3.34) Keterangan

P(Xm) : _peluang kumulatip dari pada suatu kejadian

yang nilainya kurang atau sama dengan x.

m =

urutan

nilai (m:

l,adalah

nilai

yang terbesar).

N : ^jumlah

^totalkejadian.

Dalam

analisis data debit

minimum,

maka

debit minimum terkecil

berkaitan dengan periode ulang yang besar.

Apabila

data diurutkan

mulai

dari

nilai

= I

adalah

nilai minimum

yang paling

kecil

maka persamzuut kumulatip peluangnya adalatr :

P(xm):ffi=+

(3.33)

Persamaan peluang kumulatip dari distribusi Gumbel Tipe III

adalah:

(x): _e-(#)"

No Debit Maksimum (at/det)

Periode Ulang (tahun)

)

I 3 4 5 6

275 334 372 404 454 489

2 5

20 50 100

Sumber : Perhitungan Data Tabel 3.8 dengan menggunakan model matematik persamaan distribusi Gumbel Tipe I.

(3.34)

Keterangan

P(X) : peluang kumilatip dari kejadian yang nilainya

kurang atau sama dengan

X.

^ - 1',

w - .,11828.

⁽

!!s

132

:

variabel acak kontinyu.

=

batas bawatr

nilai X.

=

parameter skala.

:

parameter lokasi.

Transformasinya adalatr :

., '-lE=l : lx-. l"

maka persamaan (3.34), menjadi :

P(X):

"'v

Dengan menggwrakan metode momen, Gumbel Tipe

III

adalatr :

p _=I+Ao(s)

€ =p_po(S)

183 yang diharapkan adalatr ^:

log (X - e) = log (P - e) = los (9 -

.1* *

^(bg

Y)

^(3.43)

6).

^persamaan

(3.43) dapat digambarkan pada

kertas peluang log - normal atau ekstrem

logaritrnik

Gumbel.

Untuk

analisis

kekeringan (&aught)

umrunnya persamaan (3.43) digambarkan pada kertas ekstrem

logaritmik

Gumbel.

Tabel 3.13 Nilai Reduksi Variat Untuk Distribusi Gumbel Tipe

III

Periode Ulang

T:

t/P

(n

Peluang P (x)

Redaksi log Y

l,0l

1,05

l,l0 l,m

1,30 1,40 1,50 1,58 2,OO

3,00 4,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 40,00 50,00 75,00 100.00

0,990 0,952 0,909 0,833 0,769 0,714 0,667 0,633 0,500 0,333 0,250 0,200 0,100 0,067 0,050 0,040 0,033 0,025 0,020 q,013 0.010

0,663 0,482 0,380 0,253 0,166 0,099 0,041 0,000 - 0,159 - 0,393 - 0,541 - 0,652 - 0,979

- 1,155

- 1,292

- 1,387

- 1,469

- 1,602

- 1,699

- 1,8t6 - 2.000

x

n ct p

(3.35)

(3.36) maka parameter distribusi

(3.37)

(3.38) (3.3e)

1).

2).

3).

4).

hitung nilai rata-rata (X) deviasi standar (S)

dan koefisien kemencengan (CS).

berdasarkan

nilai

(CS) tenhrkan

nilai

parameter

llcl.,

Ao dan B0 dari tabel

III-2

pada bagian akhir

buku ini.

hittrng parameter ^Bdan _;

F: ^X +,\ (s)

^(3.40)

€:p-Bo(S)

^(3.41)

tentukan

nilai reduksi variat (log Y) dari tabel

3.13, berkaitan de.ngan

periode ulang (T) yang diinginkan

atau peluangnya (P) atau dihitung rumus ^:

P(X)=

-.v _Q.42)

persarnaan

teoritis untuk tiap nilai log Y

dan

nilai X

s).

1:J4

Contoh 3.9.

Data pada tabel 3.14, menunjukkan debit minimum

sesaat dari daerah pengaliran sungai Bogowonto

di

lokasi pos duga

air

Bener, Purworejo, Propinsi Jawa Tengah, Tahun 1973

-

1984.

Tentukan model matematiknya

dengan menggunakan persamiurn

empiris distribusi peluang Gumbel Tipe III dan tentukan

debit

minimum

yang dapat diharapkan

terjadi

pada periode

ulang :2;

I 0; 20; 50 dan I 00 tatrun apabila data tersebut dianggap berasal dari populasi yang homogen.

Jawab Contoh

3.o.

Terlebih

dahulu harus

dihitung nilai

rata-rata

(X), deviasi

standar (S) dan koefisien kemencengan (CS).

Tabel3.l4 Debit Minimum

Sesaat DPS Bogowonto-Bener Tahun lg73 -

1984.

