n 1 y=f(x ) X x dx L = Y a y=f(x) cos 2x L =

(1)

RUMUS-RUMUS INTEGRAL TAK TENTU:

1.

,

1

n

c

x

n

a

dx

ax

n n 2.

dx

x

c

x

ln

|

1

3.

kdx

kx

c

4.

sin

x

.

dx

cos

x

c

5.

cos

x

.

dx

sin

x

c

6.

sec

2

x

.

dx

tan

x

c

7.

ax

b

c

a

dx

b

ax

)

1 cos(

)

sin(

8.

ax

b

c

a

dx

b

ax

)

1 sin(

)

cos(

9.

ax

b

c

a

dx

b

ax

)

1 tan(

)

(

sec

2

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TAK TENTU

1.

kf

(

x

)

dx

k

f

(

x

)

dx

2.

{f(x) g(x)}dx f(x)dx g(x)dx

RUMUS TRIGONOMETRI PEMBANTU INTEGRAL FUNGSI

TRIGONOMETRI

1.

sin

2

x

cos

2

x

1

2.

tan

2

x

1 sec

2

x

3.

ctn

2

x

1 csc

2

x

4.

cos

2 x

sin

2

x

cos

2

x

2 cos

2

x

1

2 sin

2

x

5. sin( ) sin( ) 2 1 cos . sinA B A B A B 6. sin( ) sin( ) 2 1 sin . cosA B A B A B 7. cos( ) cos( ) 2 1 cos . cosA B s A B A B 8. cos( ) cos( ) 2 1 sin . sinA B s A B A B 9.

x

1 cos

2 x

2

1 cos

2 10.

x

1 cos

2 x

2

1 sin

2

RUMUS INTEGRAL TENTU

Jika f(x) adalah turunan pertama fungsi F(x) yang kontinu pada selang [a,b] maka berlaku

)

(

)

(

|

)

(

).

(

x

dx

F

x

F

b

F

a

f

b_a b a

SIFAT-SIFAT INTEGRAL TERTENTU

1. b a b a

dx

x

f

k

dx

x

kf

(

)

(

)

2. b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f( ) ( )} ( ) ( ) {

INTEGRAL SUBTITUSI

c

u

n

k

du

u

k

n n 1

1 .

INTEGRAL PARSIAL

du

v

u

dv

u

.

INTEGRAL DENGAN SUBTITUSI TRIGONOMETRI

Bentuk

a

2

x

2

dx

, dimisalkan x = a.sin t untuk memperoleh

a

2

x

2 = a cos t, sehingga diperoleh

dx

x

a

2 2 =

c

a

x

a

x

a

x

arcsin

2

1

₂ ₂

PENGGUNAAN INTEGRAL

1. Menentukan luas daerah antara kurva dan sumbu X. a. Di atas sumbu X. b. Dibawah sumbu X

L

y=f(x

)

Y

X

a

_b

L =

b a dx x f( ).

L

X

Y

a

b

y=f(x)

L =

b a

dx

x

f

(

).

(2)

Bahan Matematika XII

Sudirman

₂

KTSP sman15mks

2. Menentukan luas daerah antara dua kurva.

3. Menentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X pada selang

a

x

b

diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600_.

4. Menentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) pada selang

a

x

b

diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600_.

5. Menentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu Y pada selang

a

y

b

diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600_. b a

dy

x

V

2

6. Menentukan Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X pada selang

a

x

b

diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 _. b a

dx

y

x

V

2 .

.

SOAL-SOAL UN, UAN DAN EBTANAS

D9-P55-2006/2007 1. Diketahui t

dp

p

1 2

3 )

5

6

3 (

. Nilai 3

t

= …. a. 2 b. 6 c. 9 d. 12 e. 15

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{dan garis} x + y = 6 adalah …. a. 54 satuan luas b. 32 satuan luas c.

6

5

20

satuan luas d. 18 satuan luas e.

3

2

10

satuan luas

3. Volume benda putar yang terjadi juka daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x dan parabola y = x2_diputar sejauh 3600_{mengelilingi sumbu X adalah ….}

a.

5

32

satuan volume b.

15

64

satuan volume c.

15

52

satuan volume

a

b

X

Y

y

1

= f(x)

y

2

= g(x)

L

dx

y

L

b a

)

(

₂ ₁

atau

b a

dx

x

f

x

g

L

{

(

)

(

)}

X

Y

a

_b

y = f(x)

b a b a

dx

x

f

dx

y

V

2

{

(

)}

2

X

Y

a

_b

y

1

=f(x)

y

2

=g(x)

V =

b a

dx

y

)

(

₁2 ₂2

atau

V =

b a

dx

x

g

x

f

(

)

(

)

}

{

2 2 a a

dx

x

f

dx

y

V

2

{

(

)}

2

(3)

d.

15

48

satuan volume e.

15

32

satuan volume D9-P22-2006/2007 4. Diketahui p

dt

t

1 2

14 )

2

6

3 (

. Nilai dari -4

p

= …. a. -6 b. -8 c. -16 d. -24 e. -32

5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{dan garis} y = 5x - 4 adalah …. a.

6

11

satuan luas b.

3

8

satuan luas c.

2

9

satuan luas d.

2

11

satuan luas e.

2

15

satuan luas

6. Volume benda putar yang terjadi juka daerah yang dibatasi oleh garis y = x dan parabola y = x2_diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 _{adalah ….}

a.

5

3

satuan volume b.

15

4

satuan volume c.

5

1

satuan volume d.

15

2

satuan volume e.

15

1

satuan volume D10-P11-2005/2006 7. Nilai 2 0

sin

.

2 cos

x

xdx

…. a. -

3

2

b. -

3

1

c. 0 d.

3

1

e.

3

2

8. Volume benda putar yang terjadi juka daerah antara kurva y = 7 – x2_{dan garis y = x + 7 diputar} mengelilingi sumbu X adalah ….

a.

5

11

satuan volume b.

5

9

satuan volume c.

15

16

satuan volume d.

3

2

satuan volume e.

15

8

satuan volume

9. Perhatikan gambar berikut!

Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …. a.

3

1

satuan luas b.

2

1

satuan luas c.

6

5

satuan luas d.

6

7

satuan luas e.

3

4

satuan luas D10-P11-2004/2005 10. Hasil dari 1 0 2

1

3

3 x

x

dx = …. a.

2

7

b.

3

8

c.

3

7

0 X

Y

_{y = x}

y = x

2

– 4x + 4

(4)

Sudirman

₄

KTSP sman15mks d.

3

4

e.

3

2

11. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah …. a. 4

2

1

satuan luas b. 5

6

1

satuan luas c. 5

6

5

satuan luas d. 13

6

1

satuan luas e. 30

6

1

satuan luas 12. Hasil dari

sin

5

xdx

= ….

a.

cos

x

.

sin

x

C

6

1

6 b.

cos

x

.

sin

x

C

6

1

6 c.

x

3

x

sin

5

x

c

5

1 sin

3

2 sin

d.

x

3

x

sin

5

x

c

5

1 sin

3

2 sin

e.

x

3

x

sin

5

x

c

5

1 sin

3

2 sin

D10-P2-2004/2005

13. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2

1

2x

y

, garis

y

x

2

1

dan garis x = 4 diputar 3600_{terhadap sumbu X adalah} …. a. 23

3

1

satuan volum b. 24

3

2

satuan volum c. 26

3

2

satuan volum d. 27

3

1

satuan volum e. 27

3

2

satuan volum 14. Hasil dari

x

2

dx

1

)

5

4 (

2

= …. a.

