bisa terbentuk dasar perhitungan 1 Kilobyte = 1024 Byte, atau 210 yakni 1024, demikian juga 1 byte = 8 bit, atau 23. Hal ini dikarenakan perhitungan berdasarkan nilai benar (T ≡ 1) dan salah (F ≡ 0) sebagai konstanta proposisional yang kemudian dipangkatkan. Inilah yang sebenarnya dikenal sebagai bahasa mesin, atau
bahasa tingkat rendah (low level language), satu-satunyabahasa yang dimengerti oleh
komputer.
Ukuran yang besar dari tabel kebenaran menimbulkan banyak kesulitan sehingga dapat
dipergunakan cara lain untuk membuktikan konsistensi sekumpulan
pernyataan-pernyataan dan validitas dari argumen-argumen. Salah satunya adalah Tablo Semantik
(Semantik Tableaux).
2.
Tablo semantik
Penggunaan tablo semantik berbasis pada strategi pembalikan. Strategi pembalikan pada
tablo semantik dilakukan dengan memberi negasi pada kesimpulan dan memeriksa hasil
yang diperoleh.
Tablo semantik bisa dibuktikan apakah kesimpulan yang bernialai F dapat diperoleh dari
premis-premis yang bernilai T. jika idak bisa, maka argumen tersebut valid, tetapi jika
bisa, maka argumen tidak valid. Jadi, premis-premis yang bernilai T harus menghasilkan
kesimpulan yang berniali T juga. Kesimpulan ini disebut semantically entailed dari
premis-premis.
Tablo semantik sebenarnya hanya bentuk-bentuk proposisi yang dibangun berdasarkan
aturan-aturan tertentu yang biasanya berbentuk pohon terbalik dengan cabang-cabang dan
3.
Aturan tablo semantik
Terdapat 10 aturan dalam tablo semantik yang diurutkan sebagai berikut:
Aturan 1: A B
Jika tablo berisi A B, maka tablo dapat dikembangkan menjadi tablo baru dengan menambahkab A dan B pada tablo A B. Bentuknya seperti berikut:
A B A
B
Aturan 2: A B
Jika tablo berisi A B maka dapat dikembangkan membentuk tablo baru dengan
menambah dua cabang baru, satu berisi A dan satunya adalah B seperti berikut: A B
A B
Aturan 3: A → B
A → B
¬A B
Aturan 4: A ↔ B
A ↔ B
A B ¬A ¬B
Aturan 5: ¬¬A
¬¬A
A
Aturan 6: ¬(A B)
¬(A B)
¬A ¬B
Aturan 7: ¬(A B)
¬(A B) ¬A
Aturan 8: ¬(A → B)
¬(A → B) A
¬B
Aturan 9: ¬(A ↔ B)
¬(A ↔ B)
A ¬B ¬A B Aturan 10:
Jika ada bentuk logika A dan negasinya (¬A) yang berada pada satu deretan cabang dari
tablo, maka terjadi ketidakkonsistenan pada cabang tersebut, dan cabang dinyatakan “tertutup (closed)”, dan cabng tersebut tudak bisa dikembangkan lagi.
Hal ini disebabkan karena A dan ¬A tidak mungkin benar bersama-sama pada satusaat
tertentu, yakni jika A bernilai T, tidak mungkin ¬A juga bernilai T pada saat yang sama,
demikian sebaliknya.
Jika semua cabang tablo tertutup, maka ekspresi logika disebut bersama-sama tidak
konsisten atau mereka tidak bisa bernilai benar bersama-sama.
4.
Tablo semantik himpunan ekspresi logika
Contoh 1:
Apakah 2 buah ekspresi logika ini konsisten bersama-sama: ¬(A→B) dan ¬A B
Tablo semantik yang dibuat seperti berikut:
¬(A→B) (1)
¬A B (2)
¬A B Aturan 2 pada (2)
A A Aturan 8 pada (1)
¬B ¬B
Perhatikan bahwa dua cabang dari tablo di atas tertutup karena cabang sebelah kiri berisi
A dan ¬A, sedangkan cabang kanan berisi b dan ¬B, maka kesimpulannya adalahtidak
konsisten bersama-sama.