No. Tahun Debit (m3/de0

I 4 5 6 7 8 9

ll

t2 l3 l4

973 974 975 976 977 978 979 980 98r 982 983 984

3,89 3,58 3,53

l,5l

1,50 4,00 1,50 r,51 t,49 0,85

t,2t

0.75

N

⁼¹⁴^buah

X = 2,ll

m3/det

S

= ^1,24m'/der

cs ^:0.687

Sumber data : Buku Publikasi Debit Tahunan , ^Pusat Litbang Pengairan.

136 Berdasarkan data

dari tabel 3.14, maka diperoleh tiga

parameter statistik-:

.

debit

minimum

tataqata

7:2,11

^m3/det.

.

deviasi

standar ^S ^:1,24

^m3/det.

.

koefisien kemencengan CS

:0,687

Koefisien kemencengan dihitung dengan rumus 2.30 (bab

II).

Berdasarkan

nilai koefisien

kemencengan

Cs : 0,687, maka

dari tabel skala parameter

(lihat

tabel

lll-2,

pada bagian

akhir

buku

ini)

dapat diperoleh

nilai

.

skala parameter

lls":

0,52.

.

faktor frekuensi

Ao:0,235.

.

faktor frekuensi

Bo:2,082

Dari

persamaan (3.a0) _dan(3.41), maka dapat dihitung parameter _B dan

e.

F : _X+A".S

F :

_2,11+ _(0,235)

(1,24)

B :

_2,401

e: _P-Bo.S

e :

_2,401_{- (2,082)}

_(1,24)

e :

- 0,180

Langkah selanjutnya adalatr menentukan faktor reduksi variat untuk berbagai

nilai

periode ulang

T

(atau peluang

P) yaitu nilai log Y,

dari tabel 3.13 dan

berdasarkan persamaan

3.43, maka

dapat

dihitung

debit

minimum

berdasarkan periode

ulang

tertentu.

Log

(X - e):

loe

(g - €) ⁺ j

. 0oS

Vl

Log

(X

o,l8o):

log (2,581) + _0,52log

Y

Jadi persamaan garis lurus yang diperoleh adalah ^: Log

(X

⁺0,180) = 0,412 +

0,52log Y

maka:

136

Log (Xz +

0,180) :0,412

+ _0,52(- _0,159) Log

(X,

⁺

0,180) :0,329

Log

X, :

_(log_2,134_-_0,180)

X, : _l'954

Log (X,

0,180) :0,412+0,52 _(-

_0,652)

Log (X,

0,180)

= 0,0726

Log

X,

= (log 2,134 - 0,180)

X, =

1,002

Dengan cara

yang

sama

maka

akan dapat

diperoleh

hasil yang ditunjukkan pada tabel 3.15.

Tabel

3.15

Perkiraan debit minimum yang dapat diharapkan terjadi di DPS Bogowonto - Bener.

L:t7

Kritcria

^untukmenentukan salah satu

tipe distribusi

Pearson adalah dengan menentukan

nilai

8,, B, da K.

K- ^0, ^(0,

⁺³⁾²

(3.4s)

(3.46)

(3.A7) a

(!9, - ^3Bl) (29,- 30' -

⁶⁾

Keterangan ^:

MAr:

momen ke 2 terhadap

nilai

rata-rata.

MAr :

momen ke 3 terhadap

nilai

rata-rata.

MAo:

momen ke 4 terhadap

nilai

rata-rata.

Perhitungan Momen.lihat sub bab2.2.7 (Bab

II).

Pearson

telah

mengembangkan

12

macam

tipe distribusi,

dalam buku

ini

hanya akan

disajikan2

(dua)

tipe,'yaitu

1).

Distribusi

Pearson Tipe

III. 2). Distribusi

Log Pearson Tipe

III. Dari persamam3.45 -

3.47, apabila

nilai

^p1

:0, gz:3

dan

K:0,

maka distribusi Pearson sama dengan distribusi normal.

-aaattra

Gambar 3.4. Sletsa Distribusi Pearson Tipe III.

l).

2).

9,

_

^MA3

MAi :

^MAO

MA3

No. Debit Minimum (mt/det)

Periode Ulang (tahun\

Peluang (%) I

2 J 4 5 6

1,954 1,002 0,619 0,369 0,1 57 0,056

)

20 50 100

50 20

5 2 I Sumber: Perhitungan data tabel 3.14, dengan menggunakan

model matematik persamaan distribusi Gumbel Tipe IIL

3.3.3. Aplikasi [listtibusi Pealtson

Pearson telah mengembangkan banyak macam

model matematik

fungsi

peluang

untuk

membuat persamaan

empiris

dari suatu distribusi. Persamazm umumnya adalah ^:

n,!r\ -f ;#;u

P(X): e---

Keterangan :

8, bo, br, b2 adalah konstanta.

seperti

aa

(3.44)

138

3.3.3.1 Aplikasi Distribusi

Pearson Tipe

IItr

Distiibdsi

Pearson

tipe III, ^mempunyai bentuk

kurva seperti

bel (bell -

shaped), mode terletak pada

tik nol (origin)

dan

nilai X terletak -a ( _X ( o (lihat

sketsa gambar

3.4). Distribusi

Pearson Tipe

III

sering

juga di

sebut dengan

Distribusi

Gamma.