(

5 x

)

4 x

5 c

3

4

b.

(

5 x

)

4 x

5 c

3

2

c.

(

5 x

)

4 x

5 c

6

1

d.

(

5 x

)

4 x

5 c

6

1

e.

(

5 x

)

4 x

5 c

3

4

D10-P3-2003/2004

15. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{– 9x +} 15 dan y = -x2_{+7x -15 adalah ….} a. 2

3

2

satuan luas b. 2

5

3

satuan luas c. 3

3

1

satuan luas d. 3

3

2

satuan luas e. 4

3

1

satuan luas 16. Nilai dari 2 0

.

3 cos

.

5 sin

x

dx

= …. a.

2

1

b.

16

3

c. 0 d.

16

3

e.

2

1

17. Hasil dari

x

2

cos

2 x

dx

....

a. 2x2_{sin2x + 8x.cos2x – 16sin 2x + c}

Y

X

-1

1

5 -1 0

5

(5)

b. x2_{sin2x +2x.cos2x – 2 sin2x +c} c. x sin2x + 2x cos2x + c d. x x x x sin2x c 4 1 2 cos 2 1 2 sin 2 2 1 e. x x x x sin2x c 2 1 2 cos 2 1 2 sin 2 2 1 D10-P3-2002/2003

18. Jika f(x) = (x-2)2_{-4 dan g(x) = -f(x), maka luas daerah} yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah….

a. 10 3 2 satuan luas b. 21 3 1 satuan luas c. 22 3 2 satuan luas d. 42 3 2 satuan luas e. 45 3 1 satuan luas

19. Volume benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{, sumbu X, dan garis x = 2} diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600_{adalah ….} a. 16 satuan volum b. 8 satuan volum c. 6 satuan volum d. 4 satuan volum e. 2 satuan volum 20. 12 0

....

.

cos

).

6 sin(

d

a.

3

4

1

4

1

24

b.

)

4

1

3

2

1

24 (

2

1

c.

3 )

6

1 (

8

1

d.

1

3 )

6 (

8

1

e.

1

3 )

6 (

8

1

21. Nilai

x

.

sin(

x

2

1 ).

dx

....

a. – cos (x2_{+1) + c} b. cos (x2_{+1) + c} c. –

2

1

cos (x2_{+1) + c} d.

2

1

cos (x2_{+1) + c} e. -2 cos (x2_{+1) + c} 22.

....

)

1 (

6

2 1 2 2

x

dx

x

a. (x2_{– 4)}

_x

2

_c

1 2

)

1 (

b. (2x2_{– 4)}

_x

2

_c

1 2

)

1 (

c. (3x2_{– 4)}

_x

2

_c

1 2

)

1 (

d. (4x2_{– 4)}

_x

2

_c

1 2

)

1 (

e. (6x2_{– 4)}

_x

2

_c

1 2

)

1 (

D12-P3-19-2001/2002

23. Grafik y = f(x) melalui titik (2,3) dan f’(x) = x2_{– x} + 2, maka grafik y = f(x) memotong sumbu Y di titik …. a. (0,-3) b. (0,-2) c.

)

3

5 ,

0 (

d. (0,2) e.

)

3

5 ,

0 (

24. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah …. a. 16 b. 12 c. 8 d. 4 e. 0

25. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2_{dan garis x +} y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600_. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

a. 15

3

2

satuan volum

X

Y

y = x

3

-6x

2

+8x

(6)

Sudirman

₆

KTSP sman15mks b. 15

5

2

satuan volum c. 14

5

3

satuan volum d. 14

5

2

satuan volum e. 10

5

3

satuan volum 26. 3 6 2

_.

_....

cos

sin

x

dx

a.

(

3

1 )

3

1

b.

(

3

1 )

24

1

c.

(

3

2 )

6

1

d.

(

3

2 )

24

1

e.

(

3

1 )

6

1

27. Hasil 7 2 2

1

3 x

xdx

adalah …. a. 8

3

b. 9

3

c. 11

3

d. 13

3

e. 15

3

D12-P3-2000/2001

28. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva

2

₂

y

x

pada interval

4

2 y

diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 adalah … a.

2

1

b.

6

1

c.

48

7

d.

48

1

e.

320

7

29. Hasil dari

x

2 x

2

1

dx = …. a.

2 x

1 c

2

3

2 b.

c

x

1

2

1

2

3

2 c.

c

x

1

2

1

3

2

2 d.

(

2 x

1 )

2 x

1 c

3

2

2 2 e.

(

2 x

1 )

2 x

1 c

6

1

2 2 P3-D12-99/00 30. Nilai 2 0 2

₄

3

18 x

x

dx = …. a. 4

2

b. 16 c. 112 d. 128 e. 168

31. Luas daerah yang dibatasi kurva y = -x2₊ 3x, dan sumbu X pada

0 x

6

adalah … satuan. a. 10

2

1

b. 13

2

1

c. 17 d. 18 e. 27

32. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2_{dan parabola y}2_{= 8x} diputar mengelilingi sumbu X sebesar 3600_{adalah ….} a. 9

5

4

satuan volume b. 5

5

4

satuan volume c. 4

5

4

satuan volume d. 3

5

4

satuan volume e. 2

5

4

satuan volume P3-D12-97/98

(7)

33. Gradien garis singgung pada setiap titik (x,y) dari suatu kurva dinyatakan dengan

6 x

2

10 x

7 dy

dx

. Kurva melalui titik (-1,-12) maka persamaan kurva adalah …. a. y = 2x3_{– 5x}2_{+ 7x – 12} b. y = 2x3_{– 5x}2_{+ 7x – 2} c. y = 2x3_{– 5x}2_{+ 7x + 2} d. y = 3x3_{– 10x}2_{+ 7x – 2} e. y = 3x3_{– 10x}2_{+ 7x + 2} 34. Diketahui 2 0 2

16 x

dx.

a. Nyatakan x dalam fungsi trigonometri! b. Tentukan turunan pertama dari x! c. Hitunglah 2 0 2

16 x

dx. (Essay) P2-D12-96/97

35. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 2, garis x = 1, dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu X adalah … satuan volume. a. 34 b. 38 c. 46 d. 50 e. 52 36. Nilai 3 6

....