Bentuk tablo lainnya:
¬(A→B) (1)
¬A B (2)
¬¬A Aturan 8 pada (1)
¬B
A Aturan 5
¬A B Aturan 2 pada (2)
Tutup Tutup
Heuristik untuk mengefisienkan pembuatan tablo:
1. Carilah ekspresi logika yang dapat memakai aturan tanpa cabang (satu cabang)
2. Carilah ekspresi logika yang isinya mempunyai bentuk, yang tablonya pasti tertutup,
misalnya A dengan negasinya (~A), agar cabang tablo tertutup dan tidak dapat
dikembangkan lagi.
Contoh 2:
Apakah himpunan dari 4 buah ekspresi logika berikut ini bersama-sama konsisten?:
¬A B, ¬(B ¬C), C→D, dan ¬(¬A D)
Berikut ini adalah langkah-langkah pembuatan tablo semantik:
Langkah 1:
Tulis semua ekspresi logika secara berurutan atas ke bawah.
(1) ¬A B
(2) ¬(B ¬C)
(3) C→D
(4) ¬(¬A D)
Langkah 2:
Pakailah aturan 7 pada baris (2):
(2) ¬(B ¬C)
(3) C→D
(4) ¬(¬A D)
(5) ¬¬A
(6) ¬D
Langkah 3:
Pakailah aturan 5 pada baris (5):
(1) ¬A B
(2) ¬(B ¬C)
(3) C→D
(4) ¬(¬A D)
(5) ¬¬A
(6) ¬D
(7) A
Sekarang tidak ada lagi yang tidak bercabang, maka harus memilih salah satudari ekspresi
logika untuk meneruskan tablo.
Langkah 4:
(1) ¬A B
(2) ¬(B ¬C)
(3) C→D
(4) ¬(¬A D)
(5) ¬¬A
(6) ¬D
(7) A
(8) ¬A B
Tutup
Satu cabang tlah tertutup. Karena pada satucabang terdapat A dan ¬A, maka tinggal
Langkah 5:
Sekarang pakailah aturan 6 pada baris (2):
(1) ¬A B
(2) ¬(B ¬C)
(3) C→D
(4) ¬(¬A D)
(5) ¬¬A
(6) ¬D
(7) A
(8) ¬A B
Tutup
(9) ¬B ¬¬C
Tutup
Ternyata cabang kiri juga dapat tertutup karena ada B dan ¬B, maka tinggal meneruskan
pada cabang yang lain yang masih terbuka.
Langkah 6:
Sekarang pakailah aturan 5 pada baris (9):
(1) ¬A B
(2) ¬(B ¬C)
(3) C→D
(4) ¬(¬A D)
(5) ¬¬A
(6) ¬D
(7) A
(8) ¬A B
Tutup
(9) ¬B ¬¬C
Langkah 7:
Sekarang pakailah aturan 5 pada baris (9):
(1) ¬A B
(2) ¬(B ¬C)
(3) C→D
(4) ¬(¬A D)
(5) ¬¬A
(6) ¬D
(7) A
(8) ¬A B
Tutup
(9) ¬B ¬¬C
Tutup
(10) C
(11) ¬C D
Tutup Tutup
Akhirnya seluruh tablo tertutup. Tablo semantik yang disusun juga sudah lengkap seluruh
ekspresi logika yang harus diturunkan menjadi tablo.
Dapat disimpulkan bahwa semua ekspresi logika tersebut tidak konsisten, atau tidak
kompatibel bersama-sama.
Latihan:
Apakah himpunan dari 3 buah ekspresi logika berikut ini bersama-sama konsisten?:
(A B)→C, ¬A→D, B ¬C ¬D
5.
Pembenaran aturan tablo semantik
Aturan tablo semantik dapat dipandang sebagai aturan sistem deduktif atau sistem
pembuktian yang tidak perlu ditafsirkan pada konteks lain. Aturan tablo semantik sangat
sintaksis. Hanya tinggal menuruti aturan yang ada dan tidak ada penentuan terlebih
strategi pembalikan yang digunakan pada model dan countermodel, tetapi hanya dengan
menegasi kesimpulannya, dan tidak memedulikan premis-premis walaupun tetap
tergolong stratesi pembalikan.