Terjadi apabila

nilai K: o atat 2 9z:3

0r + _6.

Fungsi kerapatan peluang

distribusi

dari

distribusi

^pearson

Tipe III

Adalatr:

pCX): I [x-c'l*'..-(+)

ar(b).1 a J ^-

^(3.48)

Keterangan:

P(X):

fungsi kerapatan peluang distribusi Pearson Tipe

III

X ^:

^variabelacak

kontinyu

a ^:

parameter skala

b ^:

^parameterbentuk

c ^*

^parameter^letak

D ^:

^(baca^fungsi^gamma)

Fungsi 1-@ =Je-x*u-r

^{. dX}

Untuk

U:

^1,

^maka f(l) _=je. dx: I

Bila

dilakukan transformasi

: f ^:

^dan ^dX/a:dW,

^maka^:

(X): #r(W)tre-*a

dw ^(3.49)

ke 3

parameter

fungsi

kerapatan

(a, b dan c) dapat

ditentukan dengan metode momen; dengan cara menghitung

nilai

X:rata-tata

S :

^deviasi^standar

:

koefisien kemencengan

180 Sehingga:

u=ry

b=(* x2)'

.:X-ffi

Bila

parameter

4

^{b, c}disubstitusikan dalam persamaan

tansformasi

(3.4e).

# =* ^atau ^X=aw+c

maka akan diperoleh :

*=ry.w+x-H

X:x.[?*-&] ^t

X-I+k.S

Persamaan

(3.55)

dapat digunakan

untuk

menentukan persamaan

distribusi

Pearson

Tipe III,

dengan menentukan

faktor k : _faktor

sifat dari distribusi

Pearson

Tipe III ^yang

^merupakan

fungsi

dari besarnya CS dan peluang _sepertiditunjqkkan pada tabel _1ll-3*pada bagian akhir buku

ini.

Persamaan

(3.55) untuk distribusi

Pearson

tipe III

akan

merupakan garis lengkung apabila digambarkan pada

kertas peluang normal.

Contoh 3.10.

Data volume total debit tahunan, yang dihitung dari lokasi pos duga

air

Cikapundung

-

Gandok tahun 1958

-

1976 tercantum pada tabel

3.16. Apabila

data tersebut berasal

dari populasi yang

_homogen, tentukan volume

total

debit tahunan yang dapat diharapkan terjadi

untuk periode ulang : ^2; 5; l0;25;50 dan 100 tahun

dengan menggunakan

model

matematik

dari

persamaan

empiris

distribusi Pearson tipe

III.

(3.50)

(3.s1)

(3.52)

(3.53) (3.s4) (3.5s)

140

Tabel

3.16

Volume Total Debit Tahunan DPS Cikapundung - Gandok.

No. _Tahun Volume Total

(uta m3) I

2 3 4 5

6 7 8 9

ll

l0 t2 l3 t4 l5 l6 t7 l8 l9

I 958 r959 1960

i96l 962 963 964 965 966 967 968 969 970 97t

972 973 974 975 976

8l,l

41,6 99,2 101,7 g3,g 68,5 45,2 77,9 97,8 65,0 73,0 83,8 132,4 84,6

9l,l

114,7 90,0 149,4 78,6

X

=87,75 S =26,07 CS

=

^0,47

Sumber : Data dari Buku publikasi Debit pusat Litbang Pengairan.

Jawab Contoh

3.10. Dari tabel

3.16 diperoleh

nilai rata-rataX:87,75,

deviasi standar S.= 26,07 dan koefisien kemencengan CS

:

_0,47

_(lihat

_rumus_2.30,

Bab

II).

Berdasarkan persam&m 3.55, model matematik persamaan ernpiris distribusi Pearson tipe

III

adalah :

X:I.+k.S

X=8'1,75+k.(26,07)

r4l

Berdasarkan data

faktor k, dari

tabel

III-3, nilai CS :0,47,

_maka

diperoleh ^:

X2 :87,75+(26,07)(-0,080) :

_85,67

Xj =

87,75 + (26,07)(

0,800) :

_108,55

Xro :

_87,75+ (26,07)(

1,317) :121,99 Xzs :

_87,75+ (26,07)(

1,880) :136,63 Xso =

87,75 +

(26,07)(2,311) :147,83

Xroo

:

_87,75+

(26,07)(2,696) :

_157,59

Tabel 3.17, menunjukkan rangkuman hasil perhitungannya.