)

sin

5 cos

3 (

x

dx

a. 4-4

3

b. -1-

3

c. 1-

3

d. -1+

3

e. 4+4

3

37. Hasil dari

5

3

6 x

dx

adalah …. a. 6 ln(3x+5) + c b. 3 ln(3x+5) + c c. 3 ln(6x+5) + c d. 2 ln(3x+5) + c e. ln(3x+5) + c P3-D5-95/96 38. Diketahui F’(x) = 3x2_{+ 6x + 2 dan F(2) = 25. F’(x)} adalah turunan dari F(x), maka F(x) = ….

a. 3x3_{+ 6x}2_{+2x – 27} b. x3_{+ 3x}2_{+2x – 1} c. x3_{+ 3x}2_{+2x + 1} d. x3_{+ 3x}2_{+2x + 49} e. x3_{+ 3x}2_{+2x – 49} 39. 4 2

....

).

cos

6 sin

2 (

x

dx

a. 2 + 6

2

b. 6 + 2

2

c. 6 - 2

2

d. -6 + 2

2

e. -6 - 2

2

40.

(

3 x

1 )

cos

2 x

.

dx

...

a.

x

cos

2 x

c

4

3

2 sin

)

1

3 (

2

1

b.

x

cos

2 x

c

4

3

2 sin

)

1

3 (

2

1

c.

x

cos

2 x

c

2

3

2 sin

)

1

3 (

2

1

d.

x

cos

2 x

c

2

3

2 sin

)

1

3 (

2

1

e.

x

cos

2 x

c

4

1

2 sin

)

1

3 (

2

1

P5-D5-94/95

41. Diketahui F’(x) = 3x2_{– 2x + 1 dan F(0) = -1, maka} F(x) = …. a. x3_{– x}2_{+ x – 1} b. x3_{– x}2_{+ x + 1} c. x3_{– x}2_{+ x – 2} d. 3x3_{– 2x}2_{+ x – 1} e. 3x3_{– 2x}2_{+ x – 2}

42. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah … satuan luas. a. 2

6

5 y = -x

2

– 2x + 2

x+y=0

Y

X

0

(8)

Sudirman

₈

KTSP sman15mks b. 4

2

1

c. 5

2

1

d. 9

6

5

e. 10

6

5

43. Daerah yang dibatasi oleh kurva

y

x

3

2

2 _{, sumbu}

X dan garis x = 2, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600_{. Volume benda putar yang terjadi adalah …} satuan volume. a.

3

16

b.

3

8

c.

3

4

d.

3

2

e.

3

1

44. Diketahui

3

2

12 )

(

2

x

f

, maka

...

).

(

x

dx

f

a. 24

(

2 x

2

3 )

3 + c b. 6

2 x

2

3

+ c c. 6

(

2 x

2

3 )

3 + c d. 3

2 x

2

3

+ c e. 2

2 x

2

3

+ c P5-D6-94/95 45.

(

x

1 )(

x

3 )

dx

....

a. x2_{+ 2x – 3 + c} b. x3_{+ 2x}2_{– 3x + c} c.

x

3 x

c

3

1

3 2 d.

x

3 x

c

2

1

3

1

3 2 e. 3x3_{- 2x}2_{– 3 + c}

46. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 1 dan sumbu X pada interval

1 x

4

diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

a. 10 b. 10

2

1

c. 21 d. 38 e. 39 47.

sin(

4 x

3 )

dx

....

a.

cos(

4 x

3 )

c

4

1

b.

cos(

4 x

3 )

c

4

1

c.

cos(

4 x

3 )

c

3

1

d.

cos(

4 x

3 )

c

3

1

e.

4 cos(

4 x

3 )

c

Rumus-rumus dan ketentuan-ketentuan yang perlu diketahui: 1. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (a,0) dan

memotong sumbu Y di (0,b) adalah ay + bx = ab

2. Persamaan garis yang melalui titik (a,b) dan (p,q) adalah

a

p

a

x

b

q

b

y

3. Persamaan garis yang melalui titik (a,b) dengan gradient m adalah y = m (x-a) + b.

4. Untuk menggambar garis jika persamaan garisnya diketahui, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Tentukan dua titik yang berbeda yang memenuhi persamaannya (sebaiknya titik potong dengan sumbu koordinat yaitu titik potong dengan sumbu X, (y=0) dan titik potong dengan sumbu Y (x=0)) b. Hubungkanlah kedua titik tersebut dengan sebuah

garis lurus.

5. Untuk menggambar atau menentukan daerah yang memenuhi dari suatu pertidaksamaan liner dua variabel, maka dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: a. Nyatakanlah pertidaksamaan tersebut dalam

persamaan liner dua variabel.

b. Gambarlah grafiknya sesuai langkah-langkah menggambar garis yang persamaannya diketahui. c. Pilihlah salah satu titik diluar garis (sebaiknya titik

(9)

d. Ujilah pada pertidaksamaan, dan bandingkanlah nilainya. Jika sesuai tanda ketidaksamaannya, maka daerah itu merupakan daerah penyelesaian atau sebaliknya.

e. Arsirlah daerah yang tidak memenuhi.

f. Daerah yang tidak terarsir merupakan daerah penyelesaian.

6. Nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi obyektif selalu terjadi pada salah satu titik sudut daerah penyelesaian.

SOAL-SOAL UN, UAN DAN EBTANAS

D9-P55-2006/2007

1. Perusahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K dan setiap sepatu memerluka 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba setiap tas adalah Rp. 18.000,- dan setiap sepatu adalah Rp. 12.000,-. Keuntungan maksimun perusahaan yang diperoleh adalah …. a. Rp. 120.000,- b. Rp. 108.000,- c. Rp. 96.000,- d. Rp. 84.000,- e. Rp. 72.000,- D9-P22-2006/2007

2. Luas daerah parkir 1.760 m2_{. Luas rata-rata untuk mobil} kecil 4 m2_{dan mobil besar 20 m}2_{. Daya tampung} maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parker mobil kecil Rp. 1.000,-/jam dan mobil besar Rp. 2.000,-/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parker itu adalah ….

a. Rp. 176.000,- b. Rp. 200.000,-c. Rp. 260.000,-d. Rp. 300.000,-e. Rp. 340.000,-D10-P11-2005/2006

3. Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga nyelir. Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan anyelir masing-masing 200 tangkai dan 100 tangkai. Jika rangkaian I dijual dengan harga Rp. 200.000,- per rangkaian dan rangkaian II dijual dengan harga Rp. 100.000,- per rangkaian, maka penghasilan maksimum yang dapat diperoleh adalah …. a. Rp. 1.400.000,- b. Rp. 1.500.000,- c. Rp. 1.600.000,- d. Rp. 1.700.000,- e. Rp. 1.800.000,- D10-P11-2004/2005

4. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan

untuk tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun sebanyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp. 6.000.000,-/unit dan tipe B adalah Rp. 4.000.000,-/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan tersebut adalah ….

a. Rp. 550.000.000,- b. Rp. 600.000.000,- c. Rp. 700.000.000,- d. Rp. 800.000.000,- e. Rp. 900.000.000,- D10-P2-2004/2005

5. Suatu tempat parkir yang luasmya 300 m2_digunakan untuk memarkir sebuah mobil rata-rata 10 m2_dan untuk sebuah bus 20 m2_{dengan daya tampung 24} kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah mobil Rp. 1.000,- per jam dan untuk sebuah bus Rp. 3.000,- per jam. Jika dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang dating dan pergi, hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….