Aturan tablo semantik sangat beralasan dan realistis karena berbasis pada aturan hukum
logika yang sudah dibahas sebelumnya.
Perhatikan aturan tersebut satu per satu:
Aturan 1: A B
A B A
B
Sebenarnya aturan ini menunjukkan bahwa jika (A B) benar, maka A dan B juga bernilai benar sehingga cabang tablo untuk ekspresi ini juga benar bersama-sama.
Aturan 2: A B
A B
A B
Aturan ini menunjukkan bahwa jika (A B) benar, maka A bisa benar atau B juga benar.
Untuk itu satu cabang tablo harus menunjukkan hal ini, atau ada konsistensi disini.
Aturan 3: A → B
Pada hukum logika juga diketahui (A↔B) ≡ (A B) (¬A ¬B) sehingga aplikasinya sama
seperti hukum nomor 2.
Aturan 5: ¬¬A
¬¬A
A
Aturan 6: ¬(A B)
¬(A B)
¬A ¬B
Pada hukum De Morgan sudah diketahui bahwa ¬(A B) ≡ ¬A ¬B sehingga aturan
nomor 2 dipakai sekali lagi.
Aturan 7: ¬(A B)
¬(A B) ¬A
¬B
Hukum De Morgan lainnya diketahui bahwa ¬(A B) ≡ ¬A ¬B sehingga dipakai aturan nomor 1.
Aturan 8: ¬(A → B)
¬(A → B) A
¬B
Penyederhanaan bisa dilakukan pada ¬(A → B) sehingga menjadi:
¬(A → B) ≡ ¬(¬A B) A→B
≡ (¬¬A ¬B) hukum De Morgan
≡ (A ¬B) hukum negasi ganda
Oleh karena itu aturan 1 dapat dipakai pada eksprei logika yang diperoleh.
Aturan 9: ¬(A ↔ B)
¬(A ↔ B)
A ¬B ¬A B
Sedangkan untuk ¬(A ↔ B) dapat dilakukan penyederhanaan seperti berikut:
¬(A ↔ B) ≡ ¬((A→B) (B→A)) A→B
≡ ¬((¬A B) (¬B A)) A→B
≡ (¬(¬A B) ¬(¬B A)) hukum De Morgan
≡ (¬¬A ¬B) (¬¬B ¬A) hukum De Morgan
≡ (A ¬B) (¬A B) hukum komutatif
Setelah selesai akan diperoleh bentuk yang sederhana. Sekali lagi aturan 2 digunakan.
Metode tablo semantik merupakan pendekatansecara langsung untuk memperlihatkan
adanya ketidakkonsistenan dalam suatu himpunan dari ekspresi logika, yaitu dengan cara
membuang pasangan yang terjadi konflik, misalnya A dengan ¬A. jika semua cabang
tertutup, berarti ada ketidakkonsistenan, sedangkan jika ada cabang yang tertutup dan ada
yang terbuka walau hanya ada satu berarti konsisten.
Bagaimana jika terjadi tablo yang tidak tertutp dan memastikan adanya konsistensi.
Contoh:
(1) A ¬B
(2) B ¬C
(3) C→A
(4) B Aturan 1 pada baris (2)
(5) ¬C
(6) A ¬B Aturan 2 pada baris (1)
Tutup
(7) ¬C A Aturan 2 pada baris (3)
Jelas bahwa tablo tidak bisa ditutup sehingga terjadi konsistensi bersama-sama pada
himpunan ekspresi logika.
Konsistensi bisa dibuktikan dengan teknik model yaitu dengan mengambil satu variabel
proposisi pada cabang yang tidak tertutup, misalnya A atau ¬A, dan berilah nilai T pada
variabel tersebut. Misalnya v(A) ≡ T, maka v(¬C) ≡ T (ambil dari baris (3)). Jadi v(C) ≡
F. Periksa dengan baris (2). Jika v(¬C) ≡ T, maka pasti v(B) ≡ T, maka v(¬B) ≡ F.
Periksa dengan baris (3). Jika v(¬B) ≡ F, sedangkan v(A) ≡ T, maka v(A ¬B) ≡ T. jadi
mudah ditebak bahwa v(A ¬B) ≡ T, v(B ¬C) ≡ T, dan v(A ¬B) ≡ T.