Tabel 3..17 Volume Total Tahunan yang dapat diharapkan terjadi dari Dps Cikapundung - Gandok.

No. Yolume Total (juta m3/tahun)

Periode Ulang (tahun)

Pitluang ("/")

l.

85,67 108,55 121,99 136,63 147,83 157,58

2 5

25 50 100

50 20

4 ') I Sumber : perhitungan data tabel 3.14, dengan menggunakan model matematik

persamaan distribusi Pearson tipe III.

3.3.3.2. Aplikasi Distribusi

Log - Pearson Tipe

III

Distribusi

log-Pearson

tipe III

banyak digunakan dalam analisis

hidrologi,

terutama dalam analisis data maksimum

(banjir)

dan minimum (debit minimum) dengan nilai ekstrem.

Bentuk

distribusi

log-Pearson

tipe III

^merupakan

hasil transformasi

dari distribusi Pearson tipe

IIi

dengan menggantikan variat menjadi

nilai

logaritmik.

Persamaan fungsi kerapatan peluangnya adalah :

142

P(x):

6+, ^[o#]'' ^s-trr

Keterangan:

(3.s6)

P(X) :

peluang dari variat

X

X ^: ^nilai

^variat

^X

a,b,c :

pararneter

f ^:

^fungsi^gamma

Bentuk kumulatip dari distribusi

log-Pearson

tepi III

dengan

nilai variatnya X apabila

digambarkan pada kertas

peluang logaritmik (logarithmic probability paper)

akan merupakan

model

matematik persamium garis lurus. Persamaan garis lurusnya adalah ^:

Y:Y-k.S

^(3.s7)

Keterangan:

Y : nilai logariunik

dari

X

Y : nilai

rata-rata dari

Y

S :

deviasi standar dari

Y

k : karakteristik dari distribusi log

Pearson

tipe III ^(lihat

tabel

III-3).

untuk

menentukan

kurva distribusi log

Pearson

tipe III,

tentukan logaritma dari semua

nilai

variat

X.

hitung

nilai

rata-ratanya :

I l^-*

log x= ffi

^(3.58)

: jumlah

_data

hitung

nilai

deviasi standarnya dari log

X

Prosedur adalah:

r).

2).

3).

I ^(togX-los

l4it

SlogX

4).

hitung

nilai

koefisien kemencengan

(3.60)

(3.61)

CS: ⁿ X ^(rog ^x ^-iog ^,,)'

/-\

Dalam dokumen hidrologi aplikasi metode statistik untuk analisa data jilid 1 pdf compress (Halaman 71-77)

P(Xm) : peluang kumulatip dari pada suatu kejadian

m =

nilai (m:

nilai

N : jumlah

Dalam

minimum,

debit minimum terkecil

Apabila

mulai

nilai

= I

nilai minimum

kecil

P(xm):ffi=+

Persamaan peluang kumulatip dari distribusi Gumbel Tipe III

(x): e-(#)"

)

(3.34)

P(X) : peluang kumilatip dari kejadian yang nilainya

X.

w - .,11828.

:

=

nilai X.

=

:

., '-lE=l : lx-. l"

P(X):

"'v

III

p =I+Ao(s)

€ =p_po(S)

.1* *

Y)

6).

(3.43) dapat digambarkan pada

logaritrnik

Untuk

kekeringan (&aught)

logaritmik

III

T:

(n

l,0l

l,l0 l,m

x

(3.37)

hitung nilai rata-rata (X) deviasi standar (S)

nilai

nilai

llcl.,

III-2

buku ini.

F: X +,\ (s)

€:p-Bo(S)

nilai reduksi variat (log Y) dari tabel

periode ulang (T) yang diinginkan

P(X)=

-.v Q.42)

teoritis untuk tiap nilai log Y

nilai X

Data pada tabel 3.14, menunjukkan debit minimum

di

air

-

Tentukan model matematiknya

empiris distribusi peluang Gumbel Tipe III dan tentukan

minimum

terjadi

ulang :2;

3.o.

Terlebih

dihitung nilai

(X), deviasi

Tabel3.l4 Debit Minimum

ll

l,5l

N

P(Xm) : _peluang kumulatip dari pada suatu kejadian

N : ^jumlah

(x): _e-(#)"

p _=I+Ao(s)

F: ^X +,\ (s)

-.v _Q.42)

standar ^S ^:1,24

F : _X+A".S

e: _P-Bo.S

_(1,24)

(g - €) ⁺ j

X, : _l'954

0,180) :0,412+0,52 _(-

K- ^0, ^(0,