a. Rp. 15.000,- b. Rp. 30.000,- c. Rp. 40.000,- d. Rp. 45.000,- e. Rp. 60.000,- D10-P3-2003/2004

6. Suatu tempat parkir yang luasmya 5.000 m2_digunakan untuk memarkir sebuah mobil rata-rata 10 m2_dan untuk sebuah bus 20 m2_{dengan daya tampung 400} kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah mobil Rp. 3.000,- per jam dan untuk sebuah bus Rp. 5.000,- per jam. Jika dalam satu jam tempat parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang dating dan pergi, hasil maksimum tempat parkir itu adalah ….

a. Rp. 1.200.000,- b. Rp. 1.250.000,- c. Rp. 1.400.000,- d. Rp. 1.500.000,- e. Rp. 2.000.000,- D10-P3-2002/2003

7. Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari

sistem pertidaksamaan

0 ,

0

48

4

2

60

2

4 y

x

y

x

y

x

adalah …. a. 120 b. 118 c. 116 d. 114 e. 112 D12-P3-19-2001/2002

8. Jika (x,y) terletak pada daerah yang dibatasi oleh

,

0 ,

0 y

x

dan

y

1 x

2 y

, maka nilai terbesar dari 2x + y adalah ….

a. 3,5 b. 4 c. 4,5

(10)

Sudirman

₁₀

KTSP sman15mks d. 5

e. 5,5

D12-P3-2000/2001

9. Pada daerah yang diarsir, fungsi obyektif z = 10x + 5y mencapai nilai maksimum di titik …

a. P b. Q c. R d. S e. T P3-D12-97/98

10. Pada gambar di bawah, yang merupakan penyelesaian pertidaksamaan

3 x

y

6

,

5 x

3 y

15

,

10

5

2 x

y

, adalah …. a. V b. IV c. III d. II e. I P2-D12-96/97

11. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah merupakan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan ….

a. x 0, 6x y 12, 5x 4y 20 b. x 0, 6x y 12, 5x 4y 20 c. x 0, 6x y 12, 4x 5y 20 d. x 0, x 6y 12, 4x 5y 20 e. x 0, x 6y 12, 5x 4y 20 P3-D5-95/96

12. Seorang penjahit mempunyai 120 m bahan woll dan 80 m bahan katun. Akan dibuat dua model pakaian seragam. Setiap pakaian seragam model I memerlukan 3 m bahan wol dan 1 m bahan katun. Setiap pakaian model II memerlukan 2 m bahan wol dan 2 m bahan katun. Misalnya banyaknya pakain model seragam I adalah x buah dan banyaknya pakaian seragam model II adalah y buah. Model matemaika dari masalah tersebut adalah …. a. 3x+3y 120, 2x+2y 80, x 0, y 0 b. 3x+2y 1200, x+2y 80, x 0, y 0 c. 3x+2y 80, x+2y 120, x 0, y 0 d. 2x+3y 120, x+y 80, x 0, y 0 e. 2x+3y 80, x+2y 120,, x 0, y 0 P5-D5-94/95

13. Pada gambar di bawah ini, daerah yang di arsir merupakan grafik himpunan penyelesaian system pertidaksamaan liner. Nilai maksimum bentuk obyektif 2x + 3y, dengan x, y c pada himpunan penyelesaian itu adalah …. a. 19 b. 21 c. 22 d. 23 e. 24

KETENTUAN DALAM MATRIKS:

1. Matriks Kolaom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. 3x+2y=18 X+2y=6 X P Q R S T 4 1 0 2 3 6 y=2x+2 Y 2 3 5 X 6 5 2 0 I II III IV V Y 0 2 4 5 12 Y X T(0,4) S(2,5) R(5,4) Q(6,3) P(3,0) 0

X

Y

(11)

2. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris.

3. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

4. Jika n adalah banyaknya baris dan m adalah banyaknya kolom matriks A, maka (nxm) disebut ordo matriks A. 5. Dua matriks dikatakan sama, apabila:

a. Ordonya sama.

b. Unsur-unsur yang seletak sama.

6. Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau diperkurangkan apabila ordonya sama.

7. Jumlah matriks A dan B ditulis “A+B” adalah menjumlahkan unsure matriks A dengan unsure matriks B yang seletak.

8. Selisih matriks A dan B ditulis “A - B” adalah mengurangkan unsur matriks A dengan unsur matriks B yang seletak.

9. Matriks A dan B dapat diperkalikan apabila banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B.

10. Perkalian matriks A dengan matriks B ditulis “A.B” dilakukan dengan cara mengalikan setiap baris pada matriks A dengan setiap kolom pada matriks B. 11. Ttanspos matriks B ditulis “_Bt_{” adalah matriks yang}

diperoleh dengan mengubah setiap baris pada matriks B menjadi kolom pada matriks _Bt_.

12. Determinan matriks d c b a A ditulis “det A = ad - bc” atau “|A| = ad - bc”, atau

bc ad d c b a . 13. Determinan matriks i h g f e d c b a A ditulis “det A =(aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi)” 14. Invers matriks d c b a A ditulis “A 1” dirumuskan dengan , | | 1 1 a c b d A A

|A|=ad – bc, dan |A| 0.

15. Matriks A dikatakan matriks singulair (matriks yang tidak memiliki invers), apabila |A| = 0 atau det A = 0.

16. Matriks A dan B adalah dua matriks ordo (2x2) yang saling invers apabila A.B = B.A = I. dimana I adalah matriks identitas ordo (2x2) atau

1 0

0 1

I .

17. Jika A dan B adalah dua matriks yang diketahui, maka berlaku:

a. Jika A.X = B, maka X = _A 1_.B

b. Jika X.A = B, maka X = B. _A 1

18. Jika 2 1 c qy px c by ax , maka q c b c D_x 2 1 _, 2 1 c p c a D_y , dan q p b a D sehingga untuk menentukan nilai x dan y dihitung dengan:

D D x x dan D D y y 19. Jika 3 2 1 k jz iy hx k gz fy ex k cz by ax , maka j i k g f k c b D k x 3 2 1 , j k h g k e c k a D_y 3 2 1 , 3 2 1 k i h k f e k b a D_z , dan j i h g f e c b a D ,

sehingga untuk menentukan nilai x, y dan z, maka digunakan rumus D D x x , D D y y dan D D z z

SOAL-SOAL UN, UAN, EBTANAS

D9-P55-2006/2007

1. Diketahui dua matriks

4 3 2 1 A dan a b a B 1 3 2 . Jika _A 1 _Bt₍_A 1_adalah

invers matriks A dan _Bt_{adalah transpose matriks B)}

maka a – b = …. a. 3 b. 2 c. 1 d. -2 e. -3 D9-P22-2006/2007 2. Diketahui matriks y x y x y x A , 3 2 2 1 1 y x B , dan At B dengan At

(12)

Sudirman

₁₂

KTSP sman15mks a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 D10-P11-2005/2006 3. Diketahui matriks 0 2 y x A , 2 0 1 2 B dan 2 1 4 6

C . Ct adalah transpose dari C. Jika A.B = _Ct_{, maka nilai x + y = ….}

a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 D10-P11-2004/2005

4. Matriks X beordo (2x2) yang memenuhi

1 2 3 4 4 3 2 1 X adalah …. a. 4 5 5 6 b. 5 4 6 5 c. 5 4 5 6 d. 1 3 2 4 e. 8 10 10 12 D10-P2-2004/2005 5. Diketahui matriks

5

3

2

1 A

,

4

1

2

3 B

, dan P(2x2). Jika matriks A x P = B, matriks P adalah …. a.