Tabel kebenarannya:
A B C ¬B ¬C A ¬B B ¬C A ¬B
T T F F T T T T
Tablo semantik juga dapat diimplementasikan pada pembuktian validitas suatu argumen.
Contoh:
Jika Badu mencontek saat ujian, maka dosen akan datang jika pengawas tidak lalai.
Jika Badu mencontek saat ujian, maka pengawas tidak lalai. Dengan demikian, jika
Badu mencontek, maka dosen akan datang.
Apakah argumen di atas valid, atau apakah kesimpulan (pernyataan 3) secara logis
mengikuti premis-premisnya (pernyataan 1 dan 2)? Dapat dilkukan strategi pembalikan
dengan menegasi kesimpulan sehingga ditemukan kesimpulan tidak konsisten dengan
premis-premis.
Tahap-tahap pembuktian:
Langkah 1:
Membuat variabel proposisional seperti berikut:
A = Badu mencontek saat ujian
B = Dosen akan datang
Jika ditulis akan menjadi seperti berikut:
{ A→(¬C→B), A→¬C} = A→B
Langkah 3:
Menyusunnya menjadi deretan untuk dibuat tablo dengan menegasi kesimpulan menjadi ¬(A→B) sehingga penulisan di atas menjadi:
(A→(¬C→B)) (A→¬C) ¬(A→B) Selanjutnya, susun menjadi urutan berikut:
(1) A→(¬C→B)
(2) A→¬C
(3) ¬(A→B)
Langkah 4:
(1) A→(¬C→B)
Seluruh tablo ternyata tertutup, dan ini berati terjadi ketidakkonsistenan pada seluruh
argumen. Dapat disimpulkan bahwa dengan pemberian negasi pada kesimpulan, jika
premis-premis benar, maka kesimpulan tidak benar, dan sebenarnya kesimpulannya benar
sehingga argumen dianggap valid.
Catatan:
Jangan lupa memberi tanda negasi pada kesimpulan dari suatu argumen, sesuai dengan
stategi pembalikan, dan kemudian mencari semua cabang tablo agar dipastikan tertutup.
Jika semua cabang tertutup akan terjadi ketidakkonsistenan, dan berati argumen valid.
Jika tablo ada yang terbuka, maka terjadi konsistensi walaupun hanya satu cabang, dan
berarti argumen tidak valid.
Perhatikan perbedaan antara pemberian tanda negasi dengan tidak untuk melihat
Ada tanda negasi: ¬((A→A) (B ¬B)) ¬(A→A) ¬(B ¬B)
¬¬A ¬A
A Tutup
Tablo tertutup tanpa harus menurunkan sisanya. Ini berati bentuk logika tersebut tidak
mungkin diberi nilai salah.
Latihan:
Tono atau Tini pergi ke pesta. Jika Tini pergi ke pesta, maka Dewi pergi ke pesta, jika
tidak Bowo pergi ke pesta. Bowo pergi ke pesta jika Tono tidak pergi ke pesta.
Dengan demikian, Dewi pergi ke pesta.
Latihan soal:
1. Dengan mengguankan tablo seantik, manakah dari kumpulan ekspresi-ekspresi lokal
berikut ini yang konsisten bersma-sama:
a. A→B, (A B)→C, B ¬A
b. (A B)→B, A (C→D), A, B
c. ¬A D, B ¬C, C→D, E ¬D, A ¬E
2. Buktikan validitas argumen-argumen berikut ini dengan tablo semantik:
Jika Bowo tinggal di Jogja, dia tinggal di Indonesia. Bowo tinggal di Jogja.
Dengan demikian, dia tinggal di Indonesia.
Jika Anik tinggal di Jogja, dia tinggal di Indonesia. Anik tidak tinggal di Jogja. Dengan demikian, dia tinggal di Asia Tenggara.
Jika Wawan tinggal di Jogja, ia akan berbahagia. Jika dia bahagia dan senang
belajar, dia akan lulus sekolah jika dia tidak jatuh cinta. Jika dia jatuh cinta, dia
akan senang belajar. Dengan demikian, jika dia tinggal di Jogja, dia akan lulus