10

8

18

13

b.

2

7

8

21

c.

10

8

18

13

d.

2

7

8

21

e.

12

14

6

5

D10-p3-2003/2004 6. Diketahui matriks

6

2

6 a

P

,

3

4 c

b

a

Q

, dan

3 c

b

a

R

.

Nilai c yang memenuhi P + Q = 3R adalah …. a. -1 b. -2 c. 1 d. 2 e. 4 D10-P3-2002/2003 7. Jika

0

2 .

4

2

3 y

x

, maka x + 2y = …. a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 2 D12-P3-2000/2001 8. Diketahui matriks

9

6

3

15 A

,

10

3

2 x

B

dan

13

3

4

1 C

. Bila x

merupakan penyelesaian dari persamaan

1

C

B

A

, maka nilai x adalah …. a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11 P3-D12-99/00 9. Diketahui;

1

1 .

x

y

x

q

p

. Bentuk 2 2

q

p

dinyatakan dalam x dan y adalah …. a. (x-y)2_. b. 2(x-y)2_. c. 2(x+y)2_. d. 2(x2_-y2₎ e. 2(x2_+y2₎ P3-D12-97/98 10. Diketahui matriks

2

5

1

3 A

,

6

2

1 k

B

dan

2

3

1

2 C

. Nilai

(13)

k yang memenuhi A + B = C-1_(C-1_{invers matriks C)} adalah …. a. -5 b. -3 c. 1 d. 3 e. 6 P2-D12-96/97 11. Diketahui matriks

3

4

1

2 A

. Nilai k yang memenuhi 1

det

.

A

k

T (det = determinan) adalah …. a. 2 b. 1

4

1

c. 1 d.

2

1

e.

4

1

P3-D5-95/96 12. Diketahui matriks

1

0

1

2 A

dan

1

0

1 I

. Matriks (A – kI) adalah matriks singular untuk k = …. a. 1 atau 2 b. 1 atau -2 c. -1 atau 2 d. -1 atau -2 e. -1 atau 1 P5-D5-94/95 13. Diketahui

1

3

2 A

,

5

10

5

0 B

dan X.A = B. Matriks X adalah …. a.

1

4

2

6

b.

4

2

1

c.

3

4

2

6

d.

5

20

10

6

e.

4

3

2

1

P3-D6-93/94 14. Diketahui matriks

5

4

2 p

dan

2

6

2

3

mempunyai determinan sama. Nilai p = …. a. -3 b. -2 c. 1 d. 3 e. 5 P3-D5a-91/92

15. Diketahui persamaan matriks

3

0

1

2

.X =

3

5

7

dengan X matriks bujursangtkar ordo 2. Matriks X = …. a.

1

2

4

b.

1

2

4

c.

1

4

2

d.

4

2

1

e.

2

4

1

I. Pengertian.

Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah.

II. Penjumlahan Vektor

1.

AB

BC

AC

A B

(14)

Sudirman

₁₄

KTSP sman15mks 2. Jika z y x a dan r q p b maka r z q y p x b a

3. Sifat-sifat penjumlahan vector a. Komutatif;

a

b

a

b. Assosiatif; c b a c b a ( ) ( )

III. Perkalian scalar dengan vector. Misal z y x a , maka k

a

= kz ky kx

IV. Vektor Posisi

Misal A(a,b,c) dan B(p,q,r) maka AB=

OB

-

OA

= r c q b p a r q p c b a V. Panjang Vektor. Misal z y x a , maka |

a

| = 2 2 2 _y _z x

VI. Pembagian Ruas garis.

Misal diketahui dua titik A(a₁,a₂,a₃) dan B(b₁,b₂,b₃). Jika ada titik

) , , (x_p y_p z_p

P membagi ruas garis AB sehingga AP : PB = m : n, maka titik P adalah: n m b m a n x_p . 1 .1 n m b m a n y_p . 2 . 2 n m b m a n z_p . 3 . 3

Menggunakan pola diagram: ) , , (a₁ a₂ a₃ A P B(b₁,b₂,b₃) m : n n m b m a n x_p . 1 .1 n m b m a n y_p . 2 . 2 n m b m a n z_p . 3 . 3

VII. Perkalian Skalar dua Vektor Misal z y x a dan r q p b , maka : a. ab |a|.|b|.cos b. ab x.p y.q z.r c. aa |a|2 d. | | . | | cos b a b a atau cos = 2 2 2 2 2 2 _y _z _. _p _q _r x zr yq xp

dengan adalah sudut antara

a

dan

b

VIII. Sifat-sifat perkalian scalar dua vector. 1. Komutatif;

a



b



a

2. Tidak assoasiatif;

3. Distributif; a(b c) ab ac IX. Proyeksi vector pada vector lain.

Misal z y x a dan r q p b . Jika

vector

a

diproyeksikan pada

b

maka: 1. Proyeksi scalar orthogonal

a

pada

b

(Panjang vector proyeksi

a

pada

b

) adalah: | |b b a ab 

2. Proyeksi orthogonal

a

pada

b

(vector proyeksi

a

pada

b

) adalah:

b b b a a_b 2 | |  D9-P55-2006/2007

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2) dan R(-1, 0, 2). Besar sudut PQR = …. a. 1200. b. 900. c. 600. d. 450. e. 300.

2. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, -1, -3), B(-1, 1, -11) dan C(4, -3, -2). Proyeksi vector

AB

pada

AC

adalah …. a.

12 i

12 j

6 k

(15)

b.

6 i

4 j

16 k

c.

4 i

4 j

2 k

d.

6 i

4 j

16 k

e.

12 i

12 j

6 k

D9-P22-2006/2007

3. Dikatahui segitiga ABC dengan titik A(3, 1), B(5, 2) dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah …. a. 450 b. 600 c. 900 d. 1200 e. 1350

4. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(-1,3,5), B(-4,7,4) dan C(1,-1,1). Jika vector

u

mewakili

AB

dan

v

mewakili

AC

, maka proyeksi

u

pada

v

adalah ….

a.

i

j

k

2

1

2

3

b.

i

j

k

2

1

2

3

c.

6 i

12 j

12 k

d.

i

2 j

2 k

e.

i

2 j

2 k

D10-P11-2005/2006 5. Diketahui |

a

| = 6, |

b

| = 4, dan |

a

b

|= 2

7

. Besar sudut

a

dan

b

adalah …. a. 300

b. 600 c. 900 d. 1200 e. 1500

6. Diketahui titik A(1,-3,0), B(3,4,4) dan C(2,-1,2). Panjang proyeksi vector

AB

pada

AC

adalah …. a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 D10-P11-2004/2005

7. Diketahui A(1,2,3) B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan

AB

dan

BC

adalah …. a. 1:2 b. 2:1 c. 2:5 d. 5:7 e. 7:5 D10-P2-2004/2005

8. Diketahui titik A(4,9,-6) dan B(-4,-3,2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1:3. Panjang

PB

= …. a.

15

b.

81

c.

90

d.

121

e.

153

D10-P3-2003/2004 9. Diketahui vector

3

2

1 a

,

1

2

3 b

dan

3

2

1 c

, maka

2 a

b

c

= …. a.

2

4

2

b.

2

4

2

c.

2

4

2

d.

2

4

2

e.

2

4

2

10. Diketahui vector

1

3 u

dan vector

2

2 p

v

. Jika proyeksi scalar orthogonal

(16)

Sudirman

₁₆

KTSP sman15mks setengah panjang vector

v

, maka nilai p =

…. a. -4 dan -2 b. -4 dan 2 c. 4 dan -2 d. 8 dan -1 e. -8 dan 1 D10-P3-2002/2003

11. Diketahui titik A(-2,-2,-2), B(1,0,1) dan titik M membagi AB di luar sedemikian sehingga MB:MA = 1:2. Panjang vector posisi titik M adalah ….

a.

13

b.

20

c.

34

d.

42

e.

50

12. Jika

w

adalah vector proyeksi orthogonal

dari vector

4

3

2 v

terhadap vector

1

2

1 u

, maka

w

= …. a.

3

1

b.

2

1

0

c.

2

1

0

d.

2

4

2

e.

2

4

2

D12-P3-19-2001/2002

13. Diketahui

p

tegak lurus

q

, |

p

|=12, dan |

q

|= 5, maka |

p

+

q

|= …. a.

17

b. 13 c. 17 d. 105 e. 169 14. Diketahui vector-vektor

4

2

3 m

,

2

1

1 n

dan

3

4

5 s

. Proyeksi scalar

n

m

pada

s

adalah …. a. -2

2

b.

2

1

c.

2

5

1

d.

5

1

e.

5

10

1

D12-P3-2000/2001

15. Vektor

a

dan

b

membentuk sudut . Jika |

a

| = 6, |

b

|=15 dan cos =0,7 maka nilai dari

a



(

a

b

)

…. a. 49 b. 89 c. 99 d. 109 e. 115

16. Diketahui |

a

| = 2, |

b

|=1. Kosinus sudut antara

a

dan

b

adalah

2

1

. Nilai |

a

+

b

|= …. a. 7 b. 6 c. 3 d.

7

e.

6

17. Dikatahui titik A(0,1,2), B(1,3,-1) dan C(x,y,-7) kolinear (segaris). Nilai x dan y berturut-turut adalah ….

a. 7 dan 3 b. 3 dan 7

(17)

c. -7 dan 3 d. 3 dan -7 e. -3 dan -7 18. Diketahui |

a

| =

4

3

, |

b

|=5, dan

13 b

a

b

a



. Sudut antara

a

dan

b

adalah … a. 1500 b. 1350 c. 1200 d. 600 e. 300 19. Diketahui

a

6 i

6 j

6 k

dan

k

i

b

6

9

. Panjang proyeksi vector

a

pada

b

adalah …. a.

13

3

20

b.

3

2

13

c. 6

3

d. 5

3

e.

13

30

P3-D12-97/98

20. Diketahui titik A(1,-5,7), B(-4,-5,2) dan C(4,1,3). Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3:2, maka vector yang diwakili oleh

PC

adalah …. a.

7

4

2

b.

1

6

2

c.

1

4

2

d.

1

4

6

e.

1

6

21. Diketahui

a

7 i

6 j

8 k

dan

k

j

i

b

2

5

. Proyeksi vector

a

pada

b

adalah …. a.

14 i

2 j

10 k

b.

i

j

k

3

10

3

2

3

4

c.

i

j

k

3

10

3

2

3

4

d.

4 i

2 j

10 k

e.

6 i

3 j

15 k

P2-D12-96/97

22. Diketahui titik-titik A(2,-1,4), B(4,1,3) dan C(2,0,5). Kosinus sudut antara

AB

dan

AC

adalah …. a.

6

1

b.

2

6

1

c.

3

1

d.

2

3

1

e.

2

1

P3-D6-95/96

23. Diketahui titik B(5,-3,2) dan P(8,4,-7). Vektor kolom yang diwakili oleh

PB

adalah …. a.

5

1

13

b.

9

7

3

c.

9

7

3

d.

5

1

13

(18)

Sudirman

₁₈

KTSP sman15mks e.

5

7

3

24. Besar sudut antara vector

5

0

5 a

dan vector

10

0

10 b

adalah …. a. 00 b. 450 c. 900 d. 1350 e. 1800 P5-D5-94/95

25. Diketahui titik-titik A(1,-1,-2), B(4,3,-7) dan C(2,-3,0). Kosinus sudut antara

AB

dan

AC

adalah …. a.

5

21

1

b.

2

6

1

c.

5

1

d.

2

1

e.

3

2

1

P5-D6-94/95

26. Diketahui titik A(2,-4,3) dan titik (12,-9,-17). Titik P(x,y,z) pada AB sehingga AP:AB = 1:5. Vektor posisi titik P adalah …. a.

1

5

4

b.

5

25

20

c.

6

2

6

29

6

22

d.

3

2

3

25

3

20

e.

4

2

4

29

4

22

27. Besar sudut antara vector

a

3 i

2 j

dan

k

j

i

b

2

3

6

adalah …. a. 600 b. 900 c. 1200 d. 1350 e. 1800 P3-D5-93/94 28. Diketahui

3

1

2 a

dan

p

b

3

1

. Jika

sudut antara vector

a

dan

b

adalah

3

1

, maka nilai p adalah ….

a.

11

2

atau 34 b.

11

2

atau -34 c.

11

2

atau 2 d.

11

34

atau -2 e.

11

34

atau 2 29. Diketahui vector

3

2

1 u

dan

1

2

4 v

.

Proyeksi vector

u

pada

v

adalah ….

a.

i

j

k

14

3

14

6

14

12

b.

i

j

k

14

3

14

6

14

12

c.

i

j

k

7

1

7

2

7

4

d.

i

j

k

7

1

7

2

7

4

(19)

e.

i

j

k

7

1

7

2

7

4

I. Pengertian

Transformasi adalah suatu pemetaan yang memetakan suatu obyek (titik, gambar) dengan bayangannya.

II. Pergeseran (translasi)

Misal diketahui titik P(x,y) digeser (ditranslasikan) dengan skala

n m T maka bayangannya adalah P’(x+m, y+n) . ) , ( ' ) , (x y P x m y n P n m T , artinya x’=x+m dan y’=y+n

III. Pencerminan (refleksi)

1. Pencerminan terhadap sumbu X (Mx) ) , ( ' ) , (x y P x y P Mx artinya x’=x dan y’=-y.

2. Pencerminan terhadap sumbu Y (My) ) , ( ' ) , (x y P x y P y M artinya x’=-x dan y’=y.

3. Pencerminan terhadap garis y = x (My=x) ) , ( ' ) , (x y P y x P y x M artinya x’=y dan y’=x.

4. Pencerminan terhadap garis y = -x (My=-x) ) , ( ' ) , (x y P y x P y x M artinya x’=-y dan y’=-x.

5. Pencerminan terhadap garis x=h (Mx=h). ) , 2 ( ' ) , (x y P h x y P Mx h artinya x’=2h-x dan y’=y.

6. Pencerminan terhadap garis y=k (My=k) ) 2 , ( ' ) , (x y P x k y P y k M artinya x’=x dan y’=2k-y.

IV. Pemutaran (rotasi).

Misal P(x,y) diputar sejauh berlawanan arah jarum jam dan pusat

O(0,0) “(R₍₀_, ₎) dan diperoleh bayangan P’(x’,y’), dimana:

x’ = x cos - y sin y’ = x sin + y cos V. Perkalian (Dilatasi)

P(x,y) ditransformasikan dengan dilatasi pusat O(0,0) dengan factor dilatasi k “

) , 0 ( k

D ” akan diperoleh bayangan P’(x’,y’) dimana: x’ = kx dan y’ = ky

VI. Transformasi dengan matriks.

VII. Komposisi transformasi.

Jika P(x,y) ditransformasikan dengan T1 dan dilanjutkan dengan transformasi dengan T2 dan diperoleh bayangan P’(x’,y’), maka ditulis: P’(x’,y’)=(T2oT1)(P(x,y)) atau:

y x T T y x 1 2 ' '  dan ' ' 1 2 1 1 y x T T y x 

VIII.Transformasi Kurva.

1. Jika kurvanya diketahui dan yang dicari adalah bayangannya:

- Cari persamaan x dan y dengan

menggunakan rumus ' ' 1 y x T y x

- Subtitusi nilai x dan y pada persamaan kurva. No Jenis transformasi Matriks yang bersesuaian 1 Mx ₀ ₁ 0 1 2 My ₀ ₁ 0 1 3 My=x ₁ ₀ 1 0 4 My=-x ₁ ₀ 1 0 5 _R₍₀_, ₎ cos sin sin cos 6 _D₍₀_,_k₎ k k 0 0

(20)

Sudirman

₂₀

KTSP sman15mks - Ubalah x’ dan y’ pada

persamaan kurva menjadi x dan y saja, dan itulah persamaan bayangannya.

2. Kalau bayangannya diketahui dan kurva semula ditanyakan.

- Carilah x’ dan y’ dengan

menggunakan rumus y x T y x ' '

- Subtitusi nilai x’ pada x dan y’ pada y dalam persamaan kurva. - Persamaan yang diperoleh

merupakan bentuk awal dari kurva tersebut.

Soal-soal:

D9-P55-2006/2007

1. Persamaan bayangan kurva

y

2 x

2

1

jika dicerminkan terhadap garis y = x, dilanjutkan dengan rotasi pusat (0,0) sejauh 900 berlawanan arah jarum jam, adalah … a.

y

2 x

2

1

b.

y

1

2 x

2 c.

2 y

2

x

1

d.

2 y

2

x

1

e.

y

2

D9-P22-2006/2007

2. Garis y = -3x + 1 diputar dengan R(0,900) kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah …. a. 3y = x + 1 b. 3y = x – 1 c. 3y = -x + 1 d. 3y = -x – 1 e. y = 3x – 1 D10-P11-2005/2006

3. Persamaan bayangan kurva 3x + 2y – 12 = 0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks

0

1

0

, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu X adalah …. a. 2x + 3y + 12 = 0 b. 2x – 3y + 12 = 0 c. -2x – 3y + 12 = 0 d. 2x + 3y – 12 = 0 e. 2x – 3y – 12 = 0 D10-P11-2004/2005

4. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut

2

, dilanjutkan dengan dilatasi [0,2] adalah x = 2 + y – y2. Persamaan kurva semula adalah ….

a.

4

2

1

2

x

y

b.

4

2

1

2

x

y

c.

4

2

1

2

x

y

d.

y

2 x

2

x

1

e.

y

2 x

2

x

1

D10-P2-2004/2005

5. Persamaan bayangan garis 2x + 3y + 1 = 0 karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan rotasi pusat O sebesar

2

adalah …. a. 2x – 3y -1 = 0 b. 2x + 3y – 1 = 0 c. 3x + 2y + 1 = 0 d. 3x – 2y – 1 = 0 e. 3x + 2y – 1 = 0 D10-P3-2003/2004

6. Diketahui T1 adalah refleksi terhadap sumbu Y dan T2 adalah refleksi terhadap garis y = -x. Peta titik A oleh transformasi T2oT1 adalah A’(-4,3). Koordinat titik A adalah …. a. (4,3) b. (4,-3) c. (3,4) d. (-3,4) e. (-3,-4)

7. Persamaan peta garis y = -5x + 5 oleh refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah …. a. y = 5x + 5 b. y = 5x + 1 c.

1

5

1 x

y

d.

5

1 x

y

e.

1

5

1 x

y

D10-P3-2002/2003

8. Jika (a,b) dicerminkan terhadap sumbu Y, kemudian dilanjutkan dengan transformasi sesuai dengan matriks

2

1

2

(21)

menghasilkan titik (1,-8) maka nilai a + b adalah …. a. -3 b. -2 c. -1 d. 1 e. 2 D12-P3-19-2001/2002

9. Translasi yang memetakan titik P ke titik Q pada gambar berikut adalah ….

a.

5

7

b.

5

7

c.

11

17

d.

5

7

e.

5

7

D12-P3-2000/2001

10. Bayangan segitiga ABC dengan A(-1,3), B(2,4) dan C(1,5) karena rotasi pusat (0,0) sebesar

2

dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah ….

a. A’(1,3), B’(-2,-4), dan C’(-1,5) b. A’(-1,-3), B’(2,4) dan C’(1,-5) c. A’(-1,3), B’(2,-4) dan C’(1,5) d. A’(-3,-1), B’(4,2) dan C’(5,1) e. A’(3,-1), B’(2,4) dan C’(1,-5)

11. Segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1) dan C(7,4) ditransformasikan dengan matriks transformasi

1

0

1

3

. Luas bangun hasil transformasi segitiga ABC adalah …. a. 56 satuan luas b. 36 satuan luas c. 28 satuan luas d. 24 satuan luas e. 18 satuan luas P3-D12-99/00

12. Persamaan peta garis 2x – y + 4 = 0, jika dicerminkan terhadap garis y = x, dilanjutkan rotasi berpusat di (0,0) sejauh 2700 berlawanan arah jarum jam adalah …. a. 2x – y – 4 = 0 b. 2x + y + 4 = 0 c. 2x + y – 4 = 0 d. x – 2y + 4 = 0 e. x + 2y – 4 = 0 P3-D12-97/98

13. Garis dengan persamaan 2x + y = 4 dicerminkan terhadap sumbu X, dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan materiks

2

1

3

2

. Persamaan bayangannya adalah …. a. 3x + 4y = 4 b. 3x + 5y = 4 c. 5x + 8y = 4 d. 5x – 8y = 4 e. 5x – 4y = 4 P2-D12-96/97

14. Titik (4,8) dicerminkan terhadap garis x = 6, dilanjutkan dengan rotasi (O,600). Hasilnya adalah …. a.

4

3 ,

4

3

b.

4

3 ,

4

3

c.

4

3 ,

4

3

d.

4

3 ,

4

3

e.

4

3 ,

4

3

P3-D5-95/96

15. Lingkaran yang berpusat di (3,-2) dan berjarijari 4, diputar dengan R[0,900] kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah …. a.

x

2

y

2

4 x

6 y

3

0

b.

x

2

y

2

4 x

6 y

3

0

c.

x

2

y

2

6 x

4 y

3

0

d.

x

2

y

2

6 x

4 y

3

0

e.

x

2

y

2

4 x

6 y

3

0

P5-D5-94/95

16. T1 adalah transformasi yang bersesuaian

dengan matriks

3

0

2

1

dan T2

bersesuaian dengan matriks

2

1

0

3

. Matriks yang bersesuaian dengan T2oT1 adalah …. a.

6

3

4

5

b.

1

2

4

c.

4

1

6

3

d.

5

1

2

4 X

Y

3

8 P

Q

-12

-5

(22)

Sudirman

₂₂

KTSP sman15mks e.

4

1

6

3

P3-D5-93/94

17. Garis yang persamaannya x – 2y + 3 = 0 ditransformasikan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks

5

2

3

1

. Persamaan bayangan garis itu adalah …. a. 3x + 2y – 3 = 0 b. 3x - 2y - 3 = 0 c. 3x + 2y + 3 = 0 d. –x + y + 3 = 0 e. x – y + 3 = 0 I. PENGERTIAN BARISAN

Barisan adalah angka-angka yang disusun dari kiri ke kanan dan mengikuti pola tertentu.

II. BARISAN ARITMETIKA

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan yang selisih antara suatu suku dengan suku sebelumnya adalah tetap dan disebut beda (b).

U2 - U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un – Un-1 = b (Un = suku ke-n)

a, a+b, a+2b, a+3b, …, a+(n-1)b. (a = suku pertama, dan b = beda)

jadi Un = a + (n-1)b III.BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri adalah suatu barisan yang perbandingan suatu suku dengan suku sebelumnya adalah tetap dan disebut rasio (r) . Secara umum dapat dituliskan dengan: 1 3 4 2 3 1 2 _... n n U U U U U U U U . Jika r adalah rasio dan a adalah suku pertama, maka suku ke-n barisan geometri adalah:

1

n

n ar

U

IV.DERET ARITMETIKA.

Jumlah suku-suku barisan aritmetika disebut deret aritmetika. Jika S_n adalah jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, maka S_n dirumuskan dengan

n n U U U U S ₁ ₂ ₃ ... atau : ) ) 1 ( 2 ( 2 a n b n S_n atau : ) ( 2 n n a U n

S , dalam hal ini berlaku pula S_n S_n ₁ U_n

V. DERET GEOMETRI

Deret geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Jika S_n adalah jumlah n suku pertama deret geometri, maka berlaku : r r a S n n ₁ ) 1 (

dan juga berlaku

n n

n S U

S ₁

VI.DERET GEOMETRI TAK HINGGA. Suatu deret geometri yang rasionya antara -1 dan 1 atau |r| 1, dapat dihitung jumlahnya sampai suku takhingga (S ) dengan rumus ,| | 1 1 r r a S VII. SIGMA Definisi: n n i i a a a a a ₁ ₂ ₃ ... 1 Sifat-sifat sigma: 1. _k k k i i a a 2. k kn n i . 1 3. n i i n k i i k i i a a a 1 1 4. k n i k i n k i i a a 1 ) ( 5. k n k i k i n i i a a 1 ) ( 1 Rumus-rumus sigma: 1. 2 ) 1 ( 1 n n i n i 2. 6 ) 1 2 )( 1 ( 1 2 n n n i n i 3. 2 1 3 2 ) 1 (n n i n i Soal-soal: D9-P55-2006/2007

1. Suku ketiga suatu barisan aritmetika adalah 22. Jika jumlah suku ke tujuh dan suku ke sepuluh adalah 0, maka jumlah lima suku pertama sama dengan ….

(23)

Sudirman

₂₃

KTSP sman15mks a. 30 b. 60 c. 85 d. 110 e. 220

2. Sebuah bola pimpong dijatuhkan kelantai dari ketinggian 2 meter. Setiap kali setelah bola itu memantul ia mencapai ketinggian

4

3

kali ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjuang lintasan bola tersebut hingga bola berhenti adalah …. a. 17 meter b. 14 meter c. 8 meter d. 6 meter e. 4 meter D9-P22-2006/2007

3. Diketahui barisan aritmetika, Un menyatakan suku ke-n. Jika U7 = 16, dan U3 + U9 = 24, maka jumlah 21 suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah …. a. 336 b. 672 c. 756 d. 1.344 e. 1.512

4. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi

4

3

dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun? a. Rp.20.000.000,00 b. Rp.25.312.000,00 c. Rp.33.750.000,00 d. Rp.35.000.000,00 e. Rp.45.000.000,00 D10-P11-2005/2006

5. Seorang ibu mempunyai 5 orang anak yang usianya membentuk suatu barisan aritmetika. Jika sekarang usia si bungsu 15 tahun dan usia si sulung 23 tahun, maka jumlah usia kelima orang anak tersebut 10 tahun yang akan datang adalah ….

a. 95 tahun b. 105 tahun c. 110 tahun d. 140 tahun e. 145 tahun

6. Pak Hasan menabung uang di bank sebesar Rp.10.000.000,00 dengan bunga majemuk 10% per tahun. Besar uang pak Hasan pada akhir tahun ke-5 adalah …. a. Rp.10.310.000,00 b. Rp.14.641.000,00 c. Rp.15.000.000,00 d. Rp.16.000.000,00 e. Rp.16.105.100,00 D10-P11-2004/2005

7. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah …. a. 378 cm

b. 390 cm c. 570 cm d. 762 cm e. 1.530 cm

8. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan yabungan antarbulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp.50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah …. a. Rp.1.315.000,00 b. Rp.1.320.000,00 c. Rp.2.040.000,00 d. Rp.2.580,000,00 e. Rp.2.640.000,00 D10-P2-2004/2005

9. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah …. a. 3.250

b. 2.650 c. 1.625 d. 1.325 e. 1.225

10. Sebuah bola pimpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian

5

4

kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini terus berlangsung hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….

a. 100 m b. 125 m c. 200 m d. 225 m e. 250 m D10-P3-2003/2004 11. Nilai

3

5 ....

10 1 n

n

a. 180 b. 195 n (1,1)n 2 3 4 5 1,21 1,331 1,4641 1,61